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７ １８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
综合测试卷（一）
１２０分钟 １５０分
一、单项选择题（本题共８小题，每小题５ 分，共４０ 分．在 ｎ ｎ
（ －４）（ －５） 解得ｎ 舍负 ．
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） －４）＋ ×２＝１０８， ＝１２（ ）
２
１．（２０２１河南高三毕业班３月适应性测试，１）已知集合Ａ
＝｛
ｘ
｜１
故最下面三层的塔数之和为ａ １０＋ ａ １１＋ ａ １２＝３ ａ １１＝３×（５＋２×６）＝
＜ ｘ ＜４｝， Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ２ －２ ｘ －３≥０｝， 则Ａ ∪ Ｂ等于 （ ） ５１
．故选
Ｄ．
６．（２０２１天津河西一模，５）将长 宽分别为 和 的长方形ＡＢＣＤ
Ａ．（－１，１］ Ｂ．［３，４） 、 ４ ３
沿对角线ＡＣ折成直二面角 得到四面体Ａ ＢＣＤ 则四面体Ａ
Ｃ．（－∞，－１］∪（１，＋∞） Ｄ．（－∞，－１］∪［３，＋∞） ， － ， －
答案 Ｃ 集合Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ２ －２ ｘ －３≥０｝＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤－１ 或ｘ ≥３｝， ＢＣＤ的外接球的表面积为 （ ）
又因为Ａ ＝｛ ｘ ｜１＜ ｘ ＜４｝， 所以Ａ ∪ Ｂ ＝｛ ｘ ｜ ｘ ≤－１ 或ｘ ＞１｝， 故选 Ｃ ． Ａ．２５π Ｂ．５０π Ｃ．５π Ｄ．１０π
答案 Ａ 将长 宽分别为 和 的长方形ＡＢＣＤ沿对角线
２．（２０２１青海海东一模，２） 为虚数单位 复数ｚ １－２ｉ 的虚部为 、 ４ ３
ｉ ， ＝ （１＋ｉ） ２ ＡＣ折成直二面角 ， 得到四面体Ａ － ＢＣＤ ， 则四面体Ａ － ＢＣ ( Ｄ的 ) 外
２
（ ） 接球的半径为 １ ＡＣ ＝ ５ ， 所以所求球的表面积为 ４π× ５ ＝
２ ２ ２
Ａ． １ Ｂ．－ １ Ｃ． １ ｉ Ｄ．－ １ ｉ ．故选 ．
２ ２ ２ ２ ２５π Ａ { ｘ ｘ
答案 Ｂ ｚ １－２ｉ １－２ｉ （１－２ｉ）·ｉ １ 所以复数 ７．（２０２１浙江宁波二模，９）设ａ Ｒ 函数ｆ ｘ ｜ －１｜， ≥０，若
＝ （１＋ｉ） ２ ＝ ２ｉ ＝ ２ｉ ２ ＝－１－ ２ ｉ， ∈ ， （ ）＝ － ｘ２ ＋ ａｘ ， ｘ ＜０，
函数ｙ ｆ ｆ ｘ 恰有 个零点 则实数ａ的取值范围为
ｚ的虚部为 １ ．故选 ＝ ［ （ ）］ ３ ， （ ）
－ Ｂ． ． ．
２ Ａ（－２，０） Ｂ（０，１）
( ) ． ．
３．（２０２１ 四川南充二模，４）已知 π α α 则 Ｃ［－１，０） Ｄ（０，２）
ｃｏｓ ＋ ＝２ｃｏｓ（π－ ）， 答案 Ａ 若ａ 则ｆ ｘ 在ｘ 时无零点 在ｘ 时
２ ≥０， （ ）＝０ ＜０ ， ≥０
( ) 只有ｘ 这 个零点
π α ＝１ １ ，
ｔａｎ － ＝ （ ） 此时ｆ ｆ ｘ 等价于ｆ ｘ 所以ｘ 或ｘ
４ ［ （ ）］＝０ （ ）＝１， ＝０ ＝２，
即ｙ ｆ ｆ ｘ 只有 个零点 与题意不符．
１ １ ＝ ［ （ ）］ ２ ，
Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．－ Ｄ． 若ａ 则ｆ ｆ ｘ 等价于ｆ ｘ 或ｆ ｘ ａ．
( ) ３ ３ ＜０， ［ （ ）］＝０ （ ）＝１ （ ）＝
答案 Ｃ ∵ ｃｏｓ π ＋ α ＝２ｃｏｓ（π－ α ），∴ －ｓｉｎ α ＝－２ｃｏｓ α ， 显然ｆ （ ｘ ）＝ ａ恰在ｘ ＜０ 时有且仅有一个零点 ， 从而ｆ （ ｘ ）＝１ 有
２ 且仅有两个零点 且方程ｆ ｘ 在ｘ 时没有零点
， （ ）＝１ ＜０ ，
π α ( ａ )
( ) ｔａｎ －ｔａｎ α 因而ｆ 即ａ２ 解得 ａ ．
α 则 π α ４ １－ｔａｎ １－２ ＜１， ＜４， －２＜ ＜０
∴ ｔａｎ ＝２， ｔａｎ － ＝ ＝ α＝ ＝ ２
４ π α １＋ｔａｎ １＋２ 综上 ａ 选 ．
１＋ｔａｎ ·ｔａｎ ，－２＜ ＜０， Ａ
４ ８．（２０２１浙江稽阳联谊４月模考，１０）如图 已知
，
１ 故选 ． 圆柱ＯＯ Ａ 在圆 Ｏ 上 ＡＯ ＯＯ Ｐ Ｑ
－
３
， Ｃ １， ， ＝１， １＝ ２， ，
４．（２０２１江西八所重点中学４月联考，４）已知向量ａ ｂ
＝（３，４）， ＝ 在圆Ｏ 上 且满足ＰＱ ２ ３ 则直线ＡＯ 与平
ｘ 若ａ ａ ｂ 则ｘ １ ， ＝ ， １
（ ，－５）， ⊥（２ ＋ ）， ＝ （ ） ３
面ＯＰＱ所成角的正弦值的取值范围是
Ａ．０ Ｂ．－２ Ｃ．－１０ Ｄ．６ （ ）
答案 Ｃ 因为ａ ＝（３，４）， ｂ ＝（ ｘ ，－５）， 所以 ２ ａ ＋ ｂ ＝（６＋ ｘ ，３）， ． é êê ３＋ ６ ù úú ． é êê ６－３ ３＋ ６ ù úú
若ａ ａ ｂ 则 ｘ 故ｘ ．故选 ． Ａ ë０， û Ｂ ë ， û
⊥（２ ＋ ）， ３（６＋ ）＋１２＝０， ＝－１０ Ｃ ６ ６ ６
５．（２０２１河南新乡二模，６）一百零八塔 位于宁夏吴忠青铜峡市 é ù
， ， ．êê３－ ６ úú ．
是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群 是中国现存最大且排 Ｃ ë ，１û Ｄ［０，１］
， ６
列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔 因塔群的塔数而得名 答案 Ａ 如图 取 ＰＱ 的中点 Ｍ 连 Ｏ Ｍ
， ， ， ， １ ，
塔群随山势凿石分阶而建 由下而上逐层增高 依山势自上而 ＯＭ 过Ｏ 作Ｏ Ｔ ＭＯ 垂足为Ｔ 易得Ｏ Ｔ
， ， ， １ １ ⊥ ， ， １ ⊥
下各层的塔数分别为 该数列从第 项开始 平面ＯＰＱ 即Ｏ Ｔ为平面ＯＰＱ的一条法线 这
１，３，３，５，５，７，…， ５ ， １ ，
成等差数列 则该塔群最下面三层的塔数之和为 样问题转化为求直线 ＡＯ 和 Ｏ Ｔ 所成角的余
， （ ） １ １
弦值的取值范围．
因为ＰＱ ２ ３ 所以可求Ｏ Ｍ ６
＝ ， １ ＝ ，
３ ３
ＯＯ
则 ＯＭＯ １ ２ 所以 ＯＭＯ °．
ｔａｎ∠ １＝Ｏ Ｍ＝ ＝ ３， ∠ １＝６０
Ａ．３９ Ｂ．４５ Ｃ．４８ Ｄ．５１ １ ６
答案 Ｄ 设自上而下各层塔数构成数列 ａ 依题意可
｛ ｎ｝， ３
知 ａ ａ 成等差数列 且公差为 ａ 则 ｎ 由三角形相似可得 ＯＯ Ｔ ＯＭＯ ° 故Ｏ Ｔ的轨迹是
， ５， ６，… ， ２， ５＝５， １＋３＋３＋５＋５（ ，∠ １ ＝∠ １＝６０ ， １
以直线ＯＯ 为旋转轴的圆锥侧面．
１
综合测试卷 ７ １９
方程ｆ ｘ ｘ有且只有一个实根
而 ＡＯ Ｏ ２ Ｃ． （ ）＝
ｔａｎ∠ １ ＝ ＜ ３， 函数ｆ ｘ 的图象是中心对称图形
２ Ｄ． （ ）
所以 ° ＡＯ Ｏ ＡＯ Ｔ ° ＡＯ Ｏ
６０ －∠ １ ≤∠ １ ≤６０ ＋∠ １ ， 答案 ＡＣＤ 函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ １ 的定义域为 Ｒ ， 所以 Ａ
４ ＋２
此时 ° ＡＯ Ｏ １ ６ ３ ３ ６＋３
ｃｏｓ（６０ －∠ １ ）＝ ２ × ３ ＋ ２ × ３ ＝ ６ ， 正确 ；
函数ｙ ｘ 的值域为 所以 １ １ 故函数ｆ ｘ
° ＡＯ Ｏ １ ６ ３ ３ ６－３ ＝４ （０，＋∞）， ０＜ ｘ ＜ ， （ ）
ｃｏｓ（６０ ＋∠ １ ）＝ × － × ＝ ， ４ ＋２ ２
２ ３ ２ ３ ６ ( )
结合两直线所成角的范围可知 直线ＡＯ 和Ｏ Ｔ所成角的余 的值域是 １ 所以 不正确
， １ １ ０， ， Ｂ ；
é ù ２
弦值的取值范围是êê ６＋３úú．故选 ． 如图 作出函数ｆ ｘ 的图象和直线ｙ ｘ 可知方程ｆ ｘ ｘ有
ë０， û Ａ ， （ ） ＝ ， （ ）＝
