专题6.2等差数列及其前n项和十一大题型（解析版）_2026高考数学系统提分方案《189个题型专项突破合集》_专题6.2等差数列及其前n项和十一大题型

专题 6.2 等差数列及其前 n 项和【十一大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)........................................................................................................................3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:28)........................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:28)........................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:28)............................................................................................................................9
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:28)..................................................................................................................11
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:28)..............................................................................................................12
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:56)(cid:47)(cid:27)(cid:28)..........................................................................................................................14
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:49)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:28)..............................................................................................................17
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 (cid:62)(cid:63)(cid:64)(cid:54)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:61)(cid:21)(cid:28)..................................................................................................................20
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:65)(cid:33)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:61)(cid:21)(cid:28)................................................................................................................23
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:69)(cid:3)(cid:33)(cid:23)(cid:40)(cid:70)(cid:71)(cid:23)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:21)(cid:28)........................................................................................26
1(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:46)(cid:74)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)
(cid:25)(cid:75)(cid:76)(cid:77) (cid:78)(cid:21)(cid:79)(cid:80) (cid:25)(cid:72)(cid:81)(cid:82)
(1)(cid:15)(cid:83)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85) (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:116)(cid:75)(cid:117)(cid:118)(cid:92)(cid:119)(cid:120)
2022 (cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:112)(cid:17)(cid:13)(cid:113)(cid:10)
(cid:52)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:33)(cid:86)(cid:70) (cid:24)(cid:25)(cid:33)(cid:121)(cid:25)(cid:117)(cid:118)(cid:122)(cid:104).(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:107)(cid:33)(cid:24)(cid:25)
(cid:114)13(cid:21)(cid:92)5(cid:81)
(2)(cid:87)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) (cid:72)(cid:126)(cid:127)(cid:128)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:80)(cid:38)(cid:52)(cid:34)
2023(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:111)(cid:10)(cid:114)7(cid:21)(cid:92)
(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:15)(cid:83)(cid:30) (cid:35)(cid:44)(cid:45)(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:65)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:71)(cid:39)(cid:40)(cid:115)
5(cid:81)
(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:41)(cid:51)n (cid:24)(cid:25)(cid:25)(cid:129)(cid:33)(cid:116)(cid:75)(cid:92)(cid:130)(cid:76)(cid:131)(cid:20)(cid:132)(cid:21)(cid:71)(cid:133)(cid:134)
2023(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:111)(cid:10)(cid:114)18(cid:21)(cid:92)
(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:33)(cid:3)(cid:93) (cid:21)(cid:33)(cid:135)(cid:50)(cid:25)(cid:129)(cid:92)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:140)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)
12(cid:81)
(3)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:61)(cid:21)(cid:72)(cid:98)(cid:65)(cid:92) (cid:42)(cid:43)(cid:71)(cid:77)(cid:52)(cid:46)(cid:141)(cid:142)(cid:47)(cid:27)(cid:115)(cid:24)(cid:25)(cid:25)(cid:129)(cid:33)(cid:143)
2024(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:111)(cid:10)(cid:114)19(cid:21)(cid:92)
(cid:99)(cid:100)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:3)(cid:93)(cid:92)(cid:89) (cid:75)(cid:92)(cid:104)(cid:144)(cid:145)(cid:100)(cid:95)(cid:83)(cid:146)(cid:21)(cid:65)(cid:92)(cid:136)(cid:137)(cid:65)(cid:30).
17(cid:81)
(cid:83)(cid:101)(cid:102)(cid:47)(cid:33)(cid:61)(cid:21) (cid:147)(cid:107)(cid:24)(cid:25)(cid:148)(cid:149)(cid:21)(cid:65)(cid:145)(cid:100)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:23)(cid:40)
2024(cid:107)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:111)(cid:10)(cid:114)12(cid:21)(cid:92)
(4)(cid:97)(cid:103)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:41)(cid:104)(cid:105) (cid:70)(cid:71)(cid:23)(cid:72)(cid:73)(cid:21)(cid:92)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:150)(cid:92)(cid:151)(cid:76)(cid:152)(cid:153)(cid:77)
5(cid:81)
(cid:106)(cid:13)(cid:33)(cid:3)(cid:93) (cid:83).
(cid:22)(cid:154)(cid:155)(cid:75)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)(cid:28)
1(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:85)
(cid:104)(cid:144)(cid:157)(cid:92)(cid:158)(cid:159)(cid:104)(cid:160)(cid:13)(cid:32)(cid:123)(cid:114)2(cid:49)(cid:161)(cid:92)(cid:162)(cid:104)(cid:49)(cid:41)(cid:163)(cid:33)(cid:51)(cid:104)(cid:49)(cid:33)(cid:31)(cid:164)(cid:30)(cid:120)(cid:165)(cid:104)(cid:160)(cid:121)(cid:13)(cid:92)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:160)(cid:13)(cid:32)(cid:169)(cid:170)
(cid:171)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:168)(cid:160)(cid:121)(cid:13)(cid:170)(cid:171)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:92)(cid:121)(cid:27)(cid:172)(cid:173)d(cid:174)(cid:175).
2(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:49)
(cid:176)(cid:177)(cid:160)(cid:13)a,A,b(cid:178)(cid:67)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:179)(cid:131)(cid:128)(cid:67)(cid:115)(cid:53)(cid:55)(cid:56)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:168)(cid:180)A(cid:170)(cid:171)a(cid:41)b(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:49)(cid:92)(cid:181)(cid:69)2A=a+b.(cid:182)(cid:122)(cid:92)(cid:183)2A=a+b(cid:92)(cid:181)a,A,b(cid:177)(cid:160)(cid:13)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
3(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)
(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:184) = +(n-1)d(cid:92)(cid:74)(cid:65) (cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)d(cid:184)(cid:7)(cid:31).
4(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)
(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:52)(cid:104)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:179)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:188)(cid:7)(cid:31)d(cid:189)(cid:190).
(cid:191)(cid:192)d>0(cid:180)(cid:92)(cid:13)(cid:32)(cid:184)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:158)(cid:195)(cid:191)(cid:196)(cid:175)(cid:140)
(cid:197)(cid:192)d<0(cid:180)(cid:92)(cid:13)(cid:32)(cid:184)(cid:193)(cid:198)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:158)(cid:195)(cid:197)(cid:196)(cid:175)(cid:140)
(cid:199)(cid:192)d=0(cid:180)(cid:92)(cid:13)(cid:32)(cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:158)(cid:195)(cid:199)(cid:196)(cid:175).
(cid:200)(cid:201)(cid:92)(cid:202)(cid:60)(cid:7)(cid:31)(cid:184)(cid:203)(cid:54)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:164)(cid:204)(cid:103)(cid:115)(cid:205)(cid:206)(cid:13)(cid:32).
5(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)
(cid:207){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)d(cid:92)(cid:181)
(1)(cid:183)m+n=p+q(m,n,p,q )(cid:92)(cid:181) + = + .
(2)(cid:13)(cid:32){ +b}( ,b(cid:115)(cid:121)(cid:13))(cid:115)(cid:7)(cid:31)(cid:184) d(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
(3)(cid:183){ }(cid:115)(cid:7)(cid:31)(cid:184)d'(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92){ }(cid:41){ }(cid:33)(cid:49)(cid:13)(cid:104)(cid:208)(cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){ + ( , (cid:184)(cid:121)(cid:13))(cid:115)(cid:7)(cid:31)(cid:184)
d+ d'(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
(4)(cid:209)(cid:210)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:211)(cid:7)(cid:31)(cid:184)m(cid:33)(cid:49) , , , (k,m )(cid:178)(cid:67)(cid:7)(cid:31)(cid:184)md(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
(5)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92)(cid:183) =m(cid:92) =n(cid:92)m≠n(cid:92)(cid:181)(cid:69) =0.
(cid:22)(cid:154)(cid:155)(cid:75)2 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:33)(cid:83)(cid:21)(cid:212)(cid:213)(cid:28)
1(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:37)(cid:38)(cid:33)(cid:214)(cid:150)(cid:77)(cid:83)(cid:215)(cid:216)(cid:10)
(1)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:46)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:217)(cid:218)(cid:46)(cid:219)(cid:160)(cid:36)a (cid:92)a (cid:92)d(cid:92)n(cid:92)S (cid:92)(cid:154)(cid:74)(cid:65)(cid:177)(cid:160)(cid:169)(cid:94)(cid:77)(cid:220)(cid:221)(cid:214)(cid:160)(cid:92)
1 n n
(cid:97)(cid:100)(cid:222)(cid:27)(cid:223)(cid:224)(cid:33)(cid:215)(cid:225)(cid:127)(cid:83)(cid:101)(cid:61)(cid:21).
(2)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:52)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:95)(cid:83)(cid:21)(cid:65)(cid:161)(cid:226)(cid:227)(cid:36)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:27)(cid:92)(cid:231)a (cid:52)d(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:214)(cid:160)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:92)
1
(cid:27)(cid:163)(cid:232)(cid:174)(cid:175)(cid:233)(cid:154)(cid:52)(cid:234)(cid:154)(cid:115)(cid:121)(cid:27)(cid:223)(cid:235).
(cid:22)(cid:154)(cid:155)(cid:75)3 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:33)(cid:223)(cid:235)(cid:41)(cid:236)(cid:60)(cid:28)
1(cid:156)(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:32)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:130)(cid:76)(cid:223)(cid:235)(cid:10)
(1)(cid:40)(cid:70)(cid:235)(cid:10)(cid:64)(cid:120)n(cid:237)2(cid:33)(cid:238)(cid:86)(cid:239)(cid:240)(cid:13)(cid:92)(cid:241)(cid:42)a -a (cid:184)(cid:165)(cid:104)(cid:121)(cid:13).(cid:242)(cid:230)(cid:31)(cid:235)(cid:92)(cid:243)(cid:3)(cid:120)a (cid:33)a (cid:228)(cid:244)a -a (cid:92)
n n-1 n-1 n n n-1
(cid:95)(cid:16)(cid:55)(cid:245)(cid:226)(cid:40)(cid:54).
(2)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:49)(cid:235)(cid:10)(cid:241)(cid:42)2a =a +a (cid:112)n(cid:237)3(cid:92)n(cid:246)N*(cid:113)(cid:164)(cid:67)(cid:68).
n-1 n n-2
2(cid:156)(cid:39)(cid:40)(cid:104)(cid:160)(cid:13)(cid:32)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:247)(cid:121)(cid:27)(cid:226)(cid:33)(cid:236)(cid:60)(cid:10)
(1)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:10)a =pn+q(cid:112)p,q(cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:113) (cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
n
(2)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:10)S =An2+Bn(cid:112)A,B(cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:113) (cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
n(cid:61)(cid:21)(cid:33)(cid:53)(cid:248)(cid:39)(cid:40)(cid:247)(cid:115)(cid:249)(cid:27)(cid:40)(cid:70).
(cid:22)(cid:154)(cid:155)(cid:75)4 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:46)(cid:74)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
1(cid:156)(cid:49)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:10)
(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) (cid:65)(cid:92)(cid:183)m+n=p+q(m,n,p,q(cid:246)N*)(cid:92)(cid:181)a +a =a +a .
m n p q
2(cid:156)(cid:52)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:10)
(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) (cid:65)(cid:92)S (cid:184)(cid:74)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:181)
n
(1)S =n(a +a )=…=n(a +a )(cid:140)
2n 1 2n n n+1
(2)S =(2n-1)a (cid:140)
2n-1 n
(3)(cid:251)(cid:187)k(cid:49)(cid:52)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:242)S ,S -S ,S -S ,(cid:250)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
k 2k k 3k 2k
3(cid:156)(cid:77)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:33)(cid:121)(cid:27)(cid:223)(cid:235)(cid:10)
(1)(cid:252)(cid:49)(cid:227)(cid:9)(cid:235)(cid:10)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:92)(cid:77)(cid:145)(cid:74)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:49)(cid:92)(cid:257)(cid:258)(cid:249)(cid:27)(cid:44)(cid:45)(cid:77)(cid:74)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:49)(cid:92)(cid:259)(cid:179)(cid:77)
(cid:245)(cid:52)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:140)
(2)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:235)(cid:10)(cid:249)(cid:27)(cid:7)(cid:31)(cid:204)(cid:184)(cid:261)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)S =An2+Bn(cid:112)A,B(cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:92)A(cid:262)0(cid:113)(cid:184)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:92)
n
(cid:48)(cid:263)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:77)(cid:53)(cid:54).
(3)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:178)(cid:235)(cid:10)(cid:264)(cid:265)(cid:192)S (cid:53)(cid:150)(cid:180)(cid:92)(cid:69) (cid:92)(cid:83)(cid:201)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:178)(cid:266)(cid:40)n(cid:33)(cid:267)(cid:268)(cid:92)(cid:269)
n
(cid:231)(cid:266)(cid:40)n(cid:33)(cid:54)(cid:52)(cid:64)(cid:47)S (cid:33)(cid:54)((cid:242)S (cid:53)(cid:150)(cid:54))(cid:92)(cid:270)(cid:271)(cid:179)(cid:77)S (cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:54).
n n n
(cid:22)(cid:223)(cid:235)(cid:273)(cid:274)(cid:41)(cid:275)(cid:236)(cid:28)
1(cid:156)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:115) = pn+q((cid:74)(cid:65)p(cid:92)q(cid:184)(cid:121)(cid:13))(cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){ }(cid:104)(cid:40)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211)(cid:7)(cid:31)(cid:184)
p.
2(cid:156)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92)a >0(cid:92) d<0(cid:92)(cid:181)S (cid:276)(cid:95)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:140)(cid:183)a <0(cid:92) d>0(cid:92)(cid:181)S (cid:276)(cid:95)(cid:53)(cid:272)(cid:54).
1 n 1 n
3(cid:156)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:10)(cid:192)d>0(cid:180)(cid:92){ }(cid:115)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:140)(cid:192)d<0(cid:180)(cid:92){ }(cid:115)(cid:193)(cid:198)(cid:13)(cid:32)(cid:140)(cid:192)d=0(cid:180)(cid:92)
{ }(cid:115)(cid:121)(cid:13)(cid:32).
4(cid:156)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) ( A, B(cid:184)(cid:121)(cid:13)).
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:183)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) + = +1(cid:92)(cid:181) =(cid:112) (cid:113)
+1 1
3 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 4𝑛1 𝑎
A(cid:156)3 B(cid:156) C(cid:156)1 D(cid:156)
2 2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:176)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:288)(cid:145) = + (cid:52) = + (cid:92)(cid:164)(cid:228)(cid:244) +
1 +1 1
= +1(cid:65)(cid:92)(cid:16)(cid:55)(cid:242)(cid:179)𝑎𝑛(cid:77)(cid:145) . 𝑑 𝑎𝑛 𝑎 (𝑛−1)𝑑 𝑎𝑛 𝑎 𝑛𝑑 𝑎𝑛
+1 1
𝑎(cid:22)𝑛(cid:83)(cid:146)(cid:263)4𝑛(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)𝑎(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:181) = + (cid:92) = + (cid:92)
1 +1 1
(cid:200)(cid:184) + = +1(cid:92)(cid:179)𝑎𝑛(cid:245) + 𝑑 =2𝑎𝑛+(𝑎 (𝑛)−1=)𝑑2 𝑎𝑛 + 𝑎 (cid:92)𝑛𝑑
+1 +1 1 1
(cid:196)(cid:131) 𝑎 (cid:69) 𝑛 2𝑎 1 𝑛 =41𝑛 (cid:92)(cid:83)(cid:245) 1 =𝑎𝑛3 2(cid:92) 𝑎𝑛 𝑎 2𝑛−1 𝑑 𝑎 −𝑑 2𝑛𝑑
=4 =2
𝑎 −𝑑 𝑎
2𝑑 𝑑(cid:289)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)1-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:290)(cid:291)(cid:292)(cid:40)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92) =1(cid:92)(cid:7)(cid:31) >0.(cid:183)(cid:13)(cid:32) 2 (cid:293)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)
1
𝑎𝑛−4
(cid:32)(cid:92)(cid:181) =(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑎 𝑑 𝑛
A(cid:156)𝑑1 B(cid:156)2 C(cid:156)3 D(cid:156)4
2 2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245) = + (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:174)(cid:175)(cid:145) (cid:92)(cid:294)(cid:295)(cid:13)(cid:32)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:245)(cid:226) =0(cid:92)(cid:83)(cid:245)
( 1)
𝑎𝑛−4 (1−𝑑) −4
(cid:242)(cid:179). 𝑎𝑛 𝑑𝑛 1−𝑑 𝑛 − 𝑛 𝑛+
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:251)(cid:21)(cid:86) = + ( >0)(cid:92)(cid:181) 2 = 2 + + 2 (cid:92)
𝑎𝑛−4 (1−𝑑) −4
(cid:181) 2 +1 2 = 2+
𝑎𝑛 𝑑
2
𝑛 1−𝑑
2
𝑑
= 2
𝑛2
(cid:92)
𝑑 𝑛 2𝑑(1−𝑑) 𝑛
1 1 ( 1)
𝑎𝑛 −4 𝑎𝑛−4 (1−𝑑) −4 (1−𝑑) −4 (1−𝑑) −4
(cid:296) 𝑛 2 + − (cid:115)(cid:30) 𝑛 (cid:31)(cid:13) 𝑑 (cid:32)(cid:92)(cid:196) 𝑛 (cid:131) + − 2 𝑛 =0(cid:92) 𝑑 (cid:83) − (cid:245) 𝑛 𝑛 = + 3(cid:257) = (cid:112)(cid:297)(cid:147)(cid:113).
( 1)
𝑎𝑛−4 (1−𝑑) −4
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑛 C. − 𝑛 𝑛+ 𝑑 𝑑 −1
(cid:22)(cid:227)(cid:50)1-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:117)(cid:298)(cid:299)(cid:300)(cid:301)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:207) (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:183) =4 (cid:92) >0(cid:92)(cid:183) >1(cid:180)(cid:92)
5 1 1
= (cid:92)(cid:181) (cid:30)(cid:120)(cid:112) (cid:113) 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆 𝑎 𝑎 𝑛
𝑆𝑛 A𝑎(cid:156)𝑛 11 𝑛 B(cid:156)12 C(cid:156)20 D(cid:156)22
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295) =4 (cid:92)(cid:77)(cid:145)(cid:185)(cid:49)(cid:41)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295) = (cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:83).
5 1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:7)𝑆(cid:31)(cid:184) (cid:92)𝑎 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛
(cid:176) =4 (cid:92)(cid:245)5 + 𝑑 =4 (cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:92)
5 1 1 1 1
(cid:176)𝑆 >0𝑎(cid:92)(cid:245) <𝑎0 10𝑑 𝑎 𝑎 −10𝑑
1
(cid:289)𝑎 = +(𝑑 ) =( ) (cid:92)
1
𝑎𝑛 (𝑎 )𝑛−1[ 𝑑 (𝑛−11) ]𝑑 ( )
(cid:181) = 1 = = (cid:92)
2 2 2
𝑎 +𝑎𝑛 𝑛 −10𝑑+ 𝑛−11 𝑑𝑛 𝑛−21 𝑑𝑛
𝑆𝑛
(cid:200)(cid:184) = (cid:92)
𝑆( 𝑛 )𝑎𝑛
(cid:196)(cid:131) =( ) (cid:92)
2
𝑛−21 𝑑𝑛
(cid:16)(cid:55)(cid:245) 2 +𝑛−2211= 𝑑 0(cid:92)(cid:83)(cid:245) =22(cid:257) =1(cid:112)(cid:297)(cid:147)(cid:113).
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑛D.−23𝑛 𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)1-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:291)(cid:303)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:183) + =62(cid:92)(cid:211)
5 11 13
=351(cid:92)(cid:181)(cid:305)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:7)(cid:31) (cid:184)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑑 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 𝑆
A(cid:156)3 B(cid:156)𝑑4 C(cid:156)5 D(cid:156)6
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:209)(cid:210)(cid:52)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:145) (cid:71) (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:145)(cid:7)(cid:31).
8 7
𝑎 𝑎(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184) + =2 =62(cid:92)(cid:181) =31(cid:92)
5 11 8 8
(cid:296) = 13( 1 13 ) = 𝑎13×2𝑎 7=35 𝑎 1(cid:92)(cid:196)(cid:131) = 𝑎 27(cid:92)
13 2 2 7
𝑎 +𝑎 𝑎
𝑆 𝑎
(cid:196)(cid:131) = = =4(cid:156)
8 7
(cid:289)(cid:20)𝑑(cid:10)B(cid:156)𝑎 −𝑎 31−27
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:306)(cid:291)(cid:307)(cid:308)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92)(cid:181)“ + =2 3， ”(cid:115)“(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)
+2
∗
(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛≥ 𝑛∈𝑁 𝑎𝑛
A(cid:156)(cid:309)(cid:81)(cid:204)(cid:310)(cid:76)(cid:311)(cid:312) B(cid:156)(cid:310)(cid:76)(cid:204)(cid:309)(cid:81)(cid:311)(cid:312)
C(cid:156)(cid:309)(cid:76)(cid:311)(cid:312) D(cid:156)(cid:313)(cid:204)(cid:309)(cid:81)(cid:293)(cid:204)(cid:310)(cid:76)(cid:311)(cid:312)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:314)(cid:39)(cid:315)(cid:309)(cid:81)(cid:44)(cid:10)(cid:176)(cid:233)(cid:154)(cid:179)(cid:245) = (cid:92)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:58)(cid:13)(cid:49)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:67)(cid:30)
+2
(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:316)(cid:277)(cid:179)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:204)(cid:104)(cid:40)(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)𝑎𝑛(cid:32)(cid:92)−𝑎(cid:302)𝑛(cid:39)(cid:315)𝑎𝑛(cid:310)−𝑎(cid:76)𝑛−(cid:44)2(cid:10)(cid:13)(cid:32){𝑎𝑛}(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:179)(cid:245)2 = +
(cid:92)(cid:179)(cid:245)(cid:236)(cid:60). 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛−2
+2
𝑎(cid:22)𝑛(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:314)(cid:39)(cid:315)(cid:309)(cid:81)(cid:44)(cid:10) + =2 , = (cid:92)
+2 +2
(cid:317) = ( )(cid:92)(cid:181) ∵𝑎=𝑛−2 𝑎𝑛 =𝑎𝑛=∴𝑎𝑛 −,𝑎𝑛(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛 {−𝑎} 𝑛(cid:33)−2(cid:58)(cid:13)(cid:49)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
+2 4 2
∗
(cid:317)𝑛=2𝑘 𝑘∈( 𝑁 *)(cid:92)𝑎(cid:181)2𝑘 −𝑎2𝑘 𝑎2𝑘=−𝑎2𝑘−2 ⋯ 𝑎=−𝑎=∴ ,𝑎𝑛(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
+1 3 1
(cid:318)𝑛(cid:13)(cid:32)2{𝑘−}1(cid:204)𝑘(cid:104)∈(cid:40)𝑁(cid:115)(cid:30)(cid:31)𝑎(cid:13)2𝑘(cid:32)(cid:92)−(cid:158)𝑎2(cid:10)𝑘− 1 1(cid:92)1𝑎(cid:92)2𝑘 2 −(cid:92)1−2𝑎(cid:92)2𝑘 3 −(cid:92)3 3(cid:92)⋯ 𝑎 −𝑎 ∴ 𝑎𝑛
“ +𝑎𝑛 =2 ( )”(cid:204)(cid:115)“(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:309)(cid:81)(cid:311)(cid:312)(cid:140)
+2
∗
∴ (cid:302)(cid:39) 𝑎𝑛 (cid:315) −2 (cid:310)(cid:76) 𝑎𝑛 (cid:44)(cid:10)(cid:183) 𝑎 (cid:13) 𝑛 (cid:32) 𝑛 { ≥3 } , (cid:115) 𝑛∈ (cid:30) 𝑁 (cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181)2 𝑎 = 𝑛 + = + +2= + + +2(cid:92)
+1 2 2 2 2
𝑎𝑛−2+𝑎𝑛 𝑎𝑛+𝑎𝑛 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛
2 = + (cid:92) 𝑎 “ 𝑛 + =2 ( 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 ) 𝑎 ” 𝑛 (cid:115)“(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)” 𝑎 (cid:33) 𝑛 (cid:310)(cid:76)(cid:311)(cid:312)(cid:140)
+2 +2
∗
(cid:141)∴(cid:319)𝑎(cid:92)𝑛 “ 𝑎𝑛−2+ 𝑎𝑛 =2∴ 𝑎( 𝑛−2 𝑎𝑛 *)”(cid:115)𝑎𝑛 “(cid:13)𝑛≥(cid:32)3{,𝑛∈}(cid:115)𝑁(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)”(cid:33)𝑎(cid:310)𝑛(cid:76)(cid:204)(cid:309)(cid:81)(cid:311)(cid:312).
+2
(cid:289)(cid:20)(cid:10)B𝑎. 𝑛−2 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛≥3,𝑛∈𝑁 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)2-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:320)(cid:321)(cid:322)(cid:323)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:207)(cid:253)(cid:13)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211) = 1 + 1 ( )(cid:92)(cid:181)
2
∗
(cid:112) (cid:113)
𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁
A(cid:156){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) B(cid:156){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32) C(cid:156){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194) D(cid:156){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)𝑎(cid:216)𝑛(cid:28)(cid:314)(cid:249)(cid:27) (cid:52) (cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:77)𝑆(cid:145)𝑛 2= (cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:245)(cid:145) = 𝑎𝑛(cid:92) = (cid:140)(cid:302)(cid:324)𝑆(cid:49)𝑛 (cid:39)(cid:315)(cid:242)(cid:179).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:179)𝑎𝑛(cid:245)(cid:10)𝑆𝑛 = 𝑆𝑛(cid:92) 𝑛 2. 𝑆𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑛− 𝑛−1
(cid:200)(cid:184) = 1 + 1 ( ) 𝑎 (cid:92) 𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑛≥
2
∗
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛∈𝑁(cid:196)(cid:131)(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = 1 + 1 (cid:92)(cid:242) = 1 + 1 (cid:92)(cid:83)(cid:245) =1(cid:92)
1 2 1 1 2 1 1
1 1
(cid:192) 2 𝑛 (cid:180)(cid:92) = 𝑆 1 𝑎 + 𝑎 1 𝑆 (cid:92)(cid:325)(cid:15) 𝑆 (cid:245)(cid:10) 𝑆 2 2 𝑆 =1(cid:92)
2
(cid:196) 𝑛 (cid:131) ≥ (cid:13)(cid:32) 2 𝑆 (cid:115) 𝑛 (cid:131)1(cid:184) 𝑆𝑛 (cid:185) −𝑆 (cid:49) 𝑛− (cid:92) 1 1(cid:184) 𝑆𝑛 (cid:7) −𝑆 (cid:31) 𝑛−1 (cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32). 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
(cid:123)(cid:231) 2=𝑆𝑛(cid:92) = .
(cid:200)(cid:184)𝑆(cid:192)𝑛 =𝑛1(cid:180)(cid:92)𝑆𝑛 =𝑛 =1(cid:92)
1 1
(cid:192) 2𝑛(cid:180)(cid:92) =𝑎 𝑆 = .
=𝑛1≥(cid:293)(cid:326)(cid:142)(cid:319)𝑎𝑛(cid:50)(cid:92)𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑛− 𝑛−1
(cid:196)𝑛 (cid:131) = (cid:92)(cid:289)(cid:20)(cid:49)A(cid:71)B(cid:327)(cid:328)(cid:92)(cid:20)(cid:49)D(cid:253)(cid:266).
(cid:200)(cid:184)𝑎𝑛= 2𝑛− 1𝑛−=1 2 <1(cid:92)
2
(cid:196)(cid:131)𝑎(cid:20)(cid:49)C(cid:327)−(cid:328). −1
(cid:289)(cid:20)(cid:10)D.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)2-2(cid:28)(cid:112)2023·(cid:23)(cid:329)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:330)(cid:261)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287)( )(2 )= ( )( *)(cid:92)(cid:211)
+1 +1 +2 +2 +1
=1, =2(cid:156) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛∈𝑁
1 2
𝑎 𝑎
(1)(cid:207) = (cid:92)(cid:42)(cid:43)(cid:10)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140)
+𝑎1𝑛
𝑏𝑛 𝑎𝑛
1
−𝑎𝑛 𝑏𝑛
(2)(cid:207) = (cid:92)(cid:77){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) (cid:156)
+1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)
𝑐𝑛
(cid:215)(cid:216)
𝑎𝑛
(cid:28)
𝑎𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:64)𝑐𝑛
(cid:233)(cid:154)(cid:311)
𝑛
(cid:312)(cid:200)(cid:50)
𝑇𝑛
(cid:81)(cid:83)(cid:179)(cid:245)2 =0(cid:92)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:179)(cid:42)(cid:140)
+1 +2
(cid:112)2(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:331)(cid:332)(cid:235)(cid:77)(cid:245) = (cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:176)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)𝑎(cid:235)𝑛(cid:179)−(cid:245)𝑎𝑛−.𝑎𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)𝑎( 𝑛 𝑛 )(2 )= ( 𝑇𝑛 )(cid:92)
+1 +1 +2 +2 +1
(cid:245) (2 𝑎𝑛)=−0(cid:64)𝑎𝑛(cid:120) 𝑎𝑛 *−(cid:66)𝑎(cid:67)𝑛 (cid:68)(cid:92)𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛
+1 +1 +2
(cid:196)𝑎(cid:131)𝑛2 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−𝑎𝑛=0(cid:92)(cid:242) 𝑛=∈2𝑁 (cid:92)
+1 +2 +2 +1
(cid:196)(cid:131) 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 = −𝑎𝑛 +1 𝑎𝑛 = 𝑎+ 𝑛 1 −𝑎𝑛 = +1 =1(cid:92)
+1
+𝑎2𝑛 +1 +𝑎1𝑛 𝑎+𝑛1 +𝑎1𝑛 𝑎𝑛+1−𝑎𝑛
𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 −𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛
(cid:231) =1, =2(cid:92)(cid:289) 1 =1(cid:92)
1 2
2𝑎 1
𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:131)1(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:92) =1(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
1
𝑏𝑛 𝑏
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:154)(cid:92) = (cid:92)(cid:242) = (cid:92)
+𝑎1𝑛
𝑏𝑛 𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑛
(cid:325)(cid:15)(cid:245) +1= 1 (cid:92)
𝑎𝑛
𝑛+
𝑎𝑛
𝑛
(cid:176)(cid:331)(cid:332)(cid:235)(cid:245) 2× 3× × = 2 × 3 × × (cid:92)(cid:242) = (cid:92)
𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 1 2 𝑛 1 𝑎𝑛1
𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑛−1 ⋅⋅⋅ 𝑛+ 𝑎 𝑛(cid:296) =1(cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:92)
1
𝑎 1 𝑎𝑛1 𝑛 1 1
(cid:181) = = = (cid:92)
+1 ( 1) 1
𝑐𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+
(cid:196)(cid:131) = 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 1 = .
1 2 2 3 1 1 1
𝑛
𝑇𝑛 − − ⋅⋅⋅ 𝑛−𝑛+ 1−𝑛+ 𝑛+
1
(cid:22)(cid:227)(cid:50)2-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:336)(cid:337)(cid:337)(cid:320)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:33)(cid:338)(cid:304)(cid:184) (cid:92)(cid:211)(cid:286)(cid:287) = .
