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2023 年高考押题预测卷 03【全国卷甲卷】
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目）
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若执行下面的程序框图，则输出的 （ ）
A．有6个值，分别为6，10，28，36，66，78
B．有7个值，分别为6，10，28，36，66，78，91
C．有7个值.分别为6，10，28，36，66，78，120
D．有8个值，分别为6，10，28，36，66，78，120，136
4．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评
估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100
分制），评价标准如下：
中位数
评价 优秀 良好 合格 不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）
A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
5．如图，在梯形ABCD中， ， ， ，将△ACD沿AC边折起，使得点D
翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为 ，则 （ ）
A．8 B．4 C． D．2
6．双曲线 的离心率为 ，其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则 （ ）
A． B． C．2022 D．2023
8．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为 的等腰
梯形，则该四棱台的体积为（ ）A． B． C．28 D．
9．某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，
使学生树立正确的劳动观 某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为 ， ， ， 四
块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫 区域，乙不去打扫 区域，则不同的安排方法的种
数为（ ）
A． B． C． D．
10．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函
数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
11．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的
等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操
作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形
的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A． B． C． D．
12．设函数 ，其中 ， 是自然对数的底数（ …），则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知单位向量 ， 满足 ，则 ， 夹角的余弦值为__________.
14．若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为______.
15．已知函数 的图象的相邻两个对称轴之间的距离为 ，且
恒有 ，若存在 成立，则 的取值范围为
__________．
16．已知函数 ， ，若 时， 恒成立，则实数 的
取值范围是____.
三、解答题（共5题，每小题12分，共60分，请写出必要的文字说明或解答过程）
17． 的内角 的对边分别为 ， ，且______．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， 底面ABCD，若 ， ，
E，F分别为 ， 的重心．
(1)求证： 平面PBC；
(2)当 时，求平面PEF与平面PAD所成角的正切值．
19．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，此次大会是在全党
全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一
次十分重要的大会.在树人中学团委的组织下，高二年级各班团支部举行了“学习二十大，做有为青年”的
知识竞赛活动，经过激烈竞争，高二（1）班（以下简称一班）和高二（3）班（以下简称三班）进入了最
后的年级决赛，决赛规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前
两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题
20分，B题库每题30分，一班能正确回答A、B题库每题的概率分别为 、 ，三班能正确回答A、B题
库每题的概率均为 ，且每轮答题结果互不影响.
(1)若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；
(2)若一班和三班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，三班两轮得分30分，一班后三
轮换成A题库，三班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来
判断，哪个班赢下这场比赛？20．平面内动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 分别交轨迹 于点 和 ，求四边形 面积 的最小值.
21（12分）．已知函数 .
(1)若 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)设 ，在（1）的条件下，若满足 ，求证： .
四 选做题（请从22.23两题中选做一题，写出必要的文字说明与证明过程，若两题全做，则以22题为准，
每道题目10分）
22．在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为 ( 为参数)，以O为极点，x轴正半轴为
1
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .(1)求 的极坐标方程;
(2)A点极坐标为 ， 为 上的一点，且满足 ，求 .
23．已知函数 .
(1)解不等式 ;
(2)若 ,对任意 ,存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
