等腰三角形的常用构造方法题集B(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第13章轴对称(1)_3.专题突破

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【等腰三角形的常用构造方法】题集【B】
1. “角平分线+平行线”→等腰
如图所示，
平分
，
，则
是等腰三角形．
如图所示，
平分
，
，则
是等腰三角形．
A. ①②③
B. ①②③④
C. ①②
D. ① 
1.
【解析】
如图，
中，
与
的平分线交于点
，过点
作
交
于点
，交
于
点
，那么下列结论：
①
和
都是等腰三角形；②
；③
的周长等于
与
的
和；④
，其中正确的有（　　）
D
【答案】A
∵
与
的平分线交于点
，
∴
，
，
2
【标注】
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
和
都是等腰三角形，故①正确，
∵
，
∴
，故②正确，
∴
的周长
，故③正确，
故答案为
．
【知识点】角分线有关的辅助线
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图所示，
和
的平分线相交于点
，过点
作
，交
于点
，交
于点
．
求证：
是等腰三角形．
求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
∵
，
∴
．
又∵
是
的角平分线，
∴
，
∴
，
∴
是等腰三角形．
∵
，
∴
．
同理：
，
∴
，
3
【标注】
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】角分线性质定理
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
3.
【解析】
【标注】
如图，
是
的
、
的角平分线的交点，
交
于
，
交
于
，若
，则
的周长是            ．
【答案】
．
【知识点】角分线性质定理
【知识点】三角形的周长与面积问题
【知识点】平行线的性质
4.
【解析】
如图，
的平分线与
的外角平分线交于
，过
作
，交
于
，交
于
．求
、
和
之间的关系并证明．
【答案】
；证明见解析．
∵
的平分线与
的外角平分线交于
，
4
【标注】
∴
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
【知识点】三角形-内外角角分线
5.
【解析】
如图，在
中，已知
，
和
的角平分线
与
相交于点
，
，
，则
的周长为            ．
【答案】
 ∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可证
，
∴
的周长
．
5
【标注】【知识点】三角形-内角角分线
6.
【解析】
【标注】
在
中，
平分
，
，垂足为
，过
作
，交
于
，若
，求线段
的长．
【答案】
．
∵
平分
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
【知识点】角平分线的相关计算问题
2. “角平分线+垂线”→等腰
利用全等三角形
判定方法，延长半角所对的直角边可得等腰三角形．
6
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
平分
，
于点
，
，若
，
，求
的长．
【答案】
．
如图，延长
交
于点
．
∵
平分
,
∴
．
∵
，
∴
∵在
和
中，
，
∴
（
）．
∴
．
．
又∵
,
．
∴
．
∴
，
∴
．
【知识点】截取构对称
7
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，
为
内一点，
平分
，
，垂足为点
，交
于点
，
，
，
，则
的长为（   ）．
【答案】A
∵
平分
，
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
∵
，
，
∴
．
故选：
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
（1 ）
（2 ）
3. 在
中，
，
的平分线
交
于点
，点
为射线
上一动点，过点
作直线
于
，分别交直线
、
、
于点
、
、
．
当直线经过点
时（如图），请证明：
．
图
当
是
中点时（如图），请证明：
．
8
（3 ）
（1 ）
【解析】
图
在点
运动过程中（利用备用图探究），请直接写出
、
、
三条线段之间的数量关
系．
备用图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
答案见解析．
连接
，
∵直线
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
∴
是
的垂直平分线，
9
（2 ）
（3 ）
【标注】
∴
，∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
过点
作
交
于点
，
由（）可得
，
，
，
∴
，
，
过点
作
交直线于点
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
是
的中点，
∴
，
在
和
中，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
当点
在线段
上时，
，
当点
在线段
的延长线上时，
，
当点
在线段
的延长线上时，
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
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3. “中线+垂线”（垂直平分线）→等腰
利用线段垂直平分线的性质，连接中垂线上的点与线段端点可得等腰三角形．
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
如图，
，点
是
，
垂直平分线的交点，则
的度数是（    ）．
【答案】D
连接
、
，
∵
，
∴
，
∵
是
，
垂直平分线的交点，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
故选
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
2. 如图，
中，
垂直平分
交
于
，
，
，则
            ．
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【解析】
【标注】
【答案】
∵
垂直平分
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
3.
【解析】
如图，在
中，
，
，
为
的垂直平分线，交
于点
，交
于点
．求证：
．
【答案】证明见解析．
连接
，
为
的垂直平分线，
，
又
，
，
，
，
，
．
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【标注】【知识点】等腰三角形的性质-三线合一