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专练 46 高考大题专练(四) 立体几何的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，18]在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD
＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
2．[2022·全国乙卷(理)，18]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝
∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平
面ABD所成的角的正弦值．3．[2022·安徽省安庆市高三二模]如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，
AB＝BC＝2CD，△PBC是等腰三角形，PB＝PC，且平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求证：BC⊥PA；
(2)如果直线PD与平面ABCD所成角的大小为45°，求平面PAD与平面PBC所成锐二
面角的余弦值．
4．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]《九章算术》记录形似“楔体”的所谓“羡除”，就
是三个侧面都是梯形或平行四边形(其中最多只有一个平行四边形)、两个不平行对面是三
角形的五面体．如图，羡除ABCDEF中，ABCD是正方形，且△EAD，△FBC均为正三角
形，棱EF平行于平面ABCD，EF＝2AB.
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求二面角EACF的大小．
5．[2022·安徽省皖北协作区联考]如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方
形，AB⊥BC，BE∥CD，∠BCD＝，AB＝2，BC＝CD＝1，CM＝CA.(1)线段AD上是否存在一点P，使得AF∥面BMP？若存在，确定点P的位置，若不存
在，请说明理由；
(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值．
