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第十四章 全等三角形
知识点一 全等图形
1.
定义：两个图形经过________、________、________后能够完全重合，就是全等图形。
2.
两大要求：________一模一样、________完全相等，缺一不可。
3.
基础结论：全等图形________、________、________全部相等。
知识点二 全等三角形及其性质
1.
全等三角形定义：能够完全________的两个三角形。
2.
书写规范：记全等时，对应顶点字母按顺序书写，方便快速找对应边、对应角。
3.
核心性质
① 基础：________相等，________相等；
② 拓展：对应________、对应________、对应________长度相等；
③ 整体：两个全等三角形________相等、________相等。
知识点三 全等三角形的判定
1.
普通三角形四种判定方法
SSS：________对应相等；
SAS：________和________对应相等（必须是夹角，不是对角）；
ASA：________和________对应相等；
AAS：________和其中一个角的________对应相等。
2.
直角三角形特有判定：HL，________ + 一条________对应相等即可全等。
3.
易错误区：AAA（三角相等）、SSA（两边及其中一边对角相等）不能判定三角形全等。
知识点四 角的平分线的性质
1.
性质定理（由平分线得距离相等）
如果点在角平分线上，那么该点到角两条边的________________长度相等。
2.
判定定理（由距离相等得平分线）
在角内部，到角两边垂直距离相等的点，一定在这个角的平分线上。
3.
三角形拓展：三角形三条内角平分线交于内心，内心到三角形三边距离相等。
易错点1 三角形全等中动点多结论问题
易错提醒
易错点总结
1.不会动态分析图形变化，误把“运动过程中变化的量”当成恒成立结论。
2.多结论选择题容易漏选、错选，无法区分“始终成立”和“某一时刻成立”。
3.不会利用全等不变量，忽略动点问题中边长、角度的恒定关系。
注意事项总结
1.动点问题抓核心：变的是位置，不变的是全等关系、固定角、固定边长。
2.每个结论必须验证：是否全程成立，不是只在初始位置成立。
3.优先找出恒定全等三角形，作为判断所有结论的依据。
【对点训练】1．如图，在ABC
V
中，AD 为中线，过B 作BE
AD
^
，垂足为E ，过C 作CF
AD
^
，垂足为
F ．在DA 延长线上取一点G ，连接GC ，使
G
BAD
Ð
= Ð
．
给出下面四个结论：
①BE
CF
=
；
②
2
AG
DE
=
；
③
ABD
FCD
FCG
Ð
+ Ð
= Ð
；
④
ABD
CDF
GCF
S
S
S
+
=
V
V
V
．
上述结论中，正确结论的序号有（ ）
A．③④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
易错点2 利用三角形全等求解动点边、角问题
易错提醒
易错点总结
1.动点运动路程、速度、时间关系列式错误，找不准对应相等边。
2.运动后图形位置改变，对应边、对应角找错，导致全等条件用错。
3.不会用“时间 t“表示动态线段长度，无法列等式。
注意事项总结
1.所有动点线段先统一用 路程=速度×时间 表示为含 t 的代数式。
2.每次运动状态改变，必须重新找对应边、对应角，不能照搬原图。
3.求角度优先用全等转移角，求边长优先利用全等对应边相等。
【对点训练】2．如图，在ABC
V
中，
66
ABC
Ð
=
° ，BD 平分
ABC
Ð
，P 为线段BD 上一动点，Q 为边AB 上
一动点，当AP
PQ
+
的值最小时，
APQ
Ð
的度数为（ ）
A．33°
B．76°
C．57°
D．66°
易错点3 利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题
易错提醒
易错点总结
1.最大丢分点：不分类、漏情况，只写出一种全等位置。
2.分不清动点在“线段上、端点、延长线上”三种情况。
3.对应顶点不确定，导致对应边匹配错误，方程列错。
注意事项总结
1.动点全等必须强制分类讨论：
情况一：点在线段上；情况二：点在延长线上。
2.未规定对应顶点时，要讨论不同顶点对应方案。
3.解出时间 t 后必须检验：是否符合当前运动范围，舍去不合理解。
【对点训练】3．如图，在ABC
V
中，D 是BC 上的一点，
A
C
Ð
= Ð
，
18
AC =
，
6
CD =
，动点P 从点C 出
发向点A 运动，速度为2
/
cm s ，同时动点Q 从点A 出发向点B 匀速运动，连接PQ 、PD ，在运动过程中，
存在某一时刻使CDP
V
与APQ
V
全等，则点Q 的运动速度为（ ）
/
cm s ．
A．3 或2
3
B．2 或4
3
C．2 或3
D．3 或4
3
易错点4 利用三角形全等求证线段之间的关系问题
易错提醒
易错点总结
1.只会证线段相等，不会证线段和差关系（如AB+CD=EF）。
2.不会做辅助线：不会截长补短、平移构造全等。
3.证明过程跳步，全等条件写不全，扣分严重。
注意事项总结
1.线段关系分两种：相等关系、和差关系。
2.和差问题固定方法：截长补短法，构造全等转化线段。
3.证明全等严格写全三条件，对应边相等后再推线段结论。
【对点训练】4．如图1、2、3，ABC
V
中，AB
AC
=
，
90
BAC
Ð
=
° ，直线l 经过点A ，BD
l
^ ，垂足为D ，
CE
l
^ ，垂足为E．探究图中线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系．
