文档文本内容
1
概率的求法及应用 题集【A】
班级
作品（件）
1
2
3
4
5
O
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
【解析】
某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．美术社团从九年级
个班中随机抽取了个班，对征
集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
4个班级征集到的作品数量统计图
4个班级征集到的作品数量分布统计图
直接回答美术社团所调查的个班征集到作品共 件，并把条形图补充完整．
根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量
为 ．
在全年级参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现在要在其
中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概
率．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
美术社团所调查的个班征集到作品共
件．
班级
作品（件）
1
2
3
4
5
O
恰好抽中一男生一女生的概率为
．
由
可得，美术社团所调查的个班征集到作品共
件．
条形图如图所示：
2
（2 ）
（3 ）
【标注】
班级
作品（件）
1
2
3
4
5
O
由
可得，估计全年级共征集到作品的数量为
．
列表如下：
——
男1
男2
男3
女1
女2
男1
——
男男2
男男3
男女1
男女2
男2
男男1
——
男男3
男女1
男女2
男3
男男1
男男2
——
男女1
男女2
女1
女男1
女男2
女男3
——
女女2
女2
女男1
女男2
女男3
女女1
——
共有
种机会均等的结果，其中一男生一女生占
种，
∴（一男生一女生）
．
答：恰好抽中一男生一女生的概率为
．
【能力】数据处理能力
【知识点】用样本估计总体
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
2. 为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，
《弟子规》（分别用字母
，
，
依次表示这三个诵读材料），将
，
，
这三个字母分别写在
张完全相同的不透明卡片的正面上，把这张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读
比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随
机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛．
小明诵读《论语》的概率是 ．
请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
【答案】（1 ）
3
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【标注】
（2 ）
．
∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种，
∴小明诵读《论语》的概率
．
列表得：
小明
小亮
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
由表格可知，共有种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有种．
所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率
．
画树状（形）图如图．
开始
小明
小亮
由表格（或树状（形）图）可知，共有种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，
其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有种：
，
，
，
，
，
，
故
（小明和小亮诵读两个不同材料）
．
【知识点】列表法
3. 如图，
、
两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形，分别转动
盘、
盘各一次．转动过程中，
指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为
止．请用列表或画树状图的方法，求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和大于的概率．
4
【解析】
【标注】
【答案】
．
列表如下：
两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和出现的情况如下：
共有
种结果，大于的有种，故答案为
．
【知识点】列表法
4.
【解析】
小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有
，
，
，这些卡片除了字母外完全相
同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．
如果两次摸到的卡片字母相同则小石获胜，否则小丁获胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表
的方法说明理由．
【答案】不公平，证明见解析．
这个游戏不公平，理由如下：
两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表：
第二次
第一次
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
（
，
）
两次摸卡的所有可能出现的结果由个，且每个结果发生的可能性都相等，
5
【标注】
其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有个，
“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有个，
∴
（小石获胜）
，
（小丁获胜）
，
∴
（小石获胜）
（小丁获胜），
∴这个游戏不公平．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有个相同的小球，球上分别
标有“ 元”、“
元”、“
元”和“
元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满
元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返
还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费
元．
该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券．
请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于
元的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
．
该顾客至少可得到
（元）购物券，至多可得到
（元）购
物券．
解法一（树状图）：
第一次
第二次
和
从上图可以看出，共有
种可能结果，其中大于或等于
元共有种可能结果，
因此
（不低于
元）
．
解法二（列表法）：
第二次
第一次
由表格可得
（不低于
元）
．
6
【标注】【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
口袋里有枚除颜色外都相同的棋子，其中枚是红色的，其余为黑色．
从口袋中随机摸出一枚棋子，摸到黑色棋子的概率是 ．