６ 且只有一个实根 所以 正确
名师点睛 空间角的求解一般都采用“降维”的方式去处 ， Ｃ ；
理，具体操作如下：
将二面角转化为两个半平面的法线所成角后进行求解；
①
将线面角转化为直线和平面的法线所成角后进行求解．
②
此外，求解时还需配合一些基本的空间模型帮助提升空间想
象能力．
二、多项选择题（本题共４小题，每小题５ 分，共２０ 分．在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 ｘ
因为ｆ ｘ ｆ ｘ １ １ １ ４ １
得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分．） （ ＋１）＋（－ ）＝ ｘ ＋１ ＋ － ｘ ＝ ｘ ＋ ｘ ＝ ，
４ ＋２ ４ ＋２ ４·４ ＋２ ２·４ ＋１ ２
ｘ２ ｙ２ ( )
９．已知双曲线Ｃ ａ ｂ 与直线ｙ ｋｘ交于Ａ Ｂ两 ｆ ｘ 的图象关于点 １ １ 对称 所以 正确．
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＝ ， ∴ （ ） ， ， Ｄ
２ ４
点 点Ｐ ｘ ｙ 为Ｃ上任意一点 且直线ＰＡ ＰＢ的斜率分别 故选 ．
， （ ０， ０） ， ， ＡＣＤ
( ) ( )
为ｋ ｋ 且ｋ ｋ ９ 则下列结论正确的是 １１．已知函数ｆ ｘ ωｘ φ 其中ω φ π ｆ π
ＰＡ， ＰＢ， ＰＡ· ＰＢ＝ ， （ ） （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ） ＞０，｜ ｜＜ ， － ＝
４ ２ ８
( ) ( )
双曲线的渐近线方程为ｙ ３ ｘ ｆ ｘ ｆ ３π 恒成立 且ｆ ｘ 在区间 π π 上单调
Ａ． ＝± ０，（ ）≤ ， （ ） － ， ，
２ ８ １２ ２４
则下列说法正确的是
双曲线的渐近线方程为ｙ ５ ｘ （ ）
Ｂ． ＝± 存在φ 使得ｆ ｘ 是偶函数
２ Ａ． ， （ ）
( )
双曲线的离心率为 １３ ｆ ｆ ３π
Ｃ． Ｂ． （０）＝
２ ４
ω是奇数
双曲线的离心率为１３ Ｃ．
Ｄ． ω的最大值为
４ Ｄ． ３
( )
答案 ＡＣ 设点Ａ （ ｘ ， ｙ ）， Ｂ （－ ｘ ，－ ｙ ）， 则 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１ ．又 ∵ ａ ｘ２ ０ ２ 答案 ＢＣＤ ∵ ｆ － π ８ ＝０，∴ － π ８ ω ＋ φ ＝ ｋ １π， ｋ １∈ Ｚ ，
( )
－ ｙ ｂ ２ ０ ２ ＝１，∴ 两式相减得 ｘ２ ０ ａ － ２ ｘ２ ＝ ｙ２ ０ ｂ － ２ ｙ２ ，∴ ｘ ｙ ２ ０ ２ － ｘ ｙ ２ ２ ＝ ａ ｂ２ ２ ．又 ∵ ｋ ＰＡ· ∵ ｆ （ ｘ ）≤ ｆ ３ ８ π ，∴ ３ ８ πω ＋ φ ＝ π ２ ＋ ｋ ２π， ｋ ２∈ Ｚ ，
０－
ｋ
ｙ
０－
ｙ ｙ
０＋
ｙ
９
ｂ２
９
ｂ
３ 双曲线的渐近 ∴
πω
＝
π
＋（
ｋ
２－
ｋ
１）π，
ｋ
１，
ｋ
２∈
Ｚ
，
ＰＢ＝ｘ
０－
ｘ·ｘ
０＋
ｘ＝
４
，∴ ａ２ ＝
４
，∴ ａ ＝
２
，∴
ω
２ ２
ｋ ｋ ｋ ｋ Ｚ 即 ω ｋ ｋ Ｚ 故 说法
∴ ＝１＋２（ ２－ １）， １， ２∈ ， ＝１＋２ ， ∈ ， Ｃ
线方程为ｙ ３ ｘ 故选项 正确 选项 错误 正确
＝± ， Ａ ， Ｂ ； ；
２ ｋ ｋ
又
ｂ２ ｃ２
－
ａ２
ｅ２ ９ ｅ １３ 故选项 正确 选项
易知φ
＝
π
＋
３ １＋ ２
π，
ｋ
１，
ｋ
２∈
Ｚ
，
故
Ａ
说法不正确
；
∵ ａ２ ＝ ａ２ ＝ －１＝ ，∴ ＝ ， Ｃ ， Ｄ ８ ４
４ ２
错误． 易知直线ｘ ３π为ｆ ｘ 图象的一条对称轴 ３π ３π
＝ （ ） ，０＋ ＝２× ，
故选 ． ( ８ ) ４ ８
ＡＣ
思路分析 设点Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ － ｘ， － ｙ），利用点差法得到ｋ ＰＡ ∴ ｆ （０）＝ ｆ ３
４
π ， 故 Ｂ 说法正确 ；
ｂ２ ｂ ( )
·ｋ ，即可得到 ３ ，从而求出双曲线的渐近线与离 当 ω 时 φ ３π ｆ ｘ ｘ ３π 增区间为
ＰＢ＝ａ２ ａ ＝ ＝ ５ ， ＝ － ， （ ） ＝ ｓｉｎ ５ － ，
２ ８ ８
心率． ( )
π ７π 不合 题 意． 当 ω 时 φ ３π ｆ ｘ
－ ， ， ＝ ３ ， ＝ ， （ ） ＝
１０．（２０２１届湖北荆州中学模拟）关于函数ｆ ｘ １ 的性质 下 ４０ ４０ ８
（ ）＝ ｘ ， ( ) ( )
４ ＋２ ｘ ３π 增区间为 ７π π 满足题意 故 说法正
列命题中正确的是 ｓｉｎ ３ ＋ ， － ， ， ， Ｄ
（ ） ８ ２４ ２４
函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 确．故选 ．
Ａ． （ ） ＢＣＤ
函数ｆ ｘ 的值域为 １２．如图 在棱长为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｐ Ｍ分别为
Ｂ． （ ） （０，＋∞） ， １ － １ １ １ １ ， ，
７ ２０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
棱ＣＤ ＣＣ 的中点 Ｑ为面对角线Ａ Ｂ上任一点 则下列说法
， １ ， １ ， 一次游戏摸出的白球不少于 个的概率Ｐ ２１ ７ ．
正确的是 ∴ ２ ＝ ＝
（ ） ３０ １０
１５．（２０２１云南昆明“三诊一模”，１６）设抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ
： ＝２ （ ＞０）
的焦点为Ｆ 第一象限内的Ａ Ｂ两点都在Ｃ上 Ｏ为坐标原
， ， ，
点 若 ＡＦＯ ＡＦＢ π 且 ＡＦＢ的面积为 则点Ａ的
， ∠ ＝∠ ＝ ， △ ３ ３，
３
坐标为 ．
( )
答案 １
， ３
２
平面ＡＰＭ内存在直线与Ａ Ｄ 平行
Ａ． １ １ 解析 设 ｜ ＡＦ ｜＝ ｍ ，｜ ＢＦ ｜＝ ｎ ，
平面ＡＰＭ截正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 所得截面面积为 ９ æｐ ｍ ｍö æｐ ｎ ｎö
Ｂ． － １ １ １ １ ＡＦＯ ＡＦＢ π Ａç － ３ ÷ Ｂç ＋ ３ ÷
８ ∵ ∠ ＝∠ ＝ ，∴ è ， ø， è ， ø，
直线ＡＰ和ＤＱ所成角可能为 ° ３ ２ ２ ２ ２
Ｃ． ６０
直线ＡＰ和ＤＱ所成角可能为 °
Ｄ． ３０
答案 ＢＣ 易知直线Ａ Ｄ 平面ＡＢＣＤ 平面ＡＢＣＤ 平
１ １∥ ， ∩
面ＡＰＭ ＡＰ 直线 ＡＰ 与直线 Ａ Ｄ 不平行 故 错误 平面
＝ ， １ １ ， Ａ ；
ＡＰＭ截正方体所得截面为四边形 ＡＰＭＢ 且四边形 ＡＰＭＢ
１， １
æ ö
为 等 腰 梯 形 Ｓ １ ç ２ ÷
， 四边形ＡＰＭＢ １ ＝ è ＋ ２ø ×
２ ２
æ ö２
( )
２ ç ２÷
１ ＋１ ２ －ç ２－ ２ ÷ ＝ ９ ， 故 Ｂ 正确 ； 当 Ｑ 与 Ａ １ 重合 ｐ ｍ ｐ
２ è ø ８ 由抛物线的定义知 ＡＦ － ｍ ｍ ２ ｐ
２ ，｜ ｜＝ ＋ ＝ ，∴ ＝ ，
时 两直线的夹角最小 当 Ｑ 与 Ｂ 重合时 两直线的夹角最 ２ ２ ３
， ， ， ｐ ｎ ｐ
é ù ＢＦ ＋ ｎ ｎ ｐ
大 θ êê １０ １０úú 故 正确 错误．故选 ． ｜ ｜＝ ＋ ＝ ，∴ ＝２ ，
，∴ ｃｏｓ ∈ë ， û， Ｃ ，Ｄ ＢＣ ２ ２
１０ ５ ＡＢＦ的面积为
∵ △ ３ ３，
三、填空题（本题共４小题，每小题５分，共２０分．）
１ ｍｎ ＡＦＢ 即ｍｎ
ｘ４ ４ ∴ ·ｓｉｎ∠ ＝３ ３， ＝１２，
１３．（２０２１安徽池州期末，１４）（ －１） 的展开式中常数项为 ２
ｘ１２
２ ｐ ｐ 解得ｐ
． 用数字作答 ∴ ·２ ＝１２， ＝３，
（ ） ３
答案 ( )
－４ ｍ Ａ １ ．
ｘ４ ４ ｘ４ ４ æ ö４ ∴ ＝２，∴ ， ３
解析 解法一 （ －１） （ －１） çｘ １ ÷ 其展开式的 ２