(1)如图1，请写出线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)直接写出下列结论：
①如图2，线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系是______；
②如图3，线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系是______．
易错点5 利用三角形全等求证角之间的关系问题
易错提醒
易错点总结
1.只会证角相等，不会证角的和差、互余、互补关系。
2.忽略公共角、对顶角、等角加减同一个角仍相等。
3.角度推导逻辑混乱，无法利用全等转移角。
注意事项总结
1.角度证明核心：用全等转移角，把未知角换成已知角。
2.灵活使用：同角/等角的余角相等、补角相等、公共角相等。
3.求证角和差关系时，先拆分角，再用全等替换等量角。
【对点训练】5．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图
形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助
以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD 中，
AB
AD
E
F
=
，，
分别是直线BC
CD
，
上的点．
(1)如图1，若AB
CB
AD
CD
E
^
^
，
，
，F 分别在线段BC ，CD上，且满足
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，试探究线段
EF ，BE
DF
，
之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长CB 到点G ，使BG
DF
=
．连接AG ，先证ABG
V
与ADF
V
的全等，再
证AEF
V
与AEG
V
的全等，可得到EF ，BE ，DF 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段EF ，
BE ，FD 之间的数量关系为 ___________．
(2)如图2，若
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° ，点E ，点F 分别在线段CB ，DC 的延长线上，且满足
1
2
EAF
BAD
Ð
=
Ð
，试探究线段EF ，BE
DF
，
之间的数量关系，并请说明理由．
(3)如图3，若
180
ABC
ADC
Ð
+ Ð
=
° 不变，点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延长线上，若
EF
BE
DF
=
+
，试探究
EAF
Ð
与
BAD
Ð
的数量关系，并说明理由．
一、单选题
1．如图，在ABC
V
中，
24cm
AB
AC
=
=
，
16cm
BC =
，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以4cm/s
的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若在某一时刻能使
BPD
△
与
CQP
△
全等．则点Q 的运动速度为（ ）
A．4cm/s
B．6cm/s
C．4cm/s或6cm/s
D．6cm/s或8cm/s
2．如图1，ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
满足
1
A
A
Ð
= Ð
，
1
1
AC
AC
=
，
1
1
BC
B C
=
，
1
C
C
Ð
¹ Ð
，我们称这样的两个三角
形为“伪全等三角形”．如图2，ABD
ACE
V
V
≌
，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图，AD 是ABC
V
的边BC 上的中线，点E 在线段AD 上，且
2
DE
AE
=
，F 是AD 延长线上一点，
ED
DF
=
，连接BE 、CF 、CE ，G 是EC 的中点，连接BG ．则下列结论错误
．．的是（ ）
A．CF
BE
=
B．
2
ABC
BEC
S
S
=
V
V
C．
ECF
BEC
S
S
=
V
V
D．
180
BEC
ECF
°
Ð
+ Ð
=
4．如图，已知：AC
BC
=
，DC
EC
=
，
90
ACB
ECD
Ð
= Ð
=
°，
38
EBD
Ð
=
° ，现有下列结论：
①
BDC
AEC
△
≌△
；②
135
AEB
°
Ð
=
；③BD
AE
=
；④AE
BD
^
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，分别以ABC
V
的边AB ，AC 为直角边，向外作等腰直角三角形ABD ，ACE ，连接BE ，CD，
BE ，CD交于点F ，连接AF ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．
DAF
DCA
Ð
= Ð
B．
90
EFC
Ð
=
°
C．FA 平分
BFC
Ð
D．BE
CD
=
二、填空题
6．如图，D、E、F 分别是ABC
V
三边上的点，AD 平分
BAC
Ð
，CE
BF
=
，
180
BFD
C
Ð
+ Ð
=
°，E 是AC
的中点，若DCE
V
的面积为
2
3cm ，则ABC
V
的面积为_____；
7．如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