2
𝑎𝑛−1
(1)(cid:42)(cid:43)(cid:10)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140)
𝑎𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛
1 𝑇𝑛
(2)(cid:207) = (cid:92)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) .
+1
(cid:22)(cid:83)(cid:21) 𝑏𝑛 (cid:215)(cid:216) 𝑇𝑛 (cid:28) 𝑇𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:81)(cid:270)(cid:59)𝑏(cid:60) 𝑛 =1 𝑛 (cid:41) 𝑆 2 𝑛 (cid:214)(cid:339)(cid:72)(cid:126)(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:193)(cid:340)(cid:50)(cid:77)(cid:245) (cid:41) =2(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:245)(cid:42)(cid:140)
1
(cid:112)2(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179)𝑛 . 𝑛≥ 𝑇 𝑇𝑛−𝑇𝑛−1
1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184) = (cid:92)
2
𝑎𝑛−1
𝑇𝑛 𝑎𝑛
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) 1 = 1 = 1 (cid:92)(cid:242) 2=3 (cid:92)(cid:139)(cid:154) 0(cid:92)(cid:181) = =3(cid:92)
2 1 1 1 1 1
1 1 𝑎 −11
𝑛 𝑇 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ≠ 𝑇 𝑎
1 1 1 1
(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = = (cid:92)(cid:196)(cid:131)1= (cid:92)(cid:242) =2(cid:92)
2 2 2 2 2 2 2
𝑎𝑛−1 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛 𝑇𝑛−1
𝑛≥ 𝑇𝑛 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛 − 𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−𝑇𝑛−1
(cid:289)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:131)3(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)2(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)𝑇(cid:112)𝑛1(cid:113)(cid:245) =3+( )×2= +1(cid:92)
(cid:181) = 1 = 𝑇𝑛 1 𝑛 = −11 1 2𝑛1 (cid:92)
+1 3) 2 1 3
(cid:196) 𝑏 (cid:131) 𝑛 𝑇 = 𝑛𝑇 1 𝑛 1 1 (2 + 𝑛+ 1 1)(2 1 𝑛+ + + 2 1 𝑛+ −2 1 𝑛+ = 1 1 1 = .
2 3 5 5 7 1 3 2 3 3 𝑛 3)
(cid:22)(cid:21) 𝑆 (cid:29) 𝑛 3 (cid:30)−(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)−(cid:44)(cid:45)⋯(cid:46)(cid:47)2(cid:27)𝑛+(cid:28)−2𝑛+ −2𝑛+ 3(2𝑛+
1
(cid:22)(cid:277)3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:341)(cid:337)(cid:37)(cid:342)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) =2(cid:92)(cid:181) + =(cid:112) (cid:113)
2 3 5 5 10 8
A(cid:156)4 B(cid:156)
𝑎𝑛
C(cid:156)
𝑎 −𝑎
D(cid:156) 8
𝑎 𝑎 −𝑎
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:249)(cid:27)(cid:209)(cid:210)(cid:52)(cid:44)−(cid:45)2(cid:80)(cid:38)(cid:179)(cid:245). −4 −
1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184) =2(cid:92)(cid:181) =4(cid:92)(cid:296)2 = + (cid:92)(cid:181) ( + )=4(cid:92)
2 3 5 3 5 5 3 7 3 3 7
(cid:83)(cid:245) = (cid:92) 𝑎 −𝑎 𝑎 −2𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎
7
(cid:196)(cid:131)𝑎 +−4 = + = = .
5 10 8 7 8 8 7
(cid:289)(cid:20)𝑎(cid:10)C.𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −4
(cid:22)(cid:227)(cid:50)3-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:95)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92)(cid:233)(cid:154)2 = + N )(cid:92)(cid:211) + =16(cid:92)(cid:181)
+1 +2 5 8
∗
+ +…+ =(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 (𝑛∈ 𝑎 𝑎
1 2 12
𝑎 𝑎 𝑎A(cid:156)256 B(cid:156)196 C(cid:156)144 D(cid:156)96
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:176)(cid:233)(cid:154)(cid:92){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:226)(cid:146)(cid:343).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)2 =𝑎𝑛 + (cid:92)(cid:245) = (cid:92)(cid:181){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
+1 +2 +1 +2 +1
(cid:296) + =16(cid:92)(cid:196)𝑎𝑛(cid:131)(cid:176)(cid:30)𝑎𝑛(cid:31)(cid:13)𝑎(cid:32)𝑛 (cid:33)(cid:44)(cid:45)𝑎(cid:154)𝑛 −+𝑎𝑛 +𝑎𝑛 +−𝑎𝑛 =6( 𝑎+𝑛 )=96(cid:156)
5 8 1 2 12 5 8
(cid:289)𝑎(cid:20)(cid:10)D𝑎(cid:156) 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:227)(cid:50)3-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) + + + =100(cid:92)(cid:181) =
1 3 2 7 3 9 7 8 5
(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
5 5 5
A(cid:156) B(cid:156)5 C(cid:156)5(cid:257)(cid:344)5 D(cid:156) (cid:257)
2 2 2
−
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:50)(cid:345) + + + =100(cid:33)(cid:236)(cid:346)(cid:347)(cid:348)(cid:179)(cid:269)(cid:349)(cid:178)(cid:142)(cid:41)(cid:350)(cid:351)(cid:7)(cid:200)(cid:50)(cid:92)(cid:302)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)
1 3 2 7 3 9 7 8
(cid:13)(cid:32)(cid:44)(cid:45)(cid:52)(cid:30)(cid:31)(cid:65)(cid:49)(cid:7)𝑎(cid:50)𝑎(cid:204)(cid:315)(cid:55)𝑎(cid:16)𝑎(cid:50)(cid:345)𝑎(cid:242)𝑎(cid:179)(cid:245)𝑎(cid:83)𝑎.
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:21) + + + = ( + )+ ( + )=2 +2 =2 ( + )
1 3 2 7 3 9 7 8 3 1 9 7 2 8 5 3 5 7 5 3 7
=4 2=100(cid:92)(cid:83)(cid:245)𝑎 𝑎=±𝑎5(cid:92)𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
5 5
(cid:289)(cid:20)𝑎(cid:10)C. 𝑎
(cid:22)(cid:227)(cid:50)3-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:352)(cid:337)(cid:353)(cid:354)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:204)(cid:184)0(cid:92) =0(cid:92)(cid:355)(cid:40)(cid:253)(cid:325)(cid:13)m(cid:92)(cid:356)(cid:245)
2024
(cid:64)(cid:238)(cid:86)(cid:33) *(cid:112) < (cid:211) >2(cid:113)(cid:164)(cid:69) + + + =𝑎𝑛 + + + 𝑎 (cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:181)m(cid:33)(cid:54)(cid:184)(cid:112) (cid:113)
1 2 1 2
A(cid:156)4𝑛04∈7𝑁 𝑛 𝑚B(cid:156)𝑚4046 𝑎 𝑎C(cid:156)⋯2024𝑎𝑛 𝑎 𝑎 ⋯D(cid:156)4𝑎0𝑚4−8𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:81) > (cid:41) < (cid:214)(cid:339)(cid:72)(cid:126)(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:52) + =0(cid:245)(cid:226)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:77)(cid:145)
1 4047
=4047. 𝑛 𝑚−𝑛 𝑛 𝑚−𝑛 𝑎 𝑎
𝑚(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:183) > (cid:92)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:154) + + + =0(cid:92)
+1 +2
(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)𝑛(cid:45)(cid:154)𝑚(cid:92)−(cid:183)𝑛 + = +𝑎𝑚(cid:92)−(cid:181)𝑛 (cid:69) 𝑎+𝑚−𝑛 = ⋯+ 𝑎(cid:92)𝑛 (cid:196)(cid:131) + =0(cid:92)
+1
(cid:200)(cid:184)(cid:7)(cid:31) 0(cid:92)(cid:211) =𝑝0(cid:92)𝑞(cid:196)(cid:131)𝑠 𝑡+ 𝑎=𝑝 0(cid:92)𝑎𝑞(cid:196)(cid:131)𝑎𝑠 𝑎𝑡+1+ 𝑎=𝑚−4𝑛048(cid:92)𝑎𝑛
2024 1 4047
(cid:196)(cid:131) =𝑑40≠47(cid:156) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑚−𝑛 𝑛
(cid:183) <𝑚 (cid:92)(cid:179)(cid:245) + + + =0(cid:92)
+1 +2
(cid:176)𝑛(cid:30)(cid:31)𝑚(cid:13)−(cid:32)𝑛(cid:44)(cid:45)(cid:154)𝑎(cid:92)𝑛(cid:183) +𝑎𝑛 = ⋯+ (cid:92)𝑎(cid:181)𝑚−(cid:69)𝑛 + = + (cid:92)(cid:196)(cid:131) + =0(cid:92)
+1
(cid:200)(cid:184)(cid:7)(cid:31) 0(cid:92)(cid:211) 𝑝=𝑞0(cid:92)(cid:196)𝑠 (cid:131)𝑡 + 𝑎𝑝 =𝑎0𝑞(cid:92)(cid:196)𝑎𝑠(cid:131) 𝑎+𝑡 1+ 𝑎𝑛 =40𝑎4𝑚8−(cid:92)𝑛
2024 1 4047
(cid:196)(cid:131) =𝑑40≠47(cid:156) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛 𝑚−𝑛
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑚A.(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)4(cid:28)(cid:112)2024·(cid:357)(cid:358)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154) (cid:184)(cid:253)(cid:49)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92) =3(cid:211) + = 1 2 3 (cid:92)(cid:181) =
1 +1 2 +1 2
+1 .
𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:83)2𝑛(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245)2( + )= 2 (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:226)2( + )= 2 ( 2)(cid:92)(cid:214)(cid:50)(cid:230)(cid:31)(cid:245)(cid:226)
+1 +1
=2( 2)(cid:92)(cid:302)(cid:77)(cid:145)𝑆𝑛 (cid:92)𝑆(cid:242)𝑛 (cid:179)(cid:245)(cid:226)𝑎𝑛(cid:13)(cid:32)−3{ }(cid:174)(cid:175)(cid:185)(cid:49)(cid:184)𝑆3𝑛−(cid:92)1(cid:7)(cid:31)𝑆𝑛(cid:184)2(cid:33)𝑎𝑛(cid:30)−3(cid:31)(cid:13)𝑛(cid:32)≥(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:145)(cid:74)(cid:48)(cid:49)(cid:7)
+1 2
𝑎(cid:50)𝑛 . −𝑎𝑛 𝑛≥ 𝑎 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184) + = 1 2 3 (cid:92)(cid:242)2( + )= 2 (cid:92)
+1 2 +1 2 +1 +1
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92)2( + 𝑆𝑛 )= 𝑆𝑛 2 (cid:92) 𝑎 (cid:296) 𝑛 (cid:200) − (cid:184) =3 𝑆(cid:92) 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 −3
1 2 2 1
(cid:242)𝑛2 𝑆=0(cid:92)𝑆(cid:83)(cid:245)𝑎 −=35(cid:257) = 𝑎(cid:112)(cid:297)(cid:147)(cid:113)(cid:92)
2 2 2 2
(cid:192)𝑎 −22𝑎(cid:180)−(cid:92)125( + )𝑎= 2 (cid:92)𝑎(cid:214)(cid:50)−(cid:102)3(cid:198)(cid:92)(cid:179)(cid:245)( + )( )=0(cid:92)
+1 +1
(cid:200)𝑛(cid:184)≥ >0(cid:92)(cid:179)𝑆(cid:245)𝑛−1 𝑆𝑛 =𝑎𝑛2−(3 2)(cid:92) 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−2
+1
(cid:296) 𝑎𝑛 =2(cid:92)(cid:196)(cid:131)𝑎𝑛 −𝑎𝑛 =2𝑛 ≥( N )(cid:92)
2 1 +1
(cid:196)𝑎(cid:131)−(cid:13)𝑎(cid:32){ }(cid:174)(cid:175)(cid:185)𝑎(cid:49)𝑛 (cid:184)−3𝑎(cid:92)𝑛(cid:7)(cid:31)(cid:184)𝑛2∈(cid:33)(cid:30)∗(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:196)(cid:131) = 𝑎𝑛+1(cid:156)
(cid:289)(cid:146)(cid:343)𝑎𝑛(cid:184)(cid:10)2𝑛 +1.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)4-1(cid:28)2𝑛(cid:112)23-24(cid:24)(cid:260)(cid:209)·(cid:352)(cid:359)(cid:360)(cid:361)·(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) = 2+ + (cid:112)(cid:74)(cid:65) (cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:92)
(cid:113)(cid:92)(cid:288)(cid:145)(cid:356){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:104)(cid:160)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50) = 2n .𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑛 𝑐 𝑐
𝑐(cid:22)∈(cid:83)𝑅(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:249)(cid:27)𝑎𝑛 = ( 2)(cid:179)(cid:245)(cid:146)(cid:343)𝑎. 𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28) =1𝑎(cid:180)𝑛 (cid:92)𝑆𝑛−=𝑆𝑛1−21+𝑛1≥+ =2+ (cid:92)
1
2(cid:180)(cid:92) =𝑛 𝑎= 2+ + 𝑐( )2𝑐( ) = (cid:92)
𝑛(cid:196)≥(cid:131) = 𝑎𝑛 ( 𝑆𝑛−2)𝑆(cid:115)𝑛−(cid:185)1(cid:49)𝑛(cid:184) 𝑛=4𝑐(cid:92)−(cid:7)𝑛(cid:31)−1(cid:184)2−(cid:33)𝑛(cid:30)−1(cid:31)−(cid:13)𝑐(cid:32)(cid:92)2𝑛
2
(cid:183){ 𝑎} 𝑛(cid:184)(cid:30)2𝑛(cid:31)𝑛(cid:13)≥(cid:32)(cid:92)(cid:181) =2𝑎(cid:242) =0(cid:92)
1
(cid:201)(cid:180)𝑎𝑛 = ( 1). 𝑎 𝑐
(cid:289)(cid:146)(cid:343)𝑎𝑛(cid:184)(cid:10)2𝑛
𝑛.≥
(cid:22)(cid:227)(cid:50)4-2(cid:28)2𝑛(cid:112)2024(cid:24)(cid:177)·(cid:352)(cid:359)·(cid:26)(cid:21)(cid:364)(cid:365)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:204)(cid:184)(cid:261)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) =77(cid:92)(cid:211)(cid:286)(cid:287) 2=
7 11
(cid:92) 𝑎𝑛 𝑆 𝑎
1 61
𝑎(cid:112)1⋅(cid:113)𝑎(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
𝑎𝑛 1 1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:183)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) = )(cid:92)(cid:211) = (cid:92)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) .
+1 1 3
𝑏𝑛 𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗ 𝑏 𝑏𝑛 𝑇𝑛(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:35)(cid:21)(cid:114)(cid:112)1(cid:113)(cid:21)(cid:314)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) 0)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:366)(cid:179)(cid:32)(cid:145)(cid:3)(cid:120)(cid:185)(cid:49)a (cid:41)(cid:7)(cid:31)d
1
(cid:33)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:92)(cid:83)(cid:145)a (cid:41)d(cid:33)(cid:54)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:80)(cid:38)(cid:145)(cid:13)𝑎(cid:32)𝑛 { }(cid:33)(cid:48)(cid:49)𝑑((cid:7)𝑑≠(cid:50)(cid:140)
1
1 1 1 1 𝑎𝑛
(cid:114)(cid:112)2(cid:113)(cid:21)(cid:176)(cid:21)(cid:366) = (cid:179)(cid:245) = ).(cid:294)(cid:295)(cid:193)(cid:340)(cid:7)(cid:50)(cid:33)(cid:347)(cid:75)(cid:179)(cid:27)(cid:331)(cid:367)(cid:235)(cid:80)(cid:38)(cid:145)(cid:13)(cid:32)
+1
𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 𝑎𝑛−1(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗
1 (cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:368)(cid:369)(cid:80)(cid:38)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:37)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:80)(cid:38)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) .
(cid:22)𝑏𝑛
(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:83)(cid:10)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:92)(cid:207)
𝑏
(cid:30)
𝑛
(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) 0)(cid:92)(cid:181)
𝑇𝑛
7 + =77(cid:92) ( + =( + 2(cid:83)𝑎(cid:245)𝑛 =5，𝑑=(𝑑2≠(cid:92)
1 1 1 1 1
(cid:196)𝑎(cid:131) 21=𝑑5+2 𝑎 𝑎 =60𝑑+) 𝑎 1.0𝑑) 𝑎 𝑑
∗
𝑎𝑛 ⋅(𝑛1−1)1 2𝑛 3,𝑛1∈𝑁1
(cid:112)2(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:92)(cid:176) = (cid:179)(cid:245) = ).
+1
𝑏𝑛 −𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 𝑎𝑛−1(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:181) 2(cid:180)(cid:92) =( )+( )+ +( )+
2 1 1
𝑛≥ 𝑏𝑛 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 1𝑏𝑛−1−𝑏𝑛−2 ⋯ 𝑏 −𝑏 𝑏
= + + + +
1
1
𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 ⋯ 𝑎
= +5)+3 𝑏
=(𝑛−1+)(2𝑛)−2
𝑛(𝑛 1 1
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = (cid:92)(cid:242) =3(cid:293)(cid:286)(cid:287)(cid:319)(cid:50)(cid:92)
1 3 1
𝑛 𝑏 𝑏
1
= +2)(cid:92)
∴𝑏𝑛 𝑛(𝑛
1 1 1 1
= = ( )(cid:92)
2) 2 2
∴𝑏𝑛 𝑛(𝑛+ 𝑛−𝑛+
= + + + + + +
1 2 3 4
𝑇𝑛1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 1 1 ⋯ 1 𝑏𝑛−11 𝑏𝑛 1 1 1 1
= + + + + + +
2 3 2 4 3 5 4 6 +1 +2
1 1− 1 −1 −1 − ⋯ − −
= 1+ 𝑛−1 𝑛 𝑛 𝑛
2 2 +1 +2
= 3 2 − .𝑛 − 𝑛
2)
𝑛 +5𝑛
4(𝑛+1)(𝑛+
(cid:22)(cid:227)(cid:50)4-3(cid:28)(cid:112)2024(cid:24)(cid:177)·(cid:108)(cid:109)·(cid:26)(cid:21)(cid:364)(cid:365)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ },{ }(cid:92)(cid:74)(cid:65)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211)(cid:286)(cid:287) =( )
𝑛
2(cid:92) + =1(cid:92) + = *(cid:156) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛−𝑎𝑛 −1
1 1 2 2
(𝑛1)(cid:77)𝑎(cid:13)(cid:32){𝑏 }(cid:52){ 𝑎}(cid:33)(cid:48)𝑏(cid:49)(cid:7)8(cid:50),𝑛(cid:140)∈𝑁
𝑎𝑛1 𝑏𝑛
(2)(cid:183) = (cid:92)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) (cid:140)
+1
(cid:22)(cid:83)(cid:21) 𝑐𝑛 (cid:215)(cid:216) 𝑎𝑛 (cid:28) 𝑎𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:233)(cid:154)𝑐𝑛 𝑛 =( 𝑆 ) 𝑛 2(cid:92)(cid:81)(cid:370)(cid:317) =1,2(cid:92)(cid:314)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:371)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:77)(cid:83) , , , (cid:92)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)
1 1 2 2
𝑛
(cid:32)(cid:77){ }(cid:48)(cid:49)(cid:92)(cid:302)(cid:176)(cid:3)(cid:93)(cid:77)𝑏{ 𝑛−}𝑎(cid:48)𝑛 (cid:49)(cid:242)−(cid:179)1 (cid:140)𝑛 𝑛 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
𝑎𝑛 𝑏𝑛(cid:112)2(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:77)(cid:52).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184) =( ) 2(cid:92)
𝑛
(cid:196)(cid:131) = (cid:92) 𝑏𝑛=−4𝑎(cid:92)𝑛 −1 𝑛
1 1 2 2
𝑏+−𝑎 =−11 𝑏 −𝑎=1 + =8 =2
(cid:176) 1 1 (cid:83)(cid:245) 1 (cid:92)(cid:176) 2 2 (cid:83)(cid:245) 2 (cid:92)
= =0 =4 =6
1 1 1 2 2 2
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎
(cid:296)(cid:13)𝑏(cid:32)−{𝑎 }(cid:115)−(cid:30)1(cid:31)(cid:13)(cid:32)𝑏(cid:92) 𝑏 −𝑎 𝑏
(cid:196)(cid:131){ 𝑎}(cid:33)𝑛 (cid:7)(cid:31) = =1(cid:92)
2 1
(cid:289)(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛{ }(cid:33)(cid:48)𝑑(cid:49)(cid:7)𝑎(cid:50)−𝑎=1+( )= (cid:92)
(cid:196)(cid:131) =𝑎𝑛 +( ) 2𝑎=𝑛 +( 𝑛)−12(cid:92)𝑛
𝑛 𝑛
(cid:242){ 𝑏} 𝑛(cid:33)(cid:48)𝑎𝑛(cid:49)(cid:7)(cid:50)−1 𝑛= +𝑛( −)12(cid:156)𝑛
𝑛
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑛1 −11 𝑛1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:154) = = (cid:92)
( 1) 1
𝑐𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑛−𝑛+
1 1 1 1 1 1 1
(cid:181) = + + + = = (cid:156)
1 2 2 3 1 1 1
𝑛
(cid:22) 𝑆 (cid:21) 𝑛 (cid:29)5 − (cid:30)(cid:31) − (cid:13)(cid:32) ⋯ (cid:51)n𝑛(cid:49) −𝑛(cid:52)+(cid:33)(cid:44) 1 (cid:45) −𝑛(cid:28)+ 𝑛+
(cid:22)(cid:277)5(cid:28)(cid:112)2024·(cid:336)(cid:337)(cid:372)(cid:323)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:183) =2(cid:92) =12(cid:92)(cid:181) =(cid:112) (cid:113)
4 8 20
A(cid:156)30 B(cid:156)58 C(cid:156)𝑎𝑛60 𝑛 𝑆𝑛 D(cid:156)𝑆90 𝑆 𝑆
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:264)(cid:265)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:373)(cid:315)(cid:52)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:80)(cid:38)(cid:242)(cid:179)(cid:245).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:289) (cid:71) (cid:71) 𝑎(cid:71)𝑛 (cid:71) (cid:374)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
4 8 4 12 8 16 12 20 16
(cid:176)𝑆 =𝑆2(cid:92)−𝑆 =𝑆12(cid:92)−𝑆(cid:181) 𝑆 −=𝑆 10(cid:92)𝑆 −𝑆
4 8 8 4
(cid:289)𝑆 =𝑆18(cid:92) 𝑆 −=𝑆26(cid:92) =34(cid:92)
12 8 16 12 20 16
(cid:242)(cid:69)𝑆 −𝑆=18+ 𝑆=−3𝑆0(cid:92) =2𝑆6+−𝑆 =56(cid:92) =34+ =90.
12 8 16 12 20 16
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑆 D. 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆
(cid:22)(cid:227)(cid:50)5-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ },{ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:81)(cid:370)(cid:184) , (cid:92)(cid:211) = (cid:92)(cid:181) 6=
𝑆𝑛 𝑛− 1 1 𝑎8
(cid:112) (cid:113)
𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑛+ 𝑏
5 7 11 5
A(cid:156) B(cid:156) C(cid:156) D(cid:156)
16 16 16 8
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:46)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:179)(cid:245)(cid:236)(cid:159).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184) (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:179)(cid:207) = 2+ (cid:92)(cid:112)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:260)(cid:375)(cid:236)(cid:60)(cid:113)
(cid:165)(cid:15)(cid:200)(cid:184) (cid:184)(cid:30)(cid:31)𝑆(cid:13)𝑛(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) 𝑎(cid:49)𝑛(cid:52)(cid:92)(cid:196)𝑛(cid:131)(cid:179)(cid:207) = 2𝑆+𝑛 (cid:156)𝐴𝑛 𝐵𝑛 𝑛
𝑇𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 𝐶𝑛 𝐷𝑛( )
(cid:296) = (cid:92)(cid:196)(cid:131) = = (cid:92)(cid:242)( + )( +1)=( + )( )(cid:92)
1 ( ) 1
𝑆𝑛 𝑛−1 𝑛 𝐴𝑛+𝐵 𝐴𝑛+𝐵 𝑛−1
(cid:325)(cid:15) 𝑇𝑛 (cid:245)𝑛+2+( + 𝑛 𝐶𝑛 ) +𝐷 + 𝐶 = 𝑛+𝐷 2+ 𝑛+ ( ) 𝐴𝑛 (cid:92)𝐵(cid:83)(cid:245)𝑛 = 𝐶=𝑛 =𝐷 (cid:156)𝑛−1
(cid:204)(cid:376)(cid:207) 𝐴𝑛 = ( 𝐴 ) 𝐵 (cid:92) 𝑛 (cid:181) 𝐵 = 𝐶 ( 𝑛 +1 𝐷 )(cid:92) −𝐶 (cid:181) 𝑛− = 𝐷 𝐴 =10 − , 𝐵 = 𝐶 𝐷 =16(cid:92)(cid:289) 6= 5 (cid:92)
6 6 5 8 8 7 𝑎8 8
(cid:289)(cid:20)(cid:10) 𝑆 D 𝑛 (cid:156) 𝑛 𝑛−1 𝑇𝑛 𝑛 𝑛 𝑎 𝑆 −𝑆 𝑏 𝑇 −𝑇 𝑏
(cid:22)(cid:227)(cid:50)5-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:377)(cid:341)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) (cid:92)(cid:183) =9(cid:92) =36(cid:92)(cid:181) + + =
3 6 7 8 9
(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
A(cid:156)18 B(cid:156)27 C(cid:156)45 D(cid:156)63
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295) , , (cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:245)(cid:226)(cid:223)(cid:224)(cid:92)(cid:77)(cid:145)(cid:146)(cid:343).
3 6 3 9 6
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:21)𝑆(cid:86)(cid:245)𝑆 −𝑆, 𝑆 −𝑆, (cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
3 6 3 9 6
(cid:242) + + (cid:67)𝑆(cid:30)𝑆(cid:31)−(cid:13)𝑆 (cid:32)𝑆(cid:92)−𝑆
7 8 9
(cid:242)92,3×6(−9,𝑎 )=𝑎9+𝑎 + + (cid:92)(cid:83)(cid:245) + + =45.
7 8 9 7 8 9
(cid:289)(cid:20)(cid:10)C3.6−9 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:227)(cid:50)5-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:352)(cid:359)(cid:378)(cid:341)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:81)(cid:370)(cid:184) (cid:92) (cid:92)(cid:183)(cid:64)(cid:238)(cid:86)(cid:253)(cid:325)(cid:13)
(cid:164)(cid:69) = (cid:92)(cid:181) 3 + 9 =(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑇𝑛 𝑛
𝑆𝑛 2𝑛−3 4𝑎 8 5𝑎 7
𝑇𝑛 4𝑛−3 𝑏 +𝑏 𝑏 +𝑏
3 5 19 19
A(cid:156) B(cid:156) C(cid:156) D(cid:156) E(cid:156)(cid:379)(cid:204)(cid:115)
7 21 41 40
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:37)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:52)(cid:44)(cid:46)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:30)(cid:52)(cid:44)(cid:179)(cid:245)(cid:92) 𝑛
3 + 9 = 3 + 9 = 3 9= 1 11= 1 2 1( 1 11 ) = 11= 2× = 19 .
4𝑎 8 5𝑎 7 2 𝑎6 2 𝑎6 𝑎 2 +6𝑎 𝑎1+𝑎11 1 2 1( 𝑎1+𝑎11 ) 𝑆11 4× 11−3 41
(cid:289) 𝑏 + (cid:20) 𝑏 (cid:10)C 𝑏 . +𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 +𝑏 𝑏 +𝑏 𝑇 11−3
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)6(cid:28)(cid:112)2024·(cid:380)(cid:381)(cid:382)(cid:383)(cid:384)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92) >0(cid:92) = (cid:92)(cid:181)(cid:356)(cid:245)(cid:51)n(cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:53)(cid:150)(cid:33)n(cid:54)(cid:184)
1 7 9
(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑎 𝑆 𝑆
A(cid:156)7 B(cid:156)8 C(cid:156)9 D(cid:156)10
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:311)(cid:312)(cid:92)(cid:179)(cid:245)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:193)(cid:198)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211) >0(cid:92) <0(cid:92)(cid:179)(cid:39)(cid:315)(cid:245)(cid:83).
8 9
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92) 𝑎𝑛>0(cid:92)(cid:176) = (cid:92)(cid:179)𝑎 (cid:245) +𝑎 =0(cid:92)
1 7 9 8 9
>0(cid:92) <0(cid:92)(cid:211)(cid:13)(cid:32)𝑎{𝑛 }(cid:184)(cid:193)𝑎(cid:198)(cid:13)(cid:32)(cid:92)𝑆 𝑆 𝑎 𝑎
8 9
(cid:196)∴(cid:131)𝑎 (cid:356)(cid:245)(cid:51)𝑎n(cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:53)(cid:150)(cid:33)𝑎n𝑛(cid:54)(cid:184)8.(cid:289)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)6-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:385)(cid:386)(cid:278)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) (cid:115)(cid:74)(cid:51) (cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:92)(cid:181)(cid:209)(cid:32)(cid:236)(cid:60)(cid:327)(cid:328)(cid:33)
(cid:115)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛
A(cid:156)(cid:183) = (cid:92)(cid:181) (cid:351)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:180) (cid:33)(cid:54)(cid:184)12
B(cid:156)(cid:183)𝑎𝑛=2𝑛−2+527(cid:92)𝑆(cid:181)𝑛 (cid:33)(cid:53)(cid:150)(cid:54)𝑛(cid:184)108
C(cid:156)(cid:183)𝑎𝑛 =−3𝑛(cid:92)(cid:181)(cid:310)(cid:69) 𝑆𝑛=0
13 17 30
D(cid:156)(cid:183)𝑆(cid:185)(cid:49) 𝑆>0(cid:92) =𝑆 (cid:92)(cid:181) (cid:351)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:180) (cid:33)(cid:54)(cid:184)9
1 6 12
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:64)𝑎(cid:120)AB(cid:92)𝑆(cid:249)(cid:27)𝑆(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)𝑆𝑛(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:145)𝑛 (cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:249)(cid:27)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:44)(cid:45)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179)(cid:39)(cid:315)(cid:140)(cid:64)(cid:120)C(cid:92)(cid:294)
𝑆𝑛
2
(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:52)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:44)(cid:45)(cid:77)(cid:52)(cid:242)(cid:179)(cid:39)(cid:315)(cid:140)(cid:64)(cid:120)D(cid:92)(cid:249)(cid:27) = (cid:77)(cid:245) = <0(cid:92)(cid:249)
6 12 17 1
𝑆 𝑆 𝑑 − 𝑎
(cid:27)(cid:13)(cid:32)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:39)(cid:315) (cid:33)(cid:53)(cid:54)(cid:242)(cid:179).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:64)(cid:120)𝑆A 𝑛(cid:92)(cid:200)(cid:184) = (cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:92)
1
(cid:196)(cid:131) = ( ) = 2 𝑎𝑛 2 = 𝑛 ( −25 )2 𝑎 (cid:92) −23
2
𝑛 −23+2𝑛−25
𝑆𝑛 𝑛 −24𝑛 𝑛−12 −144
(cid:196)(cid:131)(cid:192) =12(cid:180)(cid:92) (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:92)(cid:253)(cid:266)(cid:140)
(cid:64)(cid:120)B(cid:92)𝑛 (cid:200)(cid:184) =𝑆𝑛 +27(cid:92)(cid:196)(cid:131) =24(cid:92)
1
(cid:196)(cid:131) = ( 𝑎𝑛 2−7)3 = 𝑛 3 2+ 51 = 𝑎 3 17 2 289 (cid:92)
2 2 2 2 2 4
𝑛 24−3𝑛+
𝑆𝑛 − 𝑛 𝑛 − 𝑛− 3 − 51
(cid:196)(cid:131)(cid:192) =8(cid:257) =9(cid:180)(cid:92) (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:184) = ×64+ ×8=108(cid:92)(cid:253)(cid:266)(cid:140)
8 2 2
𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 −
(cid:64)(cid:120)C(cid:92)(cid:183) = (cid:92)(cid:181) = + + + =0(cid:92)(cid:296) + = + (cid:92)
13 17 17 13 17 16 15 14 17 14 16 15
𝑆 𝑆 𝑆 −𝑆30( 𝑎 ) 𝑎30( 𝑎 ) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:196)(cid:131) + =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) = 1 30 = 16 15 =0(cid:92)(cid:253)(cid:266)(cid:140)
16 15 30 2 2
𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎
𝑎 𝑎 𝑆
(cid:64)(cid:120)D(cid:92)(cid:183) >0， = (cid:92)(cid:181) = + + + + + =0(cid:92)
1 6 12 12 6 12 11 10 9 8 7
𝑎 𝑆 𝑆 𝑆 −𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑎
(cid:296) + = + = + =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) + =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) = <0(cid:92)
12 7 11 8 10 9 10 9 17 1
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑 − 𝑎
(cid:196)(cid:131)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:193)(cid:198)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:196)(cid:131) > > > >0> > > (cid:92)
1 2 9 10 11
(cid:196)(cid:131) (cid:351)(cid:53)(cid:150)(cid:54)𝑎𝑛(cid:180) (cid:33)(cid:54)(cid:184)9(cid:92)(cid:327)(cid:328).𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯
(cid:289)(cid:20)𝑆(cid:10)𝑛 D. 𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)6-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:304)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:233)(cid:154) = =0(cid:92)(cid:181)
4 9
(cid:351)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:180)(cid:92) =(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑑 𝑎 −2,𝑆 𝑆𝑛
A(cid:156)1 𝑛 B(cid:156)4 C(cid:156)5 D(cid:156)4(cid:257)5
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:390)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:33)(cid:330)(cid:253)(cid:13)(cid:49)(cid:242)(cid:179)(cid:245).
