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初中几何22个常用定理|吃透这些,几何大题少走弯路(可下载打印)
很多孩子初中数学卡在几何： 上课听得懂，一做大题就懵，辅助线不知道怎么画，模型想不起来。 本质不是刷题太少，是课内 + 拓展的定理、模型积累不到位。 课本只教基础定理，但中考压轴、选择填空经常会考拓展结论。 今天整理 22 个初中高频几何定理，包含课内重点、培优竞赛常用结论。
✅配图解
✅带通俗易懂证明
✅标注考试怎么考
适合收藏，打印出来给孩子背诵，刷题随时查阅。
💡提示：中考不会让你直接默写拓展定理，但读懂原理，做选择填空可以秒解，做大题可以快速找到解题思路。
1. 【中线定理（阿波罗尼奥斯定理）】⭐考试星级：★★★★★
📌适用场景：已知三角形中线，处理边长平方关系，中考压轴常考
如图， 为 边上中线
证明（勾股法，初中易懂）
过点 作 ，垂足为 。 设：
由勾股定理：
两式相加：
又在 中：
且 ，代入得：
✅ 证毕。
补充：向量证法（拓展，适合培优）
取 为原点，。
相加：
💡做题小贴士：
也叫阿波罗尼奥斯定理，也可以用向量证明； 看到三角形中线 + 平方条件，优先想到它。
2. 【角平分线定理】⭐考试星级：★★★★★
📌适用场景：角平分线 + 边长比例，相似、计算线段长度高频
如图， 为 平分线
证法一：面积法（初中首选，简单好理解）
分别过点 作 于 ， 于 。
平分 ，根据角平分线性质：
两式作比：
另一方面， 和 共享从 到底边 的高，面积之比等于底之比：
联立两个比例：
✅ 证毕。
证法二：平行线构造相似（拓展思路）
过点 作 ，交 的延长线于点 。
又 ，所以
由 ，
变形：
代入 ：
✅ 证毕。
💡 小贴士： 角平分线定理是中考几何高频结论，遇到角平分线+线段比例优先考虑它；
逆定理也成立： 若 ，则 平分 。
有外角平分线版本，结论形式类似；
求线段长、证比例，角平分线条件优先试这个定理。
3. 【垂线定理】考试星级：⭐考试星级：★★★★★
如图， 为 边上的高
证明
、 都是直角三角形。
根据勾股定理：
两式变形：
所以：
✅ 证毕。
💡 小贴士：垂线定理本质就是勾股定理的简单变形，常用来处理三角形高线、线段平方差类问题，是推导中线定理、斯特瓦尔特定理的基础。
4. 【射影定理（直角三角形母子相似）】⭐考试星级：★★★★★
📌适用场景：直角三角形+斜边上的高，相似、平方等式必考
如图，
证明
同理可得：
由此得到三组相似三角形：
① 由 ：
交叉相乘：
② 由 ：
交叉相乘：
③ 由 ：
交叉相乘：
✅ 全部证毕。
💡 小贴士：射影定理是直角三角形非常核心的结论，中考高频考点，本质是相似三角形的推论，很多直角三角形平方关系小题可以直接秒杀。看到直角+斜高，优先写射影等式，选择填空提速神器。
5. 【塞瓦定理】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：三线共点证明，线段比例关系
如图，三角形内一点 ， 交边于
证明（面积法，初中友好）
同高三角形面积之比等于底边之比：
由等比性质：
同理：
三式相乘：
✅ 证毕。
💡 补充说明
塞瓦定理逆定理同样成立： 若在 的三边 上分别取点 ，满足
则 三线共点。 逆定理多用于证明三线共点（重心、垂心、内心的共点证明都可以用它）。
多用于证明三线共点，中考直接考不多，竞赛、自招很常见。
6. 【外森匹克不等式】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：三角形面积与三边长关系
如图，三角形三边长 ，面积为
证明（余弦定理+均值不等式，初中培优可看懂）
由三角形面积公式：
余弦定理：
把左边变形：
要证 ，代入 ： 即证
化简右边：
两边同除以 ：
右边合并三角函数：