： ｘ１２ ＝ ｘ３ ４ ＝è －ｘ３ ø ， 思路分析 设 ＡＦ ｍ， ＢＦ ｎ，可用含ｍ，ｎ，ｐ的式子表
（ ） ｜ ｜＝ ｜ ｜＝
æ öｒ
通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ４ ｒｘ４－ ｒ è ç －ｘ １ ３ ø ÷ ＝（－１） ｒ Ｃ４ ｒｘ４－４ ｒ ， 令 ４－４ ｒ ＝０， 解得ｒ 示出点Ａ和Ｂ的坐标，再由抛物线的定义，推出ｍ ＝ ２ ｐ，ｎ ＝
３
＝１，
所以常数项为
（－１）
１
Ｃ
１
４＝－４
．
２
ｐ，然后结合三角形的面积公式，求出ｐ和ｍ的值，从而得解．
解法二 ：（ ｘ４ －１） ４ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１ ＝Ｃ４ ｒｘ４（４－ ｒ ） （－１） ｒ ＝ １６．（２０２１浙江新高考研究卷（二），１１）人体是一个包含各种周
ｒ ｒｘ１６－４ ｒ 令 ｒ 得ｒ 所以常数项为Ｔ １ 期性运动的生物体 人的声音中就包含正弦函数模型 每一
（－１） Ｃ４ ， １６－４ ＝１２， ＝１， ２＝Ｃ４（－１）＝ ， ，
． 个音都由纯音构成 纯音的数学模型是函数ｙ Ａ ωｔ．我们
－４ ， ＝ ｓｉｎ
１４．（２０２１天津一中第四次月考，１３）甲箱子里装有 个白球 平时听到的乐音不只是一个音在响 而是许多音的结合 所
３ 、２ ， ，
个黑球 乙箱子里装有 个白球 个黑球 这些球除颜色外
， １ 、２ ， 以我们平时听到的声音的函数是ｙ ｘ １ ｘ １
完全相同 ， 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 ２ 个球 ， 则一 ＝ｓｉｎ ＋ ２ ｓｉｎ ２ ＋…＋ ２ ｋ －１
次游戏摸出的白球不少于
２
个的概率为 ．
ｓｉｎ２
ｋ －１ｘ
＋…，
ｋ
∈
Ｎ∗．试写出该函数的一个周期
：
．
答案 ７ 答案 ２π（ 答案不唯一 ）
１０
解析 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 个球 共有 解析 记ｆ ｘ ｘ １ ｘ １ ｘ 则ｆ ｘ
２ ， （ ）＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ２ ＋ ｓｉｎ４ ＋…， （ ＋２π）＝
２ ４
Ｃ ２ ５·Ｃ ２ ３＝３０ 种情况． ｆ
（
ｘ
）
．故ｆ
（
ｘ
）
的一个周期为
２π
．
一次游戏摸出的白球不少于 个包含下面三种情况
２ ： 四、解答题（共７０ 分．解答应写出文字说明，证明过程或
从甲盒中摸出 个白球 乙盒中摸出 个白球 个黑球
（１） ２ ， １ 、１ ，
有 ２ １ １ 种情况
演算步骤．）
Ｃ３·Ｃ１·Ｃ２＝３×２＝６ ；
（２） 从甲盒中摸出 ２ 个白球 ， 乙盒中摸出 ２ 个黑球 ， 有 Ｃ ２ ３·Ｃ ２ ２ １７．（２０２１安徽蚌埠第三次质检，１７）已知 △ ＡＢＣ中 ， 角Ａ ， Ｂ ， Ｃ的
种情况
＝３×１＝３ ； 对边分别为ａ ｂ ｃ ａ２ ｃ２ ４ ａ２ ２Ｂ ａｃ Ｂ．
从甲盒中摸出 个白球 个黑球 乙盒中摸出 个白球 ， ， ， ＋ ＝ ｓｉｎ ＋２ ｃｏｓ
３
（３） １ 、１ ， １ 、
１ 个黑球 ， 有 Ｃ １ ３·Ｃ １ ２·Ｃ １ １·Ｃ １ ２＝３×２×２＝１２ 种情况 ， （１） 求 ｓｉｎ Ａ ；
共有 种情况． 若角Ａ为锐角 且 ＡＢＣ的面积为 求ａ的最小值．
６＋３＋１２＝２１ （２） ， △ ３，
综合测试卷 ７ ２１
ａ２ 点 Ｍ是线段ＡＤ的中点 ＰＡ ＡＣ ＡＢ ．
解析 由ａ２ ｃ２ ４ ａ２ ２Ｂ ａｃ Ｂ得ｂ２ ４ ２Ｂ ， ， ＝ ＝８， ＝４
（１） ＋ ＝ ｓｉｎ ＋２ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ， 求证 ＭＮ 平面ＢＤＥ
３ ３ （１） ： ∥ ；
求二面角Ｃ ＥＭ Ｂ的正弦值
即 ２Ｂ ４ ２Ａ ２Ｂ （２） － － ；
ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ ｓｉｎ ， 已知点Ｈ在棱ＰＡ上 且直线ＮＨ与直线ＢＥ所成角的余
３ （３） ，
因为Ａ Ｂ为三角形内角 Ｂ 所以 Ａ ３． 弦值为 ７ 求线段ＡＨ的长．
， ，ｓｉｎ ＞０， ｓｉｎ ＝ ，
２ ２１
角Ａ为锐角 结合 可得Ａ π
（２） ， （１） ＝ ，
３
因为 ＡＢＣ的面积Ｓ １ ｂｃ Ａ ３ｂｃ 所以ｂｃ ．
△ ＝ ｓｉｎ ＝ ＝ ３， ＝４
２ ４
由余弦定理得ａ２ ｂ２ ｃ２ ｂｃ ｂｃ ｂｃ
＝ ＋ － ≥２ － ＝４，
所以ａ 即ａ的最小值为 当且仅当ｂ ｃ 时取等号．
≥２， ２， ＝ ＝２
１８．（２０２０北京西城诊断性测试，１７）从
①
前ｎ项和Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
ｐ
（
ｐ
∈
Ｒ ａ ａ ａ 且 ａ ａ ａ 这三个条件中任
选 ） 一 ，② 个 ｎ 补 ＝ 充 ｎ ＋ 到 １－ 下 ３， 面 ③ 的 ６ 填 ＝１ 空 １ 线上 ２ ｎ 并 ＋１ 完 ＝ 成 ｎ＋ 解 ｎ 答 ＋２ ． 解析 如图所示建立空间直角坐标系 ，
， ， 则Ａ Ｂ Ｃ
在数
求
列
｛
ａ
ａ
ｎ｝
的
中
通
，
ａ
项
１＝
公
１
式
， ，
其中ｎ
∈
Ｎ∗．
Ｄ
（０，
（
０
０
，
，
４
０
）
，０
，
）
Ｅ
，
（０
（
，
４
４
，
，
０
４
，
）
０
，
）
Ｍ
，
（０
（
，
０
０
，
，
８
２
，
）
０
，
）
Ｎ
，
（１） ｛ ｎ｝ ； Ｐ ．
（２，４，０）， （０，０，８）
（２）
若ａ
１，
ａ
ｎ，
ａ
ｍ
成等比数列
，
其中ｍ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
且ｍ
＞
ｎ
＞１，
求ｍ
证明 Ｄ→Ｅ Ｄ→Ｂ
的最小值． （１） ： ＝（０，４，０）， ＝（４，０，－
解析 选择 ． ４），
① 设ｎ ｘ ｙ ｚ 为平面ＢＤＥ的法向量．
当ｎ 时 由ａ Ｓ ｐ 得ｐ ＝（ ， ， ）
（ 当 １） ｎ ≥２ 时 ＝１ ， 由题 ， 意 ， １ 得 ＝ Ｓ １ ｎ ＝ －１ １ ＝ ＋ （ ｎ ＝ － １ １ ， ） ２ ， ＝０， 则 {ｎ · Ｄ→Ｅ ＝０，即 { ４ ｙ ＝０，
所以ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１＝２
ｎ
－１
． ｎ
·
Ｄ→Ｂ
＝０， ４
ｘ
－４
ｚ
＝０，
经检验 ａ 符合上式 不妨设ｚ 可得ｎ
， １＝１ ， ＝１， ＝（１，０，１），
所以ａ ｎ＝２ ｎ －１（ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ． 又Ｍ→Ｎ ＝（２，４，－２）， 所以Ｍ→Ｎ · ｎ ＝０ ．
（２） 由ａ １， ａ ｎ， ａ ｍ 成等比数列 ， 得ａ２ｎ＝ ａ １ ａ ｍ， 因为ＭＮ ⊄ 平面ＢＤＥ ， 所ＭＮ ∥ 平面ＢＤＥ．
即 ｎ ２ ｍ 易知ｎ 为平面ＣＥＭ的一个法向量．
（２ －１） ＝１×（２ －１），
( )
（２） １＝（１，０，０）
２ 设ｎ ｘ ｙ ｚ 为平面ＢＥＭ的法向量
化简
，
得ｍ
＝２
ｎ２
－２
ｎ
＋１＝２
ｎ
－
１
＋
１ ． ２＝（ １， １， １） ，
２ ２ {ｎ Ｅ→Ｍ
因
所
为
以当
ｍ
， ｎ
ｎ是大
时
于
ｍ １ 取
的
得
正
最
整
小
数
值 ，
且
最
ｍ
小 ＞
ｎ
值 ， 为 ．
则
ｎ
２·
Ｍ→Ｂ
＝０，因为Ｅ→Ｍ
＝（０，－４，－２），
Ｍ→Ｂ
＝（４，０，－２），
＝２ ， ， ５ ２· ＝０，
选择 ． { ｙ ｚ
② 所以 －４ １－２ １＝０，不妨设ｚ 可得ｎ
因为ａ ａ 所以ａ ａ ｘ ｚ １＝２， ２＝（１，－１，２），
（１） ｎ＝ ｎ ＋１－３， ｎ ＋１－ ｎ＝３， ４ １－２ １＝０，
所以数列 ａ 是公差为 的等差数列． ｎ ｎ
｛ ｎ｝ ３ 因此有 ｎ ｎ １· ２ ６
又ａ
１＝１，
所以ａ
ｎ＝
ａ
１＋（
ｎ
－１）
