文档文本内容
1
江浙尺规作图题集二
1. 江苏
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
请只用无刻度的三角板画图，不写画法，但保留作图痕迹．
在图中，画出该圆的一条直径
．
图
在图中，画弦
的中点
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图所示：
即为所求．
如图所示：
点即为所求．
【知识点】作轴对称图形的对称轴
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】圆中对称性
2
【能力】推理论证能力
【思想】转化与化归思想
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，已知
，
，⊙
与边
，
分别相切于点
，
，且圆心
在边
上．
作出⊙
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
连接
，与⊙
相交于点
，点
是
边上的一个动点，若
是
的中点，⊙
的半径为
，则
最小值 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
作线段
的垂直平分线
，
过点
画弧交点
，
过点
作线段
的垂线
，
以点
为圆心，
为半径画圆，⊙
即为所求．
如图作
于
，连接
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
设点
关于直线
的对称点为
，连接
交
于点
，连接
，此时
的
值最小，
∵
，
∴
，
∵
，
3
【标注】
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
的最小值
．
【知识点】圆与三角函数
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 在正方形网格中以点
为圆心，
为半径作圆
交网格于点
（如图（）），过点
作圆的切线交
网格于点
，以点
为圆心，
为半径作圆交网格于点
（如图（））．
问题：
求
的度数．
求证：
≌
．
可以看作是由
经过怎样的变换得到的？并判断
的形状（不用说明理
由）．
如图（），已知直线，，，且
，
，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形
，使三个顶点
，
，
，分别在直线，，上．要求写出简要的画图过程，不需
要说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
（3 ）
（4 ）
可以看作是由
绕点
顺时针旋转
得到的；
是等边三角
形．
①在直线上任取一点，记为点
，作
，垂足为点
；②作线段
的
垂直平分线，此直线记为直线；③以点
为圆心，
长为半径画圆，与直线
交于点
；④过点
作
交直线于点
，连接
；⑤以点
为圆
心，
长为半径画圆，此圆交直线于点
；⑥连接
、
，则
为所求等边三角形．
连接
，由网格可知点
在
的中垂线上，
∴
，
∵
，
∴
，即
是等边三角形．
∴
．
∵
切⊙
于点
，
∴
∴
，
在
与
中，
∵
，
．
∴
≌
．
可以看作是由
绕点
顺时针旋转
得到的．
∵
，
，
∴三角形是等边三角形，
是等边三角形．
①在直线上任取一点，记为点
，作
，垂足为点
；②作线段
的垂直平
分线，此直线记为直线；③以点
为圆心，
长为半径画圆，与直线交于点
；④
过点
作
交直线于点
，连接
；⑤以点
为圆心，
长为半径画
圆，此圆交直线于点
；⑥连接
、
，则
为所求等边三角形．
5
【标注】【知识点】圆与全等
（1 ）
（2 ）
4.
（1 ）
【解析】
解答下列问题：
已知点
为线段
上一点如图，射线
，用直尺和圆规在
上找一点
，使得
．
如图，平行四边形
中，
于
，
，
的面积和周长均
为
，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：作
的垂直平分线，以
为圆心，
为半径作圆，射线
交⊙
于点
，
点即为所求．
6
（2 ）
【标注】
∵
，
∴
，
又∵
于
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，
，
由题意得，
，
解得，
，
∵
，
∴
．
【知识点】相似三角形的性质与判定综合
5.
