祖暅原理——它的应用和推广

湖北　陈功

      我们知道，利用祖暅原理计算某个几何体的体积，必须构造出另一个几何体。此几何体至少要具备两个条件：首先，它的体积（计算公式）是已知的或易于求出的；其次，它必须符合祖暅原理的条件，即该几何体与待求体积的几何体能夹在两平行平面之间（等高）、且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，所截得的截面面积总相等。我们不妨称符合这两条件的几何体叫做原几何体的“祖暅模型”或“祖暅参照体”。

       如何根据已知条件构造“祖暅模型”是运用祖暅原理求几何体体积的难点和关键。人民教育出版社版教材在推导球体积公式时给出了一个范例（高级中学课本《立体几何》（必修）p109）。这个半球的“祖暅模型”构造得十分精巧，让人拍案叫绝，但因为回避了构造过程，使人产生这样一种感觉：这么巧妙的模型可能是哪位天才的数学家灵机一动的灵感产物！其实，半球的“祖暅模型”的构造过程并不神秘，也不复杂，只要掌握了分析要领，一般程度的学生也应该能够构造，甚至更复杂的几何体求积问题也能解决。

      本文的目的就是通过几个实例介绍构造祖暅模型的一般分析思路和方法。

      例 1　将抛物线弧  绕  轴旋转一周得一旋转抛物面。求此抛物面所围的立体体积（图 1）。

分析　在抛物线弧  上任取一点 ，过  作  轴的垂线交  轴于 。线段  绕  轴旋转一周所形成的圆面显然可视作符合祖暅原理条件的“任一截面”。（此截面可以称为“祖暅截面”）此截面的面积 。而  分明是一矩形（一边长为 ，另一边为变量 ）的面积。据此，我们可以构造如下“祖暅模型”：以两腰长为  的等腰直角三角形为底面，高为  的直三棱柱（平置，如图 2）。

       由于祖暅模型体积为 。所以所求几何体体积为 （体积单位）。

       在上述分析过程中，我们主要是根据待求体积的几何体的“祖暅截面”的面积表达式特征，展开合理的联想而找到其祖暅模型的。因此，可以称这种分析方法为“截面积联想法”。

例 2　椭圆  绕  轴旋转半周得一椭球，求该椭球体积。

分析　根据椭球的对称性，只需求出上半部分体积即可。

       将半椭球放在平面  上（如图 3 甲）。

       用与平面  平行且相距  的平面去截，得截面（圆）的面积

 圆环的面积。

      这个圆环的外圆半径不变，而内圆半径是  的正比例函数。据此可知，这个半椭球的祖暅模型是一个以底面半径为 、高为  的圆柱中挖去一个倒置的底面半径为 、高为  的圆锥后所剩下的几何体（如图 3 乙）。由于祖暅模型的体积为

（立方单位），

所以所求椭球体积为

（体积单位）

       以上分析过程完全适用于球。半球的“祖暅模型”也就是这样被找到的。

无论是在理论价值上，还是实用价值上，“祖暅原理”都是非常重要的。不过，它也有局限性。对于某些更为复杂的几何体的求积，使用“祖暅原理”的推广形式也许更为有效。

       祖暅原理的推广：

       夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的截面面积之比总等于一常数 ，那么，这两个几何体体积之比亦等于常数 。

例 3　两个底圆半径都等于  的圆柱，它们的中心线垂直相交，这两个圆柱的公共部分叫做“合盖”（广西少数民族少女赠送给情郎的香囊就是这种形状。）求这“合盖”的体积（图 4）。

解　设想在“合盖”中放入一个半径为  的球，显然球心恰在两圆柱轴线的交点上。用过两圆柱轴线的平面去截这个合盖，截面是一正方形内切一圆（如图 5），这个内切圆自然是前设球被平面截出的截面，用平行于轴截面的任一平面截这个合盖，其截面仍是一正方形和其内切圆（如图 6）。不难算出，这些正方形与其内切圆的面积之比始终是一常数 。根据祖暅原理的推广知

。

于是

。

      上面这个解答是古希腊学者阿基米德给出的。这个小问题的巧妙解答充分地体现了这位伟人超人的智慧。当然，这个解答中假想的“球”并不一定非放进“合盖”里面不可。“合盖”体积的常规求法则须用到“辛普生公式”。

例 4　把曲线 、 轴和直线  所围成的几何图形向后方平移  个单位长度。求所得几何体体积（图 7）。

解　把图 7 中的立体的面  作底面倒置于平面  上（），取一底面积为 、高为  的棱锥（）也置于平面  上（如上图），任取一与  相距  且平行于  的平面，它截  得截面积 ，截  得截面积 。

，。

于是 。据祖暅原理的推广得 。

（体积单位）。