构造等边三角形解题（二）题集A(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第13章轴对称(1)_3.专题突破

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【构造等边三角形解题（二）】题集【A】
利用截长补短构造等边
【技巧点拨】：
如若已知条件涉及到
角或
角，构造等边三角形会出现对称，转移角，转移边，
这样会给解题带来方便．
常见图形如下：
已知
角（或
）构造等边实际上也是利用截长或补短构造等边三角形．
 
1.
【解析】
如图，
，
，
，若
，则
            ．
【答案】
延长
到
，使
是正三角形，连接
．
2
【标注】
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形的构造
（1 ）
（2 ）
2.
是等边三角形，
是三角形一动点，满足
．
如图，当
点在
的垂直平分线上时，求证：
．
如图，当
点不在
的垂直平分线上时，（）中的结论是否仍然成立？
3
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
成立．
∵
点在
的垂直平分线上，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
成立．
理由：在
上截取
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形与全等
3. 如图，
是等边
的外角
内部的一条射线，点
关于
的对称点为
，连接
、
、
，其中
、
分别交射线
于点
、
．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
依题意补全图形．
若
，求
的大小（用含的式子表示）．
用等式表示线段
、
与
之间的数量关系，并证明．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析． 
． 
结论：
，证明见解析．
如图所示：
∵点
与点
关于
的对称，
∴
是
的垂直平分线，
∴
．
∵
，
∴
．
∵等边
，
∴
，
．
．
∴
．
结论：
．
本题解法不唯一，如：
在
上截取
使
，连接
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
5
【标注】
∴
．
∴
．
∵
，
∴
是等边三角形．
∴
．
∴
．
∴在
和
中，
．
∴
≌
．
∴
．
∴
．
【知识点】作轴对称变换
【知识点】轴对称的性质
【知识点】AAS
【知识点】30°特殊角的性质应用
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】三角形内角和的应用
1
2
（1 ）
（2 ）
4.
是等边三角形，
，点
关于
对称的点为
，点
是直线
上的一个动点，连接
，作
交射线
于点
若点
在线段
上（不与点
，点
重合）．
如图，若点
是线段
的中点，则
的长为            ．
图
如图，点
是线段
上任意一点，求证：
．
图
若点
在线段
的延长线上．
6
1
2
1
2
（1 ）
【解析】
图
依题意补全图．
直接写出线段
，
，
之间的数量关系为：            ．
【答案】
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
证明见解析．
画图见解析．
∵
是关于
对称的点且
为等边三角形，
∴
，
又∵
为
中点，
∴
，
∴
，
∴
．
作
交
于点
，如图，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵点
与点
关于
对称，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
7
1
2
（2 ）
【标注】
，
∴
≌
（
），
∴
．
补全图形如图所示：
，
如图，连接
，
由（）中可知
，且
，
∴
是等边三角形，
∴
，
又∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
，
又∵
，
∴
．
【知识点】等边三角形与全等
（1 ）
（2 ）
5. 在
中，
平分
．（
）
如图，当点
在
边上时，若
，
，请直接写出
，
和
之间的数量关系．
图
如图，当点
在
内部，且
时．
8
1
2
（1 ）
1
2
（2 ）
【解析】
图
若
，直接写出
，
和
之间的数量关系，并写出结论成立的思
路．
若
，
，请直接写出
的度数．（用含的式子表
示）
【答案】（1 ）
1
2
（2 ）
．
．
．
．
延长
到点
，使
，连接
，
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
≌
（
），
∴
，
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∵
，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
．
．理由如下：
同①，延长
到点
，使
，连接
，
，
∵
，
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
∴
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【标注】
．
∵
，
∴
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
为等边三角形．
∵
，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】截长补短