曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.4 空间角与距离、空间向量及应用
五年高考
考点一 空间角与距离
1.(2022全国甲,理7,文9,5分,基础性)在长方体ABCD-A B C D 中,已知B D与平面
1 1 1 1 1
ABCD和平面AA B B所成的角均为30°,则( )
1 1
A.AB=2AD
B.AB与平面AB C D所成的角为30°
1 1
C.AC=CB
1
D.B D与平面BB C C所成的角为45°
1 1 1
答案 D
2.(多选)(2022新高考Ⅰ,9,5分,综合性)已知正方体ABCD-A B C D ,则( )
1 1 1 1
A.直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B.直线BC 与CA 所成的角为90°
1 1
C.直线BC 与平面BB D D所成的角为45°
1 1 1
D.直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1
答案 ABD
3.(2020新高考Ⅰ,4,5分,应用性)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直
的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的
纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的
平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则
晷针与点A处的水平面所成角为( )
A.20° B.40° C.50° D.90°
答案 B
4.(2021全国乙,理5,文10,5分,综合性)在正方体ABCD-A B C D 中,P为B D 的中点,则
1 1 1 1 1 1
直线PB与AD 所成的角为( )
1
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
答案 D
5.(2022全国甲理,18,12分,综合性)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)证明:过D作DH⊥AB,垂足为H,则AH=
1 √3 3
,又AD=1,所 以D=H .易 知B=H,所 以B=D√3,在△ABD中,AD2+BD2=AB2,所
2 2 2
以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD,又因为PD∩AD=D,所以
BD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA.
(2)解法一:连接PH.
设点D到平面PAB的距离为h,
1 1
由V =V 得 S ·h= S ·PD,
D-PAB P-ABD
3
△PAB
3
△ABD
所以h=S
△ABD
·PD.
S
△PAB
1 √3 √3
由(1)易知S = ×2× = ,
△ABD
2 2 2
由PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,DH⊂平面ABCD,得PD⊥AB,PD⊥DH,又
AB⊥DH,DH∩PD=D,所以AB⊥平面PDH,所以AB⊥PH.
√3 √15
在Rt△PDH中,PH= +3= ,
4 2
1 √15 √15
∴S = ×2× = ,
△PAB
2 2 2
√3
×√3
2 3 √15
∴h= = = .
√15 √15 5
2
设直线PD与平面PAB所成的角为θ,则
ℎ √15 1 √5
sin θ= = × = .
PD 5 √3 5曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
√5
故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为 .
5
解法二:由(1)知BD⊥平面PAD,
∴DA,DB,DP两两垂直.
以D为原点,分别以⃗DA,⃗DB,
⃗DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,√3),A(1,0,0),B(0,√3
0),∴ ), ), ,0).
⃗DP=(0,0,√3 ⃗PA=(1,0,−√3 ⃗AB=(−1,√3
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则{n·⃗PA=0, { x-√3z=0,
即
n·⃗AB=0, -x+√3 y=0.
令x=√3,则y=1,z=1,
∴平面PAB的一个法向量为n=(√3,1,1).
设直线PD与平面PAB所成的角为θ,
则sin θ=|cos< |⃗DP·n| √3 √5.
⃗DP,n>|= = =
|⃗DP|·|n| √3×√5 5
√5
故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为 .
5
6.(2020课标Ⅱ理,20,12分,综合性)如图,已知三棱柱ABC-A B C 的底面是正三角形,侧面
1 1 1
BB C C是矩形,M,N分别为BC,B C 的中点,P为AM上一点.过B C 和P的平面交AB
1 1 1 1 1 1
于E,交AC于F.
(1)证明:AA 1∥MN,且平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F;
(2)设O为△A
1
B
1
C
1
的中心.若AO∥平面EB
1
C
1
F,且AO=AB,求直线B
1
E与平面A
1
AMN所
成角的正弦值.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)证明:因为M,N分别为BC,B
1
C
1
的中点,所以MN∥CC
1
.又由已知得AA 1∥CC
1
,故
AA 1∥MN.因为△A
1
B
1
C
1
是正三角形,所以B
1
C 1⊥A
1
N.又B
1
C 1⊥MN,故B
1
C 1⊥平面A
1
AMN.因
为B
1
C 1⊂平面EB
1
C
1
F,所以平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F.
(2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点,⃗MA的方向为x轴正方向,|
⃗MB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系M−xyz,则AB=2,AM=√3.
连接NP,则四边形AONP为平行四边形,故PM=2√3 (2√3 1 ).
,E , ,0
3 3 3
由(1)知平面A
1
AMN⊥平面ABC,作NQ⊥AM,垂足为Q,则NQ⊥平面ABC.设Q(a,0,0),则
NQ= √ (2√3 ) 2 ( √ (2√3 ) 2) ,故
4- -a ,B1 a,1, 4- -a
3 3
⃗B E= (2√3 -a,- 2 ,- √ 4- (2√3 -a ) 2) ,|⃗B E|= 2√10 .又n=(0,
1 3 3 3 1 3
(π )=cos<n,
−1,0)是平面A1AMN的 法 向,故量sin -<n,⃗B E>
2 1
n·⃗B E √10.