【解析】
设
，作图说明满足下列要求的图形：
①到点
和点
的距离都等于
的所有点组成的图形；
②到点
的距离小于
且到点
的距离大于
的所有点组成的图形．
【答案】作图见解析．
①分别以
、
为圆心，
为半径所画的两个圆交点；
如图，点
、
即为所求．
②以
为圆心，
为半径所画的圆内与以
为圆心，
为半径所画的圆外的公共部分．
7
【标注】【知识点】圆与圆
【知识点】以已知线段为直径作圆
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在
中，
，
，
．
求作⊙
，使圆心
在
上，⊙
与
、
都相切．（要求：尺规作图，不写作法，保留
作图痕迹）
求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图，⊙
为所作．
设⊙
与
相切于点
，连接
，则
，如图，
8
【标注】
∵
，
∴
为⊙
的切线，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，解得
，
即⊙
的半径为
．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在直角三角形
中，
．
求作⊙
，使点
在
边上，
为半径的⊙
与
相切（尺规作图，保留作图痕迹，不写
作法）．
若
，
，求⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
⊙
的半径为．
如图所示：
．
过点
作
于点
，
∵
是
的角平分线，
9
【标注】
∴
，点
为⊙
与
的切点，
在
中，
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
设⊙
的半径为，
∴
，
解得：
，
∴⊙
的半径为．
【知识点】圆的定义
【知识点】圆中对称性
【知识点】以已知线段为直径作圆
（1 ）
8. 如图①，
是⊙
上一点，过点 P做⊙
的两条切线，切点分别为
、
．若
， 则点
叫做⊙
的切角点．
如图②，⊙
的半径是，点
到直线的距离为，若点
是⊙
的切角点，且点
在直线
上，请用尺规作出点
．（保留作图痕迹，不写作法）
10
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图③，在
中，
，
，
，⊙
是
的内
切圆，若点
是⊙
的切角点，且点
在
的边上，求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
或．
过点
作直线的垂线，垂足即为所求的点
，如图：
对于图③，设圆
与三边的切点分别为
、
、
，并与圆心连接，设内切圆半径为，
∴
，
，
，
∵
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
在
中，
，
∴
，
对于图①，连接
、
、
，
11
【标注】
∵
，且
，
，
∴
平分
，
∴
，
∴
，即
，
类比上述分析可知，
平分
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
由上述分析可知，
，
以
为圆心，为半径画圆可以找到个点
，
当
与
重合时，符合题意，
，
，
当
在
边上时，∵
，
∴
，
，
当
在
边上时，
，
．
综上所述，
或．
【知识点】圆与三角函数
9. 已知
．
12
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
作
的外接圆⊙
．
是⊙
外一点，在⊙
上找一点
，使
与⊙
相切．（用直尺和圆规作图，保留作图痕
迹，不写作法）
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
画图见解析．
作
和
的垂直平分线，他们相交于点
，
然后以点
为圆心，
为半径作圆即可．
连接
，做
的垂直平分线得到
的中点
,
然后以点
为圆心，
为半径作圆，⊙
与⊙
相交于
，连接
即可．
【知识点】过已知点作已知圆的切线
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】作三角形的外接圆
10. 如图，在
中，
，
．
13
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
A
B
C
用尺规作⊙
，使它分别与射线
、
相切于点
、
．
求
的长．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：⊙
即为所求．
A
B
C
O
∵
，
，
，
∴
为矩形，
∵
，
∴
为正方形，
∴
，
，
∴
的长
．
【能力】抽象概括能力
【知识点】弧长公式
【知识点】过已知点作已知圆的切线
【思想】数形结合思想
11. 如图，在平面直角坐标系中，过格点
，
，
作一圆弧．
14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
x
y
O
A
B
C
画出圆弧所在圆的圆心
．
过点
画一条直线，使它与该圆弧相切．
连结
，求线段
和弧
围成的图形的面积．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
作图见解析．
作图见解析．
．
连接
，作
的垂直平分线，再利用网格得出
的垂直平分线，即可得出交
点
的位置．
x
y
O
A
B
C
如图所示：
即为所求．
x
y
O
A
B
C
连接
，
，
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，
∴
，
∴
，
扇形
15
【标注】
，
∴线段
和弧
围成的图形的面积为：
．
【知识点】扇形的面积公式
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】过已知点作已知圆的切线
【能力】运算能力
（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
图
（2 ）
【解析】
已知四边形
顶点都在
的正方形网格格点上，如图所示．
请画出四边形
的外接圆，并标明圆心
的位置．
这个圆中弦
所对的圆周角的度数是 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
如图，分别作
、
的垂直平分线，交于点
，由垂径定理可知点
即为四
边形
外接圆的圆心．
图
如图，连接
，
，则可求得
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
故可知弦
所对的圆周角为
．
故答案为：
．
16
【标注】【能力】抽象概括能力
【知识点】圆周角定理以及应用
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】等腰直角三角形的性质
（1 ）
（2 ）
（3 ）
13.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
用圆规和直尺作
的外接圆圆
