文档文本内容
1
【角平分线模型及拓展】题集【B】
1. 角平分线基本模型
1.
方法一：
方法二：
【解析】
【标注】
如图所示，在
中，
、
是外角平分线，
、
是内角平分线，
、
交于
，
、
交于
，若
．则
．
【答案】
由三角形中的双角平分线模型可得：
，
，
∴
．
∵
、
是外角平分线，
、
是内角平分线，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
【知识点】三角形-内外角角分线
2. 如图，已知
中，
，
平分
，
、
分别为
的两外角的平分
线，
平分
与
延长线交于点
．给出下列结论：①
；②
；
③
．其中正确结论的个数是（ ）．
2
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】D
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
，①正确；
，
∵
是
的平分线，
∴
，
∴
，②正确，
∵
，
∴
，
∴
，③正确．
【知识点】三角形内角和的应用
3. 如图，
，点
，
分别在射线
，
上运动，
平分
，
的反向延长
线与
的平分线交于点
，则
的度数是（ ）．
3
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
【答案】B
根据三角形的外角性质，可得
，
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选．
【知识点】三角形的外角定义及性质
A.
B.
C.
D.
4.
【解析】
如图，在
中，
，
平分
，
平分
，
，则
和
的关系为（ ）．
【答案】D
∵
，
平分
，
4
【标注】
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选
．
【知识点】三角形-内外角角分线
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
如图，在
中，
平分
，
平分
，
与
相交于点
，
．
求
的度数．
求
的度数．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
∵在
中，
∴
．
∵
，
又∵
平分
，
平分
∴
∴在
中，
．
【知识点】三角形-内角角分线
5
图
（1 ）
图
（2 ）
（3 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
完成下列各题．
如图，
平分
，
平分
，试确定
与
的数量关系．
如图，
平分
，
平分
，试确定
与
的数量关系．
如图，
平分
，
平分
，试确定
与
的数量关系．
E
A
F
B
C
D
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
∵
，
．
∴
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
6
（3 ）
【标注】
∵
，
∴
．
∵
平分
，
平分
，
∴
，
，
∵
，
∴
．
【知识点】三角形-内角角分线
7.
【解析】
如图，在
中，
，
、
分别平分
、
，
、
、
分别在
、
、
的延长线上，
、
分别平分
、
，
、
分别平分
、
，则
.
【答案】
∵
、
分别平分
、
，
，
7
【标注】
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
、
分别平分
、
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
、
分别平分
、
，
∴
，
，
∵
，
，
即
，
，
∴
，
∴
．
故答案为
．
【知识点】三角形-内外角角分线
（1 ）
（2 ）
8.
，点
、
分别在射线
、
上，
是
的平分线，
的反向延长线与
的平分线交于点
．
如图，当
，试求
．
如图，当
、
在射线
、
上任意移动时（不与点
重合），
的大小是否变化？若变
化，请说明理由；若不变化，求出
．
8
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
．
不变化，
．
∵
，
，
∴
．
∵
是
的平分线
是
的平分线，
∴
，
．
∵
，
∴
．
不变化，
．
∵
，
∴
，
．
∵
是
的平分线
是
的平分线，
∴
，
．
∵
，
∴
．
【知识点】三角形-外角角分线
9. 已知：如图，在
中，
、
的角平分线交于点
，
、
的外角平分
线交于点
．
9
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
求证：
；
若
的三个外角平分线交点为
、
、
（如图），求证：
为锐角三角形．
【答案】（1 ）
（2 ）
证明见解析．
证明见解析．
如图，
∵
平分
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理可得
，
在四边形
中，
∵
，
∴
．
如图，
∵
和
为
的外角平分线，
∴
，
，
10
【标注】
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
为锐角，
同理可得
，
，
∴
、
都是锐角，
∴
为锐角三角形．
【知识点】三角形内角和的应用
2. 结合模型
1.
