植树问题(一)。(教材第104 页)
1.使学生理解并掌握“植树问题”的基本解题方法,并能解决一些实际生活中存在的与
“植树”有关的问题。
2.掌握“植树问题”的第一种情况:“两端都要栽”(即间隔数比棵数少1 的情况)。
3.培养学生认真审题的好习惯。
重点:掌握“两端都要栽的植树问题”的解题方法。
难点:掌握已知间距和全长,求棵数的方法,以及已知棵数和间距,求全长的方法。
毛线绳一根。
1.激情引入。
春天是植树的季节,同学们,你们每年都参加植树造林的活动吗?美化绿化自己的家园,你
们可曾注意到植树中也有很多学问,由于植树的线路不同,植树的情况也就不同,你们想了解
植树中的学问并学会怎样解决植树问题吗?这个单元我们共同来研究你们想要解决的问题。
2.小游戏。
师生共同在毛线两端系个扣,然后等距离每隔一段系个扣,看一看,数一数,一共可以系几
个扣。
学生动手试一试。
小组讨论,看一看能得出什么结论。
通过操作,观察讨论后得出系扣的个数比间隔数多1。
3.验证。
学生拿出一根20 厘米长的毛线绳,每隔5 厘米系一个扣,绳子两端也要系,数一数,一共系
了几个扣。
指名说说自己系了几个扣。
验证扣的个数与间隔数的关系。
4.练习。
同桌两人各拿一张纸条,互提要求在纸上分段,要求两端均画上标志。
相互评价,互提建议。
1.出示教材第104 页例1。
(1)读题,理解题意。
(2)交流从题目中获取的信息和所要解决的问题。
(3)学生动手试一试。
(4)小组看图讨论,各自交流。
想法一:100÷5=20(棵),所以要准备20 棵树。
想法二:100 米太长了,先用20 米来检验。20÷5=4,所以20 米共有4 个间隔,两端也要栽树,
这样就可以栽5 棵。照此思路,可以推出间隔数比棵数少1。
(5)猜测。
猜一猜,谁的思路对。
(6)集体反馈,发现规律。
经过集体交流,发现两端都栽树时,栽树的棵数比间隔数多1。在100 米长的小路上共有
20 个间隔,那么就可以栽21 棵树。
(7)教师讲解,帮助学生理解规律。
小路的长度和每个间隔的长度是已知的,这样我们就可以求出树与树之间一共有多少个
间隔,而植树棵数比间隔数多1,由此就可以求出一共植树多少棵。
(8)研究列式的方法。
100÷5=20 20+1=21(棵)
教师表扬能自己正确列式的学生,并请他们阐明思考过程。
2.尝试。
(1)出示例题:在一条18 米长的水泥路一侧,从头到尾每隔3 米摆一盆花(两头都摆),一共
要摆多少盆?
(2)读题,理解题意。
(3)明确已知条件和所求问题。
(4)找寻数量间的关系。同伴探究,并得出结论。
(5)独立列出算式。
(6)集体反馈。
指名板书:18÷3=6 6+1=7(盆)
请学生分别说出每一步的意思。
植树问题(一)
两端都栽:棵数=全长÷间距+1
全长=间距×(棵数-1)
例1:100÷5=20 20+1=21(棵)
1.体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。教学中,创设游戏情境,向学生提供
多次体验的机会,为学生创设一种民主、宽松、和谐的学习氛围,给学生充分的时间与空间。