由均值不等式：
又 ，
所以
不等式成立。
取等条件：，且 ，即 ，。， 为等边三角形。
✅ 证毕。
💡 补充小贴士
外森比克不等式是经典三角不等式，常用于几何培优、竞赛小题；
它还有一个加强版本：。
7. 【西姆松定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：圆上一点向三角形三边作垂线
如图，过 外接圆上一点 ，作三边或延长线的垂线
✅ 结论：三个垂足 三点共线！
证明
连接 。
四点共圆，
四点共圆，
四点共圆
和 有公共边 ，并且 在直线 的同侧， 所以 是同一条直线，即 三点共线。
✅ 证毕。
💡 补充小贴士
西姆松定理逆定理也成立：若一点 向 三边作垂线，三个垂足共线，则 在 的外接圆上；
西姆松线有很多有趣性质：例如 对应的西姆松线平分 与三角形垂心的连线；
常用于圆内接四边形、四点共圆类培优证明题。
圆内接四边形求边长、乘积关系，培优题多见。
中考几乎不考，适合数学兴趣拓展。
8. 【托勒密定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：圆内接四边形
如图，四边形 为圆内接四边形
证明（构造相似法，初中经典证法）
在对角线 上取一点 ，使得 。
四点共圆（同弧 所对圆周角相等）
交叉相乘得：
由 ，两边同时加上 ：
即：
又 四点共圆（同弧 所对圆周角相等）
交叉相乘得：
将 ：
✅ 证毕。
💡 补充小贴士
托勒密定理逆定理：若凸四边形满足 ，则四边形内接于圆；
托勒密不等式：对任意凸四边形，都有 ，等号成立当且仅当四点共圆；
是圆综合压轴、竞赛常用结论，很多线段乘积求和问题可以直接使用。
圆内接四边形求边长、乘积关系，培优题多见。
9. 【蝴蝶定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：圆内弦中点引出两条弦，形成蝴蝶型相等线段
如图， 是弦 中点，过 任意作两条弦 ； 交 于
✅ 结论：
证明
过圆心 作 于 ， 于 。连接 。
，且
，又
；又
；又 与 均满足四点共圆，
又
✅ 证毕。
💡 补充小贴士
蝴蝶定理还有很多证法：坐标法、相似法、射影几何证法； 蝴蝶定理有变形， 不一定是中点时有坎迪定理； 属于圆的培优拓展结论，中考一般不直接考，但选择填空小题可以快速秒杀。 坎迪定理是蝴蝶定理的推广：去掉 是中点的条件，；
10. 【圆幂定理（相交弦+切割线+割线）】考试星级⭐★★★★☆
📌适用场景：圆内线段乘积，圆综合大题高频
① 相交弦定理
如图，弦 与弦 交于
证明
连接 、。
与 都是弧 所对的圆周角
同理，
（两角分别相等，三角形相似）
交叉相乘，得：
✅ 证毕。
② 切割线定理
如图， 切圆于 ，割线 交圆于
证明
连接 。
是切线，由弦切角定理（弦切角等于所夹弧对应的圆周角）
又 （公共角）
（两角分别相等，三角形相似）
交叉相乘，得：
同理：
即：
✅ 证毕。
💡做题小贴士： 圆综合求线段长非常好用，大题思路优先考虑。
11. 【弦切角定理】考试星级：⭐★★★★☆
📌适用场景：圆切线和弦的夹角弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
如图， 切圆于
✅ 结论：
证明（分三种情况）
情况1：圆心 在弦 上（ 为直径）
是切线，
，即 。
是直径，。
。
情况2：圆心 在弦切角 的内部
作直径 ，连接 。
由切线性质：，。
是直径，。
。
又 （同弧 所对圆周角相等）。
。
情况3：圆心 在弦切角 的外部
作直径 ，连接 。
为切线，，。
。
直径 ，。
。
（同弧 圆周角相等）。
。
✅ 综上，弦切角定理成立。
💡 补充
弦切角的大小等于它所夹弧度数的一半；
弦切角定理是切割线定理证明的核心前置结论。
圆综合里倒角非常常用，很多版本教材作为拓展。
