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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 初一第二学期数学期末练习卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 16的算术平方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握：“ ，那么这个正数
叫做 的算术平方根”是解题的关键．
【详解】解：16的算术平方根是4，
故选A．
2. 在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标以及根据点的坐标判断点所在的象限，根据 的 ，得出
点 位于第二象限，即可作答．
【详解】解：∵
∴点 位于第二象限
故选：B
3. 如图，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得到 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
4. 不等式 的解集在数轴上可以表示为（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式，根据解集
判断即可，正确理解数轴与不等式解集的关系是解题的关键．
【详解】解：由 得 ，
解集表示在数轴上，只有C符合，
故选：C．
5. 下列调查方式中，你认为最合适的是（ ）
A. 了解北京市每天的流动人口数量，采用全面调查
B. 旅客乘坐飞机前的安检，采用抽样调查
C. 搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭零部件检查，采用全面调查
D. 测试某型号汽车的抗撞击能力，采用全面调查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面
调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调
查，据此判断即可.
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【详解】解：A、了解北京市每天的流动人口数量，适宜抽样调查，该选项不符合题意；
B、旅客乘坐飞机前的安检，事关重大，适宜全面调查，该选项不符合题意；
C、搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭零部件检查，精确度要求高，事关重大，采用
全面调查，该选项符合题意；
D、测试某型号汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，该选项不符合题意；
故选：C．
6. 已知 ， ， 是二元一次方程 的三个解， ， ， 是
二元一次方程 的三个解，则二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于 的解需要同时满足
方程 和 ，因此从方程 、 的解中找到同时满足这两个方程的解
即可．
【详解】解： ， ， 满足方程 ， ， ， 满足方程
，其中 同时满足 和 ，
二元一次方程组 的解是 ．
故选：D．
7. 若 ，则下列不等式正确的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两
边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方
向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】 、∵ ，∴ ，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵ ，∴ ，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵ ，∴ 或 ，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵ ，∴ ，原选项成立，此选项符合题意；
故选： ．
8. 小华同学在做家庭暑期旅游攻略时，绘制了西安市周边部分城市位置的示意图，如右图所示，分别以正
东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示武汉市的点的坐标为 ，表示西安
市的点的坐标为 ，则表示贵阳市的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐
标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键．根据已知武汉市的点的坐标为 ，表示西安市的点的坐
标为 ，确定原点的位置在成都， 轴在武汉和成都所在直线上，y轴在成都和兰州所在直线上，由此
建立平面直角坐标系即可得解．
【详解】解： 武汉市的点的坐标为 ，西安市的点的坐标为 ，所以如图建立平面直角坐标系，
根据图可知，表示贵阳市的点的坐标是 ，
故选：B．
9. 如图，正方形 的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左
侧，若 ，则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出
．先根据正方形的面积求出正方形的边长 ，即可求出 ，根据点A表示
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的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数．
【详解】解： 正方形 的面积为3，
，
，
，
点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，
点所表示的数为 .
故选：A.