ｄ
＝３
ｎ
－２（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
． ｃｏｓ〈 １， ２〉＝
｜
ｎ
１｜｜
ｎ
２｜
＝
６
，
（２）
由ａ
１，
ａ
ｎ，
ａ
ｍ
成等比数列
，
得ａ２ｎ＝ ａ
１
ａ
ｍ， 于是 ｎ ｎ ３０．
即
（３
ｎ
－２）
２
＝１×（３
ｍ
－２），
ｓｉｎ〈 １， ２〉＝
６
( )
２
化简
，
得ｍ
＝３
ｎ２
－４
ｎ
＋２＝３
ｎ
－
２
＋
２ ．
所以二面角Ｃ ＥＭ Ｂ的正弦值为 ３０．
３ ３ － －
因为ｍ ｎ是大于 的正整数 且ｍ ｎ ６
， １ ， ＞ ， 依题意 设ＡＨ ｈ ｈ
所以当ｎ 时 ｍ取得最小值 最小值为 ． （３） ， ＝ （０≤ ≤８），
＝２ ， ， ６ 则Ｈ ｈ 进而可得Ｎ→Ｈ ｈ Ｂ→Ｅ ．
选择 ． （０，０， ）， ＝（－２，－４， ）， ＝（－４，４，４）
③
（１） 由 ２ ａ ｎ ＋１＝ ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋２， 得ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ａ ｎ ＋２－ ａ ｎ ＋１ ． 由已知 ， 得 ｜ｃｏｓ〈 Ｎ→Ｈ ， Ｂ→Ｅ 〉｜＝ ｜ Ｎ→Ｈ · Ｂ→Ｅ ｜ ＝ ｜４ ｈ －８｜ ＝ ７ ，
所以数列 ｛ ａ ｎ｝ 是等差数列 ， 设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， ｜ Ｎ→Ｈ ｜｜ Ｂ→Ｅ ｜ ｈ２ ＋２０×４ ３ ２１
因为ａ ａ ａ ｄ 所以ｄ 整理得 ｈ２ ｈ
１＝１， ６＝ １＋５ ＝１１， ＝２， ５ －２１ ＋１６＝０，
所以ａ
ｎ＝
ａ
１＋（
ｎ
－１）
ｄ
＝２
ｎ
－１（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
解得ｈ １６或ｈ ．所以线段ＡＨ的长为１６或 ．
（ 即 ２）
因
ｎ
为ａ
２ １，
ａ
ｎ，
ａ
ｍ ｍ
成等比数列
，
所以ａ２ｎ＝ ａ
１
ａ
ｍ， ２０．（２０２０安
＝
徽 ５ 江南
＝
十
１
校质量检测，１９）一种游 ５ 戏的
１
规则为抛掷一
（２ －１） ＝１×（２ －１），
( ) 枚硬币 每次正面向上得 分 反面向上得 分．
化简
，
得ｍ
＝２
ｎ２
－２
ｎ
＋１＝２
ｎ
－
１ ２
＋
１ ．
设抛
，
掷 次的得分为
２
Ｘ 求
，
变量Ｘ的分布
１
列和数学期望
２ ２ （１） ４ ， ；
因为ｍ ｎ是大于 的正整数 且ｍ ｎ 当游戏得分为ｎ ｎ Ｎ∗ 时 游戏停止 记得ｎ分的概率
， １ ， ＞ ， （２） （ ∈ ） ， ，
所以当ｎ 时 ｍ取得最小值 最小值为 ．
＝２ ， ， ５ 和为Ｑ Ｑ １ ．
１９．（２０２１天津十二区一模，１７）如图 在三棱锥Ｐ ＡＢＣ中 ＰＡ ｎ， １＝
， － ， ⊥ ２
底面ＡＢＣ ＢＡＣ ° 点Ｄ Ｅ Ｎ分别为棱ＰＡ ＰＣ ＢＣ的中 求Ｑ
，∠ ＝９０ ， ， ， ， ， ① ２；
７ ２２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２
②
当ｎ
∈
Ｎ∗时
，
记Ａ
ｎ＝
Ｑ
ｎ ＋１＋
１ Ｑ
ｎ，
Ｂ
ｎ＝
Ｑ
ｎ ＋１－
Ｑ
ｎ，
证明
：
数 所以椭圆Ｃ
１： ｃ２ ＋ ｃ２ ＝１，
２ ４ ３
列 ｛ Ａ ｎ｝ 为常数列 ， 数列 ｛ Ｂ ｎ｝ 为等比数列． { ｙ ＝ ｘ － ７，
解析 （１） 变量Ｘ的所有可能取值为 ４，５，６，７，８， 联立直线ＮＥ与椭圆的方程得 ｘ２ ｙ２
由于每次抛掷一次硬币 正面向上的概率为 １ 反面向上的 ４ ｃ２ ＋ ３ ｃ２ ＝１，
， ，
２ 消去ｙ得 ｘ２ ｘ ｃ２
( ) ７ －８ ７ ＋２８－１２ ＝０，
４
概率也为 １ ， 所以Ｐ （ Ｘ ＝４）＝ １ ＝ １ ， Ｐ （ Ｘ ＝５）＝Ｃ １ ４× １ × 则有Δ ＝０， 即 （－８ ７） ２ －４×７×（２８－１２ ｃ２ ）＝０，
( ) ２ ( ) ２ ( １６ ) ２ 解得ｃ２
３ ２ ２ ＝１，
１ ＝ １ ， Ｐ （ Ｘ ＝６）＝Ｃ ２ ４× １ × １ ＝ ３ ， Ｐ （ Ｘ ＝７）＝Ｃ ３ ４ 所以椭圆Ｃ 的方程为 ｘ２ ｙ２ ．
( ２ ) ４ ２ ( ) ２ ８ １ ＋ ＝１
３ ４ ４ ３
×
２
１ ×
２
１ ＝
４
１ ， Ｐ （ Ｘ ＝８）＝Ｃ ４ ４×
２
１ ＝
１
１
６
． （４ 分 ） （２） 设点Ｂ （ ｘ １， ｙ １）， Ｃ （ ｘ ２， ｙ ２）， Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０），
所以变量Ｘ的分布列为 由ｘ２ ｙ 即ｙ １ ｘ２ 得ｙ′ １ ｘ
＝４ ， ＝ ， ＝ ，
Ｘ ４ ２
４ ５ ６ ７ ８ ｘ
抛物线Ｃ 在点Ｂ处的切线ｌ 的方程为ｙ ｙ １ ｘ ｘ ．
Ｐ １ １ ３ １ １ ∴ ２ １ － １＝ ２ （ － １）
１６ ４ ８ ４ １６ ｘ ｘ
即ｙ １ｘ ｙ １ ｘ２ ｙ １ ｘ２ ｙ １ｘ ｙ ．
故变量Ｘ的数学期望为Ｅ Ｘ １ １ ３ １ ＝ ２ ＋ １－ ２ １，∵ １＝ ４ １，∴ ＝ ２ － １
（ ）＝４× ＋５× ＋６× ＋７× ＋８ ｘ
１６ ４ ８ ４
点Ｐ ｘ ｙ 在切线ｌ 上 ｙ １ｘ ｙ ．
１ ． 分 ∵ （ ０， ０） １ ，∴ ０＝ ２ ０－ １ ①
× ＝６ （６ ）
１６ ｘ
得 分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上 概 同理 ｙ ２ｘ ｙ ．
（２）① ２ ， ， ０＝ ０－ ２ ②
( ) ２
率的和为Ｑ ２＝
２
１ ＋
２
１ ２ ＝
４
３ ． （８ 分 ） 由 ①、② 得 ， 点Ｂ （ ｘ １， ｙ １）， Ｃ （ ｘ ２， ｙ ２） 的坐标都满足方程ｙ ０＝ ｘ
２
②
正面
证
向
明
上
： 得
， 第
ｎ
二
分
种
分
为
两
得
种
（
情
ｎ
况
－１
，
）
第
分
一
后
种
抛
为
掷
得
一
（
次
ｎ －
反
２）
面
分
向
后
上
抛
，
掷
故
一
有
次
当
ｘ
∵
０－
经
ｙ．
过Ｂ （ ｘ １， ｙ １）， Ｃ （ ｘ ２， ｙ ２） 两点的直线是唯一的 ，
ｎ ≥３ 且ｎ ∈ Ｎ∗时 ， Ｑ ｎ＝
２
１ Ｑ ｎ －１＋
２
１ Ｑ ｎ －２ ． ∴ 直线ＢＣ的方程为ｙ ０＝
２
ｘ ｘ ０－ ｙ ，
点Ａ 在直线ＢＣ上
Ａ ｎ ＋１＝ Ｑ ｎ ＋２＋ １ Ｑ ｎ ＋１＝ １ Ｑ ｎ ＋１＋ １ Ｑ ｎ＋ １ Ｑ ｎ ＋１＝ Ｑ ｎ ＋１＋ １ Ｑ ｎ＝ Ａ ｎ， ∵ （１，１） ，
２ ２ ２ ２ ２
ｙ １ ｘ
故数列 ｛ Ａ ｎ｝ 为常数列 ； （１０ 分 ） ∴ ０＝ ２ ０－１，
因为Ｂ ｎ ＋１＝ Ｑ ｎ ＋２－ Ｑ ｎ ＋１＝ １ Ｑ ｎ ＋１＋ １ Ｑ ｎ－ Ｑ ｎ ＋１＝－ １ Ｑ ｎ ＋１＋ １ Ｑ ｎ＝ ∴ 点Ｐ的轨迹方程为ｙ ＝ １ ｘ －１ ．
２ ２ ２ ２ ２
１ Ｑ Ｑ １ Ｂ 又Ｂ Ｑ Ｑ ３ １ １ 又 点Ｐ在椭圆Ｃ 上 在直线ｙ １ ｘ 上 直线ｙ １ ｘ
－ ２ （ ｎ ＋１－ ｎ）＝－ ２ ｎ， １＝ ２－ １＝ ４ － ２ ＝ ４ ， ∵ １ ， ＝ ２ －１ ， ＝ ２ －１
故数列 Ｂ 为等比数列． 分 经过椭圆Ｃ 内一点
｛ ｎ｝ （１２ ） １ （０，－１），
解题关键 第（ ）问中找到递推关系式是解题的关键．
２ 直线ｙ １ ｘ 与椭圆Ｃ 交于两点
２１．（２０２１宁夏顶级名校第二次模拟，２０）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２ ∴ ＝
２
－１ １ ，
１：ａ２ ＋ｂ２ ＝１
∴
满足条件的点Ｐ有两个．
ａ ｂ 的离心率为 １ 过点Ｅ 的椭圆Ｃ 的两条切 ２２．（２０２１浙江之江教育高三下开学考，２２）已知 ａ １ 函数
（ ＞ ＞０） ２ ， （ ７，０） １ ０＜ ≤ ４ ，
线相互垂直． ｆ ｘ ｘ ｘ ａ．