𝑎𝑛 𝑎𝑛+ = =
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:154) 1 (cid:92)(cid:83)(cid:245) 1 (cid:92)
9 + =0 =2
1
𝑎 3𝑑 −2 𝑎 −8
(cid:196)(cid:131) = +2( )= 𝑎 (cid:92)36𝑑 𝑑
(cid:317) 𝑎𝑛0(cid:92)−(cid:181)8 𝑛−1 0(cid:92)2(cid:83)𝑛−(cid:245)10 5(cid:92)
(cid:196)𝑎(cid:131)𝑛≤(cid:351)(cid:53)(cid:272)2(cid:54)𝑛−(cid:180)10=≤4(cid:257) =5𝑛(cid:156)≤
(cid:289)(cid:20)𝑆(cid:10)𝑛 D(cid:156) 𝑛 𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)6-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:380)(cid:381)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:75) N )(cid:95)(cid:106)(cid:13) = 2
∗
+ + (cid:33)(cid:195)(cid:391)(cid:319)(cid:92)(cid:181)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 (𝑛,𝑆𝑛)(𝑛∈ 𝑓(𝑥) 𝐴𝑥
𝐵𝑥A(cid:156)𝐶(0𝐴=,𝐵1,𝐶∈𝑅) B(cid:156)(cid:183) =0(cid:92)(cid:181) N (cid:92)(cid:356) (cid:53)(cid:150)
0
∗
C(cid:156)(cid:183)𝐶 >0(cid:92)(cid:181) N (cid:92)(cid:356) (cid:53)(cid:150) D(cid:156)(cid:183)𝐴<0(cid:92)(cid:181)∃𝑛 ∈N (cid:92)(cid:356)𝑆𝑛(cid:53)(cid:150)
0 0
∗ ∗
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216) 𝐴 (cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:30) ∃ (cid:31) 𝑛 (cid:13) ∈ (cid:32){ }(cid:33) 𝑆 (cid:51) 𝑛 n(cid:49)(cid:52) = 1 𝐴 2+( 1 ∃𝑛 (cid:92) ∈ (cid:245)(cid:226) = 𝑆 0 𝑛 (cid:92)(cid:179)(cid:39)(cid:40)A(cid:327)(cid:328)(cid:140)(cid:176) =0(cid:180)(cid:92)
2 1 2
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑑𝑛 𝑎 − 𝑑)𝑛 𝐶 𝐴
(cid:245)(cid:226) = (cid:92)(cid:192) >0(cid:180)(cid:92)(cid:179)(cid:39)(cid:40)B(cid:327)(cid:328)(cid:140)(cid:176) >0(cid:92)(cid:245)(cid:226) >0(cid:92)(cid:179)(cid:39)(cid:40)C(cid:327)(cid:328)(cid:140)(cid:176) <0(cid:92)(cid:245)(cid:226) <0(cid:92)
1 1
(cid:179)(cid:39)(cid:40)𝑆𝑛 D𝑛(cid:253)𝑎(cid:266)(cid:156) 𝑎 𝐴 𝑑 𝐴 𝑑
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) = + 1 = 1 2+( 1 (cid:112)d(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:113)(cid:92)
1 2 2 1 2
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑛𝑎 𝑛(𝑛−1)𝑑 𝑑𝑛 𝑎 − 𝑑)𝑛
(cid:196)(cid:131) N (cid:92)(cid:75) )(cid:95)(cid:106)(cid:13) = 1 2+( 1 (cid:33)(cid:195)(cid:392)(cid:319)(cid:92)
2 1 2
∗
(cid:64)(cid:120)
∀
A
𝑛
(cid:65)
∈
(cid:92)(cid:200)(cid:184)
(𝑛,𝑆𝑛
N
𝑦
)(cid:95)(cid:106)
𝑑
(cid:13)
𝑥 𝑎
=
− 𝑑2)𝑥
+ + (cid:33)(cid:195)(cid:391)(cid:319)(cid:92)
∗
(cid:179)(cid:245) = 1 (cid:92) = (𝑛,𝑆𝑛)1(𝑛 (cid:92) ∈ =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) 𝑓(𝑥 0 ) =0 𝐴 0(cid:202) 𝑥 (cid:86)(cid:70) 𝐵𝑥 (cid:92)(cid:196) 𝐶 (cid:131)A(cid:327)(cid:328)(cid:140)
2 1 2
𝐴 𝑑 𝐵 𝑎 − 𝑑 𝐶 𝐶
(cid:64)(cid:120)B(cid:65)(cid:92)(cid:183) =0(cid:92)(cid:181) =0(cid:92)(cid:201)(cid:180) = (cid:92)
1
(cid:192) >0(cid:180)(cid:92)(cid:204)𝐴(cid:276)(cid:95) 𝑑N (cid:92)(cid:356) (cid:53)𝑆(cid:150)𝑛(cid:92)(cid:196)𝑛𝑎(cid:131)B(cid:327)(cid:328)(cid:140)
1 0
∗
(cid:64)𝑎(cid:120)C(cid:65)(cid:92)(cid:183) >0(cid:92)𝑛(cid:181)∈ >0(cid:92)𝑆𝑛(cid:69)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:92)(cid:202)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:92)(cid:196)(cid:131)C(cid:327)(cid:328)(cid:140)
(cid:64)(cid:120)D(cid:65)(cid:92)(cid:183)𝐴<0(cid:92)(cid:181)𝑑<0(cid:92)𝑆𝑛(cid:69)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:92)(cid:196)(cid:131)D(cid:253)(cid:266)(cid:156)
(cid:289)(cid:20)(cid:10)D. 𝐴 𝑑 𝑆𝑛
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:55)(cid:56)(cid:47)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)7(cid:28)(cid:112)2024·(cid:306)(cid:393)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:394)(cid:395)(cid:33)(cid:396)(cid:397)(cid:398)(cid:399)(cid:369)(cid:104)(cid:400)(cid:401)(cid:402)(cid:403)(cid:92)(cid:305)(cid:403)(cid:350)(cid:404)(cid:123)25(cid:405)(cid:226)36.5(cid:405)(cid:33)(cid:401)(cid:402)(cid:92)(cid:406)(cid:407)(cid:122)(cid:408)
(cid:409)0.5(cid:405)(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:410)(cid:32)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:156)(cid:69)(cid:104)(cid:411)(cid:92)(cid:394)(cid:395)(cid:412)(cid:265)(cid:413)(cid:33)(cid:396)(cid:397)(cid:325)(cid:15)(cid:414)(cid:104)(cid:29)(cid:9)(cid:33)(cid:401)(cid:402)(cid:92)(cid:131)(cid:259)(cid:266)(cid:40)(cid:415)(cid:416)(cid:406)(cid:407)(cid:151)(cid:76)
(cid:269)(cid:417)(cid:92)(cid:394)(cid:395)(cid:95)(cid:269)(cid:417)(cid:56)(cid:319)(cid:210)(cid:304)(cid:222)(cid:214)(cid:160)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:156)(cid:125)(cid:411)(cid:333)(cid:92)(cid:394)(cid:395)(cid:33)(cid:396)(cid:397)(cid:419)(cid:61)(cid:166)(cid:416)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:115)(cid:415)(cid:416)(cid:92)(cid:318)(cid:394)(cid:395)(cid:202)(cid:235)
(cid:390)(cid:226)(cid:210)(cid:304)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:33)(cid:269)(cid:417)(cid:56)(cid:92)(cid:413)(cid:420)(cid:304)(cid:245)(cid:74)(cid:65)(cid:104)(cid:160)(cid:406)(cid:407)(cid:115)28.5(cid:405)(cid:92)(cid:89)(cid:211)(cid:95)(cid:192)(cid:180)(cid:243)(cid:196)(cid:69)(cid:69)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:367)(cid:161)(cid:127)(cid:33)(cid:275)(cid:52)
(cid:115)677(cid:405)(cid:156)(cid:100)(cid:95)(cid:61)(cid:21)(cid:115)(cid:92)(cid:220)(cid:221)(cid:104)(cid:160)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:115)(cid:112) (cid:113)A(cid:156)28(cid:405) B(cid:156)29.5(cid:405) C(cid:156)32.5(cid:405) D(cid:156)34(cid:405)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:245)(cid:406)(cid:405)(cid:33)(cid:275)(cid:160)(cid:13)(cid:92)(cid:302)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:245)(cid:275)(cid:406)(cid:405)(cid:92)(cid:421)
(cid:231)(cid:245)(cid:226)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407)(cid:33)(cid:275)(cid:405)(cid:13)(cid:92)(cid:269)(cid:104)(cid:422)(cid:80)(cid:38)(cid:242)(cid:179). 𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:114)(cid:104)(cid:160)(cid:406)(cid:405)(cid:184) (cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)
1
(cid:181) = =0.5(cid:92) 𝑎 𝑑
1
(cid:181)𝑎 =2255,𝑑+( )×0.5= +24.5(cid:92)
(cid:192)𝑎𝑛= +𝑛2−41.5=36.5(cid:180)0(cid:92).5𝑛=24(cid:92)
(cid:289)𝑎(cid:183)𝑛(cid:204)(cid:418)0.5(cid:405)𝑛(cid:92)(cid:196)(cid:69)(cid:406)(cid:407)(cid:367)(cid:161)(cid:127)(cid:33)𝑛(cid:275)(cid:52)(cid:184)
( )×24
= 1 24 =738(cid:405)(cid:92)
24 2
𝑎 +𝑎
𝑆
(cid:196)(cid:69)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:405)(cid:33)(cid:52)(cid:184) =61(cid:405)(cid:92)
(cid:296)(cid:200)(cid:184)(cid:418)(cid:417)(cid:33)(cid:104)(cid:160)(cid:406)7(cid:407)3(cid:184)8−2687.57(cid:405)(cid:92)
(cid:181)(cid:220)(cid:221)(cid:104)(cid:160)(cid:418)(cid:417)(cid:406)(cid:407) =32.5(cid:405)(cid:92)
(cid:289)(cid:20)(cid:10)C. 61−28.5
(cid:22)(cid:227)(cid:50)7-1(cid:28)(cid:112)2023·(cid:357)(cid:358)(cid:423)(cid:281)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:424)(cid:425)(cid:345)(cid:38)(cid:398)(cid:426)(cid:115)(cid:427)(cid:109)(cid:393)(cid:291)(cid:428)(cid:180)(cid:429)(cid:430)(cid:33)(cid:13)(cid:11)(cid:429)(cid:230)(cid:92)(cid:74)(cid:65)(cid:69)(cid:14)(cid:204)(cid:154)(cid:13)(cid:61)(cid:21)(cid:10)
(cid:431)(cid:69)(cid:14)(cid:204)(cid:154)(cid:74)(cid:13)(cid:92)(cid:177)(cid:177)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:260)(cid:92)(cid:219)(cid:219)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:177)(cid:92)(cid:433)(cid:433)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:260)(cid:92)(cid:61)(cid:14)(cid:125)(cid:203)(cid:434)(cid:86)(cid:215)(cid:115)(cid:10)(cid:69)(cid:104)(cid:416)(cid:14)(cid:435)(cid:92)(cid:204)(cid:154)
(cid:436)(cid:69)(cid:437)(cid:438)(cid:160)(cid:92)(cid:420)(cid:154)(cid:436)(cid:243)(cid:163)(cid:232)(cid:177)(cid:160)(cid:177)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:103)(cid:432)(cid:209)2(cid:160)(cid:140)(cid:219)(cid:160)(cid:219)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:103)(cid:432)(cid:209)3(cid:160)(cid:140)(cid:433)(cid:160)(cid:433)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:293)
(cid:103)(cid:432)(cid:209)2(cid:160).(cid:168)(cid:416)(cid:14)(cid:435)(cid:33)(cid:13)(cid:36)(cid:115)(cid:437)(cid:438)(cid:160)(cid:434)(cid:183)(cid:104)(cid:160)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:439)(cid:131)(cid:177)(cid:440)(cid:260)(cid:92)(cid:439)(cid:131)(cid:219)(cid:440)(cid:177)(cid:92)(cid:243)(cid:168)(cid:441)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:176)(cid:272)(cid:226)(cid:150)
(cid:410)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:51)5(cid:160)(cid:13)(cid:33)(cid:52)(cid:184)(cid:112) (cid:113)
A(cid:156)189 B(cid:156)190 C(cid:156)191 D(cid:156)192
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:92)(cid:346)(cid:67)(cid:185)(cid:49)(cid:184)8(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)15(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:245)(cid:226) = (cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)
(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83). 𝑎𝑛 15𝑛−7
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:92)(cid:442)(cid:131)3(cid:439)(cid:440)2(cid:92)(cid:439)(cid:131)5(cid:440)3(cid:33)(cid:13)(cid:92)(cid:346)(cid:67)(cid:185)(cid:49)(cid:184)8(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)15(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:181) =8+ ×15= (cid:92)
𝑎𝑛 (𝑛−1) 15𝑛−7 5(8 15×
(cid:196)(cid:131)(cid:243)(cid:168)(cid:441)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:176)(cid:272)(cid:226)(cid:150)(cid:410)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:51)5(cid:160)(cid:13)(cid:33)(cid:52)(cid:184) =190.
2
⋅ + 5−7)
(cid:289)(cid:20)(cid:10)B.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)7-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:341)(cid:337)(cid:443)(cid:342)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:444)(cid:445)(cid:95)(cid:120)(cid:37)(cid:206)(cid:92)(cid:414)(cid:446)(cid:447)(cid:448)(cid:184)(cid:449)(cid:450)(cid:103)(cid:451)(cid:127)(cid:446)(cid:447)(cid:92)(cid:340)(cid:145)(cid:452)(cid:453)(cid:454)(cid:338)(cid:81)(cid:153)(cid:206)(cid:112)(cid:338)
(cid:81)(cid:179)(cid:455)(cid:229)(cid:456)(cid:435)(cid:113)(cid:92)(cid:114)(cid:104)(cid:411)(cid:452)(cid:453)(cid:245)1(cid:338)(cid:81)(cid:92)(cid:131)(cid:333)(cid:420)(cid:76)(cid:457)(cid:458)(cid:452)(cid:453)(cid:92)(cid:162)(cid:411)(cid:196)(cid:245)(cid:338)(cid:81)(cid:164)(cid:103)(cid:459)(cid:51)(cid:104)(cid:411)(cid:437)2(cid:81)(cid:156)(cid:183)(cid:414)(cid:411)
(cid:234)(cid:452)(cid:453)(cid:92)(cid:181)(cid:192)(cid:411)(cid:460)(cid:69)(cid:338)(cid:81)(cid:92)(cid:211)(cid:114)(cid:260)(cid:411)(cid:452)(cid:453)(cid:461)(cid:123)1(cid:338)(cid:81)(cid:143)(cid:23)(cid:462)(cid:463)(cid:156)(cid:414)(cid:103)(cid:451)(cid:464)(cid:41)(cid:452)(cid:453)(cid:153)(cid:206)(cid:92)(cid:123)3(cid:465)1(cid:466)(cid:462)(cid:463)(cid:92)(cid:226)3(cid:465)20(cid:466)(cid:413)(cid:217)(cid:245)193(cid:338)(cid:81)(cid:92)(cid:65)(cid:467)(cid:69)(cid:104)(cid:411)(cid:234)(cid:452)(cid:453)(cid:92)(cid:181)(cid:413)(cid:234)(cid:452)(cid:453)(cid:33)(cid:166)(cid:411)(cid:115)(cid:112) (cid:113)
A(cid:156)3(cid:465)5(cid:466)(cid:257)3(cid:465)16(cid:466) B(cid:156)3(cid:465)6(cid:466)(cid:257)3(cid:465)15(cid:466)
C(cid:156)3(cid:465)7(cid:466)(cid:257)3(cid:465)14(cid:466) D(cid:156)3(cid:465)8(cid:466)(cid:257)3(cid:465)13(cid:466)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:32)(cid:223)(cid:224)(cid:77)(cid:83).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:183)(cid:413)(cid:457)(cid:458)(cid:452)(cid:453)(cid:92)(cid:181)(cid:123)(cid:452)(cid:453)(cid:114)1(cid:411)(cid:462)(cid:463)(cid:92)(cid:324)(cid:466)(cid:196)(cid:245)(cid:338)(cid:81)(cid:251)(cid:187)(cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211)(cid:185)(cid:49)(cid:184)1(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)
2(cid:92)(cid:114) (cid:411)(cid:196)(cid:245)(cid:338)(cid:81)(cid:184) (cid:156)
(cid:468)(cid:207)(cid:413)𝑛(cid:457)(cid:458)(cid:452)(cid:453) (cid:411)(cid:92)2(cid:114)𝑛−1+1(cid:411)(cid:65)(cid:315)(cid:222)(cid:92)
(cid:181)(cid:413)(cid:196)(cid:245)(cid:338)(cid:81)(cid:122)𝑛(cid:52)(cid:184)(1+𝑛3+ + +[1+3+ + ]
⋅⋅⋅ 2𝑛−1) ⋅⋅⋅ 2(19−𝑛)−1
= + =193(cid:92)(cid:16)(cid:55)(cid:245) 2 +84=0(cid:92)
2 2
𝑛(1+2𝑛−1) (19−𝑛)[1+2(19−𝑛)−1]
𝑛 −19𝑛
(cid:83)(cid:245) =7(cid:257)12(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:413)(cid:234)(cid:452)(cid:453)(cid:33)(cid:166)(cid:411)(cid:115)3(cid:465)8(cid:466)(cid:257)3(cid:465)13(cid:466)(cid:156)
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑛 D.
(cid:22)(cid:227)(cid:50)7-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:423)(cid:281)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:424)(cid:425)(cid:345)(cid:38)(cid:398)(cid:426)(cid:115)(cid:427)(cid:109)(cid:393)(cid:291)(cid:428)(cid:180)(cid:429)(cid:430)(cid:33)(cid:13)(cid:11)(cid:429)(cid:230)(cid:92)(cid:74)(cid:65)(cid:69)(cid:14)(cid:204)(cid:154)(cid:13)(cid:61)(cid:21)(cid:10)
(cid:431)(cid:69)(cid:14)(cid:204)(cid:154)(cid:74)(cid:13)(cid:92)(cid:177)(cid:177)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:260)(cid:92)(cid:219)(cid:219)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:177)(cid:92)(cid:433)(cid:433)(cid:13)(cid:122)(cid:432)(cid:260).(cid:61)(cid:14)(cid:125)(cid:203)(cid:434)(cid:86)(cid:215)(cid:115)(cid:10)(cid:69)(cid:104)(cid:416)(cid:14)(cid:435)(cid:92)(cid:204)(cid:154)(cid:436)
(cid:69)(cid:437)(cid:438)(cid:160)(cid:92)(cid:420)(cid:154)(cid:436)(cid:243)(cid:163)(cid:232)(cid:177)(cid:160)(cid:177)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:103)(cid:432)(cid:209)2(cid:160)(cid:140)(cid:219)(cid:160)(cid:219)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:103)(cid:432)(cid:209)3(cid:160)(cid:140)(cid:433)(cid:160)(cid:433)(cid:160)(cid:157)(cid:13)(cid:92)(cid:293)(cid:103)
(cid:432)(cid:209)2(cid:160)(cid:92)(cid:168)(cid:416)(cid:14)(cid:435)(cid:33)(cid:13)(cid:36)(cid:115)(cid:437)(cid:438)(cid:160)(cid:434)(cid:183)(cid:104)(cid:160)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:439)(cid:131)(cid:177)(cid:440)(cid:260)(cid:92)(cid:439)(cid:131)(cid:219)(cid:440)(cid:177)(cid:92)(cid:243)(cid:168)(cid:441)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:176)(cid:272)(cid:226)(cid:150)
(cid:410)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:51)10(cid:160)(cid:13)(cid:33)(cid:52)(cid:184)(cid:112) (cid:113)
A(cid:156)754 B(cid:156)755 C(cid:156)756 D(cid:156)757
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245)(cid:439)(cid:131)(cid:177)(cid:440)(cid:260)(cid:211)(cid:439)(cid:131)(cid:219)(cid:440)(cid:177)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:115)(cid:131)8(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)15(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295)(cid:30)
(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:83).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)𝑛(cid:28)(cid:207)(cid:439)(cid:131)(cid:177)(cid:440)(cid:260)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92)(cid:181) = ( N )(cid:92)
∗
(cid:439)(cid:131)(cid:219)(cid:440)(cid:177)(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92)(cid:181) = 𝑎𝑛( N𝑎𝑛 )(cid:92)3𝑛−1 𝑛∈
∗
(cid:439)(cid:131)(cid:177)(cid:440)(cid:260)(cid:211)(cid:439)(cid:131)(cid:219)(cid:440)(cid:177)(cid:33)(cid:253)𝑏𝑛(cid:325)(cid:13)(cid:184)𝑏(cid:13)𝑛(cid:32)5{𝑛−}(cid:92)2
𝑛∈
(cid:231)3(cid:52)5(cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:7)(cid:469)(cid:13)(cid:184)15(cid:92) 𝑐𝑛
(cid:181)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:176)(cid:13)(cid:32){ }(cid:52){ }(cid:33)(cid:7)(cid:217)(cid:49)(cid:346)(cid:67)(cid:33)(cid:104)(cid:160)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:13)(cid:32){ }𝑐(cid:115)𝑛 (cid:131)8(cid:184)(cid:185)(cid:49)𝑎(cid:92)𝑛15(cid:184)𝑏(cid:7)𝑛 (cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:181) =𝑐𝑛 (cid:92)
𝑐𝑛 15𝑛−7 10×(8 143)
(cid:196)(cid:131)(cid:51)10(cid:160)(cid:13)(cid:33)(cid:52)(cid:184) =755.
2
+
(cid:289)(cid:20)(cid:10)B.(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:49)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)8(cid:28)(cid:112)2024·(cid:117)(cid:298)(cid:299)(cid:470)(cid:52)(cid:471)(cid:347)·(cid:104)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) , =3(cid:211) + =2 2+ +
1 +1
N*(cid:156) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛𝑎 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 6𝑛 3,𝑛∈
(1)(cid:77) (cid:33)(cid:54)(cid:140)
9
(2)(cid:77)(cid:13)𝑆 (cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:156)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)𝑎(cid:28)𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295) , (cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:92)(cid:16)(cid:184) + =4( +2)(cid:92)(cid:294)(cid:295)(cid:89)(cid:49)(cid:235)(cid:77) (cid:140)
+2 +1 9
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:193)(cid:340)(cid:3)(cid:93)(cid:179)(cid:245) 𝑎𝑛𝑆𝑛 = 2(cid:92)(cid:295)𝑎𝑛(cid:201)(cid:81) 𝑎(cid:184)𝑛(cid:57)(cid:13)(cid:71)𝑛(cid:58)(cid:13)(cid:77)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:302)(cid:142)𝑆(cid:89)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:83).
+2
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)𝑎(cid:184)𝑛 −+𝑎𝑛 4=,𝑛2≥2+ +3(cid:92)𝑛
+1
(cid:196)(cid:131) + =2 +𝑆𝑛1)2𝑆+𝑛6( +1𝑛)+36(cid:156)𝑛
+2 +1
(cid:214)(cid:50)𝑆(cid:102)𝑛(cid:198)(cid:92)(cid:245)𝑆𝑛 +(𝑛 =4( +𝑛2) *(cid:156)
+2 +1
(cid:196)(cid:131) = +𝑎( 𝑛 + 𝑎𝑛 )+( +𝑛 )+,𝑛∈+𝑁( + )=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]
9 1 2 3 4 5 8 9
𝑆 𝑎(3 9)×𝑎4 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎
=3+4× =99(cid:140)
2
+
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:154) + =4( +2) (cid:92)
+2 +1
(cid:179)(cid:245) + =𝑎4𝑛 ( +1𝑎) 𝑛 (cid:92) 𝑛2(cid:156) ①
+1
(cid:200)(cid:184)𝑎𝑛=3𝑎,𝑛 + =𝑛 11(cid:92)② 𝑛≥
1 2 1
(cid:196)(cid:131)𝑎 =5(cid:92)𝑆(cid:296) 𝑆 + =23=2 +2 + (cid:92)
2 3 2 1 2 3
(cid:196)(cid:131)𝑎 =7 𝑆 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
3
(cid:296)(cid:176)𝑎 (cid:245) = 2(cid:156)
+2
(cid:196)(cid:131)①②= 𝑎+𝑛4(−𝑎𝑛 )=4,𝑛≥+1(cid:92)(cid:242) = + (cid:184)(cid:58)(cid:13)(cid:92)
2
(cid:181)(cid:192)𝑎2𝑛 3(cid:92)𝑎(cid:211)(cid:184)(cid:57)𝑛−(cid:13)1(cid:180)(cid:92)4𝑛 𝑎𝑛 2𝑛 1,𝑛
=𝑛4(≥ +1) =4( +1) [2( +1)+1]= +1(cid:92)
+1
(cid:296)𝑎𝑛 =𝑛3, =−7𝑎(cid:472)𝑛(cid:142)(cid:319)(cid:50)(cid:92)𝑛 (cid:141)(cid:142)−(cid:245) 𝑛= +1(cid:156) 2𝑛
1 3
(cid:22)𝑎(cid:227)(cid:50)8-𝑎1(cid:28)(cid:112)2023·(cid:341)(cid:359)(cid:473)(cid:474)·(cid:104)(cid:282)𝑎(cid:113)𝑛 (cid:233)2(cid:154)𝑛(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:475)(cid:49)(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:13)(cid:92)(cid:304) (cid:184){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:211)2 = 2+
. 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛
𝑎(1𝑛)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
(2)(cid:304) =(𝑎𝑛 ) (cid:92)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) .
+1
𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)𝑐𝑛(cid:215)(cid:216)−(cid:28)1(cid:112)𝑎1 𝑛(cid:113)𝑎𝑛(cid:294)(cid:295) , (cid:33)(cid:3)𝑐(cid:93)𝑛 (cid:179)(cid:245) 𝑇𝑛=1( 2)(cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:92)
(2)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:81)𝑆𝑛(cid:57)𝑎𝑛(cid:58)(cid:77)(cid:52),(cid:314)(cid:77)𝑎𝑛−=𝑎𝑛−1 +𝑛≥ + =2( + +…+ )(cid:92)
1 2 2 3 +1 2 4
(cid:296) (cid:92) 𝑐(cid:92)𝑛 …(cid:92)𝑛 (cid:115)(cid:185)(cid:49)(cid:184)2(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)2𝑇(cid:33)2𝑘(cid:30)(cid:31)−(cid:13)𝑎 (cid:32)𝑎 (cid:92)(cid:302)𝑎(cid:77)𝑎(cid:57)−(cid:13)…(cid:49)(cid:52)𝑎2(cid:242)𝑘𝑎(cid:179)2𝑘 . 𝑎 𝑎 𝑎2𝑘
2 4
𝑎 𝑎 𝑎2𝑘(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)2 = 2+ (cid:245) 2(cid:180)(cid:92)2 = 2 +
(cid:214)(cid:50)(cid:102)(cid:198)(cid:245)2 = 2 𝑆2𝑛 +𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑛,(cid:325)≥(cid:15)(cid:245) +𝑆𝑛−1 =𝑎𝑛 ( −1 +𝑎𝑛−1 )( )
(cid:200)(cid:184) >0(cid:92)𝑎(cid:196)𝑛(cid:131)𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑎1( 𝑛−𝑎𝑛 2 − ) 1,(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛 { 𝑎}(cid:115)𝑛−(cid:131)1 1(cid:184)𝑎(cid:7)𝑛 (cid:31)𝑎(cid:33)𝑛−(cid:30)1 (cid:31)𝑎(cid:13)𝑛−(cid:32)𝑎𝑛−1
(cid:95)2 𝑎𝑛 = 2+ (cid:65)𝑎(cid:317)𝑛−𝑎= 𝑛− 1 1(cid:83)(cid:245) 𝑛≥=1 𝑎𝑛
1
(cid:196)(cid:131)𝑆𝑛 =𝑎1𝑛+𝑎( 𝑛 )=𝑛 . 𝑎
(cid:112)2(cid:113)𝑎(cid:192)𝑛 = 𝑛(cid:180)−1 𝑛
= 𝑛 +2𝑘 + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
𝑇+𝑛 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎=2(⋯ + + + )(cid:92)
+1 2 4
(cid:296)𝑎2(cid:92)𝑘−3𝑎(cid:92)2𝑘− ... 1(cid:92)−𝑎2𝑘−(cid:115)1𝑎(cid:185)2𝑘(cid:49)(cid:184)𝑎2 2 𝑘(cid:92)𝑎2(cid:7)𝑘 (cid:31)(cid:184)2(cid:33)𝑎(cid:30)(cid:31)𝑎(cid:13)(cid:32)⋯(cid:92) 𝑎2𝑘
2 4
𝑎 𝑎 𝑎2𝑘
(cid:196)(cid:131) + + + = = 2+ (cid:92)
2 4 2
𝑘(2+2𝑘)
𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎2𝑘 𝑘 𝑘
(cid:289) =2 2+ (cid:156)(cid:196)(cid:131) = 2
2
𝑛 +2𝑛
𝑇2𝑘 𝑘 2𝑘 𝑇𝑛
(cid:192) = +1(cid:180)
𝑛= 2𝑘 + + +
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
𝑇+𝑛 −𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ⋯ =2( + + + ) (cid:92)
+1 +1 +2 2 4 +1 +2
(cid:296)𝑎2(cid:92)𝑘−3𝑎(cid:92)2𝑘− ... 1(cid:92)−𝑎2𝑘−(cid:115)1𝑎(cid:185)2𝑘(cid:49)(cid:184)𝑎2 2 𝑘(cid:92)𝑎2(cid:7)𝑘 (cid:31)−(cid:184)𝑎2 2 𝑘(cid:33)𝑎(cid:30)2𝑘(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)𝑎 𝑎 ⋯ =𝑎2𝑘(−𝑎+ 2𝑘 1)(𝑎2𝑘 +2)
2 4 +1 +2
(cid:196)𝑎(cid:131)2(𝑎 + +𝑎2𝑘 + ) = + ( −𝑎+ 2 1 𝑘 )(𝑎2𝑘 +2)(cid:92)− 2𝑘 2𝑘
2 4 +1 +2
(cid:289) 𝑎 = 𝑎 ( + ⋯ 1)2 𝑎 (cid:156) 2𝑘 (cid:196) − (cid:131) 𝑎2𝑘 = 𝑎2 ( 𝑘 1)2 𝑘(2 2𝑘)− 2𝑘 2𝑘
+1 2
− 𝑛+
𝑇2𝑘 −2 𝑘 𝑇𝑛
(cid:192) (cid:184)(cid:58)(cid:13)(cid:180), = 2 ; (cid:192) (cid:184)(cid:57)(cid:13)(cid:180), = ( 1)2.
