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高中数学|切线送来一个角平分:焦点到渐近线的距离就是 b
靖競｜高中数学
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01导语
这道题只有两问，但每一步都在”报数”：焦点到渐近线的距离是，懂行的同学一眼就知道这是在告诉你b；第二问的切线加角平分，看着唬人，其实把切点算出来之后，两个单位向量一加就收工。孩子如果在这题上卡壳，多半卡在”焦点到渐近线的距离”这个冷门距离公式上。
02原题
已知双曲线的左焦点F到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF的斜率为．
1.求双曲线的标准方程；
2.过点P的直线与双曲线相切于点B，求证：PF平分∠ AFB．
答案
1.，即；(2)P(1,1)，切点B(2,3)，直线PF的斜率恰为∠ AFB平分线的斜率，故PF平分∠ AFB（证明见解析）．
03解析
第一问：焦点到渐近线的距离，算出来就是b。
设左焦点F(−c,0)。渐近线，即bx−ay=0。焦点到它的距离
最后一步用了a²+b²=c²。这是双曲线的固定常识：焦点到渐近线的距离恒等于b，命题人给就是在报。由焦距2c=4得c=2，于是a²=c²−b²=4−3=1，双曲线方程为
且右顶点A(1,0)，左焦点F(−2,0)。复核：F(−2,0)到的距离为，与题设相符。
第二问：先把P和切点B都算实，再用单位向量一锤定音。
P在直线x=1上，且：直线PF即，令x=1得y=1，所以P(1,1)。
设切点B(x₀,y₀)。双曲线在点B处的切线为
这条切线过P(1,1)，代入得，即y₀=3(x₀−1)。又B在双曲线上：
解得x₀=1或x₀=2。x₀=1时y₀=0，切点是A本身（切线x=1恰好竖直穿过P），此时∠ AFB退化，不合题意；故取B(2,3)，切线为2x−y=1。复核三点一线：B(2,3)满足，切线过B：4−3=1，过P：2−1=1，全对得上。
最后证平分。两个单位向量一加就是角平分线的方向：
两者之和与(3,1)同向——这是∠ AFB内角平分线的方向。而，斜率恰为，且，说明射线FP确实夹在FA与FB之间。所以FP平分∠ AFB，即PF平分∠ AFB．
换条路复核：；设平分线斜率为t，由解得3t²+8t−3=0，（负根舍去），与完全一致。
04思维升华
这条题藏着三件值得带走的兵器。
其一，焦点到渐近线的距离恒等于b。推导只要一行：距离。对任意双曲线都成立，命题人报距离，就是在报b；反过来想给b找几何意义，这也是现成的出题素材。
其二，两个单位向量之和指向内角平分线。这是解析几何里证角平分最省力的套路：不用真求角、不用作对称点，把两条射线的方向各除以长度再相加，与谁同向谁就是平分线。菱形对角线平分顶角，是这招最直观的几何版本。
其三，过一点向双曲线引切线有两条，别漏掉退化那条。本题过P的两条切线，一条切于A（切线x=1，竖直），一条切于B(2,3)。题面说”相切于点B“，就是在替你排除切于A的退化情形——审题时把这层意思读出来，角平分的证明才有落点。
