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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 12 第十四章 全等三角形 知识点一 全等图形 1. 定义：两个图形经过________、________、________后能够完全重合，就是全等图形。 2. 两大要求：________一模一样、________完全相等，缺一不可。 3. 基础结论：全等图形________、________、________全部相等。 知识点二 全等三角形及其性质 1. 全等三角形定义：能够完全________的两个三角形。 2. 书写规范：记全等时，对应顶点字母按顺序书写，方便快速找对应边、对应角。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 12 3. 核心性质 ① 基础：________相等，________相等； ② 拓展：对应________、对应________、对应________长度相等； ③ 整体：两个全等三角形________相等、________相等。 知识点三 全等三角形的判定 1. 普通三角形四种判定方法 SSS：________对应相等； SAS：________和________对应相等（必须是夹角，不是对角）； ASA：________和________对应相等； AAS：________和其中一个角的________对应相等。 2. 直角三角形特有判定：HL，________ + 一条________对应相等即可全等。 3. 易错误区：AAA（三角相等）、SSA（两边及其中一边对角相等）不能判定三角形全等。 知识点四 角的平分线的性质 1. 性质定理（由平分线得距离相等） 如果点在角平分线上，那么该点到角两条边的________________长度相等。 2. 判定定理（由距离相等得平分线） 在角内部，到角两边垂直距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 3. 三角形拓展：三角形三条内角平分线交于内心，内心到三角形三边距离相等。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 12 易错点1 三角形全等中动点多结论问题 易错提醒 易错点总结 1.不会动态分析图形变化，误把“运动过程中变化的量”当成恒成立结论。 2.多结论选择题容易漏选、错选，无法区分“始终成立”和“某一时刻成立”。 3.不会利用全等不变量，忽略动点问题中边长、角度的恒定关系。 注意事项总结 1.动点问题抓核心：变的是位置，不变的是全等关系、固定角、固定边长。 2.每个结论必须验证：是否全程成立，不是只在初始位置成立。 3.优先找出恒定全等三角形，作为判断所有结论的依据。 【对点训练】1．如图，在ABC 中，AD为中线，过B 作BE AD ⊥ ，垂足为E ，过C 作CF AD ⊥ ，垂足为 F ．在DA延长线上取一点G ，连接GC ，使 G BAD = ． 给出下面四个结论： ①BE CF = ； ② 2 AG DE = ； ③ ABD FCD FCG + = ； ④ ABD CDF GCF S S S + = ． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 12 易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题 易错提醒 易错点总结 1.动点运动路程、速度、时间关系列式错误，找不准对应相等边。 2.运动后图形位置改变，对应边、对应角找错，导致全等条件用错。 3.不会用“时间 t“表示动态线段长度，无法列等式。 注意事项总结 1.所有动点线段先统一用 路程=速度×时间 表示为含 t 的代数式。 2.每次运动状态改变，必须重新找对应边、对应角，不能照搬原图。 3.求角度优先用全等转移角，求边长优先利用全等对应边相等。 【对点训练】2．如图，在ABC 中， 66 ABC = ，BD平分 ABC ，P 为线段BD上一动点，Q 为边AB 上 一动点，当AP PQ + 的值最小时， APQ 的度数为（ ） A．33 B．76 C．57 D．66 易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题 易错提醒 易错点总结 1.最大丢分点：不分类、漏情况，只写出一种全等位置。 2.分不清动点在“线段上、端点、延长线上”三种情况。 3.对应顶点不确定，导致对应边匹配错误，方程列错。 注意事项总结 1.动点全等必须强制分类讨论： 情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上。 2.未规定对应顶点时，要讨论不同顶点对应方案。 3.解出时间 t 后必须检验：是否符合当前运动范围，舍去不合理解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 12 【对点训练】3．如图，在ABC 中，D 是BC 上的一点， A C = ， 18 AC = ， 6 CD = ，动点P 从点C 出 发向点A运动，速度为2 / cm s ，同时动点Q 从点A出发向点B 匀速运动，连接PQ 、PD，在运动过程中， 存在某一时刻使CDP 与APQ 全等，则点Q 的运动速度为（ ） / cm s ． A．3 或2 3 B．2 或4 3 C．2 或3 D．3 或4 3 易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证线段相等，不会证线段和差关系（如AB+CD=EF）。 2.不会做辅助线：不会截长补短、平移构造全等。 