从口袋中一次摸出两枚棋子，求颜色不同的概率．（需写出“列表”或画“树状图”的过
程）．
【答案】（1 ）
（2 ）从口袋中一次摸出两枚棋子，颜色不同的概率
．
∵
，
，
∴
（摸到黑色棋）
．
列表得：
红
红
红
黑
黑
黑
黑红
黑红
黑红
黑黑
黑黑
黑
黑红
黑红
黑红
黑黑
黑黑
红
红红
红红
红红
红黑
红黑
红
红红
红红
红红
红黑
红黑
红
红红
红红
红红
红黑
红黑
∵从口袋中一次摸出两枚棋子，
相当于抓两次并且不放回，
∴满足题意的
，
，
∴
（球颜色不同）
．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
7. 甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字，，，．将四
张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取
一张．
请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率．
若两人抽取的数字差的绝对值等于，则甲获胜；若抽取的数字差的绝对值大于，则乙获
胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
7
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
公平，详细见解析．
树状图法：
，
列表法：
甲
乙
．
根据（）中等表格可知两人抽取的数字之差的绝对值等于的情况有种，
分别是
、
、
、
、
、
，
∴甲获胜的概率
；
两人抽取的数字之差的绝对值大于的情况有种，
分别是
、
、
、
、
、
，
∴乙获胜的概率为
，
所以甲，获胜的概率一样大，因此这个游戏是公平的．
【知识点】树形图
（1 ）
8. 正四面体各面分别标有数字、、、，正六面体各面分别标有数字、、、、、，同时掷这
两个正多面体，并将它们朝下面上的数字相加．
请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果．
8
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求两个正多面体朝下面上的数字之和是的倍数的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
共有
种情况，和为的倍数的情况是种，
所以
（和为的倍数）
．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
9.
（1 ）
【解析】
一个不透明的布袋里装有个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有，，，．小林先
从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的个球中随机抽取第二个乒乓球．
请你列出所有可能的结果．
求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
有
种可能结果．
两数字之积是奇数的概率为
．
根据题意列表如下：
由以上表格可知：有
种可能结果．
9
（2 ）
【标注】
在（）中的
种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有种，
所以，两数字之积是奇数的概率
．
【知识点】列表法
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
北京市初中毕业男生体育测试项目有三项，其中“
米跑”和“篮球往返运球”为必测项目，另
一项是从“引体向上”和“掷实心球”中任选一项．分别用
，
代表“引体向上”和“掷实心
球”．甲、乙、丙三名同各自随机从
和
中选择一个项目参加测试．
请用画树状图的方法表示出所有可能出现的选择结果．
求甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
所有可能出现的选择结果有个，即：
、
、
、
、
、
、
、
．
甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目的概率为
．
画树状图得：
∴所有可能出现的选择结果有个，即：
、
、
、
、
、
、
、
．
∵共有种等可能的结果，而甲、乙、丙三名同从
和
中选择同一个测试项目的结果有
个，即
和
．
∴
（甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目）
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
11. 四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，
从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取一张．
用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果．
求抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率．
10
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
树状图见解析，前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果共有
种．
抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率
．
用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果如下：
前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能结果共有
种．
∵共有
种可能的结果，每个结果发生的可能性都相同，
所有的结果中，满足抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的结果有个，
∴
（积为奇数）
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
12.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
在学校秋季田径运动会
米接力比赛时，用抽签的方法安排跑道，初三年级（）、（）、
（）三个班恰好分在一组．
请利用树状图列举出这三个班排在第一、第二道可能出现的所有结果．
求（）、（）班恰好依次排在第一、第二道的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
树状图见解析．
（）、（）班恰好依次排在第一、第二道的概率为
．
树状图列举所有可能出现的结果：
∵所有可能出现的结果有个，且每个结果发生的可能性相等，
其中（）、（）班恰好依次排在第一、第二道的结果只有个，
∴
．
【知识点】树形图
13.
11
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同
之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少?
从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的
汉字能组成“昌平”的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
（摸出“书”）
．
根据题意，可以画出如下的树状图：
∴
（摸出“昌平”）
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
14.
