学生探究活动引领小学数学课堂——以“数学广角——鸡兔同笼”教学为例

【教学过程】

　　在进行“数学广角——鸡兔同笼”教学时，我主要分为三个部分、七个环节。下面就关键部分进行具体阐述。

▲第一部分 数学长廊里的璀璨珍珠

　　●环节一：我们古代的数学智慧

　　师：同学们，大家好。说到数学的历史，你们能想到什么？

　　生：我知道古印度人发明了包含“零”在内的十个数字符号。

　　师：这是有关国外的数学渊源，但其实我国古代也有与数学有关的研究，对中华民族乃至人类文明的发展都做出了很大贡献。我们一起来了解一下古代的数学智慧。

　　在萌芽时期，殷商时期出土的甲骨文中，就已经出现了记数、测量等与数学相关的文字。大禹用“左准绳，右规矩”来规划方向和形状，这些都属于早期数学研究的范畴。后来到了春秋战国时期，百家争鸣，思想爆发，为后面数学体系的形成奠定了基础。到了东汉时期，我国古代伟大的数学专著《九章算术》正式成书，它涵盖了许多数学知识，标志着我国古代数学体系正式形成。后来在唐朝中叶到宋元时期，我国的数学发展达到了历史高潮，无数的数学书籍涌现。这些书籍中记录着那个年代人们对生活现象以及数字规律的探索，即使经过千年时光，里面的数学问题对现代数学逻辑思维的建立依旧有一定影响，其中“鸡兔同笼”问题就十分有趣，今天就让我们一起走进农户的家中看一看。

　　生：原来我国古代数学的发展丝毫不逊色于西方数学。古人研究的数学问题也这么接地气，十分贴近我们现在的生活。

　　（设计意图：通过讲述有关西方数学和我国古代数学的发展历史，带领学生初步感知古代数学对现在数学研究的影响，激发学习兴趣，同时用“鸡兔同笼”问题拉近古今距离，产生时空交错感，让学生感受古人对数学敏锐的洞察力，培养学生用数学眼光看世界。）

　　●环节二：“鸡兔同笼”问题的出现

　　师：最近老师朋友家的农场因为管理失误，把兔子和鸡关在了一个笼子里。马上，这些动物要被运走了，怎么能知道笼子中的兔子和鸡各自的数量呢？《孙子算经》里就记录着一个十分有趣的问题，与我朋友的困惑一模一样，叫做“鸡兔同笼”问题。这个问题具体是什么呢？一起来看看。

　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

　　你们知道这是什么意思吗？

　　生：大致意思是：有若干只鸡和兔子同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔。

　　师：大家可以和古人比一比谁的方法更好。

　　（设计意图：构建一个真实的生活情境，引导学生发散思维，与古人比赛，提升学生的学习内驱力。）

▲第二部分 生活里的数学奥秘

　　●环节三：“鸡兔同笼”问题化繁为简

　　生：老师，“鸡兔同笼”问题的数字太大了，不好算。

　　师：其实我们可以先从一个简单的问题入手解决，明白算理后，再尝试。

　　生：将问题化繁为简也是解决数学问题的一种方式。

　　（设计意图：数值较大会导致学生计算易发生错误，引导学生简化问题，更便于观察问题本质，探索解题规律，然后再逐步提升难度，解决复杂问题。）

　　●环节四：“鸡兔同笼”问题解决方法

　　师：现在老师将“鸡兔同笼”原题简化为：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？

　　现在请同学们先独立思考，然后分小组讨论，最后展示你们的成果。

　　1.列表法

  生1：我们没有找到什么好办法，大家都说“勤劳的鸟儿有虫吃”，所以我们使用的是列表法（见表1），通过列出不同数量的鸡和兔，计算它们的脚的数量，以找到满足题意的数值。

　　通过列表，我们可以发现只有当鸡有3只，兔子有5只时，才能满足题意。

　　2.画图法

  生2：与第一组同学的想法差不多，我们使用的是画图法（见图1），首先画出8只动物，先假设它们都是鸡，就有8×2=16只脚。

　　题目中说一共有26只脚，现在差26-16=10只，一只兔子比一只鸡多2只脚（见图2），就有10÷2=5只兔子，8-5=3只鸡。所以，笼子里有5只兔子和3只鸡。

　　3.假设法

  生3：我们的想法与第二组同学类似，但是我们采用的是假设法，不需要画图。假设全部是鸡，则有8×2=16只脚，比实际少26-16=10只脚，一只兔子比一只鸡多2只脚，“10里面有几个2”就有几只兔子，10÷2=5只，即兔子为5只，鸡为8-5=3只。总脚数为5×4+3×2=26只，与题目数量相同。

　　同时，我们还进行了假设全部的动物都是兔子的解题过程。假设全部是兔子，则有8×4=32只脚，现在脚的数量多了32-26=6只，我们需要通过调整鸡和兔子的数量来改变脚数。现在把一只兔子看成一只鸡，少了4-2=2只脚。“6里面有几个2”就有几只鸡，鸡有6÷2=3只，兔子有8-3=5只，5×4+3×2=26只脚。