2.学生的认知起点与知识结构逻辑起点存在差异。生生之间的差异是学习的资源,这种
资源应在小组交流的平台上得到充分的展示与合理的利用。
例1 讨论的是在长100m 的路一边植树,需要栽多少棵树的问题,这是关于一条线段的植
树问题。小路全长100 米,每隔5 米栽一棵树,两端都要栽,一共要栽多少棵树呢?让学生在解
决这个问题的过程中发现规律,找到解决问题的有效方法,经历分析、思考问题的过程。
教材用三幅图来呈现学生探索解决问题的方法的讨论过程。首先教材给出小红的答案:
“100÷5=20(棵)”接着机器人问“小红算得对吗?”来引发学生思考。接下来呈现了解决问
题常用的方法——从简单的情况入手解决复杂的问题。这里采用的是画示意图的方式,让学
生看到把一条线段平均分成4 段,加上两个端点,一共有5 个点,也就是要栽5 棵树。使学生发
现植树的问题并不能简单地用除法来解决。紧接着提出:“自己选一些长度试一试,看看有什
么规律。”启发学生透过现象发现规律,也就是栽树的棵数要比间隔数多1。最后教材要求
运用发现的规律来解决前面的植树问题:100 米长的小路,按5 米分可以平均分成20 段,也就
是共有20 个间隔,而栽树的棵数比间隔数多1,因此一共要栽21 棵树。这样就把整个分析、
思考、解决问题的全过程展示出来,让学生经历这个过程并从中学习一些解决问题的方法和
策略。遇到问题时,可以先给出一个猜测,要判断这个猜测对不对,可以用比较简单的例子来
验证,并且可以从简单的事例中发现规律,再运用找到的规律来解决原来的问题。教材在这里
呈现的是用画示意图的方法来探索规律,比较直观、简洁,学生也可以选用自己喜欢的方法来
探索规律。
“植树问题”原本属于经典的奥数教学内容,既需要教师本身的有效引领,也需要学生的
自主探究。从学生的思维特点看,三、四年级的学生仍以形象思维为主,但抽象逻辑思维有了
初步的发展,具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验。教学时,可以从
实际的问题入手,引导学生在分析、思考问题的过程中,逐步发现隐含于不同情形中的规律,
经历抽取出数学模型的过程,体验数学思想方法在解决问题中的应用。
设计这节课时,我主要是运用这样的教学理念:以问题情境为载体,以认知冲突为诱因,以
数学活动为形式,使学生经历生活数学化,数学生活化的全过程,从中学到解决问题的思想方
法。
在环节设计上,我主要由游戏引入,揭示“间隔数”;接着是自主解题,根据要求想出自己
的解决方案并探索和理解间隔数和棵数之间的关系;接下来是尝试和拓展,运用规律解决问题。
植树问题(二)。(教材第105 页)
1.理解并掌握“植树问题”的基本解题方法,能解决一些实际生活中的与“植树”有关
的问题。
2.掌握“植树问题”的第二种情况:“两端都不栽”(即间隔数比棵数多1 的情况)。
重点:掌握“两端都不栽的植树问题”的解题方法。
难点:掌握已知棵数和全长,求间距的方法,以及已知棵数和间距,求全长的方法。
不同长度的彩纸条,多媒体课件。
1.回答。
提问:两端都栽树时,已知全长和间距,怎样求棵数?
教师根据学生回答板书:棵数=全长÷间距+1
那么已知间距和棵数,怎样求全长呢?