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ＋
求椭圆Ｃ 的方程 证明 ｙ ｆ ｘ 在 上有唯一零点
（
（２
１
）
） 在椭圆Ｃ
１
１ 上是否存 ； 在这样的点Ｐ
，
过点Ｐ引抛物线Ｃ
２：
（
（
１
２
）
）
记ｘ
０
： 为 ＝ 函 （ 数 ） ｙ
＝
（ ｆ
（
０ ｘ ，
）
１） 在
（０，１）
上的零 ； 点
，
证明
：
ｘ２
＝４
ｙ的两条切线ｌ
１、
ｌ
２，
切点分别为Ｂ
、
Ｃ
，
且直线ＢＣ过
（ｉ）
ａ
＜
ｘ
０＜２
ａ
；
点Ａ 若存在 指出这样的点Ｐ有几个 不必求出 ｘ ｆ ｘ ｘ ａ．
（１，１）？ ， （ （ｉｉ） ０ （２ ０＋１）－ｌｎ ０＞１－５
点的坐标 若不存在 请说明理由．
）； ， 证明 因为ｆ ′ ｘ １ 在 上恒成立 所以
解析 由椭圆的对称性 不妨设在ｘ轴上方的切点为 （１） （ ）＝ｘ －１＜０ （０，１） ，
（１） ， ＋１
Ｍ ｘ轴下方的切点为Ｎ ｆ ｘ 在 上为单调递减函数．
， ， （ ） （０，１）
则ｋ ＮＥ＝１， ＮＥ的直线方程为ｙ ＝ ｘ － ７， 又ｆ （０）＝ ａ ＞０， ｆ （１）＝ｌｎ２－１＋ ａ ≤ｌｎ２－ ３ ＜０（ｌｎ２≈０ ． ６９），
ｘ２ ｙ２ ４
因为椭圆Ｃ ａ ｂ 的离心率为 １ 所以ｙ ｆ ｘ 在 上有零点
１：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ＝ （ ） （０，１） ，
２ 结合单调性可知零点唯一．
ｃ
所以 １ {
ａ ＝ ， ｆ ａ
２ 先证明一个加强命题 （ ）＞０， 那么利用 中得
则ａ ｃ 由ａ２ ｂ２ ｃ２ 得ｂ２ ｃ２ （２）（ｉ） ： ｆ ａ （１）
＝２ ， ＝ ＋ ＝３ ， （２ ）＜０，
综合测试卷 ７ ２３
到的ｆ ｘ 的单调性可知原命题成立． 所以 ａ ｘ ａ．
（ ） ＜ ０＜２
ｆ ａ ａ ａ ａ 由ｆ ｘ ｘ ｘ ａ 得 ｘ ｘ ａ．
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ＋ ， （ｉｉ） （ ０）＝ｌｎ（ ０＋１）－ ０＋ ＝０ ｌｎ（ ０＋１）＝ ０－
( ) 则ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ
令Ｍ ｔ ｔ ｔ ｔ２ ｔ １ ０ （２ ０＋１）－ｌｎ ０＝ ０［ｌｎ（２ ０＋２）－（２ ０＋１）＋ ］－ｌｎ ０
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ＋ ０＜≤ ， ｘ ｘ ａ ｘ ａ ｘ
２ ＝ ０［ｌｎ２＋ ０－ －（２ ０＋１）＋ ］－ｌｎ ０
则Ｍ′ （ ｔ ）＝ ｔ １ －１＋２ ｔ ＝ｔ １ ＋２（ ｔ ＋１）－３， 易知 Ｍ′ （ ｔ ） 在 ＝（ｌｎ２－１） ｘ ０－ ｘ２ ０－ｌｎ ｘ ０＞１－５ ａ．
( ]
＋１ ＋１ 令ｈ
（
ｘ
）＝（ｌｎ２－１）
ｘ
－
ｘ２
－ｌｎ
ｘ
（
ｘ
∈（
ａ
，２
ａ
）），
１ 上单调递增 所以Ｍ′ ｔ Ｍ′
０， ， （ ）＞ （０）＝０， 则ｈ′ ｘ ｘ １ 在 ａ ａ 上恒成立
２ （ ）＝（ｌｎ２－１）－２ － ｘ ＜０ （ ，２ ） ，
( ]
故Ｍ ｔ 在 １ 上单调递增 所以ｈ ｘ 在 ａ ａ 上单调递减
（ ） ０， ， （ ） （ ，２ ） ，
２
则Ｍ （ ｔ ）＞ Ｍ （０）＝０， 即ｆ （ ａ ）＝ Ｍ （ ａ ）＞０ ． 故ｈ （ ｘ ）＞ ｈ （２ ａ ）＝２（ｌｎ２－１） ａ －４ ａ －ｌｎ（２ ａ ），
即证 ａ ａ ａ ａ．
ｆ
（２
ａ
）＝ｌｎ（２
ａ
＋１）－２
ａ
＋
ａ
，
２（ｌｎ２－１） －４ －ｌｎ（２ ）＞１－５
( ]
( )
令Ｎ （ ｔ ）＝ｌｎ（２ ｔ ＋１）－２ ｔ ＋ ｔ２ ０＜ ｔ ≤ １ ２ ， 则Ｎ′ （ ｔ ）＝ ２ ｔ ２ ＋１ －２＋２ ｔ ＝ 令ｇ （ ｔ ）＝２（ｌｎ２－１） ｔ －４ ｔ２ －ｌｎ（２ ｔ ）－（１－５ ｔ ）， ｔ ∈ ０， １ ２ ，
æ ö 则ｇ′ ｔ ｔ １
２ ｔ 易知 Ｎ′ ｔ 在ç ２－１÷上单调递减 在 （ ）＝２ｌｎ２＋３－８ － ｔ ≤２ｌｎ２＋３－４ ２＜０，
ｔ ＋２ ＋１－３， （ ） è０， ø ，
２ ＋１ ２ ( ] ( )
æ ù ( ) 故ｇ ｔ 在 １ 上为单调递减函数 则ｇ ｔ ｇ １
ç ２－１ １ úú上单调递增 且Ｎ′ Ｎ′ １ （ ） ０， ， （ ）≥ ＝ｌｎ２
è ， û ， （０）＝０， ＝０， ２ ２
２ ２ ２
( ) ( ] １ 所以 ａ ａ ａ ａ．
所以Ｎ′ ｔ Ｎ′ １ 故Ｎ ｔ 在 １ 上单调递减 － ＞０， ２（ｌｎ２－１） －４ －ｌｎ（２ ）＞１－５
（ ）≤ ＝０， （ ） ０， ， ２
２ ２ 故原不等式成立．
则Ｎ ｔ Ｎ 即ｆ ａ ．
（ ）＜ （０）＝０， （２ ）＜０
{
ｆ ａ
所以 （ ）＞０， 又ｆ ｘ 在 上单调递减
ｆ ａ （ ） （０，１） ，
（２ ）＜０，
７ ２４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
综合测试卷（二）
１２０分钟 １５０分
一、选择题（本题共８小题，每小题５ 分，共４０ 分．在每小 æ ö
ç ５ ÷
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） α α α ２×è－ ø
α ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ ３ ３ １５ ３ 故选 ．
１．（２０２１陕西西安一模，２）设集合Ａ
＝｛
ｘ
｜
ｘ２
－
ｘ
－６≤０｝，
Ｂ
＝｛
ｘ
｜２
ｘ ｓｉｎ２ ＝
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α＝
１＋ｔａｎ
２α＝ æ
ç ５
ö
÷
２ ＝－
２６
， Ｄ
ａ 且Ａ Ｂ ｘ ｘ 则ａ １＋è－ ø
＋ ≤０｝， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤２｝， ＝ （ ） ３ ３
ｘ２
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．－４ Ｄ．４ ６．（２０２１云南师大附中第六次月考，９）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ
答案 Ｃ 解不等式ｘ２ ｘ 得 ｘ 即集合 Ａ １， ２ ： －
－ －６≤０， －２≤ ≤３， ＝ ４
{ ａ} ｙ２
ｘ ｘ 又 Ｂ ｘ ｘ 且 Ａ Ｂ ｘ ｘ 的两个焦点 点Ｐ在双曲线Ｃ上 Ｐ在ｘ轴上的射影Ｑ位
｛ ｜－２≤ ≤３｝， ＝ ≤－ ， ∩ ＝｛ ｜－２≤ ≤ ＝１ ， ，
２ ３
ａ 于线段Ｆ Ｆ 上 且 ＰＱ ２ Ｆ Ｑ Ｆ Ｑ 则 ＰＦ ＰＦ
所以 解得ａ 故选 １ ２ ， ｜ ｜ ＝｜ １ ｜·｜ ２ ｜， ｜ １｜＋｜ ２｜＝
２｝， － ＝２， ＝－４， Ｃ．
２ （ ）
２．（２０２１北京海淀二模，２）设ａ Ｒ．若 ａ 则ａ
∈ （２＋ｉ）（ －ｉ）＝－１－３ｉ， ＝
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．２ １０ Ｄ．４０
（ ） 答案 Ｃ 由题意可得双曲线Ｃ的实半轴长ａ 虚半轴长
＝２，
Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．２ ｂ 半焦距ｃ ＰＱ Ｆ Ｆ ＰＱＦ ＰＱＦ °．
答案 Ａ ａ ａ ａ ＝ ３， ＝ ７，∵ ⊥ １ ２，∴ ∠ １＝∠ ２＝９０
{ ａ ∵ （２＋ｉ）（ －ｉ）＝（２ ＋１）＋（ －２）ｉ＝－１－３ｉ， 又 ∵ ｜ ＰＱ ｜ ２ ＝｜ Ｆ １ Ｑ ｜·｜ Ｆ ２ Ｑ ｜，∴ △ ＰＦ １ Ｑ ∽△ Ｆ ２ ＰＱ． ∴ ∠ Ｆ １ ＰＱ ＝
２ ＋１＝－１，解得ａ 故选 ． ＰＦ Ｑ ＱＰＦ ＰＦ Ｑ ° Ｆ ＰＱ ＱＰＦ °
∴ ａ ＝－１， Ａ ∠ ２ ，∵ ∠ ２＋∠ ２ ＝９０ ，∴ ∠ １ ＋∠ ２＝９０ ，