　　4.吹哨法

  生4：我们的方法与他们都不同，也最有趣。我们的鸡和兔子都具有超能力，假设鸡和兔子接受过特种部队训练，吹一声哨，它们就抬起一只脚。

　　现在我们开始吹哨，吹第一声哨，就会由原本的26只脚变为26-8=18只脚在站着，再吹一声哨，它们又抬起一只脚，这时鸡就都一屁股坐地上了，兔子还有两只脚可以站着。这时还有18-8=10只脚在站着，而这10只脚全部是兔子的，所以兔子有10÷2=5只，鸡有8-5=3只。最后也得到了笼中一共有5只兔子和3只鸡。

　　师：经过同学们的激烈讨论，我们发现了四种可以解答“鸡兔同笼”问题的方法。第一种是列表法，通过列出所有的可能性寻找满足题意的数值；第二种是画图法，画图后发现需要变动的数值，对假设的内容进行调整；第三种是假设法，与画图法类似，但是假设法不需要借助图画辅助思考，而是通过逻辑推理完成题目的解答；第四种是吹哨法，通过假设它们具有超能力，对总体的变化进行探究，得出答案。

　　（设计意图：教师与学生一同探究得出“鸡兔同笼”问题的四种主流解题方式，并体会不同方法的优缺点。学生从熟悉的列表法、画图法开始尝试解题，体会它们的局限性，随后从事物特性入手，有目标地思考数量变化，提升逻辑思维。最后是吹哨法，这种方法需要学生对解题步骤有一定的掌控能力，将问题一步步抽丝剥茧，找到关键所在。）

▲第三部分 数学智慧时刻闪烁

　　●环节五：尝试“鸡兔同笼”原题解答

　　师：现在我们已经有了四种求解的方法，一起尝试解答一下“鸡兔同笼”原题吧！

　　有若干只鸡和兔子同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔。

　　生1：题中的数字巨大，如果使用列表法比较耗费时间，还容易计算错误，短时间内得不到答案。

　　生2：我们使用的是画图法，出现了和列表法一样的问题。

　　生3：我们使用假设法，设全部为鸡，则有35×2=70只脚，比实际少了94-70=24只脚，把一只鸡看成一只兔子，多了4-2=2只脚，“24里面有几个2”就有几只兔子。兔子有24÷2=12只，鸡有35-12=23只。使用兔子进行假设也是一样的。

　　生4：吹第一声哨，就会由原本的94只脚变化为94-35=59只脚在站着，再吹一声哨，它们又抬起一只脚，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还有两只脚可以站着。这时还有59-35=24只脚在站着，而这24只脚全部是兔子的，所以兔子有24÷2=12只，鸡有35-12=23只。吹哨法也是可以解出题目的。

　　生5：这四种方法中，列表法和画图法在数字较小时可以用，假设法和吹哨法的使用范围更广一些。

　　（设计意图：在解决完简单问题后，学生回归初始问题，尝试解决复杂的题目，完成解题方法的迁移，不再拘泥于固定题目解答，同时，在应用过程中，再次体会不同方法的优劣，择优选择解题方法。）

　　●环节六：学习古人“鸡兔同笼”解题思想

　　师：其实，古人在求解时也提出了一种解决方法，与吹哨法类似，我们叫“抬脚法”。一起看看他们是怎么做的吧！

　　（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有94÷2=47只脚。

　　（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，脚的总数就比头的总数多1。

　　（3）这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

　　生：在抬脚法里，笼子里只要有一只兔子，脚的总数会比头的总数多1，这个是什么意思呢？

　　师：鸡的脚数对应它的头数，可是兔子的头数只能对应它的一只脚，还有一只脚无法对应，所有的头数加起来后只有每一只兔子的一只脚无法对应，这些无法对应的脚数就是兔子的只数。

　　生：老师，我明白了！抬脚法和吹哨法虽相似，但也有所不同，我们现在有第五种方法啦！

　　（设计意图：回归课堂开始，教师提出学生与古人比赛，在本环节中学生了解了古人的解题思维，在此基础上进一步拓展解题方法，开阔解题思路。）

　　●环节七：构建方程思想雏形

　　师：“鸡兔同笼”问题为什么会被收录进《孙子算经》中呢？它有着怎样的特别之处呢？在学完本节课后，你知道了吗？

　　生：我觉得这道题之所以特别，是因为它很灵活。我们可以用多种方法找到答案，有些方法很直观，一看就懂，有些却需要很强的逻辑思维能力才能想明白。而且它和我们的生活联系得很紧密，所以才显得这么特别！

　　师：看来同学们已经对“鸡兔同笼”问题有了自己的认知，那你们觉得这个问题的关键是什么呢？

　　生：我觉得问题的关键在于确定一种动物的数量，当数量确定后，它的头数量以及脚数量随之确定，同时由于题目中的等量关系，另一种动物头与脚的数量也会得出。这个最初动物的数量的确定方法多样。

　　师：看来聪明的你已经发现关键问题了，在之后的数学学习中，还会有一种方法——方程可以统一解决问题，希望大家在课下查阅资料，这种方法既可以避免图表法的繁杂，又可以简化逻辑步骤。

　　（设计意图：从问题本质出发，引导学生发现问题关键，尝试寻找统一方法，构建方程思想雏形。）