（不写做法，保留作图痕迹）．
判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
若
，
，求圆
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
与⊙
相切．
．
理由如下： 连接
并延长交
于点
，
∵
，
，
∴
是
的垂直平分线，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
与⊙
相切．
∵
是
的垂直平分线，
∴
，
在
中，
，
17
【标注】
在
中，
设半径为，则
，
，
，
所以
， 解得
．
【知识点】圆与勾股
（1 ）
（2 ）
（3 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系中，
的预点坐标分别为
，
，
．
请用尺规作出
的外接圆⊙
．（保留作图痕迹，不写作法）
求出（）中外接圆圆心
的坐标．
⊙
上是否存在一点
，使得
与
相似？如果存在，请直接写出点
坐标．如果
不存在，请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
，
．
如图所示．
如图，过点
做
轴，
轴，垂足分别为
、
，连接
、
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
设
，则
．
在
中，
．
18
（3 ）
【标注】
在
中，
，
∵
，
∴
，
解得：
．
∴点
坐标为
．
如图，连接
并延长到⊙
于一点
，连接
，则
是直径，
∴
，
又∵
，
∴
，
此时连接
则
，
∴
横坐标为：
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
同理构造直角三角形
，
可得出：
，
，
∴
，
，
则
，
综上所述：⊙
上存在一点
，
，使得
与
相似．
【知识点】圆与相似
（1 ）
（2 ）
15. 已知，如图，点
为⊙
上的一点．
用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙
的内接正三角形
．（保留作图痕迹并标出
、
）．
若⊙
半径为
，则三角形
的面积为 ．
【答案】（1 ）画图见解析．
19
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
如图所示，
即为所求：
如图，连接
、
，延长
交
于点
，则
，
∵
，
∴
，
则
，
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】作圆的内接正三角形
（1 ）
（2 ）
16. 把一条
个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为个单位长度，另两条线段长都是单
位长度的整数倍．
不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形．用直尺和圆规作这些三角形的外接
圆（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．
直接写出（）中所作三角形外接圆的周长．
【答案】（1 ）画图见解析．
20
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）图外接圆周长为：
，图外接圆周长为：
．
由题意得：三角形的三边分别为：、、，、、．
即不同分段得到的三条线段能组成个不全等的三角形，如下图示：
如图，与三条边长分别为、、时，其外接圆周长为：
．
如图，与三条边长分别为、、时，其外接圆周长为：
．
等边三角形三个角均为
，
、
、
直角三角形三个对边长度比值为
．
直角三角形的外接圆圆心即斜边中点，半径为斜边的一半．
【知识点】正多边形与圆
【知识点】作三角形的外接圆
【能力】推理论证能力
（1 ）
（2 ）
17. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦
的垂直平分线交
于点
，交弦
于点
．
求作此轮片所在的⊙
（不写作法，保留作图痕迹）
若此轮片的半径为
，
，求
的长．
【答案】（1 ）画图见解析．
21
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
长为
．
如图．
连接
．
∵
垂直平分
，
∴
，
，
∴
，
设
为
，
则
长为
，
∴在
中，
，
，
解得
．
∴
长为
．
【知识点】垂径定理以及应用
【知识点】勾股定理与实际问题
【知识点】作三角形的外接圆
18. 用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
22
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
如图，已知线段
，作出所有满足条件的点
，使得
．
图
如图，已知
，作一个
，使得
，
．
图
如图，已知
和，作一个
，使得
，
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
画图见解析．
画图见解析．
如图，作
的垂直平分线，并在该直线上，下各取
处为圆心
，
，作圆
弧，
和
上，除
，
外的任意点即为所求．
图
如图所示，作
外接圆，使
，再作
的垂直平分线交圆交点
，
使
．
图
23
【标注】
按照（）的方法找到点
，再以点
为圆心，以
或
为半径作圆，再以
为圆心，
为半径作圆，两圆的交点为
或
，连接
或
交
的外接圆于点
，则
或
为所求，如图所示．
图
【知识点】作线段的垂直平分线
【知识点】作三角形的外接圆
（1 ）
（2 ）
19.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，过
的顶点
作射线
，使
．
用直尺和圆规作出
的外接圆
（保留作图痕迹，不写作法）．
判断直线
与⊙
的位置关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
作图见解析．
与⊙
相切．
如图：
连接
、
，
24
【标注】
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
与⊙
相切．
【知识点】切线的判定定理
（1 ）
（2 ）
20.
（1 ）
【解析】
已知
，
，
，
．
用尺规在图中作出
的外接圆，在图中作出
的内切圆．
的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
;
如图所示．
25
（2 ）
【标注】
∵
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
设
内切圆的半径为，连接
，
由于
的面积为
，
则由
的面积为
，
，
解得
．
【知识点】三角形内切圆
【知识点】作三角形的外接圆
【知识点】作三角形的内切圆
x
1
2
3
4
5
6
7
y
1
1
2
3
4
5
6
7
O
21.