=
，AB
AD
^
，AC
DC
^
，过点B 作BE
CA
^
于点E ，连接BD ，若
2
CD =
，
4
CE =
，
4
BCD
S
=
△
，则
ABD
S
=
△
________．
8．如图，在ABC
V
中，BE
AC
^
于点
,
E AF
BC
^
于点
,
45
F
ABC
Ð
=
°，点M 为直线BC 上一点，且
CM
AD
=
，点P 从点D 出发，以1 单位长度/秒的速度沿DB向点B 运动，同时，点Q 从点A 出发，沿射线AC
以4 单位长度/秒的速度运动，当点P 到达点B 时，,
P Q 两点同时停止运动．若
10
AC =
，设运动时间为t 秒，
当ADP
V
与MCQ
V
全等时，t = _________．
9．如图，已知ABC
DEC
V
V
≌
，
ACB
Ð
是锐角，
30
B
Ð
=
° ，
60
ACD
Ð
=
° ，延长BA 交DE 于点F ，交CE 于
点G ．
（1）
BGC
Ð
的度数为________；
（2）若AC
DE
P
，则
DCE
Ð
的度数为________．
10．如图，ABC
V
中，CD
AB
^
于点D ，CD
BD
=
，过点C 作CM
CA
^
，CM
CA
=
，连接BM 交CD于点
N ，若
15
BD =
，
7
AD =
，则CN = ____________．
三、解答题
11．根据题目条件，解答下列各题：
(1)观察理解：如图①，ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，AC
BC
=
，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，
BD
l
^ ，AE
l
^ ，垂足分别为D ，E ，试说明：
AEC
CDB
△
≌△
．
(2)理解应用：如图②，AE
AB
^
，且AE
AB
=
，BC
CD
^
，且BC
CD
=
，利用（1）中的结论，请按照图
中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =____________；
(3)类比探究：如图③，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
Ð
=
°，
8
AC = ，过点A 作AB
AB
¢ ^
于点A ，AB
AB
¢ =
，连接
B C
¢
，求AB C
¢
V
的面积．
12．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
V
中，若
10
AB =
，
6
AC =
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
=
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
V
V
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，AD 是ABC
V
的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，AE
EF
=
．若
6
EF =
，
4
EC =
，求线段BF
的长．
13．已知：ABC
V
，点E ，点D 分别在边AC ，AB 上，延长BC 至点F ，连接ED ，DF ，DF 交AC 于点
G ．现有四个条件：
①ED
BF
∥
；②AD
BF
=
；③DE
BD
=
；④AE
DF
=
．
请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明．
请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明．
14．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
Ð
=
°，AB
AC
=
．D 是直线AB 上任意一点，连接CD，过点C 作
CE
CD
^
，且CE
CD
=
，过点E 作EF
AC
^
，垂足为F，连接BE ，分别交AC ，CD于点M，N．
(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD 与CF 相等吗？为什么？
(2)在（1）的条件下，若
6
AB =
，
2
AD =
．
①AM 的长度为________；
②设
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，则
1
2
S
S
-
的值为________；
(3)如图2，当点D 在线段BA 的延长线上时，点M 是线段BE 的中点吗？说明理由．
15．探究下列问题：
(1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在ABC
V
中，
90
BCA
Ð
=
° ，
CA
CB
=
，直线MN 经过点C ，AD
MN
^
，BE
MN
^
，垂足分别为点D ，E ．能直接得到线段DE ，AD ，
BE 三者之间的数量关系： ．
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE
AD
BE
=
-
；
(3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以ABC
V
的边AB
AC
，
向外作正方形ABDE 和正方形ACFH
AH
，
是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点M ，当
3
BC = 时，AM = ．
