文档文本内容
1
等腰三角形的性质与判定 题集
1. 等腰三角形的性质
性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
书写：∵
，
∴
（等边对等角）．
性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
书写：∵
，
，
∴
，
（三线合一）．
1.
【解析】
【标注】
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
，则等腰三角形的底角等于 ．
【答案】
或
如图，∵
，
，
于
．
图
∴
．
∴
．
如图∵
，
，
于
．
图
∴
．
∴
．
【知识点】腰上的高与腰的夹角问题
2
A.
B.
或
C.
D.
或
2.
【解析】
【标注】
已知等腰的底边
，且
，则腰
的长为（ ）．
【答案】B
∵
，
∴
或
，
同时，符合三角形的三边关系，符合题意．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，在等腰
中，
，
，
，则
（ ）．
【答案】B
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
A.
B.
C.
D.
4. 如图，
中，
，
，点
是
的中点，过点
作
交
于点
，
连接
．则
的度数为（ ）．
3
【解析】
【标注】
【答案】C
∵
为
中点，且
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，在
中，点
在
边上，
，
为
的中点，若
，则
的大小为（ ）．
【答案】C
，点
是
中点，
，
，
，
，
，
，
，
，故选 ．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
6. 如图，
，
，
的垂直平分线
交
于点
，则
．
4
【解析】
【标注】
【答案】
∵
，
，
∴
，
∵
的垂直平分线
交
于点
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
【能力】推理论证能力
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
7.
【解析】
如图，在
中，
，点
是
上一点，点
是
上一点，且
．若
，
，求
的度数．
A
B
C
D
E
【答案】
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
5
【标注】
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
A.
B.
C.
D.
8.
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
，
分别是
，
上的点，且
，
，
度数是（ ）．
【答案】B
由等腰三角形的性质可知
，
，
，
∴
．
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
9. 如图，在
中，
，且
为
上一点，
，
，则
的度数为（
）．
6
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角
A.
B.
C.
D.
10.
【解析】
【标注】
内有一点
，且
，若
，
，则
的大小
是（ ）．
【答案】A
略．
【知识点】三角形内角和的应用
7
2. 等腰三角形的判定
①利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
②判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（简称“等角对等边”）．
书写：∵
∴
（等角对等边）．
【注意】：
以后可直接由等角推出边等，进而得到等腰三角形．
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
1.
【解析】
【标注】
在
中，
和
的度数如下，其中能判定
是等腰三角形的是（ ）．
【答案】B
选项，当顶角为
时,
，当顶角为
时,
,故
选项
错误；
选项，当顶角为
时,
,故选项正确；
选项，当顶角为
时,
，当顶角为
时,
,故选项错误；
选项，当顶角为
时,
，当顶角为
时,
,故
选项错误．
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
【解析】
用一根长为
的细绳围成一个等腰三角形．
如果腰长是底边长的倍，求这个三角形各边的长．
能围成有一边的长是
的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1 ）
（2 ）
三角形的三边长分别是
，
，
．
三角形的三边长分别为
，
，
．
设较短的边长为
，则较长的边长为
，
8
（2 ）
【标注】
①若较短的边为底边，较长的边为腰，则
，
解得
，
此时三角形三边长分别为
，
，
，能组成三角形；
②若较短的边为腰，较长的边为底边，则
，
解得
，
此时三角形三边长分别为
，
，
，
∵
，
∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
综上所述，三角形的三边长分别是
，
，
．
①当
为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为
，
，
，
∵
，
∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；
②当
为等腰三角形的底边长时，三角形的三边长分别为
，
，
，
满足三角形的三边关系；
故能围成三边长分别为
，
，
的等腰三角形．
【思想】分类讨论思想
【能力】推理论证能力
【能力】运算能力
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
【知识点】等腰三角形的定义
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，
平分
，
，若
，则
等于（ ）．
【答案】D
∵
平分
，
， ∴
．
【知识点】平行线与角平分线综合
9
4.
【解析】
【标注】
如图，
与
相交于点
，连接
、
、
，①
；②
；③
；④
．
请从以上四个选项中选出两个作为条件，证明：
是等腰三角形（只需选一种情况写证明过程
即可）．
【答案】证明见解析．
①③：
≌
．
∴
．
∴
．
②③：
．
∴
．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
5.
【解析】
【标注】
如图，
，
，点
在
的垂直平分线上，若
，则
．
【答案】
∵点
在
的垂直平分线上，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∴
，
∴
．
【知识点】线段的垂直平分线的性质定理
10
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【能力】推理论证能力
6.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
如图，点
、
在
的边
上，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
过点
作
于点
．
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
7. 已知：如图，在
中，
，
，求证：
是等腰三角形．
11
【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
8.
【解析】
【标注】
如图，已知
和
相交于点
，且
，
．
求证：
．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】蝴蝶型（8字倒角）
12
9.
【解析】
【标注】
如图，
是
的边
的延长线上一点，过
作
于点
，交
于
，
．求
证：
是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
∵
，
∴
∴
，
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边
10. 下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：等腰
，使
，
，
边上的高为
．
作法：如图，
（1）作线段
；
（2）作线段
的垂直平分线
交
于点
；
（3）在射线
上顺次截取线段
，
连接
，
．
所以
即为所求作的等腰三角形．
请回答：得到
是等腰三角形的依据是：
① ：
② ．
13
【解析】
【标注】
【答案】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ; 有两条边相等的三角形是等腰三角形
由等腰三角形的判定定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定-两边相等