答后板书:全长=间距×(棵数-1)
2.谈话。
今天我们继续来研究另一种植树问题。
1.出示教材第105 页例2。
(1)读题,理解题意。
(2)投影出示教材图,帮助理解。
(3)分组看图讨论。
(4)尝试列式计算。
(5)集体交流。
教师板书:60÷3=20 20-1=19(棵) 19×2=38(棵)
(6)质疑。
为什么减1?(因为两端都不栽树,所以植树的棵数比间隔数少1)为什么要乘2?(因为是在
两馆间的小路两旁栽树,所以要乘2)
(7)比较与例1 的不同。
先分组讨论,再集体交流。
例1 是两端都要栽树,所以棵数比间隔数多1。
例2 是两端都不栽树,所以棵数比间隔数少1。
(8)教师讲解,帮助学生理解。
教师讲述:相邻两棵树之间的距离是3 米,60 米里面有多少个3 米,就是有多少个间隔。
我们知道大象馆和猴山在路两端,也就是说两端不栽树,所以间隔数就比植树的棵数多1。
2.小游戏。
这里有一张彩纸条,老师想把它等分成2 份,需要用剪刀剪几次?(一次)
请你们拿出彩纸条,分别把它们分成3 段、4 段、5 段,看一看要剪几次。
看一看能得出什么结论。
总结:剪的次数比纸条的段数少1。
植树问题(二)
两端都不栽:棵数=全长÷间距-1
全长=间距×(棵数+1)
60÷3=20 20-1=19(棵) 19×2=38(棵)
1.这节课上得非常顺利,效果也不错。注重渗透数学思想方法,培养了学生的数学思维能
力和解决问题的能力。但总觉得有些程序化,在引导学生思考和操作的过程中,可以灵活地指
导学生。
2.让学生通过观察、猜测、实验、推理与交流等活动,既学会了一些解决问题的一般方
法和策略,又逐步形成了求实态度和科学精神。
3.如果在探究植树方法的规律时,再大胆地放手,让学生自主探究,效果可能会更好些。另
外,我的评价语言还不够丰富,小组合作研究的实效性还有待加强。
教材给出动物园里绿化队在大象馆和猴山之间的小路两旁栽树的问题,根据实际情况在
这条小路的两端都不栽树。解决这个问题时,教师首先给出一个学生的错误结果:“60÷3=20,
每边有20 个间隔,所以每边要栽21 棵树。”但是学生没有考虑到实际的情况,因为小路的两
端是大象馆和猴山,所以不用栽树了。教师这时提醒学生注意:“可是小路两端是……”由于
学生前面有了探索的经验,这里可以放手让学生去探索,发现当两端都不栽树时,植树的棵数
比间隔数少1,利用发现的规律再来完成例题里的计算。
植 树 问 题
两端都栽:棵数=间隔数+1 两端都不栽:棵数=间隔数-1
植树问题(三)。(教材第106 页)
1.使学生理解并掌握“植树问题”的基本解题方法,并能解决一些实际生活中存在的与
“植树”有关的问题。
2.掌握“植树问题”的第三种情况:“关于一个封闭图形的植树问题”。
3.培养学生认真审题的学习习惯。
重点:掌握封闭图形中“植树问题”的解题方法。
难点:掌握已知棵数和全长,求间距的方法,以及已知棵数和间距,求全长的方法。
围棋棋盘。
1.回忆。
前两节课都学习了有关“植树问题”的哪些情况?
根据学生的回忆内容,教师整理板书:
(1)两端都植树,则棵数比间隔数多1。
全长、棵数、间距之间的关系:
棵数=全长÷间距+1 间距=全长÷(棵数-1) 全长=间距×(棵数-1)
(2)一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,也就是棵数与间隔数相等,全长、棵数、
间距之间的关系:
棵数=全长÷间距 间距=全长÷棵数 全长=间距×棵数
(3)两端都不植树,则棵数比间隔数少1。
棵数=全长÷间距-1 间距=全长÷(棵数+1) 全长=间距×(棵数+1)
2.设想。
你还知道有关“植树问题”的哪种情况?给同伴做一个介绍,说一说你是从哪知道或学
到的。
3.谈话。
同学们,今天我们继续来研究第三种“植树问题”,这种情况比较特殊,也很有意思,看谁
最先发现规律。
1.出示教材第106 页例3。
(1)引导学生审题,从题中知道哪些信息?
生:从题中知道张伯伯要在圆形池塘周围栽树,池塘的周长是120m,每隔10m 栽一棵,问题
是求一共要栽多少棵树。
(2)引导学生:把这类问题转化成在封闭的图形上植树的问题。
师:什么是封闭图形呢?
学生思考后回答:无论什么图形,只要起点和终点重合,即首尾相连就是封闭图形。如下
图所示:
师:观察封闭图形上的棵数与间隔数,你有什么发现?
生:棵数等于间隔数。
教师板书。
师:这道题该怎么解答呢?
生:因为圆形池塘是封闭图形,根据“棵数等于间隔数”解答。120÷10=12(棵)
师:假设周长是40 m,能栽4 棵树,如下图所示。如果把圆拉直成线段,你能发现什么?
