构造等边三角形解题（一）题集A(教师版)_《初中数学四维三难教材同步刷题集(2025人教版)》_第13章轴对称(1)_3.专题突破

1
【构造等边三角形解题（一）】题集【A】
【经典模型】：等边+平行  必出等边三角形
【注意】：
①该模型运用了平行线的性质，转移了角度条件
②利用等边三角形特有的性质：三边相等、三个角相等，转移边、转移角，辅助与全等
A.
B.
C.
D. 不能确定
1.
【解析】
如图，过边长为的等边
的边
上一点
，作
于点
，
为
延长线上一点，当
时，连
交
边于点
，则
的长为（   ）．
【答案】B
过
作
交
于
．
∵
，
是等边三角形，
∴
，
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∵在
和
中，
2
【标注】
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】AAS
【知识点】全等三角形的对应边与角
【能力】推理论证能力
A.
B.
C.
D. 不能确定
2.
【解析】
如图，过边长为的等边
的边
上一点
，作
于
，
为
线上一点，当
时，连接
交边
于点
，则
的长为（   ）．
【答案】B
过
作
交
于
，
3
【标注】
∵
，
是等边三角形，
∴
，
，
，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为．
【知识点】等边三角形的性质
【知识点】AAS
（1 ）
（2 ）
3. 如图，在
中，
，
，点
为
中点，点
为
边上一动点，
，延长
交
的延长线于点
．
求证：
是等边三角形．
若
，求
的长．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
∵
，
∴
，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形．
过
点作
交
于
，
∴
，
∵
为
的中点，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】ASA
5
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在等边
中，
是
上一点，
是
延长线上一点，
，
交
于点
．
求证：
．
过点
作
于点
，求
．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
．
作
交
于点
，则
．
∴
为等边三角形，
∴
，
∴在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
由（）知，
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
【知识点】等边三角形与全等
（1 ）
5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形
中，点
在
上，点
在
的延长线上，且
，如图．试确定线段
与
的大小关系，并说明理
由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索结论
6
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
当点
为
的中点时，如图①，确定线段
与
的大小关系．请你直接写出结论：
            
（填“
”，“
”或“
”）．
图
特例启发，解答题目
解：题目中，
与
的大小关系是：
            
（填“
”，“
”或“
”）．
理由如下：如图②，过点
作
，交
于点
，（请你完成以下解答过程）．
图
拓展结论，设计新题
在等边三角形
中，点
在直线
上，点
在直线
上，且
．若
的
边长为，
，求
的长（请你直接写出结果）．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
的长是或．
．
在等边
中，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
7
（3 ）
【标注】
∴
≌
，
∴
，
∴
．
的长是或．
【知识点】等边三角形与全等
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
【解析】
已知直线
，相交于点
，点
，
分别为直线
，上的点，
，
，点
在直线
上的一个动点，点
是直线上的一个动点，运动过程中始终满足
．
如图，当点
运动到线段
的中点，点
在线段
的延长线上时，求
的长．
如图，当点
在线段
上运动，点
在线段
的延长线上时，试确定线段
与
的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
，
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
8
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
∴
．
，理由如下：
过点
作
交
于点
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
≌
（
）
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
7. 在等边三角形
中，
为直线
上一点，连接
，
与直线
交于点
，
．
如图，
，点
是
的中点，求
的长．
点
是
边上任意一点（不与
边的中点和端点重合），依题意，将图补全，判断
与
的数量关系并证明．
9
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
点
不在线段
上，请在图中画出符合条件的一个图形，并直接写出
与
的数量关
系．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
是等边三角形，点
是
的中点，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
，理由如下：
如图，过点
作
，交
于
，
则
，
，
，
∵
，
∴
，
，
10
（3 ）
【标注】
∴
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
,
∵
,
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
，理由如下：
过
作
，
∵
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∴
．
【知识点】等边三角形与全等