2 2
𝑛 +2𝑛 − 𝑛+
𝑛 𝑇𝑛 𝑛 𝑇𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)8-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:306)(cid:291)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92) =1(cid:92) =9(cid:92)(cid:211) + =2 +8(cid:92)
1 2 +2 +1
(1)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(2)(cid:13)(cid:32){ }𝑎(cid:33)𝑛 (cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211)(cid:286)(cid:287) 2= (cid:92) <0(cid:92)(cid:77) (cid:156)
+1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)𝑏(cid:216)𝑛 (cid:28)(cid:112)𝑛1(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:86)𝑆𝑛(cid:179)(cid:245) 𝑏𝑛 𝑎𝑛= 𝑏𝑛𝑏𝑛 +8(cid:92)(cid:242)𝑆(cid:179)𝑛(cid:245)(cid:226){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:226)
+2 +1 +1 +1 +1
= (cid:92)(cid:302)(cid:249)(cid:27)(cid:331)(cid:367)(cid:235)(cid:80)(cid:38)(cid:179)(cid:245)𝑎𝑛(cid:140)−𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑎𝑛 −
𝑎(cid:112)𝑛 2(cid:113)8(cid:176)𝑛(cid:112)1(cid:113)(cid:179)(cid:245) =±( )(cid:92)(cid:176) <0(cid:92)(cid:245)(cid:226) (cid:41) (cid:165)(cid:9)(cid:92)(cid:302)(cid:64) (cid:81)(cid:270)(cid:59)(cid:60)(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:89)(cid:49)(cid:77)(cid:52)(cid:235)(cid:80)
+1 +2 1
(cid:38)(cid:179)(cid:245). 𝑏𝑛 2𝑛−1 𝑏𝑛𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑏
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184) + =2 +8(cid:92)(cid:196)(cid:131) = +8(cid:92)
+2 +1 +2 +1 +1
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:7)𝑎(cid:31)𝑛(cid:184)8(cid:33)𝑎(cid:30)𝑛 (cid:31)(cid:13)𝑎𝑛(cid:32)(cid:92)(cid:74)(cid:185)(cid:49)(cid:184)𝑎𝑛 −𝑎=𝑛 8(cid:92) 𝑎𝑛 −𝑎𝑛
+1 2 1
(cid:120)(cid:115) 𝑎𝑛 =−𝑎𝑛(cid:92) 𝑎 −𝑎
+1
𝑎𝑛 −𝑎𝑛 8𝑛(cid:181) =8( )(cid:92) =8( )(cid:92) (cid:92)
𝑎𝑛−𝑎=𝑛−81×2(cid:92)𝑛−1 =𝑎𝑛8−(cid:92)1−𝑎𝑛−2 𝑛−2 ⋯
3 2 2 1
(cid:196) 𝑎 − (cid:131) 𝑎 =8(1 𝑎 + − 2 𝑎 + + )=8× (1 )( ) =4 2 (cid:92)
1 2
+𝑛−1 𝑛−1
(cid:196)(cid:131) 𝑎𝑛− = 𝑎 4 2 +1( ⋅⋅⋅ 2 𝑛 )(cid:140)−1(cid:231) =1(cid:472)(cid:142)(cid:305)(cid:50)(cid:92)(cid:289) 𝑛 = − 4 4𝑛2 +1.
1
(cid:112)2(cid:113)𝑎(cid:176)𝑛 (cid:112)1𝑛(cid:113)−(cid:61)4(cid:154)𝑛 (cid:92) 𝑛=≥( )2𝑎(cid:92)(cid:181) =±( )(cid:92)𝑎𝑛 𝑛 −4𝑛
(cid:296) <0(cid:92)(cid:181) 𝑎𝑛 2<𝑛−0(cid:92)1 (cid:214)(cid:50)(cid:102)𝑏𝑛(cid:332)(cid:245) 2𝑛2−1 >0(cid:92)(cid:242) >0(cid:92)
+1 +1 +2 +1 +2 +2
(cid:200)𝑏(cid:201)𝑛𝑏𝑛(cid:41) (cid:165)(cid:9)𝑏(cid:92)𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑏𝑛𝑏𝑛
+2
𝑏𝑛 𝑏𝑛 为奇数
(cid:200)(cid:184) <0(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = (cid:92)(cid:201)(cid:180) = (cid:92)
1 2 1 2 为偶数
2𝑛−1,𝑛
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 −3 𝑏𝑛
(cid:192) (cid:184)(cid:57)(cid:13)(cid:180)(cid:92) =( + )+( + )+ +( 1 + −2𝑛,𝑛 )+ = × = (cid:92)
1 2 3 4 2
𝑛−1
𝑛 𝑆𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛 𝑏𝑛−2 𝑛
(cid:192) (cid:184)(cid:58)(cid:13)(cid:180)(cid:92) =( + )+( + )+ +( + )= × = (cid:140)
1 2 3 4 2
𝑛
𝑛 𝑆𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 为奇⋅⋅⋅数 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛 −2 −𝑛
(cid:192) = (cid:180)(cid:92) =3(cid:92)(cid:201)(cid:180) = (cid:92)
1 2 为偶数
1−2𝑛,𝑛
𝑏 −1 𝑏 𝑏𝑛
(cid:192) (cid:184)(cid:57)(cid:13)(cid:180)(cid:92) =( + )+( 2𝑛 + −1,𝑛 )+ +( + )+ = +2× = (cid:92)
1 2 3 4 2
𝑛−1
𝑛 𝑆𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏𝑛−2 𝑏𝑛−1 𝑏𝑛 𝑏𝑛 −𝑛
(cid:192) (cid:184)(cid:58)(cid:13)(cid:180)(cid:92) =( + )+( + )+ +( + )=2× = (cid:140)
1 2 3 4 2
𝑛
(cid:141) 𝑛 (cid:319)(cid:92)(cid:192) =1 𝑆 (cid:180) 𝑛 (cid:92) 𝑏=(𝑏 ) 𝑏 (cid:140)𝑏(cid:192) = ⋅⋅⋅ (cid:180)𝑏𝑛 (cid:92) −1 =𝑏𝑛 ( ) . 𝑛
1 1
𝑛−1 𝑛
𝑏 𝑆𝑛 −1 ⋅𝑛 𝑏 −1 𝑆𝑛 −1 ⋅𝑛
(cid:22)(cid:227)(cid:50)8-3(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:338)(cid:184) , 0, = (cid:156)
𝑇𝑛
(1)(cid:77)(cid:42)(cid:10)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:89)(cid:77)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)𝑎(cid:48) 𝑛 (cid:49)(cid:7)(cid:50) 𝑛 (cid:140) 𝑇𝑛𝑎𝑛≠ 𝑎𝑛 𝑇𝑛−2
(2)(cid:317) =( )𝑇𝑛 ( +1)( )(cid:92)(cid:77)(cid:13)𝑎(cid:32)𝑛{ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) (cid:156)
+1
𝑛−1
𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:51) (cid:49)(cid:338)(cid:40)(cid:70)(cid:179)(cid:245) = = (cid:92)(cid:302)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:40)(cid:70)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:145)(cid:42)(cid:43)(cid:92)(cid:89)(cid:77)(cid:245)(cid:13)(cid:32){ }
𝑇𝑛 𝑇𝑛
𝑛 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−2 𝑎𝑛
1
(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:184) = (cid:140)
2𝑛+
𝑎𝑛 2𝑛−1
(cid:112)2(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:77)(cid:52)(cid:92)(cid:64) (cid:33)(cid:57)(cid:58)(cid:269)(cid:349)(cid:81)(cid:270)(cid:59)(cid:60)(cid:242)(cid:179)(cid:245) = 2 2( ) .
1 𝑛−1
4𝑛+ + ⋅ −1
𝑛 𝑆𝑛 2𝑛+
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:245)(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = = 1 (cid:156)
1 1
1𝑇
𝑛 𝑇 𝑎 𝑇 −2
(cid:200)(cid:184) 0(cid:92)(cid:196)(cid:131) 0(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:131) =3(cid:156)
1
𝑎𝑛≠ 𝑇𝑛≠ 𝑇
(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = (cid:92)(cid:242) = (cid:92)(cid:200)(cid:201) =2(cid:156)
𝑇𝑛 𝑇𝑛
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−2 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛−2 𝑇𝑛−𝑇𝑛−1
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:131)3(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)2(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:179)(cid:245) = 𝑇𝑛+1(cid:156)
𝑇𝑛 2𝑛1
(cid:196)(cid:131) = = (cid:156)
𝑇𝑛 2𝑛+
(cid:112)2(cid:113) 𝑎 (cid:176) 𝑛 (cid:21) 𝑇 (cid:86) 𝑛− (cid:154) 2 2𝑛−1
=( ) ( +1)( )=( ) =( ) 2 1 + 1 (cid:156)
+1 ( )( 1) 1
8𝑛
𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1
𝑏 (cid:192) 𝑛 (cid:184)(cid:58) −1 (cid:13)(cid:180)(cid:92)𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 −1 2𝑛−1 2𝑛+ −1 ⋅ 2𝑛−1 2𝑛+
𝑛 =2 1+ 1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 =2 1 = (cid:140)
3 3 5 1 1 1
4𝑛
𝑆 (cid:192) 𝑛 (cid:184)(cid:57)(cid:13)(cid:180)(cid:92) −2 ⋅⋅⋅−2 2𝑛−3 2𝑛−1 −2 2𝑛−1 2𝑛+ 1−2𝑛+ 2𝑛+
𝑛 =2 1+ 1 1 + 1 + 1 + 1 +2 1 + 1 =2 1+ 1 = 4 (cid:156)
3 3 5 1 1 1
4𝑛+
𝑆𝑛 − 4 2 ⋅⋅⋅−2 2𝑛−3 2𝑛−1 2𝑛−1 2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+
为奇数，
(cid:196)(cid:131) = 1 (cid:112)(cid:257) = 2 2( ) (cid:113).
4𝑛+ 为偶数， 1 𝑛−1
2𝑛+1,𝑛 4𝑛+ + ⋅ −1
𝑆𝑛 4𝑛 𝑆𝑛 2𝑛+
(cid:22)(cid:21)(cid:29)9 2(cid:62)𝑛+(cid:63) , (cid:64) 𝑛 (cid:54)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:61)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)9(cid:28)(cid:112)2024·(cid:357)(cid:358)(cid:67)(cid:164)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) = 1 2+ ( *)(cid:92)(cid:211) (cid:33)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:184) 9 (cid:156)
2 2
(1)(cid:266)(cid:40)(cid:121)(cid:13) (cid:92)(cid:89)(cid:77) (cid:140) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 − 𝑛 𝑘𝑛 𝑘∈𝑁 𝑆𝑛
(2)(cid:77)(cid:13)(cid:32){| 𝑘|}(cid:33)(cid:51)𝑎1 𝑛 5(cid:49)(cid:52) (cid:156)
15
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216) 𝑎 (cid:28) 𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86) 𝑇 (cid:92)(cid:77)(cid:245) = 1 2+ (cid:92)(cid:236)(cid:142) = (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:245)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
2
𝑆𝑛 − 𝑛 3𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎𝑛
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:77)(cid:245) = 1 2+ (cid:92)(cid:236)(cid:142) = +2 (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83).
2 15 15 3
𝑆𝑛 − 𝑛 3𝑛 𝑇 −𝑆 𝑆
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:83)(cid:10)(cid:176)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) = 1 2+ ( *)(cid:92)
2
𝑎𝑛 𝑆𝑛 − 𝑛 𝑘𝑛 𝑘∈𝑁
(cid:294)(cid:295)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:92)(cid:179)(cid:245)(cid:192) = (cid:180)(cid:92) = 1 2+ (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:92)
2
𝑛 𝑘 𝑆𝑛 − 𝑛 𝑘𝑛
(cid:242) = 1 2+ 2= 1 2= 9 (cid:92)(cid:83)(cid:245) =3(cid:92)(cid:196)(cid:131) = 1 2+ (cid:92)
2 2 2 2
𝑆𝑘 − 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑆𝑛 − 𝑛 3𝑛
(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = 1 2+ 1 2+3( ) = 7 (cid:92)
2 2 2
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − 𝑛 3𝑛− − (𝑛−1) 𝑛−1 −𝑛
5
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = = (cid:112)(cid:472)(cid:142)(cid:319)(cid:50)(cid:113)(cid:92)
1 1 2
𝑛 𝑎 𝑆
7
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:184) = .
2
(cid:112)2(cid:113)(cid:83)(cid:10) 𝑎 (cid:176) 𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:154) = 7 𝑎𝑛 (cid:92)(cid:179) − (cid:245) 𝑛 = 5 2 7 2 = 1 2+ (cid:92)
2 2 2
𝑛( + −𝑛)
𝑎𝑛 −𝑛 𝑆𝑛 − 𝑛 3𝑛
(cid:211)(cid:192) 3(cid:211) N (cid:180)(cid:92)(cid:179)(cid:245) >0(cid:140)(cid:192) 4(cid:211) N (cid:180)(cid:92)(cid:179)(cid:245) <0(cid:92)
∗ ∗
(cid:196)(cid:131) 𝑛 (cid:13) ≤ (cid:32){| 𝑛 |} ∈ (cid:33)(cid:51)15(cid:49)(cid:52)(cid:10) 𝑎𝑛 = 𝑛≥ +2 𝑛 = ∈ 1 ×152 𝑎 + 𝑛 3×15 +2 1 ×32+3×3 = 153 (cid:156)
15 15 3 2 2 2
𝑎𝑛 𝑇 −𝑆 𝑆 − − −(cid:22)(cid:227)(cid:50)9-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:320)(cid:321)(cid:476)(cid:342)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:185)(cid:49)(cid:184)1(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:7)(cid:31) >0(cid:92)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)
(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211) (cid:92) (cid:92) (cid:67)(cid:30)(cid:459)(cid:13)(cid:32)(cid:156) 𝑎𝑛 𝑑 𝑎𝑛 𝑛
1 2 4
(1)(cid:77)𝑆{ 𝑛 }(cid:33)(cid:48)𝑆 (cid:49)(cid:7)𝑆 (cid:50)𝑆(cid:140)
(2)(cid:77)(cid:13)𝑎𝑛(cid:32){| |}(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52) (cid:156)
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)𝑎(cid:28)𝑛−(cid:112)81(cid:113)(cid:294)(cid:295)𝑛(cid:355)(cid:40)𝑇(cid:311)𝑛(cid:312)(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:459)(cid:65)(cid:49)(cid:33)(cid:86)(cid:70)(cid:71)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:83)(cid:230)(cid:146).
(cid:112)2(cid:113)(cid:317) = (cid:92)(cid:39)(cid:315)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:92)(cid:266)(cid:40)(cid:253)(cid:13)(cid:49)(cid:71)(cid:254)(cid:13)(cid:49)(cid:92)(cid:302)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:81)(cid:363)(cid:77)(cid:52)
(cid:230)(cid:146). 𝑏𝑛 𝑎𝑛−8 𝑏𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184) , , (cid:67)(cid:30)(cid:459)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:69) 2= (cid:92)
1 2 4 2 1 4
(cid:242)(2+ )2=4+ (cid:92)(cid:231)𝑆 >𝑆0𝑆(cid:92)(cid:83)(cid:245) =2(cid:92)(cid:181) =𝑆 𝑆 (cid:92)𝑆
(cid:196)(cid:131){ 𝑑}(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)6(cid:50)𝑑(cid:115) 𝑑= (cid:156) 𝑑 𝑎𝑛 2𝑛−1
(cid:112)2(cid:113)𝑎(cid:176)𝑛(cid:112)1(cid:113)(cid:154)(cid:92)(cid:317) 𝑎=𝑛 2𝑛−=1 (cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:74)(cid:51)4(cid:49)(cid:184)(cid:254)(cid:54)(cid:92)(cid:123)(cid:114)5(cid:49)(cid:462)(cid:463)(cid:184)(cid:253)(cid:54)(cid:92)
(cid:207) (cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)
𝑏𝑛
(cid:181)
𝑎𝑛
=
−8
1
2𝑛)−
=
9 𝑏
=
𝑛
2 (cid:92)
2 2
𝑛(𝑏 +𝑏𝑛 𝑛(−7+2𝑛−9)
(cid:183) 𝑏𝑛 4(cid:92) 𝑛 =| 𝑃 | 𝑛 +| 𝑃 |+ 𝑛 +| | = ( + 𝑛 + −8 ) 𝑛 = = 2(cid:92)
1 2 1 2
(cid:183)𝑛≤5(cid:92)𝑇𝑛=|𝑏 |+|𝑏 |+⋅⋅⋅+|𝑏𝑛|= −( 𝑏+ 𝑏+⋅⋅⋅ +𝑏𝑛 )+−(𝑃𝑛+ 8+𝑛−𝑛)= +( )
1 2 1 2 3 4 5 4 4
=𝑛≥ 𝑇=𝑛 2𝑏 +𝑏32(cid:92)⋅⋅⋅ 𝑏𝑛 − 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 ⋅⋅⋅ 𝑏𝑛 −𝑃 𝑃𝑛−𝑃
4
𝑃𝑛−2𝑃 𝑛 −8𝑛2 4
(cid:196)(cid:131) = N .
2 + 5
8𝑛−𝑛 ,𝑛≤ ∗
𝑇𝑛 ,𝑛∈
(cid:22)(cid:227)(cid:50)9-2(cid:28)𝑛 (cid:112)−82𝑛024·3(cid:108)2,(cid:109)𝑛≥·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ },
1
= (cid:92)(cid:304) (cid:184){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:123)(cid:209)(cid:477)
𝑎𝑛 𝑎 −10 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 ①②③
(cid:65)(cid:302)(cid:20)(cid:351)(cid:104)(cid:160)(cid:230)(cid:184)(cid:311)(cid:312)(cid:92)(cid:83)(cid:101)(cid:209)(cid:477)(cid:61)(cid:21)(cid:156) 2 + =0(cid:140) = (cid:140) 7 5=2(cid:156)
5 8 11 7 5
𝑆 𝑆
(1)(cid:77) (cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:140) ① 𝑎 𝑎 ②𝑆 −55 ③ −
(2)(cid:207)𝑆{| 𝑛 |}(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:77) (cid:156)
20
(cid:22)(cid:83)(cid:21)𝑎(cid:215)𝑛(cid:216)(cid:28)(cid:112)𝑛1(cid:113)(cid:207)(cid:30)𝑇(cid:31)𝑛 (cid:13)(cid:32)𝑇{ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:81)(cid:370)(cid:20)(cid:132) (cid:92)(cid:77)(cid:245)(cid:7)(cid:31) (cid:33)(cid:54)(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)
(cid:7)(cid:50)(cid:52)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:140)𝑎𝑛 𝑑 ①②③ 𝑑
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)𝑛1(cid:113)(cid:65)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:211) = (cid:156)
1
(cid:20)(cid:132) (cid:10)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184)2 + =0𝑎(cid:92)𝑛 (cid:196)(cid:131)3 +𝑑 =𝑎0(cid:92)−(cid:83)1(cid:245)0 =2(cid:156)
5 8 1
① 𝑎 𝑎 𝑎 15𝑑 𝑑
(cid:196)(cid:131) = + = (cid:92)(cid:181) = + = 2 (cid:92)
1 1 2
𝑛(𝑛−1)
(cid:249)(cid:27)
𝑎
(cid:260)
𝑛
(cid:187)(cid:106)
𝑎
(cid:13)(cid:64)
(𝑛
(cid:478)
−1
(cid:44)
)𝑑
(cid:52)(cid:462)
2
(cid:479)
𝑛−
(cid:223)
1
(cid:480)
2
(cid:154)(cid:92)
𝑆𝑛
=
𝑛𝑎2
(cid:3)(cid:120)
𝑑
=
𝑛
5
−
.5
1
(cid:64)
1𝑛
(cid:478)(cid:92)
(cid:200)(cid:184) *(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:192) =5(cid:257)6(cid:180)(cid:92)( 𝑆)𝑛 𝑛=−11=𝑛 =𝑛 .
min 5 6
𝑛∈𝑁 𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 −3011×( )
(cid:20)(cid:132) (cid:10)(cid:200)(cid:184) = (cid:92)(cid:179)(cid:245) 1 11 = (cid:92)
11 2
𝑎 +𝑎
② 𝑆 −55 −55
(cid:200)(cid:184) = (cid:92)(cid:196)(cid:131) =0(cid:92)(cid:201)(cid:180) = 11 1=1(cid:92)(cid:196)(cid:131) = + = (cid:92)
1 11 1
𝑎 −𝑎
𝑎 −10 𝑎 𝑑 11−1 𝑎𝑛 𝑎 (𝑛−1)𝑑 𝑛−11
(cid:200)(cid:184) >0(cid:92)(cid:196)(cid:131){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:211)(cid:192) 11(cid:180)(cid:92) 0(cid:156)
(cid:196)(cid:131)𝑑(cid:192) =10(cid:257)11𝑎𝑛(cid:180)(cid:92) (cid:53)(cid:272)(cid:92)(cid:201)(cid:180)𝑛(≥) = 𝑎𝑛≥= = .
min 10 11
𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑆 𝑆 −55
(cid:20)(cid:132) (cid:10)(cid:200)(cid:184) 7 5=2(cid:92)(cid:196)(cid:131) 1 7 1 5=2(cid:92)(cid:242) =4(cid:92)(cid:196)(cid:131) = 7 5=2(cid:92)
7 5 2 2 7 5 2
𝑆 𝑆 𝑎 +𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 −𝑎
③ − − 𝑎 −𝑎 𝑑
(cid:196)(cid:131) = + = (cid:92)(cid:181) = + = 2 (cid:92)
1 1 2
𝑛(𝑛−1)
(cid:249)(cid:27)
𝑎
(cid:260)
𝑛
(cid:187)(cid:106)
𝑎
(cid:13)(cid:64)
(𝑛
(cid:478)
−1
(cid:44)
)𝑑
(cid:52)(cid:462)
2
(cid:479)
𝑛−
(cid:223)
1
(cid:480)
2
(cid:154)(cid:92)
𝑆𝑛
=
𝑛𝑎2
(cid:3)(cid:120)
𝑑
=
𝑛
5
−
.5
1
(cid:64)
1𝑛
(cid:478)(cid:92)
(cid:200)(cid:184) *(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:192) =5(cid:257)6(cid:180)(cid:92)( 𝑆)𝑛 𝑛=−11=𝑛 =𝑛 .
min 5 6
(cid:112)2(cid:113)𝑛(cid:83)∈(cid:10)𝑁(cid:183)(cid:20)(cid:132) (cid:257)𝑛 (cid:10)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:154)𝑆𝑛 = 𝑆 𝑆(cid:92)(cid:192)−306(cid:180)(cid:92) 0(cid:92)
(cid:196)(cid:131) =| |+|①|+③| |+ +| 𝑎| 𝑛= 2𝑛−12 𝑛≥ +𝑎𝑛≥+ + +
20 1 2 3 20 1 2 3 3 5 6 7 20
=𝑇 + 𝑎 + 𝑎+ +𝑎 ⋯ 𝑎+ +−𝑎+−𝑎 −+𝑎 −)𝑎 =−𝑎 𝑎 =𝑎240⋯. 𝑎
20 1 2 3 20 1 2 3 3 5 20 5
𝑇 (cid:183)(cid:20)(cid:132) 𝑎 (cid:10) 𝑎 (cid:176)(cid:112) 𝑎 1(cid:113)(cid:154) ⋯ = 𝑎 −2(𝑎 (cid:92)(cid:211)(cid:192) 𝑎 𝑎 11(cid:180) 𝑎 (cid:92) 𝑎 0(cid:92)(cid:211) 𝑆 −2 = 𝑆1 2 21 (cid:92)
2 2
(cid:196)(cid:131) ② =| |+| |+ 𝑎𝑛 | | 𝑛 + −11 +| |= 𝑛≥ 𝑎𝑛≥ + 𝑆𝑛 + 𝑛 − + 𝑛 +
20 1 2 3 20 1 2 10 11 12 20
=𝑇 + 𝑎 + 𝑎+ +𝑎 ⋯ 𝑎+ +−𝑎+−𝑎 +−⋯−)𝑎 = 𝑎 𝑎 =1⋯00. 𝑎
20 1 2 3 20 1 2 3 10 20 10
𝑇(cid:22)(cid:227)(cid:50)𝑎9-3(cid:28)𝑎(cid:112)2𝑎024·(cid:352)⋯(cid:359)·𝑎(cid:282)(cid:283)−2(cid:284)(𝑎(cid:285)(cid:113)(cid:233)𝑎 (cid:154)(cid:13)𝑎(cid:32){⋯ }(cid:41)𝑎{ }(cid:184)(cid:30)𝑆(cid:31)−(cid:13)2𝑆(cid:32)(cid:92) = (cid:92) =2 (cid:92){ }(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184)
2 3 1 1
2 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑛 𝑛
(cid:156)
2
19𝑛+𝑛
(1)(cid:77)(cid:145){ }(cid:41){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
𝑎𝑛 𝑏𝑛 | | | |
(2)(cid:115)(cid:481)(cid:276)(cid:95)(cid:162)(cid:104)(cid:49)(cid:164)(cid:115)(cid:325)(cid:13)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92)(cid:356)(cid:245)(cid:64)(cid:120)(cid:238)(cid:86) N (cid:92) (cid:164)(cid:94)(cid:286)(cid:287)
+ 2
𝑎𝑛+𝑏𝑛−𝑎𝑛−𝑏𝑛
𝑐𝑛 𝑛∈ 𝑐𝑛 ≤𝑐𝑛≤
| | | |
(cid:156)(cid:183)(cid:276)(cid:95)(cid:92)(cid:77)(cid:145)(cid:196)(cid:69)(cid:319)(cid:482)(cid:33){ }(cid:140)(cid:183)(cid:204)(cid:276)(cid:95)(cid:92)(cid:483)(cid:484)(cid:43)(cid:15)(cid:176)(cid:156)
2
𝑎𝑛+𝑏𝑛+𝑎𝑛−𝑏𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:46)𝑐(cid:48) 𝑛 (cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:179)(cid:77)(cid:145){ }(cid:41){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50).
(cid:112)2(cid:113)(cid:294)(cid:295)(cid:114)(cid:104)(cid:272)(cid:61)(cid:77)(cid:245)(cid:33){ }(cid:41){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:92)𝑎(cid:179)𝑛(cid:245)(cid:145)𝑏𝑛 (cid:33)(cid:485)(cid:486)(cid:311)(cid:312)(cid:92)(cid:176)(cid:311)(cid:312)(cid:288)(cid:145)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)
(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50). 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑐𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113) (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:184) 2+ (cid:92){ }(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) 2 (cid:92)
2 1 2 2
𝑑 𝑑 19𝑛+𝑛
∵ 𝑛 𝑛 𝑎 − 𝑛 𝑎𝑛 𝑛
1 19
= (cid:92) = (cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:10) =10(cid:92)(cid:7)(cid:31) =1(cid:92)(cid:181) = +9(cid:92)
2 2 1 2 2 1
𝑑 𝑑
∴ 𝑎 − 𝑎 𝑑 𝑎𝑛 𝑛
1
(cid:296) = =11(cid:92) = =5(cid:92) { }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) 3 1=3(cid:92)(cid:181) = +2.
3 2 1 2 1 2
𝑏 −𝑏
∵𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ∴ 𝑏𝑛 𝑏𝑛 3𝑛(cid:141)(cid:319)(cid:196)(cid:482)(cid:10) = +9(cid:92) = +2.
𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 |3𝑛11| | | | 11| | |
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:154)(cid:92) (cid:151)(cid:286)(cid:287) (cid:92)
2 2
4𝑛+ −2𝑛−7 4𝑛+ +2𝑛−7
𝑐𝑛 ≤𝑐𝑛≤
(cid:192) 3(cid:180)(cid:92) +2 +9(cid:92)(cid:242)5 10(cid:92)8 11(cid:92)11 12(cid:92)
1 2 3
(cid:192)𝑛≤4(cid:180)(cid:92)3𝑛+9 ≤𝑐𝑛≤𝑛+2(cid:92)13 ≤𝑐 ≤14(cid:92) ≤𝑐 ≤ ≤𝑐 ≤
4
(cid:183)𝑛≥=11(cid:92)𝑛 =13≤(cid:92)𝑐𝑛(cid:181)≤3𝑛=7(cid:92) =≤9(cid:92)𝑐 ≤= +5(cid:92) +9 +2(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:10) 4(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:140)
3 4 1 2
(cid:183)𝑐 =11(cid:92)𝑐 =14(cid:92)(cid:181)𝑐 =5(cid:92)𝑐 =8(cid:92)𝑐𝑛=2𝑛+2(cid:92)𝑛+9≤𝑐𝑛≤3𝑛+2(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:10)𝑛≥4(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:140)
3 4 1 2
(cid:183)𝑐 =12(cid:92)𝑐 =13(cid:92)(cid:181)𝑐 =10(cid:92)𝑐 =11𝑐(cid:92)𝑛 3=𝑛 +9(cid:92)𝑛 +9≤𝑐𝑛≤3𝑛 +2(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:10)𝑛≥ 4(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:140)
3 4 1 2
(cid:183)𝑐 =12(cid:92)𝑐 =14(cid:92)(cid:181)𝑐 =8(cid:92) 𝑐=10(cid:92) 𝑐𝑛= 𝑛+6(cid:92)𝑛+9≤𝑐𝑛≤3𝑛+2(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:10)𝑛≥4(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:140)
3 4 1 2
(cid:141)𝑐(cid:319)(cid:196)(cid:482)(cid:10)(cid:276)𝑐 (cid:95)(cid:13)(cid:32){ }𝑐(cid:92)(cid:184) =𝑐 +5(cid:92)𝑐𝑛 =2𝑛 +2(cid:92)𝑛 =≤+𝑐𝑛9≤(cid:92)3𝑛= +6. 𝑛≥
(cid:22)(cid:21)(cid:29)10 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:65)𝑐𝑛(cid:33)(cid:66)(cid:67)𝑐𝑛(cid:68)(cid:61)2(cid:21)𝑛 (cid:28) 𝑐𝑛 3𝑛 𝑐𝑛 𝑛 𝑐𝑛 2𝑛
(cid:22)(cid:277)10(cid:28)(cid:112)2024·(cid:353)(cid:281)(cid:487)(cid:488)(cid:489)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211) ＝3 (cid:92) + + ＝ +24(cid:156)
5 1 1 5 14 10
(1)(cid:77){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(2)(cid:183)2𝑎𝑛 + + + (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:490)(cid:13)λ(cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:156)
1 2
𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)⋅𝜆(cid:216)≥(cid:28)𝑎(cid:112)1(cid:113)𝑎(cid:294)(cid:295)⋯(cid:21)(cid:86)𝑎𝑛(cid:371)(cid:68)(cid:223)(cid:224)(cid:77)(cid:145)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:185)(cid:49)(cid:41)(cid:7)(cid:31)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:140)
(cid:112)2(cid:113)(cid:314)(cid:77)(cid:145)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:302)(cid:243)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:61)(cid:21)(cid:464)(cid:227)(cid:81)(cid:491)(cid:92)(cid:368)(cid:369)(cid:249)(cid:27)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:77)(cid:145)(cid:53)(cid:54)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:245)(cid:83)(cid:156)
+ =3
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:207)(cid:13)(cid:32) { }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184)d(cid:92)(cid:181)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245) 1 1 (cid:92)
3 + = + +24
1 1
𝑎 4𝑑 𝑎
(cid:83)(cid:245) 1 =4 (cid:92)(cid:181) ＝ +2(cid:156)
𝑎𝑛
𝑎 17𝑑 𝑎 9𝑑
=2
𝑎
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)𝑑 (cid:112)1(cid:113)(cid:179)(cid:154) 𝑎𝑛 (cid:37)(cid:27) 2𝑛 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:245)(cid:226) = + + + = 2+ (cid:92)
1 2
2 𝑆𝑛 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛 𝑛 3𝑛
(cid:296)2 + + + (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:181) (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)
1 2 2
𝑛 𝑛 +3𝑛
⋅𝜆≥𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛 𝜆≥ 𝑛
(cid:207) ( )= 2 (cid:92)(cid:181) + ( )= 2 4(cid:92)
2 2 +1
𝑛 +3𝑛 −𝑛 −𝑛+
𝑛 𝑛
𝑓 𝑛 𝑓(𝑛 1)−𝑓 𝑛
1
(cid:192) ＝1(cid:180)(cid:92) (2) (1)= >0(cid:92)(cid:242) (2)> (1)(cid:140)
2
(cid:192)
𝑛
2(cid:180)(cid:92)
𝑓 2−𝑓
+4 (cid:92)(cid:181)
𝑓
+
𝑓
( )<0(cid:92)(cid:181) +1)< ( )(cid:140)
𝑛≥ −𝑛 −𝑛 ≤−2 5𝑓(𝑛 1)−𝑓 𝑛 𝑓(𝑛 𝑓 𝑛
(cid:181) ( ) = (cid:92)(cid:289) (2)= (cid:92)
max 2
𝑓 𝑛 𝑓(2) 𝜆≥𝑓
5
(cid:289)(cid:490)(cid:13)λ(cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:184)[ ,+ )(cid:156)
2
∞
(cid:22)(cid:227)(cid:50)10-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211){ + }(cid:115)(cid:131)2(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:156)
(1)(cid:183) 2(cid:92)(cid:77)(cid:42)(cid:10){ }(cid:115)(cid:30)(cid:459)(cid:13)(cid:32)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛
1
𝑎 ≠ 𝑎𝑛−2(2)(cid:64)(cid:238)(cid:86) N* (cid:92)(cid:164)(cid:69) >1(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:156)
1
𝑆𝑛−𝑆𝑚
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216) 𝑛,𝑚 (cid:28)(cid:112) ∈ 1(cid:113) ,𝑚 (cid:314) ≠ (cid:288) 𝑛 (cid:145)(cid:13)(cid:32){ 𝑛−𝑚 + }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50) 𝑎 (cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:249)(cid:27) = (cid:80)(cid:38)(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:492)(cid:40)(cid:93)(cid:13)(cid:235)(cid:346)(cid:493)(cid:30)
(cid:459)(cid:13)(cid:32)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
(cid:112)2(cid:113)(cid:207) > (cid:92)(cid:243) >1(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:255)(cid:16)(cid:184) > (cid:92)(cid:242)(cid:42)(cid:43){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:207) ( )= (cid:92)(cid:80)(cid:38)
𝑆𝑛−𝑆𝑚
( +1) 𝑛 ( 𝑚 )>0(cid:66)𝑛(cid:67)−𝑚(cid:68)(cid:92)(cid:255)(cid:16)(cid:184)(cid:53)(cid:54)(cid:61)(cid:21) 𝑆 (cid:77) 𝑛− (cid:83) 𝑛 (cid:242) 𝑆 (cid:179) 𝑚 . −𝑚 𝑆𝑛−𝑛 𝑓 𝑛 𝑆𝑛−𝑛 𝑓
(cid:22)𝑛(cid:83)(cid:146)(cid:263)−𝑓(cid:224)𝑛(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184){ + }(cid:115)(cid:131)2(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211) + =2 (cid:92)
1 1 1
(cid:196)(cid:131) + =2 +2( 𝑎𝑛) 𝑆(cid:156)𝑛 𝑎 𝑆 𝑎
1
(cid:196)(cid:131)𝑎𝑛 𝑆+𝑛 𝑎=2 𝑛+−1 ①(cid:92)
+1 +1 1
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎 2𝑛② 1
(cid:176) - (cid:92)(cid:245)2 =2(cid:156)(cid:196)(cid:131) = ( )(cid:156)
+1 +1 2
(cid:200)(cid:184)② ① 2(cid:92)(cid:242) 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 0(cid:92) 𝑎𝑛 −2 𝑎𝑛−2
1 1
𝑎 ≠ 𝑎 −2≠ 1
(cid:196)(cid:131){ }(cid:115)(cid:131) (cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92) (cid:184)(cid:7)(cid:459)(cid:33)(cid:30)(cid:459)(cid:13)(cid:32)(cid:140)
1 2
𝑎𝑛−2 𝑎 −2
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:245)(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) =( ) 1 +2(cid:92)
1 1 2 𝑛−1
𝑎 ≠ 𝑎𝑛 𝑎 −2 ⋅
(cid:192) =2(cid:180)(cid:92)(cid:326)(cid:142)(cid:319)(cid:50)(cid:92)(cid:196)(cid:131) =( ) 1 +2(cid:156)
1 1 2 𝑛−1
𝑎 𝑎𝑛 𝑎 −2 ⋅
(cid:200)(cid:184)(cid:64)(cid:238)(cid:86) N* (cid:92)(cid:164)(cid:69) >1(cid:67)(cid:68)(cid:92)
𝑆𝑛−𝑆𝑚
(cid:204)(cid:376)(cid:207) > 𝑛, (cid:92) 𝑚 (cid:181) ∈ ,𝑚≠ > 𝑛 (cid:92)𝑛(cid:196)−𝑚(cid:131) > (cid:156)(cid:196)(cid:131){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:156)
(cid:207) ( )𝑛= 𝑚 (cid:92)𝑆𝑛−𝑆𝑚 𝑛−𝑚 𝑆𝑛−𝑛 𝑆𝑚−𝑚 𝑆𝑛−𝑛
(cid:181) 𝑓 ( 𝑛 +1 𝑆 ) 𝑛−𝑛 ( )= ( +1) ( )= =( ) 1 +1(cid:92)
+1 +1 1 2 𝑛
𝑓 𝑛 −𝑓 𝑛 𝑆𝑛 − 𝑛 − 𝑆𝑛−𝑛 𝑎𝑛 −1 𝑎 −2 ⋅
(cid:196)(cid:131)( ) 1 +1> *(cid:92)(cid:242) > 2 (cid:156)
1 2 𝑛 1
𝑛
(cid:200)(cid:184){𝑎 −22}(cid:56)⋅ (cid:186)(cid:193)(cid:198)(cid:92)(cid:196)0,(cid:131)𝑛∈( 𝑁2 ) 𝑎 = 2− =0(cid:156)(cid:196)(cid:131) >0(cid:156)
max 1
𝑛 𝑛
(cid:141)(cid:319)(cid:196)2−(cid:482)(cid:92) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:115)(02,−+ )(cid:156) 2−2 𝑎
1
(cid:22)(cid:227)(cid:50)10-2𝑎(cid:28)(cid:112)23-24(cid:24)(cid:177)(cid:319)·(cid:341)(cid:359)∞(cid:494)(cid:495)·(cid:496)(cid:497)(cid:113)(cid:233)(cid:154) (cid:184)(cid:475)(cid:49)(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:13)(cid:33)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52), (0,2), 2+3
1
+2=6 . 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑎 ∈ 𝑎𝑛
𝑎(1𝑛)(cid:77){ }(cid:33)𝑆𝑛(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
𝑎𝑛 1
(2)(cid:207) = (cid:92)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) ,(cid:183)(cid:64) N 4 (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:53)(cid:150)(cid:54).
+1
∗
𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑇𝑛 ∀𝑛∈ ,𝑡≤ 𝑇𝑛 𝑡
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:314)(cid:77)(cid:245) (cid:33)(cid:54)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:249)(cid:27) (cid:41) (cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:340)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:176)(cid:201)(cid:77)(cid:245){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)
1
(cid:7)(cid:50)(cid:140) 𝑎 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛(cid:112)2(cid:113)(cid:185)(cid:314)(cid:236)(cid:142)(cid:112)1(cid:113)(cid:77) (cid:33)(cid:174)(cid:423)(cid:50)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:235)(cid:77)(cid:245) (cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:77)(cid:245) (cid:33)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:156)
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:192) 𝑏= 𝑛 1(cid:180)(cid:92)(cid:176)(cid:21)(cid:207)(cid:245) 2+3 +2=𝑇6 𝑛 (cid:92)(cid:242) 2 +𝑇2 𝑛 =0(cid:92)(cid:296) (0𝑡,2)(cid:92)(cid:83)(cid:245) =1.
1 1 1 1 1 1 1
(cid:176) 2+3 +2=6 (cid:154)𝑛(cid:10) 2 +3 +2𝑎=6 𝑎 . 𝑎 𝑎 −3𝑎 𝑎 ∈ 𝑎
+1 +1 +1
(cid:214)𝑎(cid:50)𝑛(cid:102)(cid:198)𝑎(cid:245)𝑛 (cid:10) 2 𝑆𝑛 2+3𝑎(𝑛 𝑎𝑛)=6 𝑆(cid:92)𝑛(cid:242)( + )( =0.
+1 +1 +1 +1 +1
(cid:176)(cid:120) >0(cid:92)(cid:179)𝑎𝑛(cid:245)−𝑎𝑛 𝑎𝑛 =−0𝑎(cid:92)𝑛(cid:242) 𝑎𝑛 =3𝑎(cid:92)𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−3)
+1 +1
(cid:196)(cid:131)𝑎{𝑛 }(cid:115)(cid:185)(cid:49)(cid:184)𝑎1𝑛(cid:92)(cid:7)−(cid:31)𝑎𝑛(cid:184)−33(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)𝑎(cid:32)𝑛 (cid:92)−𝑎𝑛
(cid:196)(cid:131) 𝑎𝑛=1+ = .
𝑎𝑛 3(𝑛−1) 3𝑛−2 1 1 1 1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176) = (cid:245)(cid:10) = = = ( ),
+1 1) 3 1
𝑎𝑛 3𝑛−2 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑛 (3𝑛−2)(3𝑛+ 3𝑛−2−3𝑛+
1 1 1 1 1 1
= + +...+ = )+( )+...+( )]= .
1 2 3 4 4 7 1 1
𝑛
𝑇𝑛 𝑏 𝑏 𝑏𝑛 [(1− − 3𝑛−2−3𝑛+ 3𝑛+
1 1
(cid:200)(cid:184) = = >0(cid:92)
+1 1) 1 1 4)
𝑛+ 𝑛
𝑇𝑛 −𝑇𝑛 3(𝑛+ + −3𝑛+ (3𝑛+1)(3𝑛+
(cid:196)(cid:131) > (cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
+1
𝑇𝑛 𝑇𝑛 𝑇𝑛
1
(cid:196)(cid:131) 4 = 1(cid:92)(cid:289)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:115)1.
4 4 1 4
𝑡 𝑡
𝑡≤ 𝑇𝑛⇔ ≤𝑇𝑛⇔ ≤𝑇 ⇔𝑡≤ 𝑡
(cid:22)(cid:227)(cid:50)10-3(cid:28)(cid:112)23-24(cid:24)(cid:260)(cid:209)·(cid:498)(cid:499)(cid:500)(cid:501)·(cid:362)(cid:363)(cid:364)(cid:365)(cid:113)(cid:207)(cid:253)(cid:49)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:122)(cid:52) = + + + (cid:92)(cid:13)
1 2
(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:122)(cid:338) = (cid:92)(cid:211) + =1. 𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑛
1 2
(1)(cid:77)𝑏𝑛
(cid:42)(cid:10)
1𝑛
(cid:184)(cid:30)(cid:31)
𝑐
(cid:13)
𝑛
(cid:32)
𝑏
(cid:92)
𝑏
(cid:89)
⋯
(cid:81)
𝑏
(cid:370)
𝑛
(cid:77){
𝑏𝑛
} {
𝑐𝑛
}(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
､
𝑐𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛
1 13
(2)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:204)(cid:30)(cid:50) > + (cid:64)(cid:238)(cid:86)(cid:253)(cid:325)(cid:13) (cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:253)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268).
+1 6
𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝜆 𝜆− 𝑛 𝜆
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:233)(cid:154)(cid:3)(cid:93)(cid:179)(cid:245) = (cid:92)(cid:228)(cid:244) + =1(cid:92)(cid:16)(cid:55)(cid:179)(cid:42) 1 (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:77)(cid:245){ }(cid:92)
𝑐𝑛
{ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
𝑏𝑛 𝑐𝑛−1 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑐𝑛 𝑎𝑛
(cid:112) 𝑏𝑛 2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:245) = 1 (cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:179)(cid:245) = 3 1 1 + 1 (cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:77)(cid:145) =
+1 ( 2) 4 2 1 2 1
1 𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 𝑛 𝑛+ 𝑆𝑛 − 𝑛+ 𝑛+ 𝑆𝑛≥𝑆
(cid:92)(cid:83)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:145)(cid:253)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268).
3
𝜆
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:154)(cid:10)(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = (cid:92)(cid:228)(cid:244) + =1(cid:245) + =1(cid:92)
𝑐𝑛 𝑐𝑛
𝑛≥ 𝑏𝑛 𝑐𝑛−1 𝑏𝑛 𝑐𝑛 𝑐𝑛−1 𝑐𝑛
1 1
(cid:196)(cid:131) =1.
(cid:176)
𝑐𝑛−
1
𝑐= 𝑛−1
1 (cid:92)(cid:245) = = 1 (cid:92)
1 + 1 =1 1 1 2
𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
(cid:196)(cid:131)𝑏 1 (cid:115)𝑐 (cid:131)2(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)1(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
𝑐𝑛1 1
(cid:196)(cid:131) = +1(cid:92) = (cid:92) = = (cid:92)
1 1
𝑛
𝑐𝑛 𝑛 𝑐𝑛 𝑛+ 𝑏𝑛 1−𝑐𝑛 𝑛+
1
(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = = (cid:92)
1 ( 1)
𝑛 𝑛−1
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 𝑛+ − 𝑛 𝑛 𝑛+
1 1
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = = (cid:293)(cid:472)(cid:142)(cid:319)(cid:50)(cid:92)(cid:196)(cid:131) = .
1 1 2 ( 1)
𝑛 𝑎 𝑏 𝑎𝑛 𝑛 𝑛+
1 1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:245) = = (cid:92)
+1 ( 1) 2 ( 2)
𝑛+
𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 𝑛 𝑛+ ⋅𝑛+ 𝑛 𝑛+
1 1 1 1 1
(cid:196)(cid:131) = + + + + +
1×3 2×4 3×5 ( )( 1) ( 2)
1𝑆𝑛 1 1 1 1 1⋯ 𝑛−11𝑛+ 1𝑛 𝑛+ 1 1
= + + + + +
2 3 2 4 3 5 +1 +2
= 3 11− 1 + 1 − . − ⋯ 𝑛−1 − 𝑛 𝑛 − 𝑛
4 2 1 2
− 𝑛+ 𝑛+
1
(cid:502)(cid:240){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:92)(cid:196)(cid:131) = .
1 3
𝑆𝑛 𝑆𝑛≥𝑆
1 13 1 1 5
(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:245) + < (cid:92)(cid:242) + < (cid:92)
6 3 2
𝜆 𝜆− 𝜆 𝜆
1
(cid:296) >0(cid:92)(cid:196)(cid:131) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:184) < <2.
2
𝜆 𝜆 𝜆
(cid:22)(cid:21)(cid:29)11 (cid:41)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:69)(cid:3)(cid:33)(cid:23)(cid:40)(cid:70)(cid:71)(cid:23)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:277)11(cid:28)(cid:112)2024·(cid:385)(cid:386)(cid:278)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:158)(cid:159)n(cid:49)(cid:69)(cid:503)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) = (cid:92) = (cid:92)…(cid:92) = (cid:92)(cid:242) =
1 2 1 +1
( = )(cid:92)(cid:181)(cid:478)(cid:69)(cid:503)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)“(cid:64)(cid:478)(cid:13)(cid:32)”. 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑖 𝑎𝑛−𝑖
(1𝑖)(cid:207)1(cid:13),2(cid:32),⋯{,𝑛 }(cid:115)(cid:49)(cid:13)(cid:184)7(cid:33)“(cid:64)𝑎(cid:478)𝑛 (cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:74)(cid:65) , , , (cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211) =3, =5(cid:92)(cid:251)(cid:187)(cid:288)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)
1 2 3 4 2 5
(cid:162)(cid:104)(cid:49)(cid:140) 𝑏𝑛 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏𝑛
(2)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:49)(cid:13)(cid:184) ( (cid:211) 2)(cid:33)“(cid:64)(cid:478)(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:211)(cid:286)(cid:287)| |=2(cid:92)(cid:304) (cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)
+1
∗
(cid:52). 𝑐𝑛 2𝑘−1 𝑘∈𝑁 𝑘≥ 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 𝑆𝑛 𝑐𝑛 𝑛
(cid:183) (cid:92) (cid:92)…(cid:92) (cid:346)(cid:67)(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211) =2023.(cid:192) (cid:184)(cid:203)(cid:54)(cid:180)(cid:92) (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:150)(cid:54)?
1 2
①(cid:183)𝑐 =𝑐2024(cid:92)(cid:211)𝑐𝑘 =2024(cid:92)(cid:77) (cid:33)(cid:53)(cid:272)𝑐𝑘(cid:54). 𝑘 𝑆2𝑘−1
1
(cid:22)②(cid:83)(cid:21)𝑐 (cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:294)𝑆2𝑘(cid:295)−1(cid:23)(cid:40)(cid:70)“(cid:64)(cid:478)(cid:13)𝑘(cid:32)”(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:52)(cid:233)(cid:154)(cid:311)(cid:312)(cid:179)(cid:77)(cid:245)(cid:7)(cid:459)(cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:77)(cid:245)(cid:236)(cid:159)(cid:140)
(cid:112)2(cid:113) (cid:294)(cid:295)(cid:64)(cid:478)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:179)(cid:245)(cid:13)(cid:32)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:294)(cid:295)(cid:260)(cid:187)(cid:106)(cid:13)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:127)(cid:77)(cid:83)(cid:140) (cid:176)(cid:311)(cid:312)(cid:245)(cid:226)(cid:13)(cid:32)(cid:102)
(cid:252)(cid:214)(cid:49)①(cid:408)(cid:33)(cid:150)(cid:272)(cid:3)(cid:93)(cid:92)(cid:89)(cid:236)(cid:142)(cid:40)(cid:70)(cid:77)(cid:245)(cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:92)(cid:240)(cid:333)(cid:236)(cid:142)(cid:233)(cid:154)(cid:311)(cid:312)(cid:266)(cid:40)(cid:145)(cid:53)(cid:333)(cid:33)(cid:236)②(cid:159)
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:49)(cid:13)(cid:184)7(cid:33)“(cid:64)(cid:478)(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:196)(cid:131) = =5(cid:92)
5 3
(cid:296)(cid:200)(cid:184) , , , (cid:67)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)𝑏𝑛(cid:74)(cid:7)(cid:31) = =2(cid:92)… 𝑏 𝑏
1 2 3 4 3 2
(cid:196)(cid:131)(cid:13)𝑏(cid:32){𝑏 𝑏}(cid:33)𝑏7(cid:49)(cid:251)(cid:187)(cid:184)1(cid:92)3(cid:92)5(cid:92)7𝑑(cid:92)5𝑏(cid:92)−3(cid:92)𝑏 1(cid:140)
(cid:112)2(cid:113) (cid:176)𝑏𝑛(cid:92) (cid:92)…(cid:92) (cid:115)(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:49)(cid:13)(cid:184) (cid:33)“(cid:64)(cid:478)(cid:13)(cid:32)”(cid:211)(cid:286)(cid:287)| |=2(cid:92)
1 2 +1
① 𝑐 𝑐 𝑐𝑘 𝑐𝑛 2𝑘−1 𝑐𝑛 −𝑐𝑛(cid:179)(cid:154) (cid:92) (cid:92)…(cid:92) (cid:346)(cid:67)(cid:7)(cid:31)(cid:184)2(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) (cid:92) (cid:92)…(cid:92) (cid:346)(cid:67)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
1 2 +1
(cid:289) 𝑐 =𝑐 + +𝑐𝑘...+ =2( + +...𝑐+ 𝑘 𝑐𝑘 ) 𝑐2𝑘−1 −2
1 2
= 𝑆 2 2𝑘−1 𝑐 + 𝑐 × 𝑐2𝑘−1 𝑐 = 𝑘 𝑐𝑘− 2 1 + 𝑐2𝑘−1 − (cid:92) 𝑐𝑘
2
𝑘(𝑘−1)
2023𝑘 (−2) −2023 −2𝑘 4048𝑘−2023
4048
(cid:196)(cid:131)(cid:192) = =1012(cid:180)(cid:92) (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:140)
(cid:200)(cid:184) 𝑘 | − −4 |=2(cid:242) 𝑆2𝑘 = −1 ±2(cid:92)
+1 +1
②(cid:196)(cid:131) 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 (cid:242) 𝑐𝑛 −𝑐𝑛 (cid:92)
+1 +1
(cid:120)(cid:115)𝑐𝑛 −𝑐𝑛≥−2 𝑐𝑛 ≥𝑐𝑛…−2 (cid:92)
1
(cid:200)(cid:184)𝑐(cid:13)𝑘(cid:32)≥{𝑐𝑘−}1(cid:115)−“2(cid:64)≥(cid:478)𝑐𝑘(cid:13)−2(cid:32)−4”(cid:92)≥ ≥𝑐 −2(𝑘−1)
(cid:196)(cid:131) 𝑐=𝑛 + +...+ =2( + +...+ )+
1 2 1 2
𝑆2𝑘−1 𝑐 𝑐 𝑐2𝑘−1 𝑐= 𝑐 2+ 𝑐𝑘−1 𝑐𝑘(cid:92)
1
(cid:200)≥(cid:184)(2𝑘−1)𝑐=−220(2𝑘4−(cid:92)2(cid:289))(𝑘−1)2−+2(𝑘−1) −2𝑘 24002542(cid:92)𝑘−2026
(cid:83)(cid:245)𝑆2𝑘−11(cid:257) 2025(cid:92)−(cid:196)2𝑘(cid:131) 4025022𝑘5−(cid:92)2026≤
(cid:192) (cid:92)𝑘≤(cid:92)…𝑘(cid:92)≥ (cid:346)(cid:67)(cid:7)(cid:31)(cid:184)𝑘≥(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:180)(cid:92)(cid:286)(cid:287) =2024(cid:92)
1 2 1
(cid:211)𝑐 𝑐=2024(cid:92)𝑐𝑘(cid:201)(cid:180) =202−52(cid:92)(cid:196)(cid:131) (cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:184)2𝑐025.
(cid:22)𝑆(cid:227)2𝑘(cid:50)−1 11-1(cid:28)(cid:112)2024·(cid:504)𝑘(cid:371)(cid:393)(cid:505)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:183)𝑘 (cid:13)(cid:32){ }(cid:217)(cid:69) ( * 3)(cid:49)(cid:92)(cid:64)(cid:238)(cid:86) ( * )(cid:164)(cid:69)
+
= (cid:112) (cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:92)(cid:211) >0(cid:113)(cid:92)(cid:181)(cid:478)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115) (cid:3)𝑐𝑛(cid:120) (cid:33)𝑚(cid:104)𝑚(cid:160)(cid:338)∈𝑁(cid:64),(cid:478)𝑚(cid:13)≥(cid:32).(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ 𝑖}𝑖(cid:115)∈𝑁(cid:3),𝑖(cid:120)≤𝑚(cid:33)(cid:104)(cid:160)𝑐(cid:338)𝑖𝑐𝑚(cid:64)1−𝑖
(cid:478)(cid:13)𝑆(cid:32)𝑆. 𝑆 𝑐𝑛 𝑆 𝑚 𝑎𝑛 𝑆 𝑚
(1)(cid:183) =3(cid:92) =1(cid:92) =2(cid:92)(cid:77) (cid:33)(cid:54)(cid:140)
1 2 3
𝑚 𝑎 𝑎 𝑎
(2)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:7)(cid:31)(cid:184) ( 0)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) = (cid:92)(cid:183) =10(cid:92) = +2(cid:92)(cid:77) (cid:52) (cid:33)(cid:54)(cid:140)
1
𝑏𝑛
𝑏𝑛 𝑑 𝑑≠ 𝑏 −11 𝑚 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑑 𝑆
(3)(cid:183)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:475)(cid:49)(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:77)(cid:42)(cid:10) + + + 2 + 1 < .
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2−1 𝑎 𝑎 5 3 𝑆
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)𝑎(cid:28) 𝑛 (cid:112)1(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245) = (cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:77)(cid:145) (cid:140) 𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚
2 2 3
𝑆 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:112)2(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:86) = (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:226) +2× = (cid:92)(cid:302)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:245)(cid:226) 2 2+11 2 +12 2+ 2
1
𝑏𝑖 𝑏13−𝑖
𝑎𝑖𝑎11−𝑖 𝑆 𝑏𝑖 𝑏11−𝑖 𝑆 −𝑑 𝑖 𝑑 𝑖 𝑑 𝑏
+13 = 2 2+11 2 2+ 2+9 (cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295)(cid:64)(cid:47)(cid:93)(cid:13)(cid:102)(cid:30)(cid:245)(cid:226)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:92)(cid:83)(cid:245)(cid:242)(cid:179)(cid:140)
1 1 1
(cid:112)3(cid:113) 𝑏 (cid:251) 𝑑 (cid:21)(cid:86) 𝑆 (cid:179) − (cid:245) 𝑑 𝑖 +1= 𝑑 𝑖−10 < 𝑑 𝑏 = 𝑏1 𝑑 1 (1< 3)(cid:92)(cid:302)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:80)(cid:38)(cid:179)(cid:245).
𝑎𝑚−𝑖 𝑆 2 𝑆 2 2 𝑆 2 𝑆 1
𝑎𝑖 𝑎𝑖 ≤𝑖 𝑖 −1 𝑖−1−𝑖+ 𝑖≤𝑚,𝑚≥
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:86) = =4(cid:92)(cid:296) = (cid:92)(cid:196)(cid:131) = =4.
2 2 1 3 3
𝑆1
𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆 𝑎 𝑎
(cid:112)2(cid:113)(cid:235)(cid:104)(cid:10)(cid:176) =10(cid:154)(cid:64)(cid:238)(cid:86) ( * 10)(cid:164)(cid:69) = (cid:92)
𝑚 𝑖 𝑖∈𝑁 ,𝑖≤ 𝑎𝑖𝑎11−𝑖 𝑆( 1) ( )
(cid:242) +2× = 1 × 1 = (cid:92)
( ) ( )
𝑏𝑖 𝑏13−𝑖 𝑏1+ 𝑖+ 𝑑 𝑏1+ 12−𝑖 𝑑
𝑏𝑖 2 ( 𝑏 1 1 2 1−𝑖 𝑏 2 + ) 𝑖 2 −1 13 𝑑 𝑏 + 10−𝑖 𝑑 𝑆
(cid:196)(cid:131) 1 1 = (cid:92)
2 ( 2) 2 9
𝑏1+ +11𝑖−𝑖 𝑑 + 𝑏1𝑑
(cid:196)(cid:131) 𝑏 +2−210 + + 1 11 1 𝑖−2𝑖 𝑑 + + 12 𝑏 𝑑2+ 𝑆2+13 = 2 2+11 2 2+ 2+9 (cid:92)
1 1 1 1
−𝑑 𝑖 𝑑 𝑖 𝑑2= 𝑏 2 𝑏 𝑑 𝑆 −𝑑 𝑖 𝑑 𝑖−10𝑑 𝑏 𝑏 𝑑
(cid:196)(cid:131) 11 2=11 2 (cid:92)
12 2+ 2+13 −𝑑= −𝑑 𝑆 2+ 2+9
1 1 1 1
𝑑 𝑑 𝑆
𝑑 𝑏 𝑏 𝑑 𝑆 −10𝑑 =𝑏1 𝑏 𝑑 =1
(cid:200)(cid:184) 0(cid:92) = (cid:92)(cid:196)(cid:131) (cid:92)(cid:242) .
