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1 第五讲 万有引力与航天 【知识框架】 【重难点知识回顾】 一、卫星的环绕 由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的万有引力充当卫星做圆周运动所需的向心力。 𝐺𝑀𝑚 𝑟2 = 𝑚𝑎= 𝑚𝑣2 𝑟= 𝑚𝜔2𝑟= 𝑚4𝜋2 𝑇2 𝑟 1. a、v、ω、T （1）卫星的加速度a = 𝐺𝑀 𝑟2 ，可知r 越大，a 越小 （2）卫星的线速度v = √ 𝐺𝑀 𝑟，可知r 越大，v 越小 （3）卫星的角速度ω = √ 𝐺𝑀 𝑟3 ，可知r 越大，w 越小 （4）卫星的周期T = 2π√𝑟3 𝐺𝑀，可知r 越大，T 越大 轨道半径r 一旦确定，a、v、ω、T 就确定了，与卫星的质量无关。在a、v、ω、T 这四个物理量中，只有T 随 r 增大而增大，其他三个物理量都随r 的增大而减小。 2 2.卫星相撞问题 同一轨道运行的卫星,有着共同的线速度，角速度，加速度和周期，在同一轨道上各自运动不会相撞。 同一轨道半径运行的卫星，虽然有着线速度，角速度，加速度和周期，但因为轨道的不用，而两个轨道有可能 存在交点，所以可能在轨道交点相撞 二、近地卫星与同步卫星 1.近地卫星 轨道在地球表面附近的卫星R≈r 轨道半径r 最小，线速度最大，周期最小 （1）最大环绕速度𝑣= √ 𝐺𝑀 𝑟≈7.9𝑘𝑚/𝑠 （2）最短周期𝑇= 2𝜋√𝑟3 𝐺𝑀= 84min 2.地球同步卫星 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合 高度一定 距离地心的距离一定，h=4.225 × 104𝑘𝑚；距离地面的高度为3.6× 104𝑘𝑚 环绕速度一定 v = 3.08km/s，环绕方向与地球自转方向相同 角速度一定 ω = 7.3 × 10−5𝑟𝑎𝑑/𝑠 周期一定 与地球自转周期相同，常取T=24h 向心加速度大小一定 a = 0.23m/𝑠2 3.近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转物体的比较 （1）轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，及𝑟同> 𝑟近= 𝑟物 （2）运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同，由T = 2π√𝑟3 𝐺𝑀可知，近地卫星的周期小于同步卫星的 周期，即𝑇近< 𝑇同= 𝑇物 （3）向心加速度：由G 𝑀𝑚 𝑟2 = 𝑚𝑎知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a = ω2𝑟= 4𝜋2 𝑇2 知，同步卫星 的加速度大于赤道上物体的加速度，即𝑎近> 𝑎同> 𝑎物 三、宇宙速度 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 这是卫星的最小发射速度。 若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物体绕地球运行 第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物体绕太阳运行 第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 若v≥16.7km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行 第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R0、g 必须与相应星球对应，不能套用地球 的参数