3.证明过程跳步，全等条件写不全，扣分严重。 注意事项总结 1.线段关系分两种：相等关系、和差关系。 2.和差问题固定方法：截长补短法，构造全等转化线段。 3.证明全等严格写全三条件，对应边相等后再推线段结论。 【对点训练】4．如图1、2、3，ABC 中，AB AC = ， 90 BAC = ，直线l 经过点A，BD l ⊥，垂足为D ， CE l ⊥，垂足为E．探究图中线段BD、CE 、DE 之间的数量关系． (1)如图1，请写出线段BD、CE 、DE 之间的数量关系，并证明你的结论； (2)直接写出下列结论： ①如图2，线段BD、CE 、DE 之间的数量关系是______； ②如图3，线段BD、CE 、DE 之间的数量关系是______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 12 易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题 易错提醒 易错点总结 1.只会证角相等，不会证角的和差、互余、互补关系。 2.忽略公共角、对顶角、等角加减同一个角仍相等。 3.角度推导逻辑混乱，无法利用全等转移角。 注意事项总结 1.角度证明核心：用全等转移角，把未知角换成已知角。 2.灵活使用：同角/等角的余角相等、补角相等、公共角相等。 3.求证角和差关系时，先拆分角，再用全等替换等量角。 【对点训练】5．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图 形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助 以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD中， AB AD E F = ，， 分别是直线BC CD ， 上的点． (1)如图1，若AB CB AD CD E ⊥ ⊥ ， ，，F 分别在线段BC ，CD上，且满足 1 2 EAF BAD = ，试探究线段EF ， BE DF ， 之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG DF = ．连接AG ，先证ABG 与ADF 的全等，再 证AEF 与AEG 的全等，可得到EF ，BE，DF 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF ，BE， FD之间的数量关系为 ___________． (2)如图2，若 180 ABC ADC + = ，点E ，点F 分别在线段CB ，DC 的延长线上，且满足 1 2 EAF BAD = ， 试探究线段EF ，BE DF ， 之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若 180 ABC ADC + = 不变，点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，若EF BE DF = + ， 试探究 EAF 与 BAD 的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 12 一、单选题 1．如图，在ABC 中， 24cm AB AC = = ， 16cm BC = ，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以4cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若在某一时刻能使 BPD △ 与 CQP △ 全等．则点Q 的运动速度为（ ） A．4cm/s B．6cm/s C．4cm/s或6cm/s D．6cm/s或8cm/s 2．如图1，ABC 与 1 1 1 A B C △ 满足 1 A A = ， 1 1 AC AC = ， 1 1 BC BC = ， 1 C C ，我们称这样的两个三角 形为“伪全等三角形”．如图2，ABD ACE ≌ ，则图中共有“伪全等三角形”（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 3．如图，AD是ABC 的边BC 上的中线，点E 在线段AD上，且 2 DE AE = ，F 是AD延长线上一点，ED DF = ， 连接BE、CF 、CE ，G 是EC 的中点，连接BG ．则下列结论错误 ．．的是（ ） A．CF BE = B． 2 ABC BEC S S = C． ECF BEC S S = D． 180 BEC ECF + = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 12 4．如图，已知：AC BC = ，DC EC = ， 90 ACB ECD = = ， 38 EBD = ，现有下列结论：① BDC AEC △ ≌△ ； ② 135 AEB = ；③BD AE = ；④AE BD ⊥ ．其中正确的有（ ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．如图，分别以ABC 的边AB ，AC 为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE ，连接BE，CD，BE， CD交于点F ，连接AF ．下列结论中不一定成立的是（ ） A． DAF DCA = B． 90 EFC = C．FA平分 BFC D．BE CD = 二、填空题 6．如图，D、E、F 分别是ABC 三边上的点，AD平分 BAC ，CE BF = ， 180 BFD C + = ，E 是AC 的 中点，若DCE 的面积为 2 3cm ，则ABC 的面积为_____； 7．