1 22 2+4 =0 =2
1
𝑆 𝑆
𝑑≠ 𝑏 −11
(cid:235)(cid:260)(cid:10)(cid:192) =1,2(cid:180)(cid:176) = = 𝑑 (cid:245)𝑏 𝑑 = 3× 12= 𝑑4× 11(cid:92)
1 10 2 9
𝑏1 𝑏10 𝑏2 𝑏9
𝑖 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:196)(cid:131) 1 × 1 = 1 × 1 (cid:92)
𝑏 +12𝑑 𝑏1+11𝑑 𝑏1+3𝑑 𝑏1+10𝑑
𝑏 𝑏 +9𝑑 𝑏 +𝑑 𝑏 +8𝑑
(cid:242) 2+10 +16 2 × 2+12 +11 2 = 2+12 +27 2 × 2+10 (cid:92)
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:317) 𝑏= 2+1𝑏0𝑑 (cid:92)𝑑= 2+𝑏12 +𝑏 1𝑑1 2(cid:92)𝑑 𝑏 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 𝑏 𝑑
1 1 1 1
(cid:181)𝑝 +𝑏16 2 𝑏=𝑑 𝑞+1𝑏6 2 (cid:92)𝑏 𝑑 𝑑
(cid:200)(cid:184)𝑝 0𝑑(cid:92) 𝑞= 𝑞 (cid:92)(cid:196)𝑑(cid:131)𝑝 = (cid:92) 2+10 = 2+12 +11 2(cid:92)
1 1 1 1 1
(cid:242) =𝑑2≠(cid:92) =𝑏1(cid:92)−11 𝑝 𝑞 𝑏 𝑏 𝑑 𝑏 𝑏 𝑑 𝑑
𝑑 𝑆 2( 1) 2( )
(cid:192)1 10(cid:180)(cid:164)(cid:69) = +2× = ×
2( ) 2( )
𝑏𝑖 𝑏13−𝑖 −11+ 𝑖+ −11+ 12−𝑖
≤𝑖≤ 𝑎𝑖𝑎11−𝑖 𝑏𝑖 𝑏11−𝑖 −11+ 𝑖−1 −11+ 10−𝑖
= × =1= (cid:92)
−9+2𝑖 13−2𝑖
(cid:196)(cid:131)−13+ = 2𝑖 2(cid:92)9− = 2𝑖 1(cid:67)(cid:68). 𝑆
(cid:112)3(cid:113)𝑑(cid:176)(cid:233)(cid:154)𝑆 = (cid:92) = (cid:92)…(cid:92) = (cid:92)
1 2 +
(cid:196)(cid:131) +1= 𝑎 𝑎𝑚 < 𝑆 𝑎 = 𝑎𝑚−1 1 𝑆1 (1< 𝑎𝑖𝑎𝑚 1−𝑖 𝑆 3)(cid:92)
𝑎𝑚−𝑖 𝑆 2 𝑆 2 2 𝑆 2 𝑆 1
𝑎𝑖 𝑎𝑖 ≤𝑖 𝑖 −1 𝑖−1−𝑖+ 𝑖≤𝑚,𝑚≥
(cid:196)(cid:131) + + + 1 1 + 1 + 1 + + 1
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2−1 𝑎 12 22 32 2
𝑎1 1𝑎 1 ⋅1⋅⋅ 1𝑎𝑚≤1𝑆 1 1 1 ⋅⋅⋅ 1𝑚 1
< + + + + +
1 4 2 2 4 3 5 4 6 +1
𝑆 − − − ⋅⋅⋅ −
< 1 + 1 + 1 1 + 1 1 1 < 1 + 1 +𝑚1−11 +𝑚1 = (cid:92)
1 4 2 2 3 1 1 4 2 2 3 3
5𝑆
𝑆 −𝑚−𝑚+ 𝑆
(cid:242) + + + 2 + 1 < .
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2−1 𝑎 𝑎 5 3 𝑆
𝑎 𝑎 ⋅⋅⋅ 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚
(cid:22)(cid:227)(cid:50)11-2(cid:28)(cid:112)2024·(cid:278)(cid:279)(cid:393)(cid:303)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:156)(cid:183)(cid:64)(cid:162)(cid:104)(cid:160) (cid:92)(cid:69)(cid:211)(cid:506)(cid:69)(cid:104)(cid:160)
∗
(cid:92)(cid:356)(cid:245) < (cid:92)(cid:181)(cid:478){ }(cid:184)“X(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛”.(cid:304) = 𝑆𝑛(cid:92) (cid:92)(cid:478)(cid:13)𝑛∈(cid:32)𝑁{ }(cid:184){ }(cid:33)“(cid:440)(cid:49)(cid:13)
+1 +1
∗ ∗
𝑚(cid:32)”∈.𝑁 𝑆𝑚≤𝑎𝑛 𝑆𝑚 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑆𝑚 −𝑎𝑛 𝑛∈𝑁 𝑏𝑛 𝑎𝑛(1)(cid:183){ }(cid:33)(cid:51)(cid:357)(cid:49)(cid:251)(cid:187)(cid:184)0(cid:92)1(cid:92) (cid:92)1(cid:92)(cid:507)(cid:39)(cid:315){ }(cid:115)(cid:481)(cid:184)“X(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:89)(cid:484)(cid:43)(cid:15)(cid:176)(cid:140)
(2)(cid:183) 𝑎𝑛=2 (cid:92)(cid:42)(cid:43){ }(cid:184)“X(cid:13)(cid:32)−”(cid:92)1 (cid:89)(cid:77)(cid:163)(cid:33)“(cid:440)(cid:49)𝑎𝑛(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
𝑛
(3)(cid:233)(cid:154)𝑆𝑛(cid:253)(cid:49)(cid:13)(cid:32){ }𝑎(cid:184)𝑛“X(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:211){ }(cid:33)“(cid:440)(cid:49)(cid:13)(cid:32)”(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:42)(cid:43)(cid:10) (1+2 ) (cid:156)
1
𝑛−2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)𝑎𝑛(cid:251)(cid:187)(cid:77)(cid:145) , , ,𝑎𝑛(cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295)“X(cid:13)(cid:32)”(cid:40)(cid:70)(cid:269)(cid:349)(cid:39)(cid:315)(cid:242)(cid:179)𝑆. 𝑛≤ 𝑎
1 2 3 4
(cid:112)2(cid:113)(cid:176) =2 (cid:314)(cid:77)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ 𝑆}(cid:48)𝑆(cid:49)𝑆(cid:7)𝑆(cid:50)(cid:92)(cid:302)(cid:251)(cid:295)“X(cid:13)(cid:32)”(cid:40)(cid:70)(cid:269)(cid:349)(cid:340)(cid:38)(cid:42)(cid:43)(cid:242)(cid:179)(cid:92)(cid:368)(cid:369)(cid:176)“(cid:440)(cid:49)(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:40)
𝑛
(cid:70)(cid:7)(cid:50) 𝑆𝑛= ( 𝑎)𝑛(cid:269)(cid:349)(cid:80)(cid:38)(cid:242)(cid:179).
+1
∗
(cid:112)3(cid:113)(cid:314) 𝑏 (cid:87) 𝑛 (cid:508) 𝑆𝑚 , (cid:245) −𝑎 (cid:145) 𝑛 “ 𝑛 (cid:440) ∈ (cid:49) 𝑁 (cid:13)(cid:32)”(cid:7)(cid:31)(cid:72)(cid:126) 0(cid:92)(cid:302)(cid:59)(cid:60) <0(cid:180) > 2(cid:340)(cid:145)(cid:509)(cid:510)(cid:245)(cid:226) =0(cid:92)(cid:368)(cid:369)(cid:87)(cid:508) 3
1 2
𝑎
𝑏 𝑏 𝑑≤ 𝑑 𝑛 1−𝑑 𝑑 𝑛≥
(cid:180)(cid:183) +1 (cid:245)(cid:145)(cid:509)(cid:510)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:245)(cid:145) +1 (cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:245)(cid:145) + = + = (cid:242)(cid:179)(cid:269)(cid:104)
1 1 +1
(cid:422)(cid:340)(cid:145)𝑚 ≥(1𝑛+2 ) . 𝑚 ≤𝑛−1 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑆𝑚 ≤𝑆𝑛−1
1
𝑛−2
(cid:22)(cid:83)(cid:146)𝑆(cid:263)𝑛(cid:224)≤(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:21)𝑎 =0, =1, =0, =1(cid:92)
1 2 3 4
(cid:196)(cid:131)(cid:69) (cid:92) 𝑆 𝑆 (cid:92) 𝑆 𝑆
1 1 2 3 1 4
(cid:289)(cid:294)(cid:295)𝑆“X≤(cid:13)𝑎(cid:32)”≤(cid:33)𝑆(cid:40)(cid:70)𝑆{ ≤}𝑎(cid:204)(cid:115)≤“𝑆X(cid:13)(cid:32)”.
(cid:112)2(cid:113)(cid:200)(cid:184) =2 (cid:92) 𝑎𝑛
𝑛
(cid:196)(cid:131)(cid:192) =𝑆1𝑛(cid:180)(cid:92) = =2(cid:140)
1 1
(cid:192) 2𝑛(cid:180)(cid:92) =𝑎 𝑆 =2 2 =2 (cid:140)
𝑛 𝑛−1 𝑛−1
𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 − =1
(cid:181) =2(cid:204)(cid:286)(cid:287) =2 (cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:92)
1 2 2
𝑛−1 2,𝑛
(cid:317) 𝑎 < 𝑎 + 𝑛 1 (cid:92)(cid:242)2 < 𝑎 2 𝑛 +1(cid:92) 𝑛−1 ,𝑛≥
𝑚 𝑚
(cid:181)𝑆(cid:192)𝑚≤=𝑎1𝑛(cid:180)(cid:92)𝑆𝑚(cid:69)2 =≤2𝑎<𝑛 2 +1(cid:92) =1(cid:140)
1
𝑚 𝑚
(cid:192) 𝑛2(cid:180)(cid:92)(cid:69)2 2≤𝑎 <2 +1(cid:140)(cid:289) ⇒𝑚 < +1(cid:242) +1 < +2(cid:92)
𝑚 𝑛−1 𝑚
(cid:181)(cid:64)𝑛≥(cid:162)(cid:104)(cid:160) ≤( 2)(cid:92)(cid:69)(cid:211)(cid:506)(cid:69)(cid:104)𝑚(cid:160)≤𝑛−1 (cid:211)𝑚 = 𝑚(cid:92)(cid:356)≤(cid:245)𝑛 𝑚 < (cid:92)
+1
∗ ∗
(cid:141)(cid:319)(cid:92)(cid:64)(cid:238)𝑛(cid:86)∈𝑁 𝑛(cid:92)≥(cid:69)(cid:211)(cid:506)(cid:69)(cid:104)(cid:160) 𝑚(cid:92)∈(cid:356)𝑁(cid:245)𝑚 𝑛−1< (cid:92)𝑆𝑚≤𝑎𝑛 𝑆𝑚
+1
∗ ∗
(cid:196)(cid:131){ }(cid:184)“X𝑛(cid:13)∈(cid:32)𝑁”(cid:92) 𝑚∈𝑁 𝑆𝑚≤𝑎𝑛 𝑆𝑚
𝑎𝑛 2 +1 =1 =1
(cid:176)(cid:319) = = = (cid:92) (cid:92)
+1 2 +1 2 2 2 2
𝑚
(cid:242){ 𝑏 } 𝑛 (cid:33)“ 𝑆 (cid:440) 𝑚 (cid:49)(cid:13) −𝑎 (cid:32) 𝑛 ”(cid:48)(cid:49) 𝑚 (cid:7)(cid:50)− − (cid:184) 𝑛 2 − ,𝑛 1 , = 𝑛≥ =1 𝑛 2 − ,𝑛 1 (cid:92),𝑛≥ 𝑛 . ∈𝑁 ∗
2 2
2,𝑛 ∗
(cid:112)3 𝑎(cid:113) 𝑛 (cid:200)(cid:184){ }(cid:115)(cid:253)(cid:49)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:196)(cid:131) 𝑏𝑛 { }(cid:56) 𝑛 (cid:186) −1 (cid:193),𝑛(cid:194)≥(cid:92) 𝑛∈𝑁
(cid:196)(cid:131) 𝑎<𝑛 (cid:92)(cid:289) = =𝑆𝑛 (cid:92)
1 1 2 1 2 1 2
(cid:200)(cid:184)𝑆 ≤<𝑎 (cid:92)(cid:211)𝑆{ }(cid:184)𝑏“X(cid:13)𝑆(cid:32)−𝑎”(cid:92) 𝑎
2 2
(cid:196)(cid:131)𝑎 =𝑆 𝑎<𝑛 (cid:92)(cid:289)(cid:176) = ( )(cid:245) = = (cid:92)
1 1 2 2 +1 2 2 2 1
∗
𝑎 𝑆 ≤𝑎 𝑆 𝑏𝑛 𝑆𝑚 −𝑎𝑛 𝑛∈𝑁 𝑏 𝑆 −𝑎 𝑎{ }(cid:33)“(cid:440)(cid:49)(cid:13)(cid:32)”{ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:289)(cid:74)(cid:7)(cid:31) = = 0(cid:92)
2 1 1 2
(cid:200)𝑎𝑛(cid:184) < 𝑏𝑛(cid:92)(cid:196)(cid:131) = >0𝑑(cid:92) 𝑏 −𝑏 𝑎 −𝑎 ≤
+1 +1
(cid:183) < 𝑆𝑚 0(cid:92) ≤ (cid:181) 𝑎𝑛 (cid:192) 𝑆𝑚 > 2(cid:180)(cid:92) 𝑏𝑛 = 𝑆𝑚 + − ( 𝑎𝑛 ) < + 2 =0(cid:92)(cid:41) >0(cid:509)(cid:510)(cid:92)
2 2
𝑎 𝑎
(cid:289) 𝑑 =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) 𝑛 = 1−𝑑 = (cid:92) 𝑏𝑛 = 𝑎 𝑛−1 = 𝑑 𝑎 (cid:92)(cid:242) 1− 𝑑 −1 𝑑 =0(cid:92) 𝑏𝑛
2 1 +1 1 +1 1
(cid:64)(cid:120)𝑑 3(cid:92)(cid:183)𝑏𝑛+1𝑎 (cid:92)𝑎 (cid:181)𝑏𝑛 𝑆𝑚 −𝑎𝑛 𝑎=0(cid:92)𝑆(cid:41)𝑚(cid:253)−(cid:49)𝑎(cid:13)𝑛−(cid:32)𝑎{ }(cid:509)(cid:510)(cid:92)
2 +1 1
(cid:196)(cid:131)𝑛≥+1 𝑚 (cid:92)(cid:289)≥𝑛 𝑎 +≤𝑆𝑚= −𝑎+𝑛−𝑎= (cid:92) 𝑎𝑛
1 1 +1
𝑚 ≤𝑛−1 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑎 𝑎𝑛 𝑎 𝑆𝑚 ≤𝑆𝑛−1
(cid:196)(cid:131) 2( )(cid:92)(cid:289) 1 1 … 2 1= 2= 1(cid:92)
1 1 2 2 4 4 4
𝑆𝑛−𝑎 𝑆𝑛−1−𝑎 𝑆 −𝑎 𝑎 𝑎
(cid:196)(cid:131)
𝑆𝑛−𝑎
(1
≤
+2
𝑆𝑛−
)
1−𝑎
( 3)(cid:92)
𝑛 ≤ 𝑛−1 ≤ ≤
1
𝑛−2
(cid:296) 𝑆𝑛 (≤1+2 ) ,𝑎 =𝑛2≥ (1+20) (cid:92)
1 1 2 1 1
−1
(cid:196)𝑆(cid:131)≤ (1+2 𝑎 )𝑆 (cid:92) 𝑎 N≤. 𝑎
1
𝑛−2 ∗
(cid:22)(cid:227)𝑆(cid:50)𝑛≤11-3(cid:28)(cid:112)2024𝑎·(cid:353)(cid:281)𝑛·∈(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:31)(cid:81)(cid:511)(cid:405)(cid:81)(cid:82)(cid:112)Differential Cryptanalysis(cid:113)(cid:115)(cid:104)(cid:339)(cid:511)(cid:405)(cid:81)(cid:82)(cid:223)(cid:235)(cid:92)(cid:512)(cid:95)(cid:48)
(cid:263)(cid:513)(cid:514)(cid:511)(cid:405)(cid:38)(cid:235)(cid:95)(cid:204)(cid:165)(cid:515)(cid:244)(cid:31)(cid:81)(cid:209)(cid:516)(cid:444)(cid:33)(cid:515)(cid:145)(cid:31)(cid:81)(cid:92)(cid:127)(cid:340)(cid:315)(cid:145)(cid:511)(cid:405)(cid:38)(cid:235)(cid:33)(cid:511)(cid:517)(cid:6)(cid:518).(cid:64)(cid:120)(cid:13)(cid:32){ }( *)(cid:92)
(cid:519)(cid:40){ }(cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:104)(cid:362)(cid:31)(cid:81)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:74)(cid:65) = (cid:140)(cid:519)(cid:40){ 2 }(cid:184){ }(cid:33)(cid:260)(cid:362)(cid:31)(cid:81)(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛(cid:92)(cid:74)𝑛∈(cid:65)𝑁2 =
+1
Δ𝑎𝑛 .(cid:158)(cid:159){𝑎𝑛}(cid:33)(cid:104)(cid:362)(cid:31)(cid:81)(cid:13)(cid:32)(cid:286)(cid:287)| Δ|𝑎𝑛 | 𝑎𝑛 | −𝑎𝑛 * Δ(cid:92)𝑎𝑛(cid:181)(cid:478){𝑎𝑛 }(cid:115)“(cid:63)(cid:64)(cid:31)(cid:520)(cid:13)(cid:32)”(cid:140)(cid:158)Δ(cid:159)𝑎{ 𝑛 }
+1
Δ(cid:33)𝑎(cid:260)𝑛 (cid:362)−(cid:31)Δ𝑎(cid:81)𝑛(cid:13)(cid:32)(cid:286)𝑎(cid:287)𝑛 | 2 |=| 2 | Δ𝑎*𝑖(cid:92)≠(cid:181)Δ(cid:478)𝑎𝑗{ ∀}𝑖(cid:115),𝑗∈“(cid:331)𝑁(cid:31),𝑖(cid:204)≠(cid:227)𝑗 (cid:13)(cid:32)”. 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(1)(cid:207)(cid:13)(cid:32) Δ 𝑎(cid:92)𝑖 (cid:39)(cid:315)Δ(cid:13)𝑎(cid:32)𝑗 ∀(cid:115)𝑖,𝑗(cid:481)∈(cid:184)𝑁“(cid:63)(cid:64)(cid:31)(cid:520)𝑎(cid:13)𝑛 (cid:32)”(cid:257)“(cid:331)(cid:31)(cid:204)(cid:227)(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:483)(cid:484)(cid:43)(cid:15)(cid:176)(cid:140)
(2)(cid:207)(cid:13)(cid:32)𝐴{:1},3(cid:33),7(cid:48),9,(cid:49)13(cid:7),1(cid:50)5 =2 2+𝐴( *)(cid:92)(cid:81)(cid:370)(cid:39)(cid:315){ },{ 2 }(cid:115)(cid:481)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:483)(cid:484)(cid:43)(cid:15)(cid:176)(cid:140)
(3)(cid:207)(cid:475)(cid:49)(cid:379)𝑎𝑛 (cid:184)(cid:253)(cid:13)(cid:33)(cid:13)(cid:32) 𝑎 { 𝑛 }(cid:184) 𝑛 “(cid:331)(cid:31) 𝑛 (cid:204)𝑛(cid:227)∈(cid:13)𝑁(cid:32)”(cid:92)(cid:74)(cid:51) (cid:49)Δ(cid:52)𝑎(cid:184) 𝑛 Δ(cid:92)𝑎(cid:211) 𝑛 (cid:64) *(cid:92)(cid:164)(cid:69) 2 = 2
𝑛=1
𝑐𝑛 𝑛 𝑆𝑛 ∀𝑛∈𝑁 Δ 𝑐𝑘 Δ
(cid:92)(cid:64)(cid:286)(cid:287) + = ( )(cid:33)(cid:238)(cid:86)(cid:253)(cid:325)(cid:13) (cid:164)(cid:69) (cid:92)(cid:211)(cid:204)(cid:30)(cid:50) + > (cid:66)𝑘 (cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:490)(cid:13)
+1
𝑐(cid:33)𝑛(cid:53)(cid:150)(cid:54). 𝑛 𝑚 2𝑘 𝑚≠𝑛 𝑛,𝑚,𝑘 𝑐𝑚≠𝑐𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑚 𝑡𝑆𝑘 𝑡
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295)“(cid:63)(cid:64)(cid:31)(cid:520)(cid:13)(cid:32)”(cid:52)“(cid:331)(cid:31)(cid:204)(cid:227)(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:39)(cid:315)(cid:242)(cid:179)(cid:140)
(cid:112)2(cid:113)(cid:81)(cid:370)(cid:77)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ },{ 2 }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:92)(cid:302)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:145)(cid:236)(cid:60)(cid:140)
(cid:112)3(cid:113)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)Δ𝑎(cid:44)𝑛(cid:45)Δ(cid:131)(cid:46)𝑎𝑛(cid:23)(cid:40)(cid:70)(cid:77)(cid:83)(cid:145) + (cid:92)(cid:37)(cid:27)(cid:34)(cid:35)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:77)(cid:83)(cid:145) (cid:33)(cid:267)(cid:268)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:245)(cid:145) (cid:33)(cid:53)(cid:54).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:64)(cid:120)(cid:13)(cid:32) (cid:92)𝑆𝑛 𝑆𝑚 𝑡 𝑡
(cid:179)(cid:245)(cid:10)(cid:104)(cid:362)(cid:31)(cid:81)(cid:13)(cid:32)(cid:184)2,4,2,4𝐴,2:1(cid:92),3(cid:204),7,(cid:286)9,1(cid:287)3,|15 | | | * (cid:92)
(cid:196)(cid:131)(cid:204)(cid:115)“(cid:63)(cid:64)(cid:31)(cid:520)(cid:13)(cid:32)”(cid:92) Δ𝑎𝑖 ≠ Δ𝑎𝑗 ∀𝑖,𝑗∈𝑁 ,𝑖≠𝑗
(cid:260)(cid:362)(cid:81)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:184) (cid:92)(cid:286)(cid:287)| 2 |=| 2 | * (cid:92)
(cid:196)(cid:131)(cid:115)“(cid:331)(cid:31)(cid:204)(cid:227)2(cid:13),−(cid:32)2,2”,(cid:140)−2 Δ 𝑎𝑖 Δ 𝑎𝑗 ∀𝑖,𝑗∈𝑁(cid:112)2(cid:113)(cid:200)(cid:184) =2 2+ ( *)(cid:92)
(cid:196)(cid:131) =𝑎𝑛 𝑛 =𝑛 𝑛∈+𝑁3(cid:92)(cid:196)(cid:131) =4(cid:92)
+1 +1
(cid:200)(cid:184)Δ𝑎𝑛=7𝑎(cid:92)𝑛 (cid:196)−(cid:131)𝑎𝑛(cid:13)(cid:32)4𝑛{ }(cid:115)(cid:185)(cid:49)Δ(cid:184)𝑎7𝑛(cid:92)−(cid:7)Δ(cid:31)𝑎𝑛(cid:184)4(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
1
(cid:200)(cid:184)Δ𝑎2 = =Δ𝑎4𝑛(cid:92)
+1
(cid:196)(cid:131)Δ(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛(cid:13)(cid:32)Δ𝑎{ 𝑛 −}(cid:115)Δ𝑎(cid:185)𝑛(cid:49)(cid:184)4(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)0(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140)
(cid:112)3(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:245)Δ|𝑎2𝑛 |=| 2 | * (cid:92)
(cid:64) *(cid:92)(cid:164)(cid:69)Δ 𝑎𝑖 Δ 2 𝑎𝑗 = ∀𝑖2,𝑗∈𝑁(cid:92)
+1
𝑛=1
(cid:196) ∀ (cid:131) 𝑛∈ 2 𝑁 =0(cid:92) 𝑘 Δ 𝑐𝑘 Δ 𝑐𝑛
(cid:196)(cid:131)Δ2𝑐𝑛= = ( )= + =0(cid:92)
+1 +2 +1 +1 +2 +1
(cid:196)(cid:131)Δ 𝑐𝑛 Δ𝑐𝑛=−Δ𝑐𝑛 𝑐(cid:92)𝑛 (cid:196)−(cid:131)𝑐𝑛(cid:13)(cid:32)−{𝑐𝑛}(cid:115)−(cid:30)𝑐𝑛(cid:31)(cid:13)𝑐(cid:32)𝑛(cid:92)−2𝑐𝑛 𝑐𝑛
+2 +1 +1
(cid:207)(cid:13)𝑐(cid:32)𝑛 { −}𝑐(cid:33)𝑛(cid:7)(cid:31)(cid:184)𝑐𝑛 (cid:92)−(cid:181)𝑐𝑛 = +( 𝑐𝑛) (cid:92)
1
(cid:192) =0(cid:180)𝑐𝑛(cid:92) = (cid:92)𝑑(cid:41) 𝑐𝑛 𝑐(cid:509)(cid:510)(cid:140)𝑛−1 𝑑
𝑑 𝑐𝑛 𝑐𝑚 𝑐𝑛≠𝑐𝑚
(cid:192) <0(cid:180)(cid:92)(cid:192) > 1(cid:180)(cid:92) <0(cid:92)
𝑐
𝑑 𝑛 1−𝑑 𝑐𝑛
(cid:41)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:475)(cid:49)(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:13)(cid:509)(cid:510)(cid:92)(cid:289) >0(cid:92)
=
2𝑐𝑛
+ (cid:92)
𝑑
2 1 2
𝑑 𝑑
𝑆𝑛 𝑛 𝑐 − 𝑛
(cid:181) + = 2+ + 2+ = ( 2+ 2)+ ( + )(cid:92)
2 1 2 2 1 2 2 1 2
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑆𝑛 𝑆𝑚 𝑛 𝑐 − 𝑛 2 𝑚 𝑐 − 𝑚 𝑛 𝑚 𝑐 − 𝑛 𝑚
= 2+ = + (cid:92)
2 1 2 2 2 1 2 2
𝑑 𝑑 𝑑 𝑚+𝑛 𝑑 𝑚+𝑛
(cid:200) 𝑆𝑘 (cid:184) 𝑘 (cid:92) 𝑐 (cid:196) − (cid:131) 𝑘 2 2 > ( )2 (cid:92) 𝑐 −
2 4
𝑚 +𝑛 𝑚+𝑛
𝑚≠𝑛
(cid:196)(cid:131) + = ( 2+ 2)+ ( + )> ( )2 + ( + )(cid:92)
2 1 2 2 2 1 2
𝑑 𝑑 𝑑 𝑚+𝑛 𝑑
(cid:181)(cid:192) 𝑆𝑛 2(cid:180) 𝑆𝑚 (cid:92)(cid:204)(cid:30)𝑛(cid:50) 𝑚 + > 𝑐 − (cid:66)(cid:67)𝑛 (cid:68)𝑚(cid:92) ⋅ 𝑐 − 𝑛 𝑚
(cid:220)(cid:104)𝑡(cid:223)≤(cid:477)(cid:92)(cid:192) >2(cid:180)𝑆(cid:92)𝑛(cid:317)𝑆𝑚= 𝑡+𝑆𝑘 = ( N 2)(cid:92)
∗
𝑡 𝑚 𝑘 1,𝑛 𝑘−1 𝑘∈ ,𝑘≥
(cid:181) + = ( +1)2+( )2 + = (2 2+2)+ (cid:92)
2 1 2 2 1 2
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑆𝑛 𝑆𝑚 𝑘 𝑘−1 2𝑘 𝑐 − 𝑘 2𝑘 𝑐 −
= 2+ (cid:92)
2 1 2
𝑑 𝑑
𝑆𝑘 𝑘 𝑐 − 𝑘
(cid:181) ( + )= 2+ (2 2+2)
2 1 2 2 1 2
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑡𝑆𝑘− 𝑆𝑛 𝑆𝑚 𝑡𝑘 𝑐 − 𝑡𝑘− 𝑘 −2𝑘 𝑐 −
= ( 2 )+( ) (cid:92)
1
2
𝑑
𝑡−𝑑 𝑘 −𝑘 𝑡−2 𝑐 𝑘−𝑑(cid:200)(cid:184) >0, 2 0(cid:92)
2
𝑑
𝑡−𝑑 𝑘 −𝑘≥
(cid:196)(cid:131)(cid:192) > (cid:180)(cid:92) ( + )>0(cid:92)
( )
𝑑 1
(cid:242)(cid:69)
𝑘
+
𝑡−
<
2 𝑐
(cid:92)(cid:41)
𝑡𝑆𝑘− +𝑆𝑛 >𝑆𝑚
(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:509)(cid:510).
(cid:141)(cid:319)𝑆(cid:196)𝑛(cid:482)(cid:92)𝑆𝑚(cid:490)(cid:13)𝑡𝑆(cid:33)𝑘 (cid:53)(cid:150)𝑆(cid:54)𝑛 (cid:184)𝑆2𝑚
.
𝑡𝑆𝑘
𝑡
(cid:104)(cid:71)(cid:56)(cid:20)(cid:21)
1(cid:156)(cid:112)2024·(cid:336)(cid:337)(cid:521)(cid:522)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) + =14(cid:92)(cid:211) =8(cid:92)(cid:181)(cid:185)(cid:49) =(cid:112) (cid:113)
2 3 4 2 1
A(cid:156)1 B(cid:156)2 C(cid:156)𝑎𝑛3 𝑎 𝑎 D(cid:156)4𝑎 −𝑎 𝑎
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:523)(cid:368)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:200)(cid:184) + =14(cid:92)(cid:211) =8(cid:92)
2 3 4 2
(cid:196)(cid:131) 2
+
3
=2
1
+ =𝑎1𝑛4
(cid:92)(cid:196)(cid:131)
𝑑
1
=1
.
𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎
= =8 =4
4 2
𝑎 𝑎 𝑎 3𝑑 𝑎
(cid:289)(cid:20)(cid:10)A. 𝑎 −𝑎 2𝑑 𝑑
2(cid:156)(cid:112)2024·(cid:23)(cid:329)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:183) 7= (cid:92)(cid:181) =(cid:112) (cid:113)
10
𝑎8
A(cid:156) B(cid:156)
𝑎𝑛
C
𝑛
(cid:156)
𝑆𝑛 𝑎 −1
D(cid:156)
𝑆
4 5 6 7
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)𝑆 (cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:236)(cid:142)𝑆(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:77)(cid:83)(cid:242)𝑆(cid:179)(cid:92)(cid:257)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:249)(cid:27)(cid:30)𝑆(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:16)(cid:55)(cid:92)(cid:302)(cid:16)(cid:55)
10
(cid:242)(cid:179). 𝑆
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184) 7= (cid:92)(cid:196)(cid:131) + =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) + = + =0(cid:156)
7 8 6 9 5 10
𝑎8
𝑎 −1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:200)(cid:184) = + + + + + =0(cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:156)
10 4 5 6 7 8 9 10 10 4
(cid:220)(cid:83)𝑆(cid:10)(cid:207)−(cid:30)𝑆 (cid:31)(cid:13)𝑎(cid:32){𝑎 }(cid:33)𝑎(cid:7)(cid:31)(cid:184)𝑎 (cid:92)𝑎 𝑎 𝑆 𝑆
(cid:176) 7= (cid:92)(cid:245) + 𝑎𝑛 =0(cid:92) 𝑑
7 8
𝑎8
𝑎 −1 𝑎 𝑎
13
(cid:196)(cid:131) + + + =0(cid:92)(cid:242)2 + =0(cid:92)(cid:245) = (cid:92)
1 1 1 1 2
𝑎 6𝑑 𝑎 7𝑑 𝑎 13𝑑 𝑎 − 𝑑
(cid:196)(cid:131) =10 + 10×9 =10× 13 + = (cid:92)
10 1 2 2
𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 45𝑑 −20𝑑
(cid:200)(cid:184) =4 + 4×3 =4× 13 + = (cid:92)
4 1 2 2
𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 6𝑑 −20𝑑
=5 + 5×4 =5× 13 + = 45 (cid:92)
5 1 2 2 2
𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 10𝑑 − 𝑑
=6 + 6×5 =6× 13 + = (cid:92)
6 1 2 2
𝑆 𝑎 𝑑 − 𝑑 15𝑑 −24𝑑=7 + 7×6 =7× 13 + = 49 (cid:92)
7 1 2 2 2
𝑆 (cid:196)(cid:131) 𝑎 = 𝑑 − 𝑑 21𝑑 − 𝑑
10 4
(cid:289)(cid:20)𝑆(cid:10)A(cid:156)𝑆
3(cid:156)(cid:112)2024·(cid:411)(cid:524)(cid:389)(cid:474)(cid:23)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:475)(cid:49)(cid:204)(cid:184)(cid:261)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) (cid:184)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92)4 =
(cid:92)(cid:181) (cid:33)(cid:54)(cid:184)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎𝑛⋅
+1 8
𝑎𝑛 A(cid:156)4 𝑎 B(cid:156)8 C(cid:156)12 D(cid:156)16
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:176)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:193)(cid:340)(cid:50)(cid:92)(cid:81)(cid:370)(cid:317) = =2(cid:92)(cid:236)(cid:142)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:83)(cid:223)(cid:224)(cid:179)(cid:245)(cid:185)(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:31)(cid:92)(cid:302)
(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:242)(cid:179)(cid:245)(cid:226)(cid:146)(cid:343)(cid:156)𝑛 1,𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92) 4 = (cid:92)
+1
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92)4 =4 =𝑎𝑛 (cid:92)(cid:83)(cid:245)𝑑 ∵=𝑆4𝑛(cid:92) 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛
1 1 1 2 2
∴ 𝑛+ =4(cid:92) 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
1
∴(cid:192)𝑎 =𝑑2(cid:180)(cid:92)4 = 4( + )=4 4( +4)=4( + ) =2(cid:92)
2 2 3 1 2 3 1 1
𝑛=2(cid:92) 𝑆 𝑎 ⋅𝑎 ⇒ 𝑎 𝑎 𝑎 ⇒ 𝑎 𝑎 2𝑑 ⇒ 𝑑
1
∴𝑎 =2+7×2=16(cid:156)
8
(cid:289)∴𝑎(cid:20)(cid:10)D(cid:156)
4(cid:156)(cid:112)2024·(cid:290)(cid:291)(cid:525)(cid:489)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }，{ }(cid:379)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:74)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:81)(cid:370)(cid:184) ， (cid:92)(cid:286)(cid:287) +3)
= (cid:92)(cid:181) 7 8 9=(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑇𝑛 (2𝑛 𝑆𝑛
𝑎 +6𝑎 +10𝑎
(3𝑛−1)𝑇𝑛 𝑏 +𝑏
A(cid:156)2 B(cid:156)3 C(cid:156)5 D(cid:156)6
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:245)(cid:145)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:44)(cid:45)(cid:52)(cid:245)(cid:145)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:526)(cid:266)(cid:80)(cid:38)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83).
1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:200)(cid:184)(cid:13)(cid:32){ },{ }(cid:379)(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:179)(cid:245) + + =3 = ×15 = (cid:92)
7 8 9 8 5 8 5 15
𝑎𝑛 𝑏𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑆
15( ) 2
(cid:211) + = + (cid:92)(cid:296)(cid:176) = 1 15 (cid:92)(cid:179)(cid:245) + = (cid:156)
6 10 1 15 15 2 6 10 15 15
𝑏 +𝑏
𝑏 𝑏 𝑏 1 𝑏 𝑇 𝑏 𝑏 𝑇
(cid:200)(cid:201) 7 8 9= 5 15 = 3 15= 3 × 4 =2.
𝑎 +6𝑎 +10𝑎 1 2 5𝑆15 2 𝑆15 2 3
(cid:289)(cid:20)(cid:10) 𝑏 A + (cid:156) 𝑏 𝑇 ⋅𝑇
5(cid:156)(cid:112)2024·(cid:380)(cid:381)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)2024(cid:107)(cid:501)(cid:527)(cid:51)(cid:528)(cid:92)(cid:414)(cid:521)(cid:342)(cid:529)(cid:64)(cid:530)(cid:531)(cid:316)(cid:532)(cid:222)(cid:104)(cid:187)“(cid:533)(cid:14)(cid:454)(cid:501)(cid:534)”(cid:33)(cid:535)(cid:536)(cid:153)(cid:206)(cid:92)(cid:153)(cid:206)
(cid:519)(cid:181)(cid:158)(cid:209)(cid:10)(cid:243)(cid:104)(cid:411)(cid:117)(cid:533)(cid:14)(cid:204)(cid:438)(cid:120)800(cid:105)(cid:33)(cid:530)(cid:531)(cid:409)(cid:533)(cid:14)(cid:537)(cid:538)(cid:123)1(cid:462)(cid:463)(cid:251)(cid:187)(cid:539)(cid:9)(cid:92)(cid:539)(cid:9)(cid:94)(cid:442)3(cid:439)(cid:440)1(cid:92)(cid:293)(cid:94)(cid:442)4
(cid:439)(cid:440)1(cid:33)(cid:530)(cid:531)(cid:179)(cid:131)(cid:540)(cid:245)(cid:501)(cid:534)1(cid:64)(cid:92)(cid:481)(cid:181)(cid:204)(cid:94)(cid:540)(cid:245)(cid:501)(cid:534)(cid:156)(cid:183)(cid:414)(cid:411)(cid:472)(cid:142)(cid:311)(cid:312)(cid:33)(cid:530)(cid:531)(cid:217)(cid:69)2000(cid:541)(cid:92)(cid:181)(cid:542)(cid:543)(cid:540)(cid:245)1
(cid:64)(cid:501)(cid:534)(cid:33)(cid:541)(cid:13)(cid:184)(cid:112) (cid:113)A(cid:156)167 B(cid:156)168 C(cid:156)169 D(cid:156)170
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:243)(cid:94)(cid:442)3(cid:439)(cid:440)1(cid:211)(cid:442)4(cid:439)(cid:440)1(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:409)(cid:123)(cid:272)(cid:226)(cid:150)(cid:410)(cid:32)(cid:196)(cid:245)(cid:33)(cid:13)(cid:32)(cid:304)(cid:184){ }(cid:92)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:236)(cid:142)(cid:30)
(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:77)(cid:145)(cid:74)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:179)(cid:245)(cid:145)(cid:146)(cid:343). 𝑎𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:243)(cid:94)(cid:442)3(cid:439)(cid:440)1(cid:211)(cid:442)4(cid:439)(cid:440)1(cid:33)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:409)(cid:123)(cid:272)(cid:226)(cid:150)(cid:410)(cid:32)(cid:196)(cid:245)(cid:33)(cid:13)(cid:32)(cid:304)(cid:184){ }(cid:92)
(cid:181) (cid:313)(cid:115)3(cid:33)(cid:469)(cid:13)(cid:92)(cid:293)(cid:115)4(cid:33)(cid:469)(cid:13)(cid:92) 𝑎𝑛
(cid:289)𝑎𝑛−1(cid:184)12(cid:33)(cid:469)(cid:13)(cid:92)(cid:196)(cid:131){ }(cid:115)(cid:185)(cid:49)(cid:184)0(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)12(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)
(cid:196)𝑎(cid:131)𝑛−1= (cid:92) 𝑎𝑛−1
(cid:317)1 𝑎𝑛 12 2 𝑛 0 − 00 1 (cid:92) 1 (cid:242)1 2000(cid:92)(cid:211) *(cid:92)(cid:83)(cid:245)1 2011 (cid:92)
12
≤𝑎𝑛≤ ≤12𝑛−11≤ 𝑛∈𝑁 ≤𝑛≤
(cid:211) *(cid:92)(cid:296)167< 2011 <168(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:542)(cid:543)(cid:540)(cid:245)1(cid:64)(cid:501)(cid:534)(cid:33)(cid:541)(cid:13)(cid:184)167(cid:156)
12
𝑛∈𝑁
(cid:289)(cid:20):A.
6(cid:156)(cid:112)2024·(cid:341)(cid:359)(cid:544)(cid:320)·(cid:177)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154) (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92) = (cid:92) = (cid:92)(cid:181) (cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:54)(cid:184)(cid:112) (cid:113)
1 7 15
A(cid:156) B(cid:156) 𝑆𝑛 C𝑎(cid:156)𝑛 𝑛 𝑎 −D2(cid:156)1 𝑆 𝑆 𝑆𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)−9(cid:216)9(cid:28)(cid:207){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)−(cid:184)10(cid:92)0 (cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:32)(cid:145)(cid:223)(cid:224)−1(cid:178)10(cid:92)(cid:77)(cid:245) =2(cid:92)(cid:245)(cid:226)−12=1 (cid:52) = 2 (cid:92)(cid:269)(cid:231)
(cid:77)(cid:245)(cid:146)(cid:343). 𝑎𝑛 𝑑 𝑑 𝑎𝑛 2𝑛−23 𝑆𝑛 𝑛 −22𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:200)(cid:184) = (cid:92) = (cid:92)
1 7 15
1𝑎
=𝑛
𝑑 𝑎 −21 𝑆 𝑆
(cid:179)(cid:245) 7×6 15×14 (cid:92)(cid:83)(cid:245) =2(cid:92)(cid:196)(cid:131) = (cid:92)
7 + =15 +
1 1
2 𝑎 −21 2
𝑑 𝑎𝑛 2𝑛−23
(cid:179)(cid:245)
𝑎
=
𝑑
+
×( 𝑎)
×2=
𝑑2
(cid:92)
2
𝑛 𝑛−1
(cid:196)(cid:131) 𝑆 (cid:192) 𝑛 = − 1 2 1 1 (cid:180) 𝑛 (cid:92) (cid:351)(cid:245)(cid:53)(cid:272)(cid:54) 𝑛 − = 22 1 𝑛 12 ×11= .
11
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑛D. 𝑆𝑛 𝑆 −22 −121
7(cid:156)(cid:112)2023·(cid:143)(cid:545)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)30(cid:49)(cid:65)(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:58)(cid:13)(cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211) =45(cid:92)
= +615(cid:92)(cid:181) =(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝐴 𝐵 𝐵−𝐴
2𝐴A(cid:156)𝐵 𝑎𝑛 B(cid:156) C(cid:156) +1 D(cid:156) +2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)3𝑛(cid:216)−(cid:28)2 (cid:294)(cid:295)(cid:311)(cid:312)(cid:32)(cid:145)3(cid:3)𝑛−(cid:120)1(cid:185)(cid:49)(cid:52)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:223)(cid:224)3(cid:92)𝑛 (cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83). 3𝑛
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:92)(cid:185)(cid:49)(cid:184) (cid:92)
1
(cid:181) = =45(cid:92)(cid:196)(cid:131) =3(cid:92) 𝑑 𝑎
(cid:200)𝐵(cid:184)−𝐴 =15+𝑑 615(cid:92)(cid:242) 𝑑= +45+615(cid:92)(cid:181) =660(cid:92)
(cid:30)(cid:31)2(cid:13)𝐴(cid:32)(cid:33)𝐵(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:115)(cid:131)2𝐴(cid:184)(cid:185)𝐴(cid:49)(cid:92) (cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)𝐴(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)30(cid:49)(cid:65)(cid:57)(cid:13)(cid:49)(cid:69)15(cid:49)(cid:92)(cid:196)(cid:131)
1
𝑎 2𝑑 𝑎𝑛15×14
=15 + ×6=660(cid:92)(cid:245) =2(cid:92)
1 2 1
𝐴 𝑎 𝑎
(cid:196)(cid:131) = +( ) =2+3( )= .
1
(cid:289)(cid:20)(cid:10)𝑎𝑛 B.𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 3𝑛−1
8(cid:156)(cid:112)2024·(cid:306)(cid:291)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211) = 2+ (cid:92) N*(cid:92)(cid:183)(cid:64)(cid:120)(cid:238)(cid:86)(cid:33) [0,1](cid:92)
𝑎𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛 𝑛 𝑚 𝑛∈ 𝑎∈
(cid:204)(cid:30)(cid:50) < 2 (1+ ) 2 +2(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:181)(cid:490)(cid:13)x(cid:179)(cid:94)(cid:184)(cid:112) (cid:113)
𝑎𝑛
A(cid:156) 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑥 B − (cid:156) 2 0 𝑎 −𝑎 C(cid:156)1 D(cid:156)2
−2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:176) (cid:41) (cid:33)(cid:3)(cid:93)(cid:211){ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:77)(cid:145) (cid:92)(cid:176) <2(cid:92)(cid:245) 2 + 2 +2 2(cid:92)(cid:346)(cid:493)
𝑎𝑛
(cid:106)(cid:13) =2 2𝑆 + 𝑛 (1+ 𝑎𝑛 2+𝑎(cid:92) 𝑛 (cid:176) 0(cid:95) [0 𝑎 ,1 𝑛 ](cid:180)(cid:66) 𝑛 (cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:490) 𝑥 (cid:13) −(1 x(cid:33)(cid:351) 𝑎)𝑥 (cid:54) − (cid:267) 2𝑎 (cid:268) − . 𝑎 ≥
(cid:22)(cid:83)𝑔(cid:146)((cid:263)𝑎)(cid:224)(cid:28)𝑎(cid:200)(cid:184) =𝑥)2𝑎−+𝑥 (cid:92)𝑥=1(cid:180)𝑔((cid:92)𝑎)≤= 𝑎=∈1+ (cid:92)
1 1
2(cid:180)(cid:92) = 𝑆𝑛 𝑛= 2𝑚+ 𝑛 ( )2𝑎+ 𝑆= 𝑚(cid:92)
𝑛(cid:196)≥(cid:131) =1𝑎𝑛+ 𝑆(cid:92)𝑛−𝑆𝑛=−13(cid:92)𝑛 =𝑚5−(cid:92) 𝑛−1 𝑚 2𝑛−1
1 2 3
(cid:200)(cid:184)𝑎{ }(cid:184)(cid:30)(cid:31)𝑚(cid:13)𝑎(cid:32)(cid:92)(cid:196)(cid:131)𝑎 =1(cid:92) =0(cid:92)
1
𝑎𝑛 1 𝑎 𝑚
(cid:123)(cid:231) = (cid:92) = <2(cid:92)
𝑎𝑛
(cid:196)(cid:131) 𝑎2 𝑛 2𝑛 + −1 𝑛 22−𝑛 +2 2(cid:92)(cid:242) 2 (1+ ) + 2 0(cid:92)
(cid:181)(cid:192)𝑥0 −(1 1𝑎(cid:180))𝑥(cid:92)−2𝑎 −=𝑎2 2≥+(1+ −2𝑎 2−+ 𝑥0(cid:66)𝑎(cid:67)𝑥(cid:68)−(cid:92)𝑥≥
≤𝑎≤= 2+𝑔(𝑎)0 𝑎 𝑥)𝑎−𝑥 𝑥≤
(cid:92)(cid:83)(cid:245) (cid:257) 3(cid:92)
=2+1+ 2+ 0
𝑔(0) −𝑥 𝑥≤
𝑥≤−1 𝑥≥
(cid:420)𝑔(cid:69)(1(cid:20)) (cid:49)A(cid:472)(cid:142)𝑥(cid:21)−(cid:86)𝑥 (cid:92) 𝑥≤
(cid:289)(cid:20)(cid:10)A.
(cid:260)(cid:71)(cid:437)(cid:20)(cid:21)
9(cid:156)(cid:112)2024·(cid:385)(cid:386)(cid:278)(cid:387)(cid:388)(cid:389)·(cid:260)(cid:282)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:185)(cid:49) =1(cid:92)(cid:7)(cid:31) =6(cid:92)(cid:95){ }(cid:65)(cid:162)(cid:102)(cid:252)(cid:214)(cid:49)(cid:122)(cid:408)(cid:164)(cid:546)
1
(cid:244) (cid:160)(cid:13)(cid:92)(cid:356)(cid:163)(cid:232)(cid:52)(cid:547)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:104)(cid:161)(cid:346)(cid:67)(cid:104)(cid:160)(cid:23)𝑎(cid:33)𝑛(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)𝑎{ }(cid:92)(cid:209)(cid:32)(cid:484)𝑑(cid:235)(cid:253)(cid:266)(cid:33)(cid:69)𝑎𝑛(cid:112) (cid:113)
𝑘A(cid:156) = B(cid:156)(cid:192) =2(cid:180)(cid:92)𝑏𝑛 =
C(cid:156)(cid:192)𝑎𝑛 =62𝑛(cid:180)−5(cid:92) (cid:204)(cid:115)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:33)(cid:49) D(cid:156)(cid:183)𝑘 (cid:115)(cid:13)(cid:32){𝑏𝑛 }(cid:65)2(cid:33)𝑛−(cid:49)1(cid:92)(cid:181) (cid:33)(cid:54)(cid:179)(cid:94)(cid:184)6
19 8
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)𝑘 (cid:28)(cid:64)A(cid:92)𝑏(cid:294)(cid:295)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179)𝑏(cid:140)(cid:64)B(cid:92)𝑎(cid:81)𝑛(cid:82){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)𝑘(cid:302)(cid:77)(cid:83)(cid:242)(cid:179)(cid:140)(cid:64)C(cid:92)(cid:176)B(cid:65)(cid:48)
(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:39)(cid:315)(cid:242)(cid:179)(cid:140)(cid:64)D(cid:92)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)(cid:39)(cid:315)(cid:192) =6(cid:180) = (cid:242)(cid:179). 𝑏𝑛
2 8
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:64)A(cid:92) =1+6( )= 𝑘 (cid:92)(cid:289)𝑎A(cid:253)𝑏(cid:266)(cid:140)
𝑎𝑛 6𝑛−1 6𝑛−5
(cid:64)B(cid:92)(cid:192) =2(cid:180)(cid:92){ }(cid:7)(cid:31) = =2(cid:92)(cid:201)(cid:180) =1+2( )= (cid:92)(cid:289)B(cid:253)(cid:266)(cid:140)
3
𝑘 𝑏𝑛 𝑑 𝑏𝑛 𝑛−1 2𝑛−1(cid:64)C(cid:92)(cid:192) =2(cid:180) = (cid:92)(cid:201)(cid:180) =2× =37(cid:92) =6× =37(cid:92)(cid:242) (cid:115)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:33)(cid:49)(cid:92)(cid:289)C
19 7 19
(cid:327)(cid:328)(cid:140) 𝑘 𝑏𝑛 2𝑛−1 𝑏 19−1 𝑎 7−5 𝑏 𝑎𝑛
(cid:64)D(cid:92)(cid:192) =6(cid:180)(cid:92) = (cid:92)(cid:296) = = (cid:92)(cid:289)D(cid:253)(cid:266).
1 1 2 1+6+1 8
(cid:289)(cid:20)(cid:10)AB𝑘D. 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
10(cid:156)(cid:112)2024·(cid:290)(cid:291)(cid:525)(cid:489)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:7)(cid:31)(cid:184) ( 0)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:183)(cid:163)(cid:33)(cid:51) >1)(cid:49)(cid:33)(cid:52)
=0(cid:92)(cid:181)(cid:209)(cid:32)(cid:236)(cid:60)(cid:253)(cid:266)(cid:33)(cid:115)(cid:112) (cid:113) 𝑎𝑛 𝑑 𝑑≠ 2𝑚(𝑚
𝑆2𝑚A(cid:156)(cid:183) <0(cid:92)(cid:356) >0(cid:33)(cid:53)(cid:150) (cid:33)(cid:54)(cid:184)
B(cid:156) 𝑑(cid:115) (cid:33)(cid:53)(cid:272)𝑎𝑛(cid:54) 𝑛 𝑚
C(cid:156)𝑆3 𝑚2 +𝑆𝑛 2 = 2 +3 2
+2 +1
D(cid:156) 𝑎2𝑚 +𝑎𝑚2 = 𝑎2𝑚−1+ 2𝑎𝑚
+1 +2
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)𝑎(cid:216)𝑚−(cid:28)1(cid:176)𝑎(cid:21)𝑚(cid:207)(cid:179)𝑎𝑚(cid:340)(cid:245) 𝑎𝑚+ =0(cid:92)(cid:64)(cid:120)A(cid:92)(cid:176) <0(cid:92)(cid:340)(cid:315) >0, <0(cid:242)(cid:245)(cid:92)(cid:64)(cid:120)B(cid:92)(cid:249)(cid:27)A
+1 +1
(cid:236)(cid:60)(cid:92)(cid:316)(cid:182)(cid:277)(cid:179)(cid:410)(cid:439)B(cid:92)(cid:64)(cid:120)𝑎𝑚 C(cid:92)𝑎D 𝑚(cid:214)(cid:49)(cid:92)(cid:548)(cid:27)(cid:230)(cid:31)(cid:235)(cid:92)𝑑(cid:249)(cid:27) + 𝑎𝑚 =0𝑎(cid:52)𝑚(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:242)(cid:179)
+1
(cid:39)(cid:315). 𝑎𝑚 𝑎𝑚
)
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:92) = 1 = + )=0(cid:92)(cid:200) >1(cid:92)(cid:181) + =0(cid:112)*(cid:113)(cid:92)
2 +1 +1
2𝑚(𝑎 +𝑎2𝑚
𝑆2𝑚 𝑚(𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚
(cid:64)(cid:120)A(cid:92)(cid:200) <0(cid:92)(cid:181) < (cid:92)(cid:176)(cid:112)*(cid:113)(cid:154) >0, <0(cid:92)
+1 +1
(cid:289)(cid:356) >0(cid:33)𝑑(cid:53)(cid:150) (cid:33)𝑎(cid:54)𝑚(cid:184) (cid:92)𝑎(cid:242)𝑚 A(cid:253)(cid:266)(cid:140) 𝑎𝑚 𝑎𝑚
(cid:64)(cid:120)𝑎B 𝑛(cid:92)(cid:183) <0(cid:92)𝑛(cid:176)A(cid:49)𝑚(cid:154)(cid:92) >0, <0(cid:92)
+1
(cid:242)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)𝑑 (cid:51) (cid:49)(cid:164)(cid:115)(cid:253)(cid:13)(cid:49)𝑎(cid:92)𝑚(cid:114) 𝑎+𝑚1(cid:49)(cid:161)(cid:164)(cid:115)(cid:254)(cid:13)(cid:49)(cid:92)
(cid:242)(cid:201)(cid:180) 𝑎𝑛(cid:115) (cid:33)𝑚(cid:53)(cid:150)(cid:54)(cid:92)(cid:242)B(cid:327)(cid:328)(cid:140)𝑚
(cid:64)(cid:120)C(cid:92)𝑆𝑚(cid:176)(𝑆3 𝑛 2 + 2 2 + 2 ) =3( 2 2)+( 2 2 )
+1 +2 +1 +2
=3( + 𝑎𝑚)( 𝑎𝑚−1))−+(3(𝑎𝑚 𝑎+𝑚 )( 𝑎𝑚 −𝑎𝑚)(cid:92) 𝑎𝑚−1−𝑎𝑚
+1 +1 +2 +2
(cid:200) 𝑎+𝑚 𝑎=𝑚0(cid:92)𝑎𝑚 −𝑎+𝑚 𝑎=𝑚−1 𝑎𝑚+ 𝑎𝑚+−1−=𝑎𝑚 + =0(cid:92)
+1 +2 +1 +1
(cid:289)(cid:319)𝑎𝑚(cid:50)(cid:33)𝑎𝑚(cid:54)(cid:184)0(cid:92)(cid:242)𝑎3 𝑚−21 +𝑎2𝑚 =𝑎2𝑚−𝑑+3𝑎2𝑚 (cid:92)(cid:289)𝑑 C𝑎(cid:253)𝑚(cid:266)(cid:140)𝑎𝑚
+2 +1
(cid:64)(cid:120)D(cid:92)(cid:176)( 2 + 𝑎2𝑚 𝑎𝑚2 +𝑎𝑚−21) =𝑎(𝑚2 2)+( 2 2 )
+1 +2 +1 +2
=( + 𝑎𝑚)( 𝑎𝑚 ))−+(𝑎(𝑚−1 +𝑎𝑚 )(𝑎𝑚 −𝑎𝑚 )(cid:92)𝑎𝑚 −𝑎𝑚−1
+1 +1 +2 +2
(cid:176)C𝑎𝑚(cid:81)(cid:82)(cid:154)𝑎(cid:92)𝑚 𝑎𝑚+ −𝑎𝑚=0(cid:211)𝑎𝑚 +𝑎𝑚−1 =𝑎𝑚0(cid:92)−𝑎𝑚−1
+1 +2
(cid:289)(cid:319)(cid:50)(cid:33)(cid:54)(cid:293)(cid:184)𝑎𝑚 0(cid:92)𝑎(cid:242)𝑚 2 + 𝑎2𝑚 = −1 2 𝑎𝑚 + 2 (cid:92)(cid:289)D(cid:253)(cid:266).
+1 +2
(cid:289)(cid:20)(cid:10)ACD. 𝑎𝑚−1 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚
11(cid:156)(cid:112)2024·(cid:143)(cid:545)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:207){ }(cid:115)(cid:475)(cid:49)(cid:184)(cid:253)(cid:33)(cid:202)(cid:503)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:183)(cid:64)(cid:120) *(cid:92) 2 2= (cid:112)d(cid:10)(cid:184)(cid:330)(cid:261)(cid:121)
+1
𝑎𝑛 ∀𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 −𝑎𝑛 𝑑(cid:13)(cid:113)(cid:92)(cid:181)(cid:478)(cid:13)(cid:32){ }(cid:184)(cid:30)(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:156)(cid:166)(cid:167)(cid:112) (cid:113)
A(cid:156)(cid:183){ }(cid:115)(cid:30)𝑎𝑛(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181) 2 (cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)
n
B(cid:156)(cid:13)(cid:32)𝑎𝑛{2n}(cid:184)(cid:30)(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32) 𝑎
C(cid:156)(cid:183){ }(cid:115)(cid:30)(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:276)(cid:95)(cid:272)(cid:120)1(cid:33)(cid:49)
+1
D(cid:156)(cid:183){ 𝑎𝑛 }(cid:115)(cid:30)(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181)(cid:276)(cid:95)(cid:253)𝑎𝑛 (cid:325)(cid:13)−𝑎 n 𝑛 (cid:92)(cid:356)(cid:245) 1 >2024
𝑛=1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216) 𝑎 (cid:28) 𝑛 (cid:64)(cid:120)B(cid:10)(cid:228)(cid:244)(cid:40)(cid:70)(cid:80)(cid:38)(cid:242)(cid:179)(cid:39)(cid:315)(cid:140)(cid:294)(cid:295)(cid:21)(cid:86)𝑖(cid:236)𝑎(cid:142) 𝑖 (cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:81)(cid:82)(cid:39)(cid:315)A(cid:140)(cid:264)(cid:265)(cid:21)(cid:549)(cid:311)(cid:312)(cid:92)
(cid:264)(cid:265)(cid:550)(cid:551)(cid:243)(cid:30)(cid:50)(cid:255)(cid:229)(cid:184)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:333)(cid:236)(cid:142)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:106)(cid:13)(cid:44)(cid:45)(cid:81)(cid:82)(cid:39)(cid:315)C(cid:140)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:243) 1(cid:174)(cid:175)(cid:145)(cid:127)(cid:333)(cid:92)(cid:356)(cid:27)(cid:550)(cid:551)
𝑛=1
(cid:273)(cid:274)(cid:92)(cid:48)(cid:263)(cid:550)(cid:551)(cid:235)(cid:236)(cid:142)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:77)(cid:52)(cid:131)(cid:174)(cid:175)(cid:145)(cid:41) 1(cid:69)(cid:3)(cid:204)(cid:30)(cid:50)(cid:242)(cid:179)(cid:39)(cid:315) 𝑖 D.
𝑎𝑖
𝑛=1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:64)(cid:120)(cid:20)(cid:49)B(cid:10)(cid:183) =2 (cid:180)(cid:92)(cid:181) 2=2 (cid:92)𝑖 2𝑎𝑖 =2 +2(cid:92)
+1
𝑛 2𝑛 2𝑛
(cid:181) 2 2=2 +2 2 =3×𝑎2𝑛 (cid:204)(cid:184)(cid:40)(cid:54)(cid:92)𝑎𝑛 𝑎𝑛
+1
2𝑛 2𝑛 2𝑛
(cid:196)𝑎(cid:131)𝑛(cid:13)(cid:32)−𝑎{𝑛2n}(cid:204)(cid:115)(cid:30)−(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:289)B(cid:327)(cid:328)(cid:140)
(cid:64)(cid:120)(cid:20)(cid:49)ACD(cid:10)(cid:183){ }(cid:115)(cid:30)(cid:223)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:181) 2 2= (cid:184)(cid:121)(cid:13)(cid:92)
+1
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32) 2 (cid:115)(cid:131) 2𝑎(cid:184)𝑛(cid:185)(cid:49)(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)d(cid:33)(cid:30)𝑎𝑛(cid:31)(cid:13)−(cid:32)𝑎𝑛(cid:92)(cid:289)𝑑 A(cid:253)(cid:266)(cid:140)
1
(cid:179)(cid:245) 2= 𝑎2𝑛+( 𝑎 ) (cid:92)
1
(cid:192) <𝑎𝑛0(cid:180)𝑎(cid:92)(cid:181)(cid:275)𝑛(cid:276)−1(cid:95)𝑑(cid:253)(cid:325)(cid:13) (cid:92)(cid:356) 2+( ) <0(cid:92)
1
(cid:41)𝑑 >0(cid:509)(cid:510)(cid:92)(cid:289) >0(cid:66)(cid:67)(cid:68)𝑛(cid:92) 2𝑎 2𝑛=−1 𝑑>0(cid:92)
+1
(cid:69)𝑎𝑛2= 2+( )𝑑 >( ) (cid:92)𝑎𝑛2 −=𝑎𝑛2+𝑑 > (cid:92)
1 +1 1
(cid:242) 𝑎𝑛 > 𝑎 ( 𝑛 ) −1(cid:92) 𝑑 𝑛 > −1 𝑑 (cid:92) 𝑎 (cid:69) 𝑛 𝑎 + 𝑛 > 𝑑 ( 𝑛𝑑 ) + =( + ) (cid:92)
+1 +1
𝑎𝑛
𝑛−1 𝑑
𝑎𝑛
𝑛𝑑
𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝑛−1 𝑑 𝑛𝑑 𝑛 𝑛−1 𝑑
(cid:181) = = < = (cid:92)
+1 +1𝑑 ( 𝑑 ) 𝑑
(cid:176) 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 −𝑎 (cid:552) 𝑛 (cid:33) 𝑎 (cid:194) 𝑛 (cid:150) +𝑎 (cid:231) 𝑛 (cid:194)(cid:150) 𝑛+ (cid:92) 𝑛−1 𝑑 𝑛+ 𝑛−1
𝑛 𝑛−1 𝑛
(cid:289)(cid:275)(cid:276)(cid:95)(cid:253)(cid:325)(cid:13) (cid:356) <1(cid:92)(cid:242)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:276)(cid:95)(cid:272)(cid:120)1(cid:33)(cid:49)(cid:92)(cid:289)C(cid:253)(cid:266)(cid:140)
𝑑
𝑛 𝑛+ 𝑛−1 𝑏𝑛
(cid:176) 2= 2+( ) (cid:92)(cid:289) = 2+( ) (cid:92)
1 1
𝑎 1 𝑛 𝑎 1 𝑛−1 𝑑 𝑎𝑛 2𝑎 𝑛−1 𝑑 2
(cid:181) = = >
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( )
1 1 1 1 1
𝑎𝑛 𝑎 + 𝑛−1 𝑑 𝑎 + 𝑛−1 𝑑+ 𝑎 + 𝑛−1 𝑑 𝑎 +𝑛𝑑+ 𝑎 + 𝑛−1 𝑑
2 2+ 2+( )
= 1 1
2+ + 2+( ) 2+ 2+( )
1 1 𝑎 𝑛𝑑− 𝑎 1 𝑛−1 𝑑 1
𝑎 𝑛𝑑 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑎 𝑛𝑑− 𝑎 𝑛−1 𝑑
=2 2 1 2 1 ( ) (cid:92)
𝑎 +𝑛𝑑− 𝑎 + 𝑛−1 𝑑
𝑑(cid:179)(cid:245)
1 > 2 2+ 2+ 2+ 2+ + + 2+ 2+( ) = 2 2+ (cid:92)
1 1 1 1 1 1 1 1
𝑛=1
𝑖 𝑎𝑖 𝑑 𝑎 𝑑− 𝑎 𝑎 2𝑑− 𝑎 𝑑 ⋅ 2 ⋅⋅ 𝑎 𝑛𝑑− 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑑 𝑎 𝑛𝑑−𝑎
(cid:176) 2+ (cid:552)n(cid:33)(cid:194)(cid:150)(cid:231)(cid:194)(cid:150)(cid:92)(cid:211) + (cid:180)(cid:92) 2+ + (cid:92)
1 1 1 1
𝑎 𝑛𝑑−𝑎 𝑛→ ∞ 𝑑 𝑎 𝑛𝑑−𝑎 → ∞
2
(cid:289)(cid:64)(cid:238)(cid:86)(cid:33) >0(cid:92)(cid:275)(cid:276)(cid:95)(cid:253)(cid:325)(cid:13)n(cid:356) 2+ >2024(cid:92)
1 1
𝑑 𝑑 𝑎 𝑛𝑑−𝑎
(cid:242)(cid:275)(cid:276)(cid:95)(cid:253)(cid:325)(cid:13)n(cid:92)(cid:356)(cid:245) 1 >2024(cid:92)D(cid:253)(cid:266)(cid:140)
𝑛=
(cid:289)(cid:20)(cid:10)ACD(cid:156) 𝑖
𝑘𝑎𝑖
(cid:177)(cid:71)(cid:133)(cid:134)(cid:21)
12(cid:156)(cid:112)2024·(cid:108)(cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:95)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:65)(cid:92) + + =9(cid:92) =9(cid:92)(cid:181)(cid:74)(cid:7)(cid:31) = 2 .
