文档文本内容
1
概率的求法及应用 题集【B】
（1 ）
（2 ）
1.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
现有根小木棒，长度分别为：，，，（单位：
），从中任意取出根．
列出所选的根小木棒的所有可能情况．
如果用这根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
所有可能情况：
、
、
、
．
能搭成三角形的概率为
．
所有可能情况：
、
、
、
．
能搭成三角形的情况有种，所以能搭成三角形的概率为
．
【知识点】列表法
2.
【解析】
【标注】
四年制初三某班在元旦联欢会上设计了即兴表演节目的游戏，在两个不透明的袋子中分别装入一些
牌，甲袋内的张牌分别标记数字、、、，乙袋内的张牌分别标记数字、、，这些牌除了
标数外其余都相同．游戏规则是：参加游戏的同学从甲、乙两个袋子里分别随机摸出一张牌，若两
张牌上的标数相同，就要给大家即兴表演一个节目，用列表法或树形图法求出联欢会上参加该游戏
的某位同学即兴表演节目的概率．
【答案】
．
画树状图得：
开始
甲袋
乙袋
∵共有
种等可能的结果，联欢会上参加游戏的某位同学即兴表演节目的有种情况，
∴
（即兴表演节目）
．
【知识点】树形图
2
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
彤彤和朵朵玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌
上，彤彤先从中抽出一张，朵朵从剩余的张牌中也抽出一张．朵朵说：若抽出的两张牌的数字都是
偶数，你获胜；否则，我获胜．
请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果．
若按朵朵说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
游戏公平．
树状图为：
开始
共有
种等可能的结果．
游戏公平．
∵两张牌的数字都是偶数有种结果：
，
，
，
，
，
．
∴彤彤获胜的概率
．
朵朵获胜的概率也为
．
∴游戏公平．
【知识点】游戏公平性
4. 小明参加某超市的翻笑脸抽奖活动，如图，四张笑脸背后分别对应价值
，
，
，
（单
位：元）的代金券．
3
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
随机翻一张笑脸，抽中
元代金券的概率为 ．
随机翻两张笑脸，且第一次翻过的笑脸第二次不再翻，用列表法或画树状图的方法求所获代
金券总价值为
元的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）见解析
∵四张笑脸背后分别对应价
，
，
，
（单位：元）的代金券，
∴随机翻一张笑脸，抽中
元代金券的概率为
．
画树状图得：
共有
中可能的结果，所获代金券总价值为
元的有种情况，所以所获代金券总价值为
元的概率为：
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
5. 甲学校到丙学校要经过乙学校．从甲学校到乙学校有
、
、
三条线路，从乙学校到丙学校有
、
二条线路．
利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果．
小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了
线路的概率是多少？
【答案】（1 ）
（2 ）
，
，
，
，
，
．
小张恰好经过了
线路的概率是
．
4
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
树状图如下：
结果：
，
，
，
，
，
．
小张恰好经过了
线路的概率是
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
求随机抽取一张卡片，恰好得到数字的概率．
小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?请用列表
法或画树形图法说明理由．
随机抽取一张卡片，记
下数字放回，洗匀后再
抽一张．将抽取的第一
张、第二张卡片上的数字
分别作为十位数和个位数
字，若组成的两位数不超
过32，则小贝胜，反之小
晶胜．
游戏规则
【答案】（1 ）
（2 ）
．
不公平，证明见解析．
四张卡片中，有两张，
随机抽取一张卡片，恰好得到数字的概率是
．
第一张
第二张
组成的两位数不超过
的有次，超过
的值有次，
即组成的位数不超过
的概率是
，
超过
的概率是
，
5
【标注】
∴这个游戏不公平．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满
元，均可得到一次抽奖的机
会，在一个纸盒里装有个红球和个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根
据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．
甲超市：
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
乙超市：
球
两红
一红一白
两白
礼金券（元）
用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况．
如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
开始
红
白
白
白
白
红
红
红
选择去甲超市购物．
树状图为：
开始
红
白
白
白
白
红
红
红
∵去甲超市购物摸一次奖获
元礼金券的概率是
（甲）
，
去乙超市购物摸一次奖获
元礼金券的概率是
（乙）
，
∴我选择去甲超市购物．
【知识点】树形图
6
文
明
和
谐
自
由
平
等
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平等、公正、法治，倡导爱国、敬
业、诚信、友善，积极培育和践行社会主义核心价值观，这
个字是社会主义核心价值观的基本内
容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；
“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；
“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则．
小光同学将其中的文明”、“和谐”、“自由”、“平等”的文字分别贴在张硬纸板上，制成如右
图所示的卡片．将这张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机
抽取一张卡片．
小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是 ．
请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目
标、一次是社会层面价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．
【答案】（1 ）
（2 ）小光两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向