生:间隔数与棵数相同,也就是相当于在直线上一端栽树,另一端不栽树的情况。
2.解决实际问题。
(1)完成教材第106 页“做一做”。
(2)读题,理解题意。
(3)分析数量关系。
(4)自主探究或同伴共同探究。
(5)集体交流。
(6)教师讲解,帮助学生理解。
(7)套用关系式进行验证。
(8)解答。150÷15=10(盏)
植树问题(三)
一个封闭图形的植树问题:
棵数=全长÷间距 全长=间距×棵数
1.整节课,每一环节我都设计让学生动手操作,合作交流。学生在不断地操作和交流中,经
历观察、发现和感受的全过程,学到了解决问题的方法,并获得了更深层次的情感体验。
2.通过创设学生身边的情境,灵活运用所学的知识,巧妙地解决了生活中的问题,同时又培
养了学生从多角度思考的能力。
这节课是在前两节课的基础上,让学生明白封闭图形的植树问题。教材通过直观的方式,
帮学生解决这类问题,在学生理解的基础上,让他们自主探索这种植树问题中包含的规律。即
栽树的棵数正好等于间隔数。
植树问题存在的几种情况
这几天我们共同研究了“植树问题”,想一想,“植树问题”存在几种情况,它们的关系
是怎样的呢?
1.不封闭的情况。
(1)两端都植树: 棵数=全长÷间距+1
间距=全长÷(棵数-1)
全长=间距×(棵数-1)
(2)一端植树: 全长=间距×棵数
棵数=全长÷间距
间距=全长÷棵数
(3)两端都不植树: 棵数=间隔数-1=全长÷间距-1 间距=全长÷(棵数+1)
2.封闭的情况。
棵数=间隔数=周长÷间距
关于“植树问题”的练习。(教材第107、108 页)
1.使学生能够根据实际条件,解决“植树问题”。
2.熟练运用解决“植树问题”的方法。
3.培养学生研究问题的科学素养。
重点:能根据条件研究计算方法。
难点:熟练运用解决“植树问题”的方法。
练习投影片。
同学们,今天我们用这几天学习的知识来解决一些生活中的实际问题。
1.解决实际问题。
(1)板书:
五(1)班同学办安全小报,全班48 人每人展示一张。在每张作品的四个角都钉上图钉,一
共需要多少个图钉?
(2)读题,理解题意。
(3)分小组讨论,制订方案。
学生动手试一试。
小组讨论,看一看能得出什么结论。
重点是根据条件研究计算方法。
(4)分小组汇报设计方案。
根据不同的方案进行计算。
①共1 行,每行48 张。列式:(1+1)×(48+1)=98(个)
②共2 行,每行24 张。列式:(2+1)×(24+1)=75(个)
③共3 行,每行16 张。列式:(3+1)×(16+1)=68(个)
④共4 行,每行12 张。列式:(4+1)×(12+1)=65(个)
⑤共6 行,每行8 张。 列式:(6+1)×(8+1)=63(个)
还有其他方法吗?
最简单的方法是48×4=192(个)。
但是,这种方法比较浪费图钉,生活中一般不会采用这种方法。
(5)说一说,你会选择哪种方法布置展板。
(6)观察算式,发现规律。
2.拓展。
(1)板书练习。
李明上楼,从第一层到第三层要走36 级台阶。如果从第一层走到第六层,需要走多少级
台阶?(各层之间台阶数相同)
(2)理解题意。
(3)尝试解答。
(4)交流反馈。
(5)教师讲解,帮助学生理解。
讲述:我们把从第一层到第二层看作1 个间隔,第二层到第三层看作1 个间隔,所以李明从
第一层到第三层共走了2 个间隔,根据“植树问题”的数量关系,可求出每相邻两层之间的台
阶数为36÷(3-1)=18(级)。而从第一层到第六层共走了5 个间隔,根据“植树问题”的数量关
系可得,18×(6-1)=90(级)。
(6)归纳。
这道题从表面看并不是“植树问题”,但是我们把层数看成棵数,可以抽象成为两端都植
树的“植树问题”。
