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1
角平分线的性质和判定 题集【B】
1. 尺规作图——角平分线
（1 ）
1
2
（2 ）
1.
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
．
作出
的平分线
；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
若
的平分线
与
交于点
.
已知
，
，求
的面积．
已知
三边
，
，
，求
的长．（提示：用含、、的
代数式表示）
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
画图见解析.
.
.
如图：
作
于
，如图，
∵
平分
，
，
，
∴
，
∴
.
∵
，
，
∴
，
又∵
，
∴
.
2
【标注】【方法】等面积法
【知识点】作角平分线
【知识点】角分线性质定理
【能力】推理论证能力
1
2
3
（1 ）
（2 ）
2.
1
2
3
（1 ）
【解析】
已知：如图，线段
和射线
交于点
．
利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
在射线
上作一点
，使
．
作
的角平分线交
于点
．
在射线
上作一点
，使
，连接
．
在（）所作的图形中，直接写出线段
与
的数量关系．
【答案】
1
2
3
（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
画图见解析．
．
3
（2 ）
【标注】
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
∴
．
【知识点】按要求作直线、射线和线段
【知识点】角的平分线及等分线的定义
【知识点】作角平分线
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
3. 如图，已知
．
小明按如下步骤作图：
①以点
为圆心，任意长为半径画弧，交
于点
，交
于点
．
②分别以
，
为圆心，大于
长为半径画弧，在
的内部两弧交于点
．
③画射线
．
所以射线
为所求
的平分线．
根据上述作图步骤，回答下列问题：
写出一个正确的结论： ．
如果在
上任取一点
，那么点
到
、
的距离相等．
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（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
依据是： ．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
或
平分
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
或
或
平分
．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【知识点】作图依据
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
如图，
为码头，
、
两个灯塔与码头的距离相等，
，
为海岸线，一轮船从码头开出，计划
沿
的平分线航行．
用尺规作出轮船的预定航线
（保留作图痕迹）．
航行途中，轮船
与灯塔
，
的距离始终相等，试问轮船有没有偏离航线？说明你的理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
如图所示：
轮船没有偏离航线．
如图所示：
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（2 ）
【标注】
此时轮船没有偏离航线，理由如下：
由题意知：
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴此时轮船没有偏离航线．
【知识点】SSS
2. 角平分线的性质
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
如图，在
中，
，
为
的三条角平分线的交点，
，
，
，点
、
、
分别是垂足，且
，
，
，则点
到边
的距离为（ ）．
【答案】A
∵
是
三条角平分线的交点，
，
，
，
∴
，
连接
，
∴
，
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【标注】
∵
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【方法】等面积法
【思想】数形结合思想
【知识点】角分线性质定理
【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，
，
的平分线
与
的平分线
相交于点
，作
于点
，若
，则点
到
与
的距离之和为（ ）．
【答案】D
如图，过点
作
于
，作
于
，
∵
，
分别平分
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
、
、
三点共线，
∴
与
之间的距离
．
【知识点】角分线性质定理
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3.
【解析】
【标注】
如图，
中，
，
，
，
和
的平分线交于点，
于
，则
的长为 ．
【答案】
过分别作
、
的垂线于
、
，
∵
，
平分
，
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
∵
，
又∵
，
∴
，
．
故答案为：
．
【知识点】角分线性质定理
【知识点】AAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【能力】运算能力
4. 如图，在
中，
，以顶点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交
，
于点
，
，再分别以点
，
为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点
，作射线
交边
于点
，若
，
，则
的面积是（ ）．
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A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
解法一：由题意得
是
的平分线，过点
作
于
，
又∵
，
∴
，
∴
的面积
．
故选．
解法二：由题意可知，
平分
，过点
向
作垂线即可．
【知识点】三角形中的角平分线应用；角分线有关的辅助线
5. 如图，
，
，
于
，
于
．
求证：
．
证明：在
和
中，
∴
≌
（ ）．
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【解析】
【标注】
∴
__________
__________（ ）．
∴
是
的角平分线．
又∵
于
，
于
，
∴
（ ）．
【答案】
；
；
；
；全等三角形的对应角相等；角的内部
到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
在
和
中，
，
∴
≌
．
∴
（全等三角形的对应角相等）．
∴
是
的角平分线．
又∵
于
，
于
，
∴
（角平分线上的点到角两边距离相等）．
【知识点】SSS
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
如图，
是等腰直角三角形，
，
，
平分
，
于点
，
．
求证：
．
求
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
易证
≌
，
∴
，
∴
．
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（2 ）
【标注】
∵
，
∴
的周长为：
．
故答案为：
．
【知识点】等腰直角三角形与全等
7.
【解析】
【标注】
如图，
是
的角平分线，
，垂足为
，
，
和
的面积分
别为
和
，则
的面积为 ．
【答案】
如图，过点
作
于
，
∵
是
的角平分线，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
和
的面积分别为
和
，
∴
，
∴
．
【知识点】全等三角形的周长与面积
【知识点】全等三角形的性质
【知识点】HL
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3. 角平分线的判定
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
．小宋按如下步骤作图：
①以点
为圆心，任意长为半径画弧，交
于点
，交
于点
．
②分别以
、
为圆心，大于
长为半径画弧，在
的内部两弧交于点
．
③画射线
．所以射线
为所求
的平分线．
根据上述作图步骤，小宋的作图依据是： ．
【答案】角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上或两点确定一条直线
①角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
②两点确定一条直线．
【知识点】作图依据
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，
中，
，
为
外一点，且
，
交
于
，
于
．
求证：
．
求证：
平分
的外角．
求
的值．
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（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
．
∵
，
而
，
∴
．
过点
作
，交
的延长线于点
，
则
，
又
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
平分
，
即
平分
的外角．
由
≌
可得，
，
∵
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】HL
【知识点】AAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】角平分线判定定理
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】三角形的外角定义及性质
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（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，
，
，点
、
分别在
、
上，若
平分
．
求证：
平分
．
若
，
，
，求
和
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
，
．
过
作
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
平分
．
在
和
中，
∴
≌
．
∴
．
同理：
．
∴
．
设
，
，
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【标注】
∴
，①
连接
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∴
，
∴
，②
由①②，解得
，
，
∴
，
．
【知识点】HL
【知识点】角平分线判定定理
【知识点】角分线性质定理
【知识点】全等三角形的对应边与角
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
4. 小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．
小明首先根据题意画出图形如下面左图．
然后他将原命题转化为：
已知：在
中，
和
的平分线交于点，求证：
是 ．
请帮小明补全命题的结论：
是 ．
结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）
作
于点
，
于点
，
于点
．
∵
平分
，
，
，
∴
（ ），
同理： ，
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（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
∴
，
又∵
，
，
∴ （ ）．
根据上述结论，完成下述作图任务：
如图，有一张矩形纸片
，上面画有一个角的两边
、，但是这个角的顶点
在纸片的
外部，试在纸片上作出
的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保
留作图痕迹，不必写作法）
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
的角平分线
角平分线上的点到角两边的距离相等 ;
;
是
的角平分线 ; 角的
内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
画图见解析．
由图可知．
作
于点
，
于点
，
于点
．
∵
平分
，
，
，
∴
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：
，
∴
，
又∵
，
，
∴
是
的角平分线．（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）．
作角平分线，并连接角平分线的交点．
图
【知识点】角平分线判定定理
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