的概率
．
共中情况，国家层面的卡片有文明和和谐，因此抽出国家层面的卡片的情况有
种，因此小光第一次抽取的卡片上的文字是国家层面价值目标的概率是
．
第一次
第二次
共有
种情况，其中符合题意的有种，
∴小光两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率
．
【知识点】树形图
9. 有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是
，按照图中所示的并联方式连接电路，观察这两
盏灯发亮的情况．
7
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
列举出所有可能的情况．
求出至少有一盏灯可以发亮的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
．
设两盏节能灯分别记为灯，灯，
亮
不亮
亮
不亮
亮
不亮
灯
灯
由（）可知，所有可能出现的情况共有种，它们出现的可能性相等，至少有一盏灯可以
发亮的情况有种．所以，
（至少有一盏灯可以发亮）
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
【解析】
有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，
，
，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从
中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），设第一次摸到的球上所标的数字为
，第二次摸到
的球上所标的数字为，依次以
、作为点
的横、纵坐标．
用树状图（或列表法）表示出点
的坐标所有可能的结果．
求点
在第三象限的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
；
；
；
；
；
；
；
；
．
．
组成的点
的坐标的所有可能性为：
8
（2 ）
【标注】
得到的各点为
；
；
；
；
；
；
；
；
．
落在第三象限的点有
；
；
；
，因此点
落在第三象
限的概率为
．
【知识点】树形图
11.
开始
【解析】
【标注】
从共享单车，共享汽车等共亨出行到共享充电宝，共亨雨伞等共享物品，各式各样的共经济模式在
各个领域迅速普及应用，越来越多的金业与个人成为参与者与受益者、小宇和小强分别对共享经济
中的“共享出行”“和“共享知识”最感兴趣，他们上网查了相关资料，顺便收集到四个共享经济
领域的图标，并将其制成编号为，
，
，
，
的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他
们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表
或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片
分别用它们的的编号
，
，
，
表示）
【答案】
．
共有
种可能，每种可能概率相同，其中抽出
和
共有
种可能，
∴概率为
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
12. 在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级
名学生读书情况，随机调查了九年
级
名学生读书的册数．统计数据如下表所示：
册数
人数
这
个样本数据的众数是 ，中位数是 ．
根据样本数据，估计该校九年级
名学生在本次活动中读书多于册的人数．
学校广播站的小记者对被调查的
名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采访，请利用
树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
该校八年级
名学生在本次活动中读书多于册的约有
名．
被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为
．
；
在
名学生中，读书多于本的学生有
名，
所以，
．
答：该校八年级
名学生在本次活动中读书多于册的约有
名．
设读书最少的人为
，读书最多的人为
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的情况如下：
（
，
）、（
，
）、（
，
）、（
，
）、（
，
）、（
，
），
共种，
所以，被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为
．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
（3 ）
13. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的
跟踪调查，他将调查结果分为四类，
：很好；
：较好；
：一般；
：较差．并将调查结果绘制
成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
李老师一共调查了多少名同学？
类女生有 名，
类男生有 名，将上面条形统计图补充完整．
10
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
为了共同进步，李老师想从被调查的
类和
类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互
助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的
概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
李老师一共调查了
名学生．
类女生有名，
类男生有名；补充条形统计图略．
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为
．
．
所以李老师一共调查了
名学生．
类别
人
数
男生
女生
解法一：由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同
学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以
（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）
．
解法二：由题意列表如下：
由上表得出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学
恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以
（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）
．
11
【标注】【知识点】统计图综合应用
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育
科目测试（把测试结果分为四个等级：
级：优秀；
级：良好；
级：及格；
级：不及格），并
将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