３．（２０２１ －２ 北 ＝ 京 －３ 顺 ， 义二模，７）把物体放在冷空气中冷却 如果物体 ∴ ＰＦ １⊥ ＰＦ ２，∴ ｜ ＰＦ １｜ ２ ＋｜ ＰＦ ２｜ ２ ＝｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ２ ＝４ ｃ２ ＝２８，∵ ｜｜ ＰＦ １｜
原来的温度是θ
１℃，
空气的温度是θ
０℃
．那么ｔ
ｍｉｎ
后 ， 物体的温
Ｐ
－
Ｆ
｜ ＰＦ ２｜｜＝２ ａ ＝４
Ｐ
，
Ｆ
∴ ｜ ＰＦ １｜ ２ ＋｜ ＰＦ ２｜ ２ －２｜
Ｐ
Ｐ
Ｆ
Ｆ １｜·｜ ＰＦ ２｜＝
ＰＦ
１６，∴ ｜
θ 单位 可由公式θ θ θ θ － ｋｔ求得 其中ｋ是一个随 １ ｜ · ｜ ２ ｜ ＝ ６， ∴ ｜ １ ｜ ＋ ｜ ２｜ ＝
着 （ 物体与 ：℃ 空 ） 气的接触情 ＝ 况而 ０＋ 定 （ 的 １－ 常 ０ 数 ）ｅ ．现有 ， 的物体 放在 ＰＦ ２ ＰＦ ２ ＰＦ ＰＦ 故
４６ ℃ ， ｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＋２｜ １｜·｜ ２｜ ＝ ２８＋２×６ ＝ ２ １０，
的空气中冷却 以后物体的温度是 则ｋ的值 选 ．
１０ ℃ ，１ ｍｉｎ ３８ ℃， Ｃ
约为 ． ． ７．（２０２１河南焦作三模，８）已知函数ｆ ｘ ｘ 给出三个条件
（ｌｎ３≈１１０，ｌｎ７≈１９５） （ ） （ ）＝ｌｏｇ３ ， ：
Ａ．０ ． ２５ Ｂ．－０ ． ２５ ① ｆ （ ａ ｎ）＝ ２ ｎ ；② ｆ （ ａ ｎ）＝ ｎ ；③ ｆ （ ａ ｎ）＝ ｎ １ ．从中选出一个能使数
． ．
Ｃ．０８９ Ｄ．－０８９
答案 Ａ 对于θ θ θ θ － ｋｔ 列 ｛ ａ ｎ｝ 成等比数列的条件 ， 在这个条件下 ， 数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项
当θ １＝４ ６， θ ０＝１０， ｔ ＝
＝
１ 时
０＋
，
（
θ ＝
１－
３８
０
，
）ｅ ， 和Ｓ
ｎ＝ （ ）
所以 ３８＝１０＋（４６－１０）ｅ － ｋ ， 即 ｅ － ｋ ＝ ２８ ＝ ７ ， Ａ．３ ｎ －１ Ｂ．２ ｎ ＋１ －１ Ｃ． １ ２ （３ ｎ －１） Ｄ． ３ ２ （３ ｎ －１）
３６ ９ 答案 Ｄ 函数ｆ ｘ ｘ的定义域为 ．
４． 则 （２０ ｋ ２ ＝ １ － 江 ｌｎ 西 ７ ９ 宜 ＝ 春 ２ｌｎ 重 ３ 点 －ｌ 高 ｎ７ 中 ≈ 月 ２ ． 考 ２０ ， － ４ １ ） ． ９ 在 ５＝ 等 ０ ． 差 ２５ 数 ．故 列 选 ｛ Ａ ａ ｎ ． ｝ 中 ， ａ ３， ａ ９ 若选 ①， 则ｆ （ ａ ｎ）＝ｌ （ ｏｇ３ ） ａ ＝ ｎ ｌ ＝ ｏｇ ２ ３ ｎ ，∴ ａ ｎ＝３ ２ ｎ ，∴ （ ａ ０ ａ ， ｎ ＋ ｎ ＋ １ ∞ ＝ ３ ） ３ ２ ２ ｎ ｎ ＋１ ＝３ ２ ｎ＋１－２ ｎ ＝
满足不等式ｘ２ ＋２４ ｘ ＋１２＜０ 的解集为 ｛ ｘ ｜ ａ ３＜ ｘ ＜ ａ ９｝， 则数列 ｛ ａ ｎ｝ ３ ２ ｎ不是常数 ， 则 ｛ ａ ｎ｝ 不是等比数列 ；
的
Ａ．６
前
６
１１ 项和等于
Ｂ．１３２ Ｃ．－６６ Ｄ．－１３２
（ ） 若选 ②， 则ｆ （ ａ ｎ）＝ｌｏｇ３ ａ ｎ＝ ｎ ，∴ ａ ｎ＝３ ｎ ，∴ ａ ａ ｎ ＋
ｎ
１ ＝ ３
３
ｎ ｎ ＋１ ＝３ （ ｎ ＋１）－ ｎ ＝３
答案 Ｄ
∵
在等差数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
３，
ａ
９
满足不等式ｘ２
＋２４
ｘ 是常数
，
＋１２＜０
的解集为
｛
ｘ
｜
ａ
３＜
ｘ
＜
ａ
９｝，∴
ａ
３，
ａ
９
是方程ｘ２
＋２４
ｘ
＋１２＝０
则
｛
ａ
ｎ｝
是以 ａ
１ ＝３
为首项
，３
为公比的等比数列
，
则 Ｓ
ｎ ＝
的两个根 由根与系数的关系得ａ ａ 则数列 ａ 的前 ｎ
， ３＋ ９＝－２４， ｛ ｎ｝ ３（１－３ ） ３ ｎ
＝ （３ －１）；
项和Ｓ １１ ａ ａ １１ ａ ａ １１ ． １－３ ２
５．
１
（
１
２０２１江西
１１
赣
＝
州
２
３
（
月
１＋
联考
１１）
，
＝
９）已
２
知
（ ３＋ ( ９
１
）
３
＝ ２
α
× ) （－２４）＝ ( －
２
１３２
α
) 若选 ③， 则ｆ （ ａ ｎ）＝ｌｏｇ３ ａ ｎ＝ ｎ １ ，∴ ａ ｎ＝３ １ｎ ，∴ ａ ａ ｎ ＋
ｎ
１ ＝ ３ ｎ １ｎ ＋ １ １ ＝３ ｎ＋ １ １－ｎ１ 不
ｓｉｎ π－ ＝４ｃｏｓ π＋ ， ３
６ ３ 是常数 则 ａ 不是等比数列．故选
则 α ， ｛ ｎ｝ Ｄ．
ｓｉｎ２ ＝ （ ） ８．（２０２１浙江杭州二中高三下开学考，１０）已知函数ｆ ｘ ａｘ
（ ）＝（ ＋
Ａ． １５ Ｂ． １５ ３ Ｃ．－ １５ Ｄ．－ １５ ３ ｌｎ
ｘ
）（
ｘ
－ｌｎ
ｘ
）－
ｘ２ 有三个不同的零点 ｘ
１，
ｘ
２，
ｘ
３（
其中 ｘ
１＜
ｘ
２＜
２６ ２６ ２６ ２６ æ ｘ ö２æ ｘ öæ ｘ ö
( ) ( ) ( ) ｘ 则ç ｌｎ １÷ ç ｌｎ ２÷ç ｌｎ ３÷的值为
答案 Ｄ 由 １３ α π α ２ α 得 ３）， è１－ ｘ ø è１－ ｘ øè１－ ｘ ø （ ）
ｓｉｎ π－ ＝ｓｉｎ － ＝４ｃｏｓ π＋ ， １ ２ ３
６ ６ ３ ． ａ ．ａ
æ ö Ａ１－ Ｂ －１
１ ｃｏｓ α － ３ ｓｉｎ α ＝４è ç － １ ｃｏｓ α － ３ ｓｉｎ α ø ÷ ， 即 １ ｃｏｓ α － ３ ｓｉｎ α Ｃ ． －１ Ｄ ． １
２ ２ ２ ２ ２ ２ 答案 Ｄ ｆ ｘ 的定义域为 ．方程 ａｘ ｘ ｘ
（ ） （０，＋∞） （ ＋ｌｎ ）（ －
( ｘ)( ｘ)
＝－２ｃｏｓ
α
－２ ３ｓｉｎ
α
，
即 ５
ｃｏｓ
α
＝－
３ ３
ｓｉｎ
α
，∴ ｔａｎ
α
＝－
５
，
则
ｌｎ
ｘ
）－
ｘ２
＝０
等价于 ａ
＋
ｌｎ
ｘ １－
ｌｎ
ｘ －１＝０，
２ ２ ３ ３
综合测试卷 ７ ２５
ｘ ｘ
设ｇ ｘ ｌｎ 则ｇ′ ｘ ｌｎ －１ 令ｇ′ ｘ 得ｘ 研究 三角形 故 正确 Ｓ １ ＰＡ ＰＢ ＡＰＢ
（ ）＝１－ ｘ ， （ ）＝ ｘ２ ， （ ）＝０， ＝ｅ， ， Ｂ ； △ ＰＡＢ ＝ · ·ｓｉｎ∠ ＝ ２ｓｉｎ
２
其单调性和值域如下表 ＡＰＢ 当 ＡＰＢ °时 ＰＡＢ 的面积最大 为 故 错
： ∠ ， ∠ ＝９０ ，△ ， ２， Ｃ
ｘ ＰＯ
（０，ｅ） ｅ （ｅ，＋∞） 误 直线ＰＡ与圆锥底面所成角为 ＰＡＯ ＰＡＯ １
ｇ′ ｘ ； ∠ ，ｔａｎ∠ ＝ＡＯ＝
（ ） － ０ ＋ ３
ｇ ｘ 单调性 单调递减 单调递增
（ ）
( ) ( ) ３ ＰＡＯ π 故 正确．
ｇ ｘ 值域 １ １ １ ＝ ，∴ ∠ ＝ ， Ｄ
（ ） １－ ，＋∞ １－ １－ ，１ ３ ６
ｅ ｅ ｅ
作出ｙ ｇ ｘ 的大致图象 如图．
＝ （ ） ，
令 ｇ ｘ ｔ 要 使 得
（ ） ＝ ，
( ｘ)( ｘ)
ａ ｌｎ ｌｎ 有三个不
＋ ｘ １－ ｘ －１＝０
等实根 则二次方程 ａ ｔ ｔ
， ［ ＋（１－）］ －１ １１．已知实数ｘ ｙ ｚ满足 ｘ ｙ １ 则下列关系式中可能成立
即ｔ２ ａ ｔ 有两个不 ， ， ｌｎ ＝ｅ ＝ ｚ ，
＝０ －（ ＋１） ＋１＝０
等实根ｔ ｔ ． 的是
１，２ （ ）
由根与系数的关系可知ｔ ｔ 不妨设ｔ ｔ ｘ ｙ ｚ ｘ ｚ ｙ
１ ２＝１， １＜１＜ ２， Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞
问题转化为求函数ｙ ｇ ｘ 的图象与直线ｙ ｔ 和ｙ ｔ 的交点 ｚ ｘ ｙ ｚ ｙ ｘ
＝ （ ） ＝ １ ＝ ２ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
的横坐标． 答案 ＡＢＣ 分别作出ｆ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｈ ｘ
（ ）＝ｌｎ （ ＞１）， （ ）＝ｅ ， （ ）
ｘ ｘ ｘ
