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2023 年高考押题预测卷 03
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直
角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 的图象关于 对称，当 的最小正周期取得最大值时，距
离原点最近的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且斜率为1的直线交椭圆于 两点.若
的中点坐标为 ，则 的方程为（ ）A． B．
C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B．－1 C． D．
7．若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长的尺子，要能够量出长度为 到
且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根 的尺子，要在至多测量
两次的情况下量两次量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在 中，已知 ， ， ，当 取得最小值时，
的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 ，方差为 ，乙组数据
的平均数为 ，方差为 ．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，点P为直线 上的一点，点Q为圆 上的一点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
12．在三棱锥A－BCD中， ，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三
棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），
．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． C． D．2π
第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
14．已知函数 的定义域为 ,其导函数为 ,若函数 为偶函数,函数 为偶函数,则下列
说法正确的序号有___________.
①函数 关于 轴对称;
②函数 关于 中心对称;
③若 ,则 ;
④若当 时, ,则当 时, .
15．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交抛物线 于
两点，则 的取值范围是___________.
16．若函数 的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数
具有 性质.若函数 具有 性质，其中 ， ， 为实数，且满
足 ，则实数 的取值范围是______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．设 是数列 的前n项和，已知 ， .
(1)求 ， ；
(2)令 ，求 .
18．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱
子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球， .现两人各从自己的
箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜.
(1)当 ， ， 时，求乙胜的概率；
(2)若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最
大值，并求此时x，y，z的值.19．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ， ，
为棱 的中点， 是棱 上一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦
值．
20．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 到 的一条渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的左顶点且不与 轴重合的直线交 的右支于点 ，交直线 于点 ，过 作 的平行线，交
直线 于点 ，证明： 在定圆上.
21．设函数 .
(1)求 在区间 上的极值点个数；
(2)若 为 的极值点，则 ，求整数 的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为
，直线l的普通方程为 ．
(1)将C的极坐标方程化为参数方程；
(2)设点A的直角坐标为 ，M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程并判断 与l的位置关系．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 、 、 均为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)比较 与 的大小．