如图，在四边形ABCD中，AB AD = ，AB AD ⊥ ，AC DC ⊥ ，过点B 作BE CA ⊥ 于点E ，连接BD，若 2 CD = ， 4 CE = ， 4 BCD S = △ ，则 ABD S = △ ________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 12 8．如图，在ABC 中，BE AC ⊥ 于点 , E AF BC ⊥ 于点 , 45 F ABC = ，点M 为直线BC 上一点，且CM AD = ， 点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时，点Q 从点A出发，沿射线AC 以4 单位 长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，, P Q 两点同时停止运动．若 10 AC = ，设运动时间为t 秒，当ADP 与MCQ 全等时，t = _________． 9．如图，已知ABC DEC ≌ ， ACB 是锐角， 30 B = ， 60 ACD = ，延长BA交DE 于点F ，交CE 于 点G ． （1） BGC 的度数为________； （2）若AC DE ，则 DCE 的度数为________． 10．如图，ABC 中，CD AB ⊥ 于点D ，CD BD = ，过点C 作CM CA ⊥ ，CM CA = ，连接BM 交CD于点N ， 若 15 BD = ， 7 AD = ，则CN =____________． 三、解答题 11．根据题目条件，解答下列各题： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / (1)观察理解：如图①，ABC 中， 90 ACB = ，AC BC = ，直线l 过点C ，点A，B 在直线l 同侧，BD l ⊥， AE l ⊥，垂足分别为D ，E ，试说明： AEC CDB △ ≌△ ． (2)理解应用：如图②，AE AB ⊥ ，且AE AB = ，BC CD ⊥ ，且BC CD = ，利用（1）中的结论，请按照图 中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =____________； (3)类比探究：如图③，Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 8 AC = ，过点A作AB AB ⊥ 于点A，AB AB = ，连接 B C ，求AB C 的面积． 12．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，ABC 中，若 10 AB = ， 6 AC = ，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE AD = ，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到ADC EDB ≌ ，依据是___________． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，AD是ABC 的中线，BE交AC 于E，交AD于F，AE EF = ．若 6 EF = ， 4 EC = ，求线段BF 的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 13．已知：ABC ，点E ，点D 分别在边AC ，AB 上，延长BC 至点F ，连接ED，DF ，DF 交AC 于点G ．现 有四个条件： ①ED BF ∥ ；②AD BF = ；③DE BD = ；④AE DF = ． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 14．如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ，AB AC = ．D 是直线AB 上任意一点，连接CD，过点C 作CE CD ⊥ ， 且CE CD = ，过点E 作EF AC ⊥ ，垂足为F，连接BE，分别交AC ，CD于点M，N． (1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD与CF 相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若 6 AB = ， 2 AD = ． ①AM 的长度为________； ②设 BNC △ 的面积为 1S ，四边形ADNM 的面积为 2 S ，则 1 2 S S − 的值为________； (3)如图2，当点D 在线段BA的延长线上时，点M 是线段BE的中点吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 15．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在ABC 中， 90 BCA = ， CA CB = ，直线MN 经过点C ，AD MN ⊥ ，BE MN ⊥ ，垂足分别为点D ，E ．能直接得到线段DE ，AD， BE三者之间的数量关系： ． (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE AD BE = − ； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以ABC 的边AB AC ， 向 外作正方形ABDE 和正方形ACFH AH ， 是BC 边上的高，延长HA交EG 于点M ，当 3 BC = 时，AM = ．