因为ｘ ｘ ｘ 所以 ｔ ｌｎ １ ｔ ｌｎ ２ ｌｎ ３ 如图 １ ｘ 的图象 令 ｘ ｙ １ ｔ 讨论直线ｙ ｔ分别与ｆ
１＜ ２＜ ３， ２＝１－ ｘ ， １＝１－ ｘ ＝１－ ｘ ， ＝ ｘ （ ＞０） ， ｌｎ ＝ｅ ＝ ｚ ＝ ， ＝
１ ２ ３
所示．
ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｈ ｘ １ ｘ 的图象的交点的
æ ｘ ö２æ ｘ öæ ｘ ö （ ）＝ｌｎ （ ＞１）， （ ）＝ｅ ， （ ）＝ ｘ （ ＞０）
由根与系数的关系可知ç ｌｎ １÷ ç ｌｎ ２÷ç ｌｎ ３÷ ｔ２
è１－ ｘ ø è１－ ｘ øè１－ ｘ ø ＝ ２· 横坐标情况．
１ ２ ３
ｔ ｔ ｔ ｔ ２ 故选 ．
１ １＝（ １ ２） ＝１， Ｄ ①
二、多项选择题（本题共４小题，每小题５ 分，共２０ 分．在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分．）
９．已知在某市的一次学情检测中 学生的数学成绩Ｘ服从正态
，
分布Ｎ 其中 分为及格线 分为优秀线．下列
（１００，１００）， ９０ ，１２０
说法正确的是
（ ）
附 ： 随机变量ξ服从正态分布Ｎ （ μ ， σ２ ）， 则Ｐ （ μ － σ ＜ ξ ＜ μ ＋ σ ）＝ 此时ｚ ＜ ｙ ＜ ｘ ， 故 Ａ 正确 ；
． Ｐ μ σ ξ μ σ ． Ｐ μ σ ξ μ σ ．
０６８２６， （ －２ ＜ ＜ ＋２ ）＝０９５４ ４， （ －３ ＜ ＜ ＋３ ）＝０
②
．
９９７４
该市学生数学成绩的期望为
Ａ． １００
该市学生数学成绩的标准差为
Ｂ． １００
该市学生数学成绩及格率超过 ．
Ｃ． ０８
该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
Ｄ．
答案 ＡＣ 易知μ σ２ Ｅ Ｘ σ ．
＝１００， ＝１００，∴ （ ）＝１００， ＝１０
．
Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ １－０６８２６ ． 此时ｙ ｚ ｘ 故 正确
（９０＜ ＜１１０）＝０６８２６，∴ （ ＜９０）＝ ＝０１５８７， ＜ ＜ ， Ｂ ；
２
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． ． ． ． ③
（ ≥９０）＝１－ （ ＜９０）＝１－０１５８７＝０８４１３＞０８
Ｐ Ｘ
Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ １－ （８０＜ ＜１２０）
（８０＜ ＜１２０）＝ ０ ９５４ ４，∴ （ ≥１２０）＝ ＝
２
． ． 显然该市学生数学成绩不及格的人数和优
００２２８≠０１５８７，
秀的人数不相等．故选 ．
ＡＣ
１０．已知圆锥的顶点为Ｐ 母线长为 底面半径为 Ａ Ｂ为底
， ２， ３， 、
面圆周上两个动点 则下列说法正确的是
， （ ）
圆锥的高为
Ａ． １
三角形ＰＡＢ为等腰三角形 此时ｙ ｘ ｚ 故 正确．
Ｂ． ＜ ＜ ， Ｃ
三角形ＰＡＢ面积的最大值为 故选
ＡＢＣ
．
Ｃ． ３
１２．（２０２１届海南华侨中学模拟）已知函数ｆ ｘ ｘ － ｘ ｘ ．则
直线ＰＡ与圆锥底面所成角的大小为π （ ）＝ｅ ＋ｅ ＋｜ ｜
Ｄ． 下面结论正确的是
６ （ ）
答案 ＡＢＤ 设圆锥的高为ｈ 母线为ｌ 底面圆半径为ｒ ｆ ｘ 是奇函数
， ， ， Ａ． （ ）
则ｌ２ ｈ２ ｒ２ ｈ 故 正确 ＰＡ ＰＢ ＰＡＢ为等腰 ｆ ｘ 在 上为增函数
＝ ＋ ，∴ ＝１， Ａ ；∵ ＝ ，∴ △ Ｂ． （ ） ［０，＋∞）
７ ２６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) [ ]
若ｘ 则ｆ ｘ １ ２ 答案 ３
Ｃ． ≠０， ＋ ｘ ＞ｅ ＋２ ，２
２
若ｆ ｘ ｆ 则 ｘ ｘ２
Ｄ． （ －１）＜（－１）， ０＜ ＜２ 解析 ｆ ｘ ２ 当ｘ 时 ｆ ｘ ．
答案 ＢＣＤ 已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｅ ｘ ＋ｅ － ｘ ＋｜ ｘ ｜， 其定义域为Ｒ ， （ ）＝ｘ ＋１ ， ＝０ ， （ ）＝０
ｆ 数 （－ ｘ 故 ） 选 ＝ｅ 项 － ｘ ＋ｅ ｘ 错 ＋｜ 误 － ｘ ｜＝ｅ － ｘ ＋ｅ ｘ ＋｜ ｘ ｜＝ ｆ （ ｘ ）， 故函数ｆ （ ｘ ） 为偶函 当 ０＜ ｘ ≤１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ １ ２ １ ＝( １ １ ２ ) ２ １ ∈（０，１］，
当 ， ｘ 时 Ａ ｆ ｘ ； ｘ － ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ － ｘ ｘ ＋ｘ２ ｘ ＋ ２ － ４
＞０ ， （ ）＝ｅ ＋ｅ ＋ ， （ ）＝ｅ －ｅ ＋１＞０， ｘ
所以函数ｆ ｘ 为增函数 故选项 正确 所以ｆ ｘ 在 上的值域为 ．ｇ ｘ ａ π ａ ａ
（ ） ， Ｂ ； （ ） ［０，１］ ［０，１］ （ ）＝ ｓｉｎ ＋３－２ （
３
当ｘ 时 由基本不等式得ｘ １ 当且仅当ｘ 时等号
＞０ ， ＋ ｘ ≥２， ＝１ ＞０），
ｘ ｘ
成立 当 ｘ ３ 时 π π 有 π
， ０≤ ≤ ，０≤ ≤ ， ０≤ｓｉｎ ≤１，
又ｆ ｘ 在 上为增函数 ２ ３ ２ ３
（ ） （０，＋∞） ， 可得ｇ ｘ 的值域为 ａ ａ
( ) （ ） ［３－２ ，３－ ］，
所以ｆ ｘ ＋ １ ｘ ≥ ｆ （２）＝ｅ ２ ＋ｅ －２ ＋２＞ｅ ２ ＋２， 对于任意 ｘ 总存在 ｘ [ ３ ] 使得 ｇ ｘ
１∈［０，１］， ０∈ ０， ， （ ０）＝
２
又函数ｙ ｘ １ 为奇函数 ｆ ｘ 成立
＝ ＋ ｘ ， （ １） ，
可得 ａ ａ
( ) ( ) ［０，１］⊆［３－２ ，３－ ］，
当ｘ ＜０ 时 ，－ ｘ － １ ｘ ≥２， ｆ ｘ ＋ １ ｘ ＝－ ｆ － ｘ － １ ｘ ＞ｅ ２ ＋２， 则 { ３－２ ａ ≤０，解得 ３ ａ ．
ａ ≤ ≤２
( ) ３－ ≥１， ２
综上 ， 当ｘ ≠０ 时 ， ｆ ｘ ＋ １ ｘ ＞ｅ ２ ＋２， １６．（２０２１安徽黄山二模，１６）双曲线Γ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
故选项 正确
Ｃ ； 左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Γ的左 右两支分别
因为函数ｆ ｘ 为偶函数 所以由ｆ ｘ ｆ 、 １， ２， １ 、
（ ） ， （ －１）＜（－１），
得ｆ （｜ ｘ －１｜）＜ ｆ （｜－１｜）， 则 ｜ ｘ －１｜＜１， 解得 ０＜ ｘ ＜２， 故选项 Ｄ
交于 Ａ
，
Ｂ 两点
，
点 Ｍ 在 ｘ 轴上
，
Ａ→Ｆ
２ ＝ ３
１ Ｂ→Ｍ
，
ＢＦ
２
平分
正确． Ｆ ＢＭ 则Γ的渐近线方程为 ．
∠ １ ，
故选ＢＣＤ． 答案 ｙ ｘ
＝± ６
三、填空题（本题共４小题，每小题５分，共２０分．） 解析 根据题意 作出如下所示的图形
， ，
１３．（２０２１山西孝义月考，１４）已知
（１＋
ｘ
）（２－
ｘ
）
９
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋
由题可知
，｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜＝２
ｃ
，
由Ａ→Ｆ
２＝
１ Ｂ→Ｍ
，∴ △
Ｆ
１
ＡＦ
２∽△
Ｆ
１
ＢＭ
，
ａ ｘ１０ 则ａ ａ ａ ． ３
…＋ １０ ， １＋ ２＋…＋ ９＝ Ｆ Ｍ ｃ 设 ＡＦ ｍ 则 ＢＭ ｍ
答案 ∴ ｜ ２ ｜＝４ ， ｜ ２｜＝ ， ｜ ｜＝３ ，
－５０９ Ｆ Ｆ ＢＦ ｃ
解析 令ｘ 得ａ ａ ａ ａ ａ 令ｘ 得ａ ９ ＢＦ 平分 Ｆ ＢＭ ｜ １ ２｜ ｜ １｜ ２ １
＝１， ０＋ １＋ ２＋…＋ ９＋ １０＝２； ＝０， ０＝２ ＝ ∵ ２ ∠ １ ，∴ ＭＦ ＝ ＢＭ ＝ ｃ＝ ，