（1 ）
（2 ）
【解析】
在一个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球
个，黄球个．若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为
．
求口袋中红球的个数．
若摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黄球记分，甲从口袋中摸出一个球不放回，再摸出
一个．请用画树状图的方法求甲摸到两个球且得分的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
袋中的红球有个．
甲摸到两个球且得分的概率为
．
设袋中有红球个，则有
．
解得
．
所以，袋中的红球有个．
画树状图如下：
12
【标注】
由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有
种．其中摸出两个得分的有种．
∴
（从中摸出两个得分）
．
【知识点】树形图
（1 ）
（2 ）
（3 ）
15.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
有
、
两个不透明的布袋，
袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和
；
袋中有三个完
全相同的小球，分别标有数字
、和．小明从
袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为，
再从
袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为，这样确定了点
的坐标
．
写出点
所有可能的坐标．
求点
在轴上的概率．
在平面直角坐标系
中，⊙
的半径是，求过点
能作⊙
切线的概率．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
点
所有可能的坐标有
，
，
，
，
，
．
点
在轴上的概率为
．
过点
能作⊙
切线的概率为
．
画树状图得：
则点
所有可能的坐标有：
，
，
，
，
，
．
∵点
在轴上的有：
，
∴点
在轴上的概率为：
．
∵⊙
的半径是，
∴在⊙
外的有
，
，
在⊙
上的有
，
，
13
【标注】
∴过点
能作⊙
切线的概率为：
．
【知识点】树形图
【知识点】点与圆的位置关系
【知识点】直线和圆的位置关系
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
16. 去年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识
的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：
．非常了解；．比较
了解；．基本了解；
．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对雾霾了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度
百分比
．非常了解
．比较了解
．基本了解
．不了解
等级
图
对雾霾天气了解程度的条形统计图
对雾霾天气了解程度的扇形统计图
图
请结合统计图表，回答下列问题．
本次参与调查的学生共有 人，
，
．
图所示的扇形统计图中
部分扇形所对应的圆心角是 度．
请补全图示数的条形统计图．
根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚
选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字，
，，，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的
14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
【解析】
【标注】
三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请
用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
;
;
统计图见解析．
游戏不公平，摸出的两个球上的数字和为奇数的概率为
．
，
，
．
．
等级
图
游戏不公平．
由树状图可知，摸出的两个球上的数字和为奇数的概率为
．
【知识点】统计综合
17. 下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数
“正面向上”次数
“正面向上”频率
下面有三个推断：
15
A. ①②
B. ①③
C. ③
D. ②③
【解析】
【标注】
①表中没有出现“正面向上”的频率是
的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是
；
②这些次试验投掷次数的最大值是
，此时“正面向上”的频率是
，所以“正面向上”的概率
是
；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中
都发生；
其中合理的是（ ）．
【答案】C
对一般随机事件，在大量重复试验后，随试验次数增加，一个事件出现的频率总在一个
固定的数的附近摆动，呈现一定的稳定性，可用该频率估计它的概率，大量重复试验反映的规律
并非在每一次试验中都发生．故①②错，选．
【知识点】用频率估计概率
A.
B.
C.
D.
18.
【解析】
【标注】
在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有个白球，每次试
验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．下表是摸球试验的一组统计
数据：
摸球次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
由上表可以推算出大约是（ ）．
【答案】A
由题可得摸到白球的频率平均值为
，
∴
．
故选
．
【知识点】用频率估计概率
16
19.
【解析】
【标注】
如图，有四张背面相同的纸牌
，，，
，其正面分别是红桃
、方块
、黑桃
、梅花
，其
中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余
张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．
【答案】树状图，列表见解析，摸出的两张牌均为黑色的概率
．
树状图：
列表法：
结果共有
种等可能的情况，
其中两张均为黑色有
、
两种不同的情况，
∴
（摸出的两张牌均为黑色）
．
答：出的两张牌均为黑色的概率是
．
【知识点】列表法