10. 近年来汽车工业不断进行技术改革和升级，新能源汽车走进千家万户，与之配套的充电设施也在不断
建设中．从充电设施的应用场景看，充电设施可分为私人随车配建充电桩和公共充电桩．据新能源汽车国
家大数据联盟统计，2018—2023年我国充电设施累计数量情况如图所示
根据上述信息，给出下列四个结论：
①2018—2023年，每年充电设施累计数量呈上升趋势；
②2023年新增公共充电桩数量超过90万台；
③2018—2023年，每年新增的随车配建充电桩数量逐年上升；
④2018—2023年，随车配建充电桩累计数量占充电设施累计数量的百分比最高的年份是2023年．
其中所有正确的结论是（ ）
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A. ②③ B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了统计分析中的折线图和条形统计图，理解图表，从图表中获取信息，分析信息是解题
的关键．根据图表所给的信息，进行逐一判断即可．
【详解】解：①根据折线图可知， 2018—2023年，每年充电设施累计数量呈上升趋势, 故结论①正确，
符合题意；
②根据图中数据，2023年新增公共充电桩数量为 （万台），故结论②正确，符合题
意；
③根据图中数据，2018—2019年，新增随车配建充电桩数量为 （万台），2019—2020
年，新增随车配建充电桩数量为 （万台），故每年新增的随车配建充电桩数量不是逐年
上升，故结论③错误，不符合题意；
④根据图表显示，2018—2023年，随车配建充电桩累计数量占充电设施累计数量的百分比比较大的年份是
2022年和2023年，其中2022年： ，2023年： ，所以
2023年百分比最高，故结论④正确，符合题意；
综上所述，结论①②④正确，
故选：B．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的P点处出发，选择到对面的
______（填A，B或C）点处折返一次回到P点时，跑过的路程最短．
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【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的线段中，垂线段最短．解题的关键是理解垂线段最短．
小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练中， 为垂线段最短，即可求解．
【详解】 小明在进行折返跑训练中， 为垂线段最短
选B点折返跑过的路程最短．
故答案为：B．
12. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD ＝ 38°，∠BOC ＝______度．
【答案】128°
【解析】
【分析】根据垂直定义得到∠AOE=90°，进而可求得∠AOD=128°，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，又∠EOD=38°，
∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=90°+38°=128°，
∴∠BOC=∠AOD=128°，
故答案为：128°．
【点睛】本题考查垂直定义、对顶角相等，掌握对顶角相等是解答的关键．
13. 已知 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么a的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键．把 代入方程
得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，
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，
解得 ．
故答案为：3.
14. 几个人共同购买一件物品，若每人出9元，则多出3元；若每人出7元，则还差5元．设人数为x人，
购买费用为y元，可列方程组为______（只列不解）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据每人出9元，则多出3元可得方程 ，
根据每人出7元，则还差5元可得方程 ，据此列出方程组即可．
【详解】解：设人数为x人，购买费用为y元，
由题意得， ，
故答案为： ．
15. 已知 ， ， ， ， 为正整数，且 ，若 ，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
由题意知， ， ， ，
，则 ，可求 ，则
的最大值为 ，同理可求 ，则 的最大值为 ， 的最大值为 ，然后求
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的最大值即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ， 为正整数，且 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的最大值为 ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ 的最大值为 ，
同理， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，连接 ， ， 为
折线段 上的动点（P不与点A，C重合），记 ，其中a为实数．
（1）当 时，t的最大值为______；
（2）若t存在最大值，则a的取值范围为_________．
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【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的
几何意义是解题的关键．
（1）当 时， ，根据绝对值的几何意义，可知 表示 与直线 之间的距离，当
点 在点 时，距离最大，由此得解；
（2）先求出当点A和 到直线 距离相等时，此时 ， 有最大值，然后画图分析可知，当直
线 在直线 上方时，点 距离直线 距离最大，由于点P不与点A重合，此时
取不到最大值，当直线 在直线 下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由
此得解．
【详解】解：（1）当 时， ，根据绝对值的意义，可知 表示 与直线 之间的
距离，
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当点 与点 重合时，距离最大，此时 ．
（2）如图，直线 ，
此时，折线段 上，点 、 距离直线 的距离最大，都是 ，
当 时， ， 表示 与直线 之间的距离，
当点 与点 重合时， 取得最大值 ，
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如图：当直线 ，在直线 上方，即 ， ，
此时，折线段 上，点 距离直线 距离最大，