12. 【梅涅劳斯定理】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：一条直线截三角形三边（或延长线），求比例
如图，一条直线与 三边或延长线交于
证明
过点 作 ，交 于 。
由 ：
将两个比例代入乘积式：
✅ 证毕。
💡 补充说明
逆定理：若 分别在 三边（或延长线）上，满足 ，则 三点共线；
竞赛中常用有向线段版本，此时乘积等于 ；
本图是典型的“一内两外”截点构型，是梅涅劳斯最常见的图形。
看到一条斜线穿过三角形，优先想到梅涅劳斯，填空秒算比例。
13. 【斯特瓦尔特定理】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：三角形边上任意一点，边长和分线段关系（中线、角平分线公式都由它推出）
如图， 为 边上一点
证明
过 作 于 ，设 ，。 记 。
由勾股定理：
计算 ：
于是：
✅ 证毕。
💡 补充
常用简写形式：令 ，则
推论：
中线公式（阿波罗尼奥斯定理）： 为中线时，， 角平分线长公式也可以由斯特瓦尔特定理推出； 适用范围： 可以在 的延长线上（有向线段版本）。
中线定理、角平分线长公式都是它的特例。
14. 【海伦公式】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：已知三角形三边直接求面积
如图， 三边长 ，半周长
证明
过 作 于 ，设 。 面积 。
由勾股定理：
联立：
展开：
消去 ，解得：
代入求 ：
分子是平方差：
代入半周长 ：
于是：
面积：
✅ 证毕。
💡 补充
海伦公式也叫希罗公式；
由余弦定理结合面积公式 也可以证明；
适用于任意已知三边的三角形。
选择填空算面积可以直接用，大题不能直接写。
15. 【燕尾定理】考试星级：⭐★★★★☆
📌适用场景：三角形内一点连线分三角，面积比例
如图， 中， 相交于同一点
证明
与 同高，以 向 作高：
与 同高，以 向 作高：
设比值 ，则
两式相减：
所以
同理可得另外两组结论：
✅ 证毕。
💡 补充
图形像燕子尾巴，因此叫燕尾定理； 本质是共高三角形面积比等于底之比； 常用于小学奥数、初中竞赛面积比例问题； 和塞瓦定理联系紧密，可以互相推导。
16. 【正弦定理】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：三角形边角关系，外接圆半径
如图， 外接圆半径为 ，三边
证明
作 的外接圆 ，作直径 ，连接 。
是直径，（直径所对圆周角为直角）。
和 都是弧 所对圆周角。
在 中：
代入 ：
整理得：
同理，分别作另外两条直径，可以得到：
所以
✅ 证毕。
💡 补充
锐角、直角、钝角三角形都成立； 直角三角形时 就是斜边； 常用变形：
用途：已知两角一边或者两边及其中一边对角解三角形。
初三学三角函数后可以理解，压轴小题好用。
17. 【余弦定理】考试星级：⭐★★★☆☆【压轴拓展】
📌适用场景：已知两边夹角求第三边，或者已知三边求角
证明
过点 作 于 。 在 中：
在 中，由勾股定理：
同理可得另外两式：
✅ 证毕。
💡 补充
推论（求角形式）：
用途：已知两边及其夹角求第三边；已知三边求角； 当 ，式子退化为勾股定理，勾股定理是余弦定理特例。
18. 【垂美四边形】考试星级：⭐★★★★★
📌适用场景：对角线互相垂直的四边形，边长平方关系
如图，对角线互相垂直的四边形（）
证明
都是直角三角形。
由勾股定理：
左边：
右边：
左右两式相等，所以
✅ 证毕。
💡 补充
逆定理：在四边形中，如果满足 ，那么它的两条对角线互相垂直； 菱形、正方形都是特殊的垂美四边形； 常结合勾股定理、线段平方关系出竞赛题。
19. 【矩形内任意一点模型】考试星级：⭐★★★★☆
📌适用场景：矩形内部任意一点到四个顶点距离平方关系