【解析】
如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，则
的外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】
∵
的外接圆的圆心在
的垂直平分线上，
26
【标注】
∴圆心
的纵坐标为，
设圆心的坐标为
，
∵圆心到点
和
的距离相等，
∴
，
解得：
，
∴
的外接圆的圆心坐标为
．
【知识点】找圆心
（1 ）
（2 ）
22.
（1 ）
【解析】
如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：
，
，
．
画出
的外接圆⊙
．
在如图所示的网格线内，以坐标原点
点为位似中心，将
按位似比为
放大，
，
，
的对应点分别为
，
，
，将
沿轴方向如何平移，使
所在的直线与
⊙
相切．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
向右平移
或
个单位，
向左平移
或
个单位．
的外接圆⊙
如图所示．
27
（2 ）
【标注】
或
如图所示．
将
向右平移
或
个单位
所在的直线与⊙
相切，
将
向左平移
或
个单位
所在的直线与⊙
相切．
【知识点】位似应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
23. 已知如图，在
中
．
求作
的内切圆⊙
．（尺规作图，保留作图痕迹）
若
，
，
．求（）中⊙
的半径．
若
，
，
，则（）中⊙
的半径为 ．（用、、表示）
28
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
⊙
的半径为．
作
与
的角平分线，角平分线的交点即为内切圆的圆心
，过
作
的垂线，垂线与
交于
．
即为内切圆的半径．
过圆心
，分别作
，
，
，分别交
、
、
于
、
、
．
∵圆
是
的内切圆，
，
，
，
∴
，
，
．
又∵
，
，
∴四边形
为正方形，
设圆
的半径为，
则
．
∴
，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
方法同（）．
29
【标注】【知识点】三角形五心
（1 ）
（2 ）
24.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在
中，
，
．
尺规作图：作
的内切圆
．
若圆
分别与边
、
、
交于点
、
、
，求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
连结
，
，在
中，
．
∵
是
的内切圆，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【知识点】多边形的内角和定理
【知识点】切线的性质定理
30
【知识点】作三角形的内切圆
（1 ）
（2 ）
25.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，折叠矩形
的一边
使点
落在
边上的
处，已知折痕
，且
．
求矩形
的面积．
利用尺规作图求作与四边形
各边都相切的⊙
的圆心
（只须保留作图痕迹），并求
出⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
画图见解析，⊙
的半径为
．
在
中，∵
，
∴设
，
，
∴
，
∵折叠矩形
的一边
使点
落在
边上的
处，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，解得
，
∴矩形
的面积
．
31
【标注】
如图，作
的平分线交
于
点，作
于
，以点
为圆心，
为半径作
⊙
即可，
设⊙
的半径为，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
即⊙
的半径为
．
【知识点】矩形的周长与面积
（1 ）
（2 ）
26.
（1 ）
【解析】
如图，
中，
，
，
．
用直尺和圆规作
的内切圆⊙
（保留作图痕迹，不写作法）．
求
的度数和⊙
的半径．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
如图所示：⊙
就是所求的圆．
32
（2 ）
【标注】
∵在直角
中，
，
∴
，
又∵
是
的内心，
∴
，
，
∴
．
∵在直角
中，
，
∴
，
．
∴⊙
的半径是：
．
【知识点】圆的定义
【知识点】圆中对称性
【知识点】作三角形的内切圆
27.
【解析】
作图题：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段及
．
求作：⊙
，使⊙
在
的内部，
，且⊙
与
的两边分别相切．
【答案】画图见解析．
①以
为圆心，为半径作圆．
②作
的角平分线，与圆
的交点即为圆心
．
③以
为圆心，作圆与
交于两点．
33
【标注】
作两点之间的垂直平分线与
交于点
，
连接
即为半径．
④以
为圆心
为半径作圆，即为圆
．
【知识点】作角平分线
【知识点】作三角形的内切圆
（1 ）
（2 ）
（3 ）
28.
（1 ）
【解析】
画图，并填空：
在方格纸上过点
作线段
的平行线
，使
点在格点上．
在方格纸上以
为边画一个正方形．
若图中小方格的面积为，则（）中所作正方形的面积
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
画图见解析．
如图所示，直线
即为所求．
34
（2 ）
（3 ）
【标注】
如图所示，正方形
即为所求．
正方形面积
．
【知识点】正方形的周长与面积