若 ， ， 表示 与直线 之间的距离，由于P不与点A重合，
此时 不存在最大值．
当直线 ，在直线 下方，即 ， ，
此时，折线段 上，点 距离直线 距离最大，
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若 ， ， 表示 与直线 之间的距离，此时 存在最大值，即当 在
点 处时取得最大值．
综上所述， ，t存在最大值．
故答案为：①2；② ．
三、解答题（本题共 52分，第17-19题，每小题4分，第20-21题，每小题5分，第22题6
分，第23-24题，每小题5分，第25题7分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤
或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，同时计算绝对值，再计算加减法，熟练
掌握实数混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．利用加减消元
法进行求解即可．
【详解】解：
得， ．
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解得 ．
将 代入②，即 ，
解得 ．
原方程组的解为 ．
19. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组 的解法是解题的关键．分别求出两
个不等式的解集，然后求出解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
由不等式 ，
去分母得， ．
去括号得， ．
解得 ．
原不等式组的解为 ．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，将线段 向右平移2个单位，再向
上平移1个单位，得到线段 ．
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（1）在图中画出线段 ，并直接写出点 的坐标；
（2）点M在y轴上，若三角形 的面积为1，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出 的坐标，再画出线段 即可．
（2）设 ，则 ，根据三角形面积计算公式得到 ，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵点 ， ，将线段 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到线段 ，
∴ ，
如图所示，线段 即为所求；
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【小问2详解】
解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵三角形 的面积为1， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴点M的坐标为 或 ．
21. 如图，已知直线 ， ．
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（1）证明： ；
（2）连接 ， 平分 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是
解题的关键．
（1）由 ，可得 ，由 ，可得 ，进而可得
．
（2）如图，由 平分 ，可得 ，由（1）可知， ，
， ，则 ，由 ，可得
，即 ，可求 ，根据
，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ．
【小问2详解】
解：如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
由（1）可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
22. 根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素
某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓
材
时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
一
精包装 简包装
素
材
二 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元
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问题解决
任
在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少
务
盒？
一
任 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个
务 精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以
二 内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
【答案】任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：精包装6个，简包装21个，见解
析
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，
（1）设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可；
（2）设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出下列方程和不等式解答
【详解】任务一：
解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒．
解这个方程组，得
答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒．
任务二：
为
解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n 正整数）．
依题意可列出下列方程和不等式：
，①
．②
由①得 ．将 代入②．得 ；
因为m，n为正整数，所以 ， 或 ， ．
分装方案1：精包装6个，简包装21个
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分装方案2：精包装3个，简包装23个
23. 为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程
马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究．
（1）第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下：
