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【等腰三角形的存在性问题】题集【B】
等腰三角形存在性问题
【存在性问题】：
是否存在一点，使以某三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【常见背景类型】：
①格点背景
②几何图形背景
③平面直角坐标系背景
如图所示，在直线上找一点
，使得
是等腰三角形．
（）
，以
为圆心，
为半径画圆，交直线于两点
、
，
（）
，以
为圆心，
为半径画圆，交直线于两点
、
，
（）
，作
的中垂线交直线于
．
1. 如图，在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，且
，在轴上确定一点
，使
为等腰三角形．
2
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
x
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
写出一个符合题意的点
的坐标 ．
请在图中画出所有符合条件的
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（答案不唯一）
画图见解析．
当
为等腰三角形顶点时，
，
∴
（答案不唯一）．
如图所示．
x
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
y
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
O
①当
为等腰三角形顶点时，
3
【标注】
即
，
此时以
为圆心，
长为半径画弧交轴于两点
，
．
②当
为等腰三角形顶点时，
，
此时，以
为圆心，
长为半径画弧交轴于
；
③当
为等腰三角形顶点时，
，
此时，点
在线段
的垂直平分线与轴的交点．
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
如图，平面直角坐标系中，已知定点
和
，若动点
在轴上运动，则使
为等腰
三角形的点
有（ ）个．
【答案】B
∵
、
，
∴
，
，
设
点坐标为
，则
，
当
时，可知点
在线段
的垂直平分线上，
可知点
在
点，即此时点
为
，
当
时，此时
，
可求得
，此时点
为
，
当
时，即
，
可解得
或
，
此时
点坐标为
或
，
综上可知点
的位置有个，
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
4
A.
B.
C.
D.
3.
【解析】
【标注】
如图，坐标平面内一点
，
为原点，
是轴上的一个动点，如果以点
、
、
为顶点的
三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点
的个数为（ ）．
【答案】C
如图：①
为等腰三角形底边，符合符合条件的动点
有一个；
②
为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点
有三个．
综上所述，符合条件的点
的个数共个．
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
4. 如图，点
、
分别在两条坐标轴上，且
，在坐标轴上取一点
，使得
为等腰三
角形，则符合条件的点
共有（ ）．
5
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【解析】
【标注】
【答案】D
当
在轴上时，
时，
点有个，
时，
点有个，
时，
点有个，
当
在轴上时，
时，
点有个，
时，
点有个，
时，
点有
个，
综上所述：符合条件的
点有个，故答案为：．
【知识点】等腰三角形的存在性
A.
B.
C.
D.
5.
【解析】
【标注】
如图，平面直角坐标系
中，已知定点
和
，若动点
在轴上运动，则使
为
等腰三角形的点
有（ ）个．
【答案】C
∵
、
，
∴
，
，
设
点坐标为
，则
，
当
时，可知点
在线段
的垂直平分线上，
可知点
在
点，即此时点
为
，
当
时，此时
，
可求得
，此时点
为
，
当
时，即
，
可解得
或
，
此时
点坐标为
或
，
综上可知点
的位置有个，
故选．
【知识点】等腰三角形的存在性
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
如图，在平面直角坐标系
中，
，
，连接
，
y
O
x
画线段
，使得那段
与线段
关于轴对称，请写出
、
的坐标：
，
．
点
是轴上一个动点，请画出
点，使
最小．
已知点
在坐标轴上，且满足
是等腰三角形，则所有符合条件的
点有 个．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
画图见解析．
，
．
点如图所示．
7
（3 ）
【标注】
y
O
x
如图所示，两圆和中垂线与坐标轴共有个．
y
O
x
【知识点】等腰三角形的存在性
7. 已知：
在如图所示的方格纸上，如图建立平面直角坐标系，
，
，
．
8
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
请在图中画出
关于直线
（直线
上各点横坐标为）的对称图形
，则
，
，
．
点
在轴上，当
在
点左侧，且
时，求点
的坐标．
点
在坐标轴上，且
是等腰三角形，满足条件的点
共有 个．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
．
，
，
．
．
∵
．
∴
，∴
．
∵
在
点左侧，
∴
．
【知识点】等腰三角形的存在性
8. 作图探究题：如图，平面直角坐标系，已知
、
、
，
关于轴的对称图形
为
．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
请画出
关于轴对称的
．
在坐标轴上取点
，使得
为等腰三角形，这样的点
共有 个．
若点
从点
处出发，向左平移
个单位，当点
落在
内（包括边）时，求
的取
值范围．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
画图见解析．
．
如图：
如图，共有个
点，
10
（3 ）
【标注】
①以
为圆心，
为半径作圆，圆与坐标轴交点和
，
两点形成腰为
，顶点为
的
三角形．
②以
为圆心，
为半径作圆，圆与坐标轴交点和
，
两点形成腰为
，顶点为
的
三角形．
③两圆交点连成的直线与与坐标轴交点和
，
两点形成以
为底的等腰三角形．
向左移动首先到达
，则
，其次
落在
内，
最后
落在
边上，
，所以
．
【知识点】等腰三角形的存在性
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9. 如图，在平面直角坐标系中，
的三个顶点分别是
、
、
．
作
关于轴对称的
，并写出点
的坐标 ．
在轴上有一点
，使得
的值最小，请作图并直接写出点
的坐标 ．
在轴上点
，使得
为等腰三角形，这样的点
有 个．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
11
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
∴
．
如图，连接
与轴的交点即为
点，
∴
．
如图，共有个．
【知识点】等腰三角形的存在性
10. 如图，已知
中，
，
，在直线
或
上取一点
，使得
是
等腰三角形，则符合条件的
点有（ ）．
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A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
【解析】
【标注】
【答案】B
如图，第个点在
延长线上，取一点
，使
，
第个点在
延长线上，取一点
，使
，
第个点在
延长线上，取一点
，使
，
第个点在
延长线上，取一点
，使
，
第个点在
延长线上，取一点
，使
，
第个点在
上，取一点
，使
，
∴符合条件的点
有个点．
【知识点】等腰三角形的存在性
11. 如图所示，长方形
中，
，
，点
是折线段
上的一个动点（点
与点
不重合），点
是点
关于
的对称点．在点
运动的过程中，能使
为等腰三角形
的点
的位置共有 个．
【答案】
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【解析】
【标注】
①
为等腰三角形底边时，
符合点
的位置有个，
是
的垂直平分线与以
为圆心
为半径的圆的交点即是点
．
②
和
为腰，
为顶点时，
符合点
的位置有个，
是以
为圆心
为半径的圆与以
为圆心
为半径的圆的交点即是点
．
③以
和
为腰，
为顶点时，
这样的等腰三角形不存在，
因为以
为圆心
为半径的圆与以
为圆心
为半径的圆没有交点．
【知识点】等腰三角形的存在性
12.
【解析】
如图，在
中，
，
，
，以
的一边为边画等腰三角形，使
得它的第三个顶点在
的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ．
【答案】
如图所示共七种画法．
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【标注】【知识点】等腰三角形的存在性