⃗B E>= 1 =
1 |n|·|⃗B E| 10
1
√10
所以直线B E与平面A AMN所成角的正弦值为 .
1 1
10曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
考点二 空间向量及其应用
1.(2013山东,4,5分,综合性)已知三棱柱ABC-A B C 的侧棱与底面垂直,体积为
1 1 1
9
,底面是边长为√3的正三角形.若P为底面A B C 的中心,则PA与平面ABC所成角
1 1 1
4
的大小为( )
5π π π π
A. B. C. D.
12 3 4 6
答案 B
2.(2014四川,8,5分,综合性)如图,在正方体ABCD-A B C D 中,点O为线段BD的中点.设
1 1 1 1
点P在线段CC 上,直线OP与平面A BD所成的角为α,则sin α的取值范围是( )
1 1
A.[√3 ] [√6 ]
,1 B. ,1
3 3
C.[√6 2√2] [2√2 ]
, D. ,1
3 3 3
答案 B
3.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,综合性)在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=AA =1,点P满足
1 1 1 1
⃗BP
=λ
⃗BC
+μ
⃗BB
,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
1
A.当λ=1时,△AB
1
P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A BC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得A
1
P⊥BP
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得A
1
B⊥平面AB
1
P
2
答案 BD
4.(2017课标Ⅲ理,16,5分,综合性)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形
ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)
答案 ②③
5.(2022全国乙理,18,12分,综合性)如图,四面体ABCD
中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD;曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所
成的角的正弦值.
解析 (1)证明:因为AD=CD,E为AC的中点,所以DE⊥AC.
因为∠ADB=∠BDC,AD=CD,BD=BD,所以△ADB≌△CDB,所以AB=CB,又E为AC的中点,
所以BE⊥AC.
又DE,BE⊂平面BED,且DE∩BE=E,
所以AC⊥平面BED,又AC⊂平面ACD,
所以平面ACD⊥平面BED.
(2)由题意及(1)知AB=BC=2,又∠ACB=60°,所以AC=2,BE=√3.
因为AD⊥DC,E为AC的中点,所以DE=1.
所以DE2+BE2=BD2,则DE⊥BE.
连接EF,因为AC⊥平面BED,EF⊂平面BED,
1
所以AC⊥EF,所以S
△AFC
=
2
AC·EF=EF.
√3
当EF⊥BD时,EF最小,即△AFC的面积最小,此时EF= .
2
如图,以E为坐标原点,⃗EA,⃗EB,
⃗ED的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系E−xyz,
( √3 3),
则C(−1,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),D(0,0,1),F 0, ,
4 4
所以 =(-1,0,1), ,1), ( √3 3).
⃗AD ⃗BD=(0,−√3 ⃗CF= 1, ,
4 4
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
则{⃗AD·n=0, {-x+z=0,
即
⃗BD·n=0, -√3 y+z=0,
令y=1,得n=(√3,1,√3).
设CF与平面ABD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<n, |n·⃗CF| 4√3,
⃗CF>|= =
|n||⃗CF| 7
4√3
所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为 .
7曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
6.(2022新高考Ⅰ,19,12分,综合性)如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积为4,△A
1
BC的面积
为2√2.
(1)求A到平面A BC的距离;
1
(2)设D为A
1
C的中点,AA
1
=AB,平面A
1
BC⊥平面ABB
1
A
1
,求二面角A-BD-C的正弦值.
1 1
解析 (1)设A到平面A BC的距离为d.因为V =V = S ·AA = S
1 A 1 -ABC A-A 1 BC 3 △ABC 1 3 △A 1 BC
4
1 4 3×
·d= ·V = , 3 .
3 ABC-A 1 B 1 C 1 3 S △A 1 BC =2√2,所以d= 2√2 =√2
(2)解法一(几何法):由题意知,二面角A-BD-A 的平面角与二面角A-BD-C的平面角互补,
1
故两二面角的正弦值相等.下求二面角A-BD-A 的正弦值.
1
如图,过A作AH⊥BD于H,取A
1
B的中点O,连接AO,OH.
因为AA
1
=AB,所以AO⊥A
1
B,
又因为平面A
1
BC⊥平面ABB
1
A
1
,平面A
1
BC∩平面ABB
1
A
1
=A
1
B,AO⊂平面ABB
1
A
1
,所以
AO⊥平面A
1
BC.
又BD,BC⊂平面A
1
BC,所以AO⊥BC,AO⊥BD,又AO∩AH=A,所以BD⊥平面AOH,因为
OH⊂平面AOH,所以OH⊥BD,则∠AHO是二面角A-BD-A
1
的平面角.
由直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
得AA 1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以AA 1⊥BC,
又AA
1
∩AO=A,AA
1
,AO⊂平面ABB
1
A
1
,
所以BC⊥平面ABB
1
A
1
.
因为A
1
B,AB⊂平面ABB
1
A
1
,所以BC⊥A
1
B,BC⊥AB.
由(1)知AO=d=√2,所 以A=BAA1=2,A1B=2√2,