成绩x（分 频数
频率
钟） （人）
2 0.04
0.08
8
17 0.34
10 0.20
3 0.06
5 0.10
1 0.02
合计 1
①请把上面的频数分布直方图补充完整；
②在2023年，该俱乐部共有280名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足
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的人数为______（结果精确到个位）；
（2）第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了30名
选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）．
请根据以上信息解答下面的问题：
①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）；
②将这30名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“
”“ ”“ ”）．
【答案】（1）①见解析；②45
（2）①少；②
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，频数分布折线图：
（1）①用成绩为 分别的人数除以其人数占比求出参与调查的人数再乘以成绩在 分
钟的人数占比，求出成绩在 分钟的人数，进而补全统计图即可；②用280乘以样本中成绩在
分别的人数占比即可得到答案；
（2）①根据统计图即可得到答案；②根据统计图即可得到答案．
【小问1详解】
解： ，
∴成绩在 分钟的人数为4人，
补全统计图如下：
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② 人，
∴估计该年俱乐部中成绩x满足 的人数为45人；
【小问2详解】
解：①由统计图可知，小赵2024年的比赛用时为80分钟，小赵2023年的比赛用时大于90分钟，
∴小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时少；
②如图所示，由统计图可知在 左上方的点少于右下方的点，即2024年成绩比2023年成绩好的人数多
于不好的人数，
∴ ．
24. 已知二元一次方程组 的解为 ，在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点为 ，若在线
段 上存在 个整数，则称二元一次方程组 为 系方程组．
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（1）二元一次方程组 是______系方程组．
（2）关于 ， 的二元一次方程组 是3系方程组，直接写出 的取值范围．
（3）关于 ， 的二元一次方程 是2系方程组，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）1 （2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）代入消元法解方程组得 ，则在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点为
，在线段 上存在1个整数，然后作答即可；
（2）加减消元法解方程组得 ，由题意知，在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点
为 ，在线段 上存在3个整数，为 ，或 ，当整数为 时，则 ，计算求解即可；
当整数为 时，则 ，计算求解即可；
（3）代入消元法解方程组得 ，由题意知，在数轴上实数 所对的点为 ，实数
所对的点为 ，在线段 上存在2个整数，则 ，即 ，
计算求解即可．
【小问1详解】
解： ，
②代入①得， ，
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解得， ，
∴ ，
∴在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点为 ，在线段 上存在1个整数，
∴二元一次方程组 是1系方程组，
故答案为：1；
【小问2详解】
解； ，
得， ，
解得， ，
将 代入①得， ，
解得， ，
∴ ，
∴在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点为 ，在线段 上存在3个整数，为 ，或
，
当整数为 时，则 ，
解得， ；
当整数为 时，则 ，
解得， ；
综上所述， 或 ；
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【小问3详解】
解： ，
将②代入①得， ，
解得， ，
∴ ，
由题意知，在数轴上实数 所对的点为 ，实数 所对的点为 ，在线段 上存在2个整
数，
∴ ，即 ，
当 时，解得， ；
当 时，解得， ；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间
的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴
上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键．
25. 已知C为射线 上方一点，过点C作 的平行线 ，点O在射线 上运动（不与点A，C重
合），点D在射线 上，连接 ，满足 ．
（1）如图1，点O在线段 上， ，若 ，依题意补全图形，并直接写出 的度
数；
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（2）点E，F在射线 上，连接 ， ，满足 ．
①如图2，点O在线段 上， ，写出一个m的值，使得 恒为定值，并求出
此定值；
②如图3， ， ，若直线 和直线 中至少有一条与直线 平行或垂直，直
接写出m的值．
【答案】（1）补图见解析，
（2）① ；②m的值为 或 或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用平行线的性质 ，利用三角形外角的性质求出 ，即可求解；
（2）①设 ，则可求 ， ， ，
， ， ，进而求出
则 ，即 时， ，即可求解；
②分点O在线段 、线段 的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内
角和定理等求解即可．
【小问1详解】
解：补图如图，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①设 ，
如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴
，
∴当 ，即 时， ，
∴当 时， 恒为定值 ；
②当O在线段 时，若 ，如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
由①知： ，
∴ ，
解得 ；
