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1
等腰三角形 题集【A】
1. 等腰三角形的定义及性质
【注意】
．等腰三角形两腰相等是证明两底角相等的依据；“三线合一”是证明两角相等、两线段相等及两直
线互相垂直的依据；
．等腰三角形中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个条件中已知一个条件可直接得到另外
两个条件
性质
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等
角”）
性质
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
上的高相互重合
（简写成“三线合一”）
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
用一条长
的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为
，第二条边是第一条边的
倍少
．
请用含的式子表示第三条边的长度．
若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
，
．
第一条边：，
第二条边：
，
第三条边：
．
①若
，
，
三边长为：，，
，
无上述三角形．
②若
，
，
三边长为：，，
，
2
【标注】
无法组成三角形．
③若
，
，
三边长为
，
，．
综上，三边长为
，
，
．
【能力】运算能力
【知识点】三角形的三边关系
【知识点】判断能否构成三角形
【知识点】等腰三角形的定义
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，在
和
中，
，
两点分别在
，
上，
与
相交于
点，若
，
，则
的度数为（ ）．
【答案】C
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
3. 如图，
是一钢架，
，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管
、
、
、
，添加的钢管长度都与
相等，则最多能添加这样的钢管（ ）根．
3
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
∵由三角形的内角和为
，
∴构成的等腰三角形的底角必须小于
，
∵当添加第五根钢管时，底角为
，
∴不能再继续添加．
故选：．
【知识点】三角形的外角定义及性质
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
4.
【解析】
【标注】
如图，在等腰三角形
中，
是
边上的高，
，
，点
、
是
上的两点，
则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
∵在等腰三角形
中，
是
边上的高，
∴
平分
（三线合一），
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的对称性
阴影
4
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，
中，
为
上一点，且
，设
，
，则图中的
与的关系为（ ）．
【答案】B
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
6.
【解析】
如图，在
中，
是
边上的一点，
，
，求
的度数．
【答案】
．
∵
，
∴设
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
5
【标注】
∴
，
∴
．
【知识点】三角形内角和的应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段、，利用尺规作图作
使所画线段分
别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，
所以：
为所求作的三角形
请你回答下列问题：
在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是__________．（只填序号）
①以点
为圆心，
的长为半径画弧，交射线
于点
．
②画直线
．
③分别以点
，
为圆心，大于线段
的长为半径画弧，交于点
．
④以点
为圆心，线段的长为半径画弧，交直线
于点
，联结
⑤画射线
，并在
上截取线段
．
小勇以线段为直角边，线段为斜边的理由是 ．
的理由是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
⑤①③②④
在直角三角形中，斜边大于直角边
等腰三角形的三线合一
⑤①③②④．
在直角三角形中，斜边大于直角边．
等腰三角形的三线合一．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
6
8.
【解析】
【标注】
某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点
处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺
的直角顶点．由此得出房梁是水平的（即挂铅锤的线绳与房梁垂直）．用到的数学原理是 ．
【答案】等腰三角形三线合一
∵
是个等腰三角形，
∴
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴
．
即等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
9.
【解析】
如图，在
中，
，过点
作
于
，过点
作
的平行线交
于
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
，
∵
，
于点
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
7
【标注】
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
10.
【解析】
【标注】
如图，已知在
中，
，
的垂直平分线
交
于点
，
的垂直平分线正好
经过点
，与
相交于点
，求
的度数．
【答案】
．
∵
是等腰三角形，
∴
①，
∵
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∵
的垂直平分线正好经过点
，与
相交于点
，
可知
是等腰三角形，
∴
是
的平分线，
∴
，
即
②，
①②联立得，
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
11. 如图，在
中，
、
分别垂直平分
和
，交
于
、
两点，
与
相交于
点
．
8
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
若
的周长为
，求
的长．
若
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵
、
分别垂直平分
和
，
∴
，
，
∴
的周长
，
∵
的周长为
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
【知识点】已知两边求第三边或周长
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【能力】运算能力
12. 已知：如图，在
中，
，
是
的角平分线，
平分
，交
与点
，
．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
求
的度数．
如果
，求
的长度．
判断
与
的位置关系： ．
依据是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
垂直 ; 等腰三角形三线合一
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
又∵
，
∴
．
，
依据是等腰三角形三线合一，
证：
，
∴
．
∵
平分
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
10
2. 等腰三角形的判定
【注意】：
（1）判定等腰三角形的定理只有上述两种
①两条边等→等腰；②等角对等边→等腰
（2）如若知道“顶角角分线、底边垂线、底边中线”的任意两组，也是可以判定其为等腰三角形的，
但是，必须通过证全等来导出边等或角等才可以得到等
判定
利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等
腰三角形．
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所
对的边也相等
（简称“等角对等边”）
1.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
平分
，
为
的中点，求证：
．
【答案】证明见解析．
设
，∵
平分
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
为
中点，
∴
（三线合一）．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
11
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，点
，
在
上，
，
，
，
与
交于点
．
求证：
．
试判断
的形状，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
为等腰三角形．
∵
，
∴
，
即
．
又∵
，
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
为等腰三角形．
【知识点】全等三角形的对应边与角
（1 ）
（2 ）
3. 已知：如图，在
中，
，
的垂直平分线
交
于点
，交
于点
．
求证：
是等腰三角形．
若
，求
的度数．
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（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
若
，
的周长为
，求
的周长．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
．
的周长为
．
∵
的垂直平分线
交
于点
，
∴
，
∴
是等腰三角形．
∵
是等腰三角形，
，
∴
，
，
∴
．
∵
的垂直平分线
交
于点
，
，
∴
，
∵
的周长为
，
∴
，
∴
的周长
．
【能力】推理论证能力
【知识点】三角形的周长与面积问题
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
