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垂直平分线的性质与判定 题集【B】
1. 线段垂直平分线的性质
1. 在
中，
，边
的垂直平分线交边
于点
，边
的垂直平分线交边
于点
，连结
，
，求
(用含 的代数式表示).
（1 ）
（2 ）
（3 ）
2. 如图，
、
关于直线
对称，点
是
上一点，线段
的垂直平分线交
于点
，连接
、
．
图
求证：
．
如图，连接
交
于点
，若
，求证：
．
图
如图，若
，且点
在
的垂直平分线上，
，
，直
接写出
的长为 ．
图
3. 已知
中，
是
的平分线，
的垂直平分线交
的延长线于
．求证：
．
2
（1 ）
（2 ）
4. 已知:如图，
的角平分线与
的垂直平分线
交于点
，
，
，垂足分别
为
，
.
求证：
．
若
，
，求
的周长.
（1 ）
（2 ）
5. 如图，
的外角
的平分线交
边的垂直平分线于
点，
于
，
于
．
求证：
．
若
，
，求
的长．
（1 ）
1
（2 ）
6. 如图，
垂直平分线段
，连接
、
．
求证：
．
在
中，点
、
在直线
上，且点
、
分别是线段
、
垂直平分线上的点．
如图，若
，求
的度数．
3
2 如图，点
在
的延长线上，假设
，
，则
（直
接用、表示）．
2. 线段垂直平分线的判定
（1 ）
（2 ）
1. 已知：
是
的平分线上一点，
，
，垂足分别为
、
．
求证：
．
求证：
是
的垂直平分线．
（1 ）
（2 ）
2. 如图，已知等腰三角形
中，
，点
、
分别在边
、
上，且
，连接
、
，交于点
．
判断
与
的数量关系，并说明理由．
求证：过点
、
的直线垂直平分线段
．
3. 如图，点
是
的中点，
垂直平分
，垂足为
，
是
的中点，求证：
是
的垂直平
分线．
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（1 ）
（2 ）
4. 如图，在四边形
中，
，
，
，
是
的中点，
与
交于点
，
于
，交
于
．
求证：
≌
．
求证：
是线段
的垂直平分线．
3. 垂直平分线的尺规作图
（高中楼）
（图书馆）
（临建楼）
A. 在
、
两边高线的交点处
B. 在
、
两边中线的交点处
C. 在
、
两内角平分线的交点处
D. 在
、
两边垂直平分线的交点处
1. 如下图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点
），临建楼（图中的点
）和图书馆
（图中的点
）进行装修，装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点
，点
和点
的距离相等，则装修物资应该放置在（ ）．
（1 ）
（2 ）
2.
、
两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址
应选在哪个位置？
若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址
应选在哪个位置？请将上述两种情况下的
自来水厂厂址标出，要求利用尺规作图，并保留作图痕迹．
5
3. 已知：如图，
及两点
、
．求作：在平面内找一点
，使得
，且
点到
两边所在的直线的距离相等．
（1 ）
（2 ）
4. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
如图，已知
，
，用尺规作图的方法在
上取一点
，使得
.
甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：
甲同学的作法：如图甲，以点
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，则点
就是所求的
点．
乙同学的作法：如图乙，作线段
的垂直平分线交
于点
，则点
就是所求的点．
丙同学的作法：如图丙，以点
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，则点
就是所求的
点．
丁同学的作法：如图丁，作线段
的垂直平分线交
于点
，则点
就是所求的点．
请你判断哪位同学的作法正确 ；
这位同学作图的依据是 ．
5. 已知
，点
是边
上一点．
6
（1 ）
（2 ）
尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作线段
的垂直平分线分别交
、
于点
、
．②在
上截取
，使
，连接
、
．
判断
和
的位置关系，并给出证明．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 小明在做课本中的一道题：如图，直线，所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条
直线所成的角的度数？小明的做法是：如图，画
，量出直线与
的夹角度数，即直线，
所成角的度数．
请写出这种做法的理由．
小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图）：①以
为圆心，任意长为半径画圆弧，
分别交直线，
于点
，
．②连结
并延长交直线于点
，请直接写出图中所有与
相等的角．
请在图画板内作出“直线，所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只
要求作出图形，并保留作图痕迹．
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