1 3 5 6
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:251)(cid:21)(cid:86)(cid:32)(cid:145)(cid:30)(cid:50)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:7)𝑎𝑛(cid:31). 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176) + + =9(cid:92)(cid:245)3 =9(cid:92)(cid:289) =3(cid:92)
1 3 5 3 3
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
(cid:196)(cid:131) = 6 3= =2.
3
𝑎 −𝑎 9−3
𝑑 6−3
(cid:289)(cid:146)(cid:343)(cid:184)(cid:10)2.
13(cid:156)(cid:112)2024·(cid:278)(cid:279)(cid:553)(cid:554)·(cid:177)(cid:282)(cid:113) R)(cid:174)(cid:175)(cid:204)(cid:272)(cid:120)x(cid:33)(cid:53)(cid:272)(cid:325)(cid:13)(cid:92)(cid:277)(cid:158) 2 =2(cid:92) 3 = (cid:156)(cid:233)(cid:154)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)
2
{ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)(cid:211) =⌈𝑥⌉( (cid:92) 𝑥∈ + = (cid:156)(cid:304) = (cid:92)(cid:181)(cid:13)(cid:32){⌈ ⌉}(cid:33)(cid:51)1 − 0(cid:49)(cid:33)(cid:52) −1 (cid:184) (cid:156)
7 4 6
⌈ ⌉
(cid:22)𝑎𝑛(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:314)(cid:77)𝑆(cid:145)𝑛(cid:13)(cid:32)𝑆{ }(cid:33)−7(cid:48)(cid:49)𝑎(cid:7)(cid:50)𝑎(cid:92)(cid:302)−(cid:77)3(cid:13)(cid:32){𝑏𝑛 }(cid:33)⌈𝑎(cid:51)𝑛⌉10(cid:49)(cid:33)(cid:52).𝑏𝑛 −15
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:176) = (cid:92)𝑎(cid:179)𝑛(cid:245)7 = (cid:92)(cid:83)(cid:245) = 𝑏𝑛(cid:92)
7 4 4
𝑆 −7 𝑎 −7 3 𝑎 −1
(cid:296) + = (cid:92)(cid:245)2 = (cid:92)(cid:83)(cid:245) = (cid:92)
4 6 5 5 2
𝑎 𝑎 −3 𝑎 −3 𝑎 −
1 1
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) = (cid:92) = (cid:92)
2 2
(cid:296) =[ 𝑎 ](cid:92) 𝑛 𝑑 − ∴𝑎𝑛 1− 𝑛
𝑏𝑛
=
𝑎1 𝑛
=1(cid:92)(cid:165)(cid:15) = =0(cid:92) = = (cid:92) = = (cid:92) = = (cid:92) = (cid:92)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
∴𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 −1 𝑏 𝑏 −2 𝑏 𝑏 −3 𝑏 −4
(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)10(cid:49)(cid:33)(cid:52)(cid:184)1+0+0+( )+( )+( )+( )+( )+( )+( )= .
(cid:289)(cid:146)(cid:343)(cid:184)(cid:10)𝑏𝑛 . −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −15
−15 为奇数
14(cid:156)(cid:112)2024·(cid:278)(cid:337)(cid:555)(cid:501)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92) = (cid:92)(cid:304) (cid:92) (cid:81)(cid:370)(cid:184){ }(cid:92)
2 + 为偶数
𝑎𝑛−8,𝑛
{ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:183) =18(cid:92) =10(cid:92)(cid:181)
𝑎𝑛
= 370 (cid:156)
𝑏𝑛
𝑎𝑛 1,𝑛
𝑆𝑛 𝑇𝑛 𝑎𝑛
3 2 20
(cid:22)𝑏𝑛(cid:83)(cid:21)(cid:215)𝑛(cid:216)(cid:28)(cid:294)(cid:295)(cid:233)𝑆(cid:154)(cid:311)(cid:312)(cid:245)𝑇(cid:226)(cid:3)(cid:120) (cid:71)𝑇(cid:33)(cid:260)(cid:105)(cid:104)(cid:187)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:92)(cid:83)(cid:223)(cid:224)(cid:178)(cid:92)(cid:77)(cid:145) (cid:71) (cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:145)(cid:13)(cid:32){ }
1 1
(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92) = +4(cid:92)(cid:176)(cid:201)(cid:179)(cid:245)(cid:13)𝑎(cid:32){𝑑 }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:81)(cid:178)(cid:77)(cid:52)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83). 𝑎 𝑑 𝑎𝑛
𝑎𝑛 𝑛 𝑏𝑛(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:207)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184) (cid:156)(cid:176) =18(cid:92)(cid:245) + + = + + + + =3 + =18
3 1 2 3 1 1 1 1
(cid:92) 𝑎𝑛 𝑑 𝑆 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑑 𝑎 2𝑑 𝑎 3𝑑
(cid:176)① =10(cid:245) +2 +1= +2( + )+1=10, 3 + =17 (cid:92)
2 1 2 1 1 1
(cid:534)(cid:68) 𝑇 (cid:92) 𝑎3− 1 8+ 𝑎=18 (cid:92) 𝑎 (cid:83) − (cid:245) 8 = 𝑎 = 𝑑 1(cid:92) ∴ 𝑎 2𝑑 ②
3 + =17 1
1
𝑎 3𝑑
(cid:196)(cid:131)①② = +𝑎( 2)𝑑=5+ 𝑎 ×1= 5,𝑑 +4(cid:156)
1
𝑎𝑛 𝑎 为𝑛−奇1数𝑑 (𝑛−1) 𝑛
(cid:181) = (cid:92)
+ 为偶数
𝑛−4,𝑛
𝑏𝑛
(cid:196)(cid:131) 2=𝑛( 9+.𝑛 + + )+ ( + + + ) = +1+ +15)+(13+17+ +49)
20 1 3 19 2 4 20
𝑇15 𝑏 1𝑏3 49⋯ 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 (−3−1 ⋯ ⋯
= ×10+ ×10=370(cid:156)
2 2
−3+ +
(cid:289)(cid:146)(cid:343)(cid:184)(cid:10)370.
(cid:357)(cid:71)(cid:83)(cid:146)(cid:21)
1
15(cid:156)(cid:112)2024·(cid:341)(cid:337)(cid:443)(cid:65)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92) = (cid:92)(cid:211)(cid:192) 2( N )(cid:180)(cid:92)2 =
1 2
∗
(cid:92) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑎 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑆𝑛⋅𝑆𝑛−1 −
𝑎 (1 𝑛 )(cid:42)(cid:43)(cid:10)(cid:13)(cid:32) 1 (cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140)
𝑆𝑛
(2)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) = (cid:92)(cid:77) + (cid:33)(cid:54).
1 101
𝑎+𝑛1
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑏 𝑏
1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176)(cid:21)(cid:86)(cid:179)(cid:245)2 = (cid:92)(cid:214)(cid:556)(cid:165)(cid:180)(cid:439)(cid:131) (cid:112) 0(cid:113)(cid:92)(cid:245) =2(cid:92)(cid:123)
+1 +1 +1
+1
𝑆𝑛⋅𝑆𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛 𝑆𝑛⋅𝑆𝑛 𝑆𝑛≠ 𝑆𝑛 −𝑆𝑛
(cid:231)(cid:245)(cid:42)(cid:140)
1
(cid:112)2(cid:113)(cid:249)(cid:27)(cid:112)1(cid:113)(cid:65)(cid:236)(cid:60)(cid:77)(cid:245) (cid:92)(cid:302)(cid:81)(cid:270)(cid:59)(cid:60) =1(cid:41) 2(cid:214)(cid:339)(cid:72)(cid:126)(cid:92)(cid:77)(cid:245) (cid:41) = ( 2)(cid:92)(cid:123)(cid:231)(cid:245)(cid:83).
1
𝑛+
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184)2 𝑆𝑛 = ( 𝑛 2)(cid:92)(cid:196) 𝑛 (cid:131) ≥ 2 = 𝑏 (cid:92)(cid:181) 𝑏 2 𝑛 𝑛−1 𝑛≥= (cid:92)
+1 +1 +1 +1
(cid:200)(cid:184) = =
1
0(cid:92)(cid:139)(cid:154)
𝑆𝑛⋅𝑆𝑛
0
−
(cid:92)
1
(cid:196)
−
(cid:131)
𝑎𝑛 𝑛≥+1= 1 1 𝑆
=
𝑛
2(cid:92)
⋅𝑆𝑛 −𝑎𝑛 𝑆𝑛⋅𝑆𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛
1 1 2 𝑆𝑛−𝑆𝑛+1 +1
(cid:296) 1 = 𝑆 1 = 𝑎 2(cid:92)(cid:196) ≠ (cid:131)(cid:13)(cid:32) 1 𝑆 (cid:115) 𝑛≠ (cid:185)(cid:49)(cid:41)(cid:7)(cid:31) 𝑆𝑛 (cid:164) ⋅𝑆𝑛 (cid:184)2(cid:33) 𝑆𝑛 (cid:30) − (cid:31) 𝑆𝑛 (cid:13)(cid:32)(cid:140)
1 1
𝑆 𝑎
1
𝑆𝑛
1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:245) =2+2( )= (cid:92)(cid:181) = (cid:92)
𝑆𝑛 𝑛−11 2𝑛 𝑆𝑛 2𝑛
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = 1= 1 = 2 = (cid:140)
1 1 1
𝑎2 2𝑎 1
4 2
𝑛 𝑏 𝑎 𝑆 −𝑆 1 − 1 −2 1 1
(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = = (cid:92)
2( ) 2 ( )
𝑛≥ 1𝑎𝑛1 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 2𝑛− 𝑛−1 − ⋅𝑛⋅ 𝑛−1
(cid:196)(cid:131) = 2 ( )= 1 (cid:92)
1 1
−2⋅𝑛( 𝑛−1)1 𝑛+
𝑏𝑛 − ⋅ 𝑛+ 𝑛 𝑛−1101 1 49
(cid:196)(cid:131) + = + = .
1 101 50
+
𝑏 𝑏 −2 101−1 −
3 1
16(cid:156)(cid:112)2024·(cid:357)(cid:358)·(cid:282)(cid:283)(cid:284)(cid:285)(cid:113)(cid:233)(cid:154)(cid:13)(cid:32){ }(cid:286)(cid:287) = (cid:92) + =2(cid:156)
1 2 +1
𝑎𝑛 𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛
(1)(cid:42)(cid:43)(cid:13)(cid:32) 1 (cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:89)(cid:77){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
(2)(cid:183)(cid:13)(cid:32){ } 𝑎(cid:286) 𝑛−1(cid:287)(cid:92) =( )( 𝑎𝑛 )(cid:92)(cid:77){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52) (cid:156)
+1
𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 −1 𝑏𝑛 1 𝑆𝑛 1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295)(cid:13)(cid:32)(cid:193)(cid:340)(cid:7)(cid:50)(cid:269)(cid:349)(cid:142)(cid:15)(cid:227)(cid:135)(cid:245)(cid:145) =1(cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:179)(cid:39)(cid:315)(cid:89)(cid:77)
+1
𝑎𝑛 −1−𝑎𝑛−1
(cid:245)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140)
1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:251)(cid:21)(cid:77)(cid:245) = (cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:334)(cid:49)(cid:102)(cid:335)(cid:235)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:245) .
1 2
𝑏𝑛 𝑛+ −𝑛+ 𝑆𝑛
3 1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:176) = (cid:92) + =2(cid:179)(cid:245) = = (cid:92)
1 2 +1 +1
𝑎𝑛−1
𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛 −1 1−𝑎𝑛 𝑎𝑛
1 1 1 1
(cid:242) = =1+ (cid:92)(cid:242) =1(cid:92)
+1 𝑎𝑛 +1
(cid:289)(cid:13)
𝑎𝑛
(cid:32)
−1
1
𝑎𝑛−
(cid:115)
1
(cid:30)(cid:31)(cid:13)
𝑎
(cid:32)
𝑛−
(cid:92)
1
(cid:74)(cid:185)
𝑎𝑛
(cid:49)(cid:184)
−1−1𝑎𝑛−
=
1
2(cid:92)(cid:7)(cid:31)(cid:184)1(cid:92)
1
1
𝑎𝑛−1 𝑎 −1
2
(cid:181) =2+ ×1= +1(cid:92)(cid:83)(cid:245) = (cid:140)
1
𝑛+
𝑎𝑛−1 (𝑛−1) 𝑛 𝑎𝑛 𝑛+
2 3 1 1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176) =( )( )(cid:179)(cid:245) =( = = (cid:92)
+1 1 2 2) 1 2
𝑛+ 𝑛+
𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 −1 𝑏𝑛 𝑛+ −1)(𝑛+ −1) (𝑛+1)(𝑛+ 𝑛+ −𝑛+
1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:181) = + + + =( )+( )+ +( ) = = .
1 2 2 3 3 4 1 2 2 2 4
𝑛
17
𝑆
(cid:156)
𝑛
(cid:112)2
𝑏
024·(cid:306)
𝑏
(cid:393)
⋯
·(cid:282)(cid:283)
𝑏
(cid:284)
𝑛
(cid:285)(cid:113)(cid:233)
−
(cid:154)(cid:7)(cid:31)
−
(cid:204)(cid:184)0
⋯
(cid:33)(cid:30)(cid:31)
𝑛+
(cid:13)
−
(cid:32)
𝑛+
{ }(cid:286)(cid:287)
−𝑛+2= 2𝑛+
(cid:92)(cid:211) = .
3 1 13 2 3 5 4 1
(1)(cid:77){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 −𝑎
𝑎𝑛 1 1 1 1
(2)(cid:304) (cid:115)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:92)(cid:42)(cid:43): + + +...+ <2.
1 2 3
(cid:22)(cid:83)(cid:21) 𝑆𝑛 (cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)𝑎 1 𝑛 (cid:113)(cid:207) 𝑛 = + (cid:92)(cid:302) 𝑆 (cid:27)(cid:233) 𝑆 (cid:154)(cid:311) 𝑆 (cid:312)(cid:32)(cid:145)(cid:214) 𝑆𝑛 (cid:160)(cid:223)(cid:224)(cid:89)(cid:83)(cid:145)(cid:74)(cid:65)(cid:33)(cid:464)(cid:13)(cid:140)
(cid:112)2(cid:113)(cid:523)(cid:368)(cid:77)(cid:145) = 2𝑎(cid:92)𝑛(cid:302)(cid:27)𝑑𝑛(cid:334)(cid:49)𝐶(cid:235)(cid:242)(cid:179).
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)𝑆1 𝑛(cid:113)(cid:207)𝑛 = + (cid:92)(cid:181)(cid:176)(cid:233)(cid:154)(cid:69)( + )2=( + )( + )(cid:92)( + )( + ) ( + )
= . 𝑎𝑛 𝑑𝑛 𝐶 3𝑑 𝐶 𝑑 𝐶 13𝑑 𝐶 2𝑑 𝐶 3𝑑 𝐶 − 5𝑑 𝐶
3𝑑
(cid:243)(cid:114)(cid:104)(cid:160)(cid:30)(cid:50)(cid:557)(cid:462)(cid:16)(cid:55)(cid:179)(cid:245) 2+ =0(cid:92)(cid:289)(cid:176) 0(cid:154) = .
2
𝑑
𝑑 2𝑑𝐶 𝑑≠ 𝐶 −
(cid:302)(cid:228)(cid:244)(cid:114)(cid:260)(cid:160)(cid:30)(cid:50)(cid:179)(cid:245) = (cid:92)(cid:83)(cid:245) =2(cid:92)(cid:123)(cid:231) = = .
2 2 2 2
3𝑑 5𝑑 9𝑑 𝑑
⋅ − 3𝑑 𝑑 𝐶 − −1
(cid:289){ }(cid:33)(cid:48)(cid:49)(cid:7)(cid:50)(cid:115) = .
(cid:112)2 𝑎 (cid:113) 𝑛 (cid:176)(cid:120) = ( 1 𝑎) 𝑛 = 2(1𝑛−1 ) = 2(cid:92)
2 2
𝑎 +𝑎𝑛 𝑛 +2𝑛−1 𝑛
𝑆𝑛 𝑛1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:289) + + +...+ = + + +...+ < + + +...+
1 2 3 12 22 32 2 12 12 23 ( )
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆𝑛 𝑛 ⋅ ⋅ 𝑛−1 ⋅𝑛
1 1 1 1 1 1
=1+ + +...+ = <2.
2 2 3
18(cid:156)(cid:112) 1 2 − 024·(cid:108) − (cid:109)·(cid:282)(cid:283)(cid:284) 𝑛 (cid:285) −1 (cid:113) −𝑛 (cid:13)(cid:32) 2 { −𝑛 }(cid:33)(cid:51) (cid:49)(cid:52)(cid:184) (cid:92)2 2 + =0( 2, N )(cid:92)(cid:211) =1.
1
∗
(1)(cid:42)(cid:43)(cid:10) 1 (cid:184)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:140) 𝑎𝑛 𝑛 𝑆𝑛 𝑆𝑛−2𝑎𝑛𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑛≥ 𝑛∈ 𝑎
𝑆𝑛
(2)(cid:64)(cid:120)(cid:238)(cid:86) *(cid:92)(cid:204)(cid:30)(cid:50)2 + <0(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:92)(cid:77)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268).
+1
𝑛 𝜆
𝑛∈𝑁 𝑎𝑛 2𝑛−1 𝜆
1 1
(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295) = (cid:242)(cid:179)(cid:228)(cid:244)(cid:16)(cid:55)(cid:245) =2(cid:92)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:92)
𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
(cid:112)2(cid:113)(cid:294)(cid:295) (cid:179)(cid:245) (cid:33)(cid:174)(cid:423)(cid:50)(cid:92)(cid:269)(cid:231)(cid:243)(cid:61)(cid:21)(cid:255)(cid:16)(cid:184) < 2 +1 (cid:92)(cid:346)(cid:493) = 2 +1 (cid:92)(cid:249)(cid:27)(cid:230)(cid:31)(cid:235)(cid:266)(cid:40)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:56)(cid:186)(cid:44)(cid:92)
𝑛 1 𝑛 1
(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83)(cid:53) 𝑆 (cid:54) 𝑛 (cid:245)(cid:83) 𝑎 . 𝑛 𝜆 2𝑛+ 𝑐𝑛 2𝑛+
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:192) *(cid:180)(cid:92) = (cid:92)(cid:181)2 2 ( )+ =0(cid:92)
(cid:16)(cid:55)(cid:245) =2 𝑛≥2(cid:92),𝑛(cid:296)∈𝑁 0(cid:92)𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑆𝑛−2𝑆𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1
1 𝑆𝑛−11−𝑆𝑛 𝑆1𝑛𝑆𝑛−11 𝑆𝑛≠
(cid:196)(cid:131) =2(cid:92)(cid:296) = =1(cid:92)
1 1
𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 𝑆 𝑎
(cid:196)(cid:131) 1 (cid:115)(cid:131)1(cid:184)(cid:185)(cid:49)(cid:92)2(cid:184)(cid:7)(cid:31)(cid:33)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32).
𝑆𝑛
1 1
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:112)1(cid:113)(cid:245) =1+( )×2= (cid:92)(cid:181) = (cid:92)
𝑆𝑛=1, 𝑛−1 2𝑛−1 𝑆𝑛 2𝑛−1
(cid:289) = 1 1
2.
1,𝑛
𝑎𝑛
(cid:181)
=2𝑛−11−2𝑛1−3,
=
𝑛≥ 2
(cid:92)
+1 1 ( 1)( )
𝑎𝑛 2𝑛+ −2𝑛−1 − 2𝑛+ 2𝑛−1
(cid:176)2 + <0(cid:92)(cid:245) 2 +1 + <0(cid:92)(cid:181) < 2 +1 (cid:92)
+1 ( 1𝑛)( ) 𝑛 1
𝑛 𝜆 𝜆
𝑎𝑛 2𝑛−1 − 2𝑛+ 2𝑛−1 2𝑛−1 𝜆 2𝑛+
(cid:317) = 2 +1 (cid:92)
𝑛 1
𝑐𝑛 2𝑛+
(cid:181) = 2 +2 2 +1 = 2 +1( ) >0(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:13)(cid:32){ }(cid:56)(cid:186)(cid:193)(cid:194)(cid:92)
+1 𝑛 3 𝑛 1 ( 𝑛 1)( 3)
2𝑛−1
𝑐𝑛 −𝑐𝑛 2𝑛+ −2𝑛+ 2𝑛+ 2𝑛+ 𝑐𝑛
(cid:296) = 4 (cid:92)(cid:289) < 4 (cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:490)(cid:13) (cid:33)(cid:351)(cid:54)(cid:267)(cid:268)(cid:115) , 4 .
1 3 3 3
19 𝑐 (cid:156)(cid:112)2024·(cid:278) 𝜆 (cid:337)(cid:393)(cid:558)·(cid:177)(cid:282)(cid:113) 𝜆 (cid:355)(cid:40)(cid:13)(cid:32){ }(cid:92)(cid:183)−∞(cid:64)(cid:238)(cid:86)m(cid:92) *(cid:211) (cid:92) + (cid:115){ }(cid:65)(cid:33)(cid:49)(cid:92)(cid:181)(cid:478){
}(cid:184)“H(cid:13)(cid:32)”(cid:156)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:51)n(cid:49)(cid:52)(cid:184)𝐴𝑛. 𝑛∈𝑁 𝑚≠𝑛 𝐴𝑚 𝐴𝑛 𝐴𝑛 𝐴𝑛
(1)(cid:183) = 2+ (cid:92)(cid:507)(cid:39)𝑎(cid:315)𝑛(cid:13)(cid:32){ }(cid:115)(cid:481)(cid:184)𝑆𝑛 “H(cid:13)(cid:32)”(cid:92)(cid:89)(cid:484)(cid:43)(cid:15)(cid:176)(cid:140)
(2)(cid:207)𝑆{𝑛 }(cid:313)𝑛(cid:115)(cid:30)𝑛(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:296)(cid:115)“H𝑎(cid:13)𝑛(cid:32)”(cid:92)(cid:211) =6(cid:92) N (cid:92) >6(cid:92)(cid:77)(cid:7)(cid:31)d(cid:33)(cid:196)(cid:69)(cid:179)(cid:94)(cid:54)(cid:140)
1 2 2
∗
(3)(cid:207){𝑎𝑛}(cid:115)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:92)(cid:211)(cid:64)(cid:238)(cid:86) *(cid:92)𝑎(cid:115){ }(cid:65)𝑎 (cid:33)∈(cid:49)(cid:92)(cid:77)𝑎(cid:42)(cid:10){ }(cid:115)“H(cid:13)(cid:32)”(cid:156)
𝑎𝑛 𝑛∈𝑁 𝑆𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛(cid:22)(cid:83)(cid:21)(cid:215)(cid:216)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:294)(cid:295)“H(cid:13)(cid:32)”(cid:40)(cid:70)(cid:39)(cid:315)(cid:242)(cid:179).
(cid:112)2(cid:113)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:52)“H(cid:13)(cid:32)”(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:245)(cid:226)(cid:7)(cid:31) (cid:33)(cid:30)(cid:50)(cid:3)(cid:93)(cid:242)(cid:179)(cid:77)(cid:83).
(cid:112)3(cid:113)(cid:176)(cid:30)(cid:31)(cid:13)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:70)(cid:41)(cid:77)(cid:52)(cid:7)(cid:50)(cid:92)(cid:269)(cid:349)(cid:81)𝑑(cid:72)(cid:126)(cid:59)(cid:60)(cid:92)(cid:242)(cid:179)(cid:42)(cid:43){ }(cid:115)“H(cid:13)(cid:32)”.
(cid:22)(cid:83)(cid:146)(cid:263)(cid:224)(cid:28)(cid:112)1(cid:113)(cid:200)(cid:184) = 2+ (cid:92)(cid:192) 2(cid:180)(cid:92) = = 𝑎𝑛(cid:92)
(cid:192) =1(cid:180)(cid:92) = =2(cid:293)𝑆𝑛(cid:67)(cid:68)𝑛(cid:92) 𝑛 𝑛≥ 𝑎𝑛 𝑆𝑛−𝑆𝑛−1 2𝑛
1 1
(cid:196)𝑛(cid:131) = 𝑎(cid:92) 𝑆
(cid:64)(cid:238)𝑎(cid:86)𝑛 m(cid:92)2𝑛 *(cid:211) (cid:92) + = + =2( + )= (cid:92)
+
{ }(cid:115)“H𝑛(cid:13)∈(cid:32)𝑁”. 𝑚≠𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛 2𝑚 2𝑛 𝑚 𝑛 𝑎𝑚 𝑛
(cid:112)∴2𝑎(cid:113)𝑛(cid:200)(cid:184) =6(cid:92) N (cid:92) >6(cid:92)
1 2 2
∗
(cid:196)(cid:131) N (cid:92)𝑎(cid:196)(cid:131) 𝑎=6∈+( 𝑎 ) (cid:92)
∗
(cid:176)(cid:233)𝑑(cid:154)∈(cid:245) + =𝑎𝑛6+( 𝑛−)1+𝑑6+( ) (cid:293)(cid:184)(cid:13)(cid:32)(cid:65)(cid:33)(cid:49)(cid:92)
(cid:317) + 𝑎𝑚= 𝑎( 𝑛 N )(cid:92)𝑚(cid:242)−61+𝑑( ) 𝑛+−16+𝑑( ) =6+( ) (cid:92)
∗
𝑎𝑚 𝑎6 𝑛 𝑎𝑘 𝑘∈ 𝑚−1 𝑑 𝑛−1 𝑑 𝑘−1 𝑑
(cid:196)(cid:131) = + + (cid:92)(cid:196)(cid:131)d(cid:184)6(cid:33)(cid:253)(cid:200)(cid:13)(cid:92)
(cid:289)d 𝑘 (cid:33)(cid:196)𝑑(cid:69)(cid:179) 𝑚 (cid:94)(cid:54) 𝑛− (cid:184) 1 1(cid:92)2(cid:92)3(cid:92)6.
(cid:112)3(cid:113)(cid:207)(cid:13)(cid:32){ }(cid:33)(cid:7)(cid:31)(cid:184)d(cid:92)(cid:196)(cid:131)(cid:276)(cid:95) *(cid:92)(cid:64)(cid:238)(cid:86) *(cid:92) = (cid:92)(cid:242) + ( ) = +( ) (cid:92)
1 2 1
𝑛 𝑛−1
(cid:192) =0(cid:180)(cid:92)(cid:181) 𝑎𝑛 =0(cid:92)(cid:289) =0(cid:92)(cid:201)(cid:180)(cid:13) 𝑘 (cid:32) ∈𝑁 (cid:184)“H(cid:13)(cid:32)”(cid:140) 𝑛∈𝑁 𝑆𝑛 𝑎𝑘 𝑛𝑎 𝑑 𝑎 𝑘−1 𝑑
1
(cid:192) 𝑑 0(cid:180)(cid:92) = 𝑎 ( ) 1+ 𝑎𝑘 ( ) +1(cid:92)(cid:351) =2(cid:92)(cid:181) = 1+2(cid:92)(cid:196)(cid:131) 1 (cid:92) 1 Z(cid:92)
2
𝑎 𝑛 𝑛−1 𝑎 𝑎 𝑎
𝑑≠ 𝑘 𝑛−1 𝑑 𝑛 𝑘 𝑑 𝑑 ≥−1 𝑑 ∈
(cid:192) 1= (cid:180)(cid:92) = ( ) +2(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:92)
2
𝑎 𝑛 𝑛−3
𝑑 −1 𝑘
(cid:192) 1 N(cid:180)(cid:92) =( ) 1+ ( ) +1(cid:379)(cid:184)(cid:253)(cid:325)(cid:13)(cid:92)(cid:472)(cid:142)(cid:21)(cid:86)(cid:92)
2
𝑎 𝑎 𝑛 𝑛−1
𝑑 ∈ 𝑘 𝑛−1 𝑑
(cid:196)(cid:131) 1 (cid:92) 1 Z(cid:92)
𝑎 𝑎
𝑑 ≥−1 𝑑 ∈
(cid:207) 1= (cid:92) (cid:92) Z(cid:92)(cid:242) = (cid:92)
1
𝑎
(cid:196)(cid:131)
𝑑
(cid:238)
𝑠
(cid:86)m
𝑠
(cid:92)
≥−1 *𝑠
(cid:211)
∈
(cid:92)
𝑎 𝑠
+
𝑑
= +( + + ) (cid:92)
(cid:502)(cid:240) + + 𝑛∈𝑁N(cid:92)𝑚(cid:196)≠(cid:131)𝑛 𝑎+𝑚 𝑎(cid:184)𝑛(cid:13)(cid:32)𝑠𝑑(cid:65)(cid:33)𝑠(cid:49)(cid:92)𝑚 𝑛−2 𝑑
{ 𝑠}(cid:115)𝑚“H(cid:13)𝑛(cid:32)−2”.∈ 𝑎𝑚 𝑎𝑛
∴ 𝑎𝑛