当O在线段 时，若 ，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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解得 （舍去）；
当O在线段 延长线时，若 ，如图，
则
∵ ，
又 ，
∴
∴ ，
解得 ；
当O在线段 延长线时，若 ，如图，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上，m的值为 或 或 ．
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26. 在平面直角坐标系 中，对于点 ， ，令 ， ，将 称
为点A与点B的特征值．对于图形M和图形N，若点A为图形M上的任意一点，点B为图形N上的任意
一点，且点A与点B的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形M与图形N的特征值．
（1）已知点 ， ．
①点A与点B的特征值为______；
②已知点C在y轴上，若点A与点C的特征值为5，则点C的坐标为______；
（2）已知点 ， ，将线段 以每秒1个单位的速度向左平移，经过 秒后得到线段
．
①已知点 ， ，求点F与线段 的特征值h的取值范围；
②已知面积为2的正方形的对角线交点为 ，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形
与线段 的特征值为k，则k的最小值为________；当 时，t的取值范围为________．
【答案】（1）①7；② 或
（2）① ；② ；
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中新定义下的几何动点问题，绝对值的几何意义，平行线的性质和判
定，三角形全等的判定和性质，理解题干中的新定义，灵活运用绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）① 根据特征值的定义即可求； ② 根据特征值的定义即可求；
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（2）① 线段 经过 秒后得到线段 , .设点 为线段 上的任意
一点, 点 与 的特征值为： ， 的最大值为点 与线段 的特征
值 . 的几何意义为 与点 之间的距离，故在运动过程中，特征值 的最小值是当线段
的中点在 时取得，而最大值是在线段 的端点取得，可求得当 ， 在端点
时，特征值 取得最大值，由此求得其取值范围；
② 先根据已知条件，得到正方形的边长为 ，当 变化时，该正方形 的中心在一三象限角
平分线 上运动，证明对于在正方形 上（包含边和内部）的任意一点 ，横纵坐标差的绝对
值 ，且在点 和 取得最大值 ，得到 ，设线段 上任意一点为
，点 与点 的特征值为： ， 的最大值为正
方形与线段 的特征值为 .当线段 运动时，把 看成一个整体，则相当于在原来线段
的基础上，点 向左平移 个单位，点 向右平移 个单位，即对应为端点 ，
，经过时间 ， ， ，长度为 的线段 在 轴
上向左运动， 的几何意义则是线段 在 轴上向左运动过程中，线段 上点与原点 的
距离，当线段 的中点位置在原点 时，正方形与线段 的特征值 取得最小值；当 时，根
据线段 的运动过程可知， 的最大值是在线段的端点取得，当线段 在 轴右侧时，
的最大值在点 取得，当线段 在 轴左侧时， 的最大值在点 取得，将端点
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的坐标值代入，解不等式即可得解．
【小问1详解】
解：① 点 ， ，
， ，
，
点A与点B的特征值为7．
② 已知点C在y轴上，设 ，又点 ，
， ，
，
的
点A与点C 特征值为5，
，
或 ，
解得 或 ，
点C的坐标为 或 ．
【小问2详解】
解：① ,线段 经过 秒后得到线段 ,
.
设点 为线段 上的任意一点,
则 .
,
点 与 的特征值为： .
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的最大值为点 与线段 的特征值 .
,
，
.
当 时, 取得最大值6 .
点 为线段 上的任意一点,且 的长度为2.
当点 和点 关于 对称时，即 .
此时 取得最小值1.
点 与线段 的特征值 的取值范围为: .
② 已知面积为2的正方形的对角线交点为 ，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，
正方形的边长为 ，当 变化时，该正方形 的中心在一三象限角平分线 上运动，
作一三象限角平分线 的平行线 ，当平行线 在下方时，在直线 上，且在正方形 上（除点
和 点外，包含正方形的边和正方形内部）任取点 ，过 分别作 轴， 轴垂线，连接 ，
如图所示，
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， ，
， ，
又 ，
，
，
，
又 在一三象限角平分线 上， ，
，
同理可得 ，
，
当平行线 在一三象限角平分线 上方时，
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同理可证， ，
此时 ，
当点在线段 上时，有 ，
当正方形 上（除点 和 点外，包含正方形的边和正方形内部）任意一点 ，横纵坐标
差的绝对值 小于正方形边长，即 ，
当在 点时，有 ，当在 点时，有 ，
综上所述，对于在正方形 上的任意一点 ，横纵坐标差的绝对值 ，且在点 和
取得最大值 ，在线段 上时取得最小值0，即 ．
设线段 上任意一点为 ，
则 ， ，
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点 与点 的特征值为： ，
的最大值为正方形与线段 的特征值为 .
线段 长度为2，当 时，即线段 还未开始运动时，此时 在线段 上， ，
而 ，
，
当线段 运动时，把 看成一个整体，则相当于在原来线段 的基础上，点 向左平移
个单位，点 向右平移 个单位，即对应的端点 ， ，经过时间 ，
， ，长度为 的线段 在 轴上向左运动，如图所示，
的几何意义则是线段 在 轴上向左运动过程中，线段 上点与原点 的距离，在这
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个过程中， 的最大值中的最小值，即正方形与线段 的特征值 的最小值，是当线段 的
中点位置在原点 时，此时端点 、 与原点 距离都为 ，
正方形与线段 的特征值为 最小值为 ，
当 时，根据线段 的运动过程可知， 的最大值是在线段的端点取得，
当线段 在 轴右侧时， 的最大值在点 取得， 的坐标为 ，距离原点的
距离为 ，
此时 ，
解得 ，
当线段 在 轴左侧时， 的最大值在点 取得， ，距离原点距离为
，
此时 ，解得 ，
综上所示，当 时，t的取值范围为 ．
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