级
级
级
级
级
级
级
级
等级
人数
体育测试各等级学生
人数条形图
人数扇形图
体育测试各等级学生
本次抽样测试的学生人数是 ．
扇形统计图中
的度数是 ，并把条形统计图补充完整．
该县九年级有学生
名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数
为 ．
测试老师想从位同学（分别记为
、
、
、
，其中
为小明）中随机选择两位同学了解
平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
，画图见解析．
．
．
．
12
（3 ）
（4 ）
【标注】
级
级
级
级
等级
人数
体育测试各等级学生
人数条形图
．
随机选择两位同学的所有情况有：
共
种，
其中选中小明的情况为共种，
选中小明的概率为
．
【知识点】统计图综合应用
15. 为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生
选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调
查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整．
在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类
的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中
的概率．
如果该学校有
名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
小丁和小李恰好都被选中的概率是
．
该年级中最喜欢体育运动的学生约有
名．
易知选择音乐类的有人，选择美术类的有人．记选择音乐类的人分别是
，
，
，
小丁；选择美术类的人分别是
，
，小李．可画出树状图如下：
14
（3 ）
【标注】
由树状图可知共有
中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有种，所以小丁和小李
恰好都被选中的概率是
．
或列表：
由表可知共有
中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有种，所以小丁和小李恰好
都被选中的概率是
．
由（）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占
，得
，
所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有
名．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
（3 ）
16. 某中学九（）班为了了解全班同学喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓
球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了个兴趣小组，并绘
制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球
类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
九（）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整．
扇形统计图中
，
，表示“足球”的扇形的圆心角是 度．
排球兴趣小组名学生中有男女，现在打算从中随机选出名学生参加学校的排球队，请用
列表或画树状图的方法求选出的名学生恰好是男女的概率．
15
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
．
（人）．
爱好足球的人数为：
（人）
爱好足球的比重为：
，
∴
，
爱好排球的比重为：
，
∴
，
表示“足球”的扇形的圆心角是为
．
设男分别为
，
，
，女为，
所有的情况为：
，
，
，
，
，
，共种情
况，
其中，恰好是男女有：
，
，
共种，
所以名学生恰好是男女的概率为
．
【知识点】列表法
【能力】数据处理能力
17. 蒙特﹒卡罗方法（
），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学
技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计
算方法，是一种使用随机数来解决很多计算问题的方法．以下是小易同学在计算机上使用蒙特﹒卡
罗方法来估计圆周率的过程：
①在计算机上构造边长为的正方形
及其内切圆⊙
，如右图．
②由计算机随机在正方形内部（包含边界）随机抛出
个点．
③统计落入⊙
（包含边界）中的随机点的个数
．
16
（1 ）
（2 ）
（1 ）
【解析】
不难发现，随机点落入圆内的概率为
，而每次试验随机点落入圆内的
频率为
，所以，可以被
估计．
小易同学分别选取不同的
值，并独立地进行了五次试验，试验
结果如下表：
试验编号
请选择一种统计图（条形图或折线图）来形象地展示五次试验中的圆周率的计算值．
请用文字语言描述（）中的统计图的特点，并指出你认为哪组试验结果能更好地估计圆周率
的值，并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
画图见解析．
组更好地可以估计圆周率的值．
圆周率的计算值折线统计图．
正方形
17
（2 ）
【标注】
当随机抛出的点数
比较少时，
的取值浮动比较大，当
的值越来越大时，
的值
越趋于稳定在
左右，所以
取值越大
的值越接近的值，所以第组更好地可以
估计圆周率的值．
【知识点】统计综合
18.
【解析】
农科院新培育出
、
两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次
随机各自抽取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
出芽种子数
发芽率
出芽种子数
发芽率
下面有三个推断：
①在同样的地质环境下播种，
种子的出芽率可能会高于
种子；
②当实验种子数量为
时，两种种子的发芽率均为
，所以他们发芽的概率一样；
③随着实验种子数量的增加，
种子出芽率在
附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
种子
出芽的概率是
；
其中不合理的是 ．（只填序号）
【答案】②
在大量重复实验时，随着实验次数的增加，
可以用一个事件发生的频率估计它的概率，故③合理；
当实验种子数量为
时，
实验次数太少，不能用于估计概率，
18
【标注】
故②不合理；
随着实验次数的增加，
可估计
种子的发芽率为
，
种子的发芽率为
，
的发芽率较高，故①合理．
所以不合理的是②．
故答案为：②．
【知识点】用频率估计概率
19.
【解析】
【标注】
如图，正方形二维码的边长为
，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经
过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
左右，据此可估计黑色部分的面积约
为
．
【答案】
，
∵频率为
左右，近似于概率．
∴黑色面积约为
．
故答案为：
．
【知识点】用频率估计概率
