构造等边三角形解题（二）题集B(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第13章轴对称(1)_3.专题突破

1
【构造等边三角形解题（二）】题集【B】
出现30°或60°构造等边
【技巧点拨】：
如若已知条件涉及到
角或
角，构造等边三角形会出现对称，转移角，转移边，
这样会给解题带来方便．
常见图形如下：
已知
角（或
）构造等边实际上也是利用截长或补短构造等边三角形．
 
（1 ）
（2 ）
1. 如图，
中，
，
，
．
求证：
．
作
关于
的轴对称图形
，连接
，
，
，请补全图形，并直接写出
的度数为            ．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
2
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
以
为边作等边三角形
，连接
．
在
和
中，
，∴
≌
．
∴
．∴
，∴
．
又∵
，
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
∵
，
，∴
．
在
和
中，
，∴
≌
．
∴
，
，∴
．
在
和
中，
，∴
≌
．
∴
．
【能力】推理论证能力
【知识点】SAS
【知识点】全等三角形的性质
2.
中，
，
为
内一点，
，
，求
的度数．
3
【解析】
【标注】
【答案】
．
以
的角平分线为对称轴做对称，点
对称到点
连
，
，
，
由题意，
又
∴
∴
为正三角形
∵
，
∴
∴
∴
≌
∴
∴
．
故答案为：
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
3. 在
中，
，
为
形内一点，
，
，
求
的度数．
4
【解析】
【标注】
【答案】
．
如图，设点
为点
关于
的对称点，连
、
、
、
，
由
，
，
可知
，
，
则
为正三角形，
由
知，
，
由
，
可知
为正三角形，
有
，
由
，可知点
与点
关于
对称，
故
，
故答案为：
．
【知识点】等边三角形的构造
4.
【解析】
在
中，
，
为三角形内一点，
，求
的度数．
【答案】
．
5
【标注】
以
为边在
下方构造等边
，连
、
，
则
，
∴易证：
≌
，
∴
，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的构造
5.
【解析】
如图，
，
，
，若
，则
            ．
【答案】
延长
到
，使
是正三角形，连接
．
∵
，
6
【标注】
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的构造
（1 ）
1
2
（2 ）
6.
（1 ）
1
（2 ）
【解析】
在
中，
平分
．（
）
如图，当点
在
边上时，若
，
，请直接写出
，
和
之间的数量关系．
图
如图，当点
在
内部，且
时．
图
若
，直接写出
，
和
之间的数量关系，并写出结论成立的思
路．
若
，
，请直接写出
的度数．（用含的式子表
示）
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
．
．
延长
到点
，使
，连接
，
，
∵
平分
，
∴
，
7
2
【标注】
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∵
，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
．
．理由如下：
同①，延长
到点
，使
，连接
，
，
∵
，
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
为等边三角形．
∵
，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】截长补短