５１２；
易知ｘ１０的系数为
－１，
所以ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
９＝２－５１２－（－１）＝
ＢＦ ３
ｍ
ＡＦ １
｜
Ｂ
２
Ｆ
｜ ｜
ｍ
｜
ＡＢ
４
２
２
ＢＦ ｍ
－５０９ ． ∴ ｜ １｜＝
２
，｜ １｜＝
３
｜ １｜＝
２
，｜ ｜＝
３
｜ １｜＝ ，
１４．（２０２１天津南开中学统练（２５），１３）两个实习生每人加工一 由双曲线的定义知 ＡＦ ＡＦ ａ
，｜ ２｜－｜ １｜＝２ ，
个零件 加工为一等品的概率分别为 ２ 和 １ 两个零件是否 ｍ １ ｍ ａ 即ｍ ａ
， ， ∴ － ＝２ ， ＝４ ①，
３ ２ ２
加工为一等品相互独立 设两人加工的零件中为一等品的个 ＢＦ ＢＦ ａ
， ｜ １｜－｜ ２｜＝２ ，
数为ξ 则Ｅξ ．
， ＝ ＢＦ ３ ｍ ａ ｍ
∴ ｜ ２｜＝ －２ ＝ ，
答案 ７ ２
ＢＦ ＡＢ ＡＦ ｍ
６ ∴ ｜ ２｜＝｜ ｜＝｜ ２｜＝ ，
解析 ξ的可能取值为 即 ＡＢＦ 是等边三角形
０，１，２， △ ２ ，
( )( ) Ｆ ＢＭ ＡＢＦ °
Ｐ ξ ２ １ １ ∴ ∠ ２ ＝∠ ２＝６０ ，
（ ＝０）＝ １－ １－ ＝ ， 在 Ｆ ＢＭ中 由余弦定理知
３ ２ ６ △ ２ ， ，
( ) ( ) ＢＦ ２ ＢＭ ２ ＭＦ ２
Ｐ ξ ２ １ ２ １ １ Ｆ ＢＭ ｜ ２｜ ＋｜ ｜ －｜ ２｜
（ ＝１）＝ １－ ＋ １－ × ＝ ， ｃｏｓ∠ ２ ＝ ＢＦ ＢＭ ，
３ ２ ３ ２ ２ ２｜ ２｜·｜ ｜
ｍ２ ｍ２ ｃ２
Ｐ ξ ２ １ １ 即 １ ＋９ －１６ 化简得 ｍ２ ｃ２
（ ＝２）＝ × ＝ ， ＝ ｍ ｍ ， ７ ＝１６ ②，
３ ２ ３ ２ ２ ·３
ｃ２
Ｅξ １ １ １ ７ 故答案为 ７ ． 由 可得 则ｂ２ ｃ２ ａ２ ａ２
＝０× ＋１× ＋２× ＝ ， ①② ，ａ２ ＝７， ＝ － ＝６ ，
６ ２ ３ ６ ６
ｘ２ 可得双曲线的渐近线方程为ｙ ｘ．
１５．（２０２１黑龙江齐齐哈尔二模，１５）设 ｆ ｘ ２ ｇ ｘ ａ ＝± ６
（ ）＝ ｘ ， （ ）＝ ｓｉｎ
＋１
ｘ
π ａ ａ 若对于任意 ｘ 总存在 ｘ
＋３－２ （ ＞０）， １∈［０，１］， ０∈
３
[ ]
３ 使得ｇ ｘ ｆ ｘ 成立 则 ａ 的取值范围是
０， ， （ ０）＝ （ １） ，
２
．
综合测试卷 ７ ２７
思路分析 由三角形的相似可得 Ｆ Ｍ ｃ，设 ＡＦ ｍ， ( ) ( )
｜ ２ ｜＝４ ｜ ２｜＝ 所以ｆ π ２π π π ．
则 ＢＭ ｍ，再由角平分线的性质定理可得 ＡＦ ， ＡＢ ，运 ＝２ｓｉｎ － ＝２ｓｉｎ ＝ ３
｜ ｜＝３ ｜ １｜ ｜ ｜ ３ ３ ３ ３
用双曲线的定义，可得ｍ ａ，判断 ＡＢＦ 是等边三角形，由
＝４ △ ２ （２） 令 － π ＋２ ｋ π≤２ ｘ － π ≤ π ＋２ ｋ π（ ｋ ∈ Ｚ ），
余弦定理可得 ｍ２ ｃ２，可得ａ，ｃ的关系，进而得到ａ，ｂ的 ２ ３ ２
７ ＝１６
关系，可得双曲线的渐近线方程． 所以 π ｋ ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ ．
－ ＋ π≤ ≤ ＋ π（ ∈ ）
四、解答题（共７０ 分．解答应写出文字说明，证明过程或 １２ １２ [ ]
所以函数ｆ ｘ 的单调增区间为 π ｋ ５π ｋ ｋ Ｚ ．
演算步骤．） （ ） － ＋ π， ＋ π （ ∈ ）
１２ １２
１７．（２０２１全国百强名校“领军考试”，１８）已知数列 ａ 满足ａ [ ]
｛ ｎ｝ １ 因为函数ｆ ｘ 在 ａ 上单调递增 且 π ５π 此时
（ ） ［０， ］ ， ０∈ － ， ，
ａ １ ａ １ ｂ ａ １ ． １２ １２
＝２， ｎ ＋１＝ ｎ－ ｎ， ｎ＝ ｎ－ ｎ －１ ｋ
２ ２×３ ３ ＝０，
求证 数列 ｂ 是等比数列
（１） ： ｛ ｎ｝ ； 所以ａ ５π 故实数ａ的最大值为５π．
≤ ，
设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 求证 Ｓ ７ ． １２ １２
（２） ｛ ｎ｝ ｎ， ： ｎ＜ 选择条件
２ ①③：
解析 因为ａ ａ １ ａ １ ｂ ａ １ 由条件 得 Ｔ ２π
（１） １＝２， ｎ ＋１＝ ｎ－ ｎ， ｎ＝ ｎ－ ｎ －１， （１） ① ， ＝ ω ＝π，
２ ２×３ ３ ｜ ｜
因为ω 所以ω ．
ａ １ １ ａ １ １ １ ａ １ ＞０， ＝２
所以 ｂ ｎ ＋１ ｎ ＋１－ ３ ｎ ２ ｎ－ ２×３ ｎ－ ３ ｎ ２ ｎ－ ２×３ ｎ －１ １ 由 知 ｆ ( π ) ｍ 所以ｍ ．
ｂ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ③ ， （０）＝２ｓｉｎ － ＋ ３＋ ＝２， ＝２
ｎ ａ １ ａ １ ａ １ ２ ３
ｎ－ ｎ －１ ｎ－ ｎ －１ ｎ－ ｎ －１ ( )
３ ３ ３ 则ｆ ｘ ｘ π ．
又ｂ ａ （ ）＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ３＋２
１＝ １－１＝１， ３
( )
所以数列 ｂ 是首项为 公比为 １ 的等比数列． 分 所以ｆ π π ．
｛ ｎ｝ １， （６ ） ＝２ｓｉｎ ＋ ３＋２＝２ ３＋２
２ ３ ３
（２） 由 （１） 得ｂ ｎ＝ ａ ｎ－ ｎ １ －１ ＝ ｎ １ －１， 所以ａ ｎ＝ ｎ １ －１ ＋ ｎ １ －１， （２） 令 － π ＋２ ｋ π≤２ ｘ － π ≤ π ＋２ ｋ π（ ｋ ∈ Ｚ ），
３ ２ ２ ３ ２ ３ ２
所以Ｓ １ １ １ １ １ １ 所以 π ｋ ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ
ｎ＝１＋ ＋ ２ ＋…＋ ｎ －１ ＋１＋ ＋ ２ ＋…＋ ｎ －１ － ＋ π≤ ≤ ＋ π（ ∈ ），
２ ２ ２ ３ ３ ３ １２ １２
[ ]
１ １ 所以函数ｆ ｘ 的单调增区间为 π ｋ ５π ｋ ｋ Ｚ
１－ ｎ １－ ｎ （ ） － ＋ π， ＋ π （ ∈ ），
２ ３ １ ３ １ ３ ７ ． 分 １２ １２
＝ ＋ ＝２－ ｎ －１ ＋ － ｎ －１＜２＋ ＝ （１２ ） [ ]
１ １ ２ ２ ２×３ ２ ２ 因为函数ｆ ｘ 在 ａ 上单调递增 且 π ５π 此时
１－ １－ （ ） ［０， ］ ， ０∈ － ， ，
２ ３ １２ １２
ωｘ
１８．（２０２１ 北京西城二模，１７）已知函数 ｆ ｘ ｋ 所以ａ ５π 故实数ａ的最大值为５π．
（ ）＝ ４ｓｉｎ · ＝０， ≤ ，
２ １２ １２
(ωｘ )
说明：不可以选择条件 ：
π ｍ ω ．在下列条件 条件 条件 这三 ②③
ｃｏｓ － ＋ （ ＞０） ①、 ②、 ③
２ ３ 由 知，（ ｍ） （ ｍ） ，所以ｍ ；
个条件中 选择可以确定ω和ｍ值的两个条件作为已知． ② ２＋ ３＋ ＋ －２＋ ３＋ ＝０ ＝－ ３
， ( )
( ) 由 知， ｆ（ ） π ｍ ，所以ｍ ．矛盾．
求ｆ π 的值 ③ ０ ＝２ｓｉｎ － ＋ ３＋ ＝２ ＝２
（１） ； ３
３ 所以函数ｆ（ｘ）不能同时满足条件 和 ．
若函数 ｆ ｘ 在区间 ａ 上是增函数 求实数 ａ 的最 ② ③
（２） （ ） ［０， ］ ， 思路分析 根据条件 可利用周期Ｔ求出ω的值，根据条
大值． ①
件 或 可求出ｍ的值，故若要求函数ｆ（ｘ）的解析式，可选
条件 ｆ ｘ 最小正周期为 ② ③
①： （ ） π； 的条件组合为 或 ，不可选择 ．
条件 ｆ ｘ 最大值与最小值之和为 ①② ①③ ②③
②： （ ） ０； １９．（２０２１云南昆明“三诊一模”第二次教学质量检测，１９） 月
条件 ｆ ． ３
③： （０）＝２ 日为我国的植树节 某校为增强学生的环保意识 普及环
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． １２ ， ，
保知识 于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