【解析】
【标注】
如图，
与
有一个公共顶点
，且
、
、
共线，
在边
上，
与
的平分线
交于点
．若
，
，则
．
【答案】
因为
是
的角平分线，
是
的角平分线；
所以
，
；
根据飞镖模型，
；
；
所以
；
因为
；所以
；因为
；
．
【知识点】三角形内角和的应用
【知识点】角分线性质定理
11
【能力】推理论证能力
2.
【解析】
【标注】
如图，
和
的平分线相交于点
，设
，
，
，
的度数依次为，，
，，用仅含有两个字母的代数式表示
的度数 ．
【答案】
∵
和
的平分线相交于点
，
∴
，
，
在
和
中有：
，
即
①，
在
和
中有：
，
即
②，
①
②得：
，
，
．
【知识点】三角形-内角角分线
3. 如图，
、
、
在同一直线上，
平分
交
于
，
平分
，
延长线与
相
交于
，若
，
，则
度．
12
【解析】
【标注】
【答案】
∵
平分
，
∴
，
∴由飞镖模型得：
，
整理得：
，
即
①，
又∵
平分
，
由字模型得：
，
整理得：
，
即：
②，
由①②解得
，
故答案为
．
【知识点】角平分线的相关计算问题
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 解答下列各题：
如图，在
中，
，
，
，求
的度数．
图
图所示的图形中，有点像我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样图形叫做“规形
图”，观察“规形图”图，试探究
与
、
、
之间的关系，并说明理由．
图
13
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
如图，
平分
，
平分
，若
，
，求
的度数．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
略
略
略
【知识点】三角形内角和的应用
3. 模型拓展
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1. 已知在四边形
中，
．
．
如图，若
平分
，
平分
的外角，请写出
与
的位置关系，并证
明．
如图，若
、
分别四等分
、
的外角（
，
），试求
的度数．
14
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
，证明见解析．
．
四边形内角和为
，则
．
，延长
交
于点
，
∵
，且
平分
，
平分
的外角
，
∴
，
又
，
∴
即
．
设
，
则
，
，
又易知
，
∴
易知
，
∴
．
【知识点】三角形-内外角角分线
（1 ）
2. 阅读下面的材料，并解决问题．
已知在
中，
．
如图，
、
的角平分线交于点
，则
．
如图，
、
的三等分线交于点
、
，则
，
．
15
（2 ）
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
图
如图，
中，
、
的三等分线交于点
、
．若
，
，求
的度数．
图
如图，
中，
的三等分线分别与
的平分线交于点
、
．若
，
，求
的度数．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
;
;
．
．
．
∵
， 又∵
、
的三等分线交于点
、
， ∴
，
，
∴
，
．
∵
、
的三等分线交于点
、
， ∴设
，
， ∴
16
（3 ）
【标注】
，
，
，解得
． 则
．
设
，
，
，
，
则
．
【知识点】角分线性质定理
（1 ）
1
2
（2 ）
3. 如图①所示的图形像我们常见的学习用品﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在
这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：
观察“规形图”，试探究
与
、
、
之间的关系，并说明理由．
请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
如图②，把一块三角尺
放置在
上，使三角尺的两条直角边
、
恰好
经过点
、
，若
，则
．
如图③，
平分
，
平分
，若
，
，求
的度数．
17
3
4
（1 ）
【解析】
如图④，
、
的
等分线分别相交于点
、
、…、
，若
，
，求
的度数．
如图⑤，
、
的等分线分别相交于点
、
、…、
，若
，
，直接写出
（
）的度数（用含，的式子表
示）．
【答案】（1 ）
1
2
3
4
（2 ）
．
．
为
．
．
连接
并延长至点
，
18
1
2
3
4
（2 ）
【标注】
由外角定理可得
，
；
且
及
；
相加可得
．
由（）的结论易得：
，
又因为
，
，
所以
；
故答案是：
．
由（）的结论易得
，易得
；
而
，
代入
，
，易得
．
，
∵
，
设
为
，
∴
，
，
∴
为
．
【知识点】三角形-外角角分线
