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试卷编号：10461
北京一零一中 2023-2024 学年度第二学期高三数学三模
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1．已知集合 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．下列函数中，满足对任意的 ，都有 的是（ ）
A． B． C． D．
4．若等差数列 满足 ，则其前n项和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设l是直线， 是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．若 为钝角三角形，且 ，则边c的长度可以为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．
7．已知点N在边长为2的正八边形 的边上，点M在边 上，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．8．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲
线右支上一点，连接 交y轴于点B．若 为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，其中 ，则“存在 ，使 ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．平面内相距 的 两点各放置一个传感器，物体P在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实
时记录下 两点与P的距离，并绘制出“距离-时间”图象，分别如图中曲线 所示．已知曲线a经过点
，曲线b经过点 ，且 ．若P的运动轨迹与线段 相
交，则P的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及 分别为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在 的展开式中， 的系数为_______．
12．已知角 的终边关于原点O对称，则 _______．
13．若斜率为 的直线与y轴交于点A，与圆 相切于点B，则 _______．
14．已知函数 ，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组的值为 _______， _______．
15．已知函数 ，其中 表示不超过x的最大整数．例如： ，
．给出以下四个结论：
① ；
②集合 的元素个数为9；
③存在 ，对任意的 ，有 ；
④ 对任意 都成立，则实数a的取值范围是 ．其中所有正确结论的序号
是_______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在 中， ．
（1）求证 为等腰三角形；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一，求b的值．
条件①： ；条件②： 的面积为 ；条件③： 边上的高为3．
17．（本小题13分）
如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点．
（1）求证： 四点共面；（2）求 与平面 所成角的正弦值；
18．（本小题14分）
自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注．选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术
动作．“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到．不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中
四个跳跃动作 的“基础分”如表1所示．
跳跃动作
基础分 9.5 9.7 11.0 11.5
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”．把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失
败”．表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”．
12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98
10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07
13.69 5.50 14.02 12.92
13.54 14.23 11.21 8.38 11.87
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立．
（1）从该选手上一赛季所有 动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
（2）若该选手在本赛季中，计划完成 这三个动作，且每个动作只完成一次．将这三个动作中成
功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望 ；
（3）在本赛季中，从四个跳跃动作 中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃
个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称．
19．（本小题15分）
已知椭圆 的离心率为 ，其长轴的两个端点分别为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上除 外的任意一点，直线 交直线 于点E，点O为坐标原点过点O且与直线
垂直的直线记为l，直线 交y轴于点M，交直线l于点N，问：是否存在点P使得 与 的
面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题15分）
已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行．①求a的值；
②证明：函数 在区间 内有唯一极值点；
（2）当 时，证明：对任意 ．
21．（本小题15分）
设 ，若非空集合 同时满足以下4个条件，则称 是“ 无和划分”；
① ；
② ；
③ ，且C中的最小元素大于B中的最小元素；
④ ，必有 ．
（1）若 ，判断 是否是“ 无和划分”，并说明理由．
（2）已知 是“ 无和划分” ．
①证明：对于任意 ，都有 ；
②若存在 ，使得 ，记 ．证明： 中的所有奇数都属于A．北京一零一中 2023-2024 学年度第二学期高三数学三模参考答案
1．A 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B
11． ． 12． ． 13． ．
14． （答案不唯一，满足 或 即可）． 15．①④．
16．（1）在 中， ，
设 ，其中 ．
根据余弦定理 ，
得 ．
整理，得 ，
因为 ，解得 ，所以 ．
所以 为等腰三角形．
（2）若选择条件②：在 中，由 ，得 ．
所以 ．
解得 ，即 ．
若选择条件③：在 中，由 边上的高为3，得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
17．（1）如图，取 的中点M，连接 ，
因为 分别是棱 的中点，易得 ，所以 ，
所以 四点共面，
又 ，
所以 ，
则 四点共面，而过不共线的的三点 的平面具有唯一性，
则平面 与平面 重合，
故 四点共面．
（2）以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的的边长为a，
则 ，
则 ，
设 是平面 的法向量，
则 所以 所以
取 ，则 ，所以 ，
，所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（1）根据题中数据，该选手上一赛季7个 动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季
所有 动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为 ．
（2）同（1），从该选手上一赛季所有 动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计
为 ．
X的所有可能取值为 ．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为：
所以 ．（3） ．
19．（1）由题意，得 ．又 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
故椭圆C的方程为 ．
（2）设 ，则 ．
所以直线 的方程为 ，
令 ，得点E的坐标为 ．
因为直线 的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，
又因为直线 的方程为 ．
联立直线l和直线 的方程，消去y得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得点N的横坐标 ．要使得 与 的面积相等，应有 ，
解得 ，
由 可得点P的坐标为 ．
20．（1）①因为函数 ，
所以 ，
因为曲线 在点 处的切线与直线 平行，
所以切线的斜率为1，
则 ，即 ，解得 ，
检验：当 时， ，因此切线方程为 ，符合题意，
故 ．
②由①可知， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增，即 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，即 单调递减，
又 ，
故存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，所以当 时，函数 取得极大值 ，
故函数 在区间 内有唯一极值点．
（2）由（1）可知，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
因为 ，则 ，且 ，
①若 ，即 时，则 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上单调递增，
故 ，符合题意；
②若 ，即 时， ，
因为 ，
故存在 ，使得 ，
当 时， 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值 ，
即 且 ，符合题意．
综上所述，当 时，对任意 ．
21．（1）不是．
取 ，则 ，说明 不是“ 无和划分”．
（2）①假设存在 ，使得 ，记m的最小值为 ，则 ；设B中最小的元素为b，则 ，所以 ，
所以 （否则与 矛盾），
（否则与 矛盾），所以 ，
因为 ，所以 不同属于C．
所以 这与 矛盾．
所以假设不成立．
②因为 是“ 无和划分”，且存在 ，使得 ，记i的最小值为 ，所以 ；
由①知 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
设B中最小的元素为b，若 ，则 ，所以 ，
所以 （否则与 矛盾），
所以 （否则 与 矛盾），
所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ，
这与 矛盾，所以 ，即 ．
所以 ，所以 ．
所以 ，所以 （否则与 矛盾），所以 ．
若 ，则与 和 矛盾，所以 ，所以 ，
（否则与 矛盾），
（否则与 矛盾），所以 ．
以此类推，对于任意奇数 ，都有 ．
所以 为偶数（否则， ，与 和 矛盾），所以 均为奇数．
因为 ，所以 （否则与 矛盾），所以 ，
所以 ，所以 （否则与 矛盾），所以 ，
以此类推，对于任意大于 ，小于或等于n的奇数都属于集合A．
综上所述， 中的所有奇数都属于集合A．