如图， 是矩形内任意一点
证明
所以：
💡 补充
点 在矩形外部时，结论依然成立；
这个模型本质是垂美四边形结论的特例，也可以用坐标法快速证明；
常用来处理平方和类线段求值问题。
矩形填空经典模型，经常挖坑。
20. 【莫利定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：三角形内角三等分线
如图， 内角的三等分线相交，交点构成的 为等边三角形。
证明（1962《数学杂志》证法）
该证明发表于《数学杂志》，35卷（1962年）223-224页。
设 ，则 ， 为 的外接圆半径。
首先：
三倍角恒等式：
对 使用正弦定理：
利用恒等式 (2) ，代入化简：
同理可得：
作比值：
在 中：
结合上面的正弦比例，可推得：
对 做完全一样的角度推导。 在点 处，除去 ，其余围绕 的角度之和为 ，因此：
同理可得另外两个内角也等于 。
三个内角均为 ， 是正三角形。
✅ 证毕。
💡 补充
莫利定理有多种证法：三角法、复数法、构造法；初等纯几何构造证明比较繁琐；
注意：是靠近三边的那一组三等分线交点，不是所有三等分线交点都构成正三角形；
定理是三角形几何中非常优美的结论。
证明涉及三角恒等变换，超出初中课内范围，感兴趣同学可以研究。
21. 【笛沙格定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：两个三角形对应顶点连线共点，则对应边交点共线。
如图， 和 中， 交于一点 ，则 与 的交点 ， 与 的交点 ， 与 的交点 ，三点共线。
证明（梅涅劳斯定理）
分别对三个以 为顶点的三角形使用梅涅劳斯定理：
对 ，截线 ：
对 ，截线 ：
对 ，截线 ：
将三式全部相乘：
观察交叉分式，两两抵消：
乘积化简为：
对 使用梅涅劳斯逆定理： 满足上式，则 三点共线。
✅ 证毕。
💡 补充
直线 称为这组透视三角形的透视轴；
逆定理：若 共线，则 三线共点，同样可以用梅涅劳斯逆定理反向证明；
空间版本的笛沙格定理不需要梅涅劳斯，直接用两个平面相交得到交线，证明更简洁。
笛沙格定理是射影几何核心定理，在平面几何中，当两个三角形不在同一平面时证明会更简单（空间版笛沙格定理）；平面版本一般需要梅涅劳斯或者面积、坐标法；
注意：平面情形下，有退化情况（对应边平行，交点在无穷远）；
对偶性：在射影几何中，“点”和“直线”地位对称，笛沙格定理自对偶。
属于射影几何内容，初中了解即可，不用深挖证明。
22. 【维维安尼定理】考试星级：⭐★★☆☆☆【竞赛拓展】
📌适用场景：等边三角形内任意一点到三边距离之和等于高
如图： 是 等边 内任一点，到三边距离 是的高。
✅ 结论：
证明（面积法）
连接 。
设正三角形边长为 ：
代入面积等式：
两边同除以 ：
✅ 证毕。
💡 补充
若点 在正三角形外部，结论变为距离的代数和（有向距离）；
定理仅对正三角形成立；
可以推广到正多边形：正多边形内任意一点到各边距离之和为定值。
等边三角形特有的优美结论，小题偶尔出现。
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西姆松定理、托勒密定理、蝴蝶定理、莫利定理、外森匹克不等式、笛沙格定理
🎯给同学们的学习建议
❗不要死记硬背公式！看懂图形，记住使用条件最重要； 中考大题不能直接写拓展定理当步骤，但可以帮你快速找到思路；选择填空可以直接用结论秒算； 建议打印出来，刷题遇到几何题就翻一翻，做多了自然就记住； 基础一般的同学优先吃透★★★★★的内容，学有余力再看竞赛拓展。
💬写在最后
初中几何难，难在模型和结论。这份22个几何定理，建议家长给孩子打印一份，贴书桌或者夹在错题本。
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