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海淀区 2024—2025 学年第二学期期中练习
高三数学
2025.04
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数 的图象一定经过点（ ）
A. B.
.
C D.
4. 已知直线 经过圆 的圆心，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. 0 D. 15. 已知四个数 ， ， ， ，其中最小的是（ ）
.
A B.
C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则 （ ）
A. 1 B.
C. D. 2
7. 已知 纸的长宽比约为 ．现将一张 纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等
于 纸的长时，设其体积为 ，轴截面的面积为 ；当该圆柱的高等于 纸的宽时，设其体积为 ，
轴截面的面积为 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 已知 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列．若 ，则“ 是递增数
列”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数 的部分图象如图所示．若 ， ， ， 四点在同一个圆上，则
（ ）A. 1 B.
C. D.
10. 对于无穷数列 和正整数 ，若存在 满足 且
，则称数列 具有性质 ．下列选项中错误的是（ ）
A. 若 ，则数列 不具有性质
B. 若 ，则数列 具有性质
C. 存在数列 和 ，使得 和 均不具有性质 ，且 具有性质
D. 若数列 和 均具有性质 ，则 具有性质
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知 ，则 ________．
12. 已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，则该双曲线的离心率为________．
13. 已知向量 ， ，则 的最大值为________； 与 的夹角的取值范围是________．
14. 已知函数 （ 且 ）．若 的值域为 ，则 的一个取值为________；若 的值域为 ，则 的取值范围是________．
15. 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮 和转轮 组成， 的圆心固定在转轮 上的点
处，某个座椅固定在转轮 上的点 处． 的半径为10米， 的半径为5米， 的圆心 距离地面竖
直高度为20米．游乐设施运行过程中， 与 分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转， 旋转一周用时
分钟， 旋转一周用时 分钟．当 在 正下方且 在 正下方时，开始计时，设在第 分钟 距离地
面的竖直高度为 米．给出下列四个结论：
① ；
② 最大值是35；
③ 在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在 ，使得 时 到 的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，五面体 中，四边形 是正方形．（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ， ， ，求直线 与平面 所成角
的大小．
17. 在 中，已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯
一，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现
设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取
1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，
这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
操作
经济损
保留观 停机更 检查维
失
察 换 修
设备状
态
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工
厂带来的总经济损失为 千元，求 的分布列和数学期望 ；
的
（3）该工厂 某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下
面有三种维护这2台设备的操作方案：
发热情
况
操作方 发热 未发热
案
编号
检查维 保留观
①
修 察
停机更 检查维
②
换 修
停机更 保留观
③
换 察
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．
19. 已知椭圆 ， ， 分别是 的左、右顶点， 是 的上顶点， 的
面积为2，且 ．
（1）求椭圆 的方程及长轴长；（2）已知点 ，点 在直线 上，设直线 与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ，
判断点 是否在椭圆 上，并说明理由．
20. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线为 ，求 的值；
的
（2）若 为 上 单调函数，求 的取值范围；
（3）若函数 ，求证： 可以取无数个值，使得每一个 的取值 都恰有三个不
同的零点．
21. 设正整数 ，对于数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ：
．已知数列 满足 ．记
．
（1）若 ： ，写出数列 ， ；
是
（2）若 为奇数且 不 常数列，求证：对任意正整数 ， 都不是常数列；
（3）求证：当且仅当 时，对任意 ，都存在正整数 ，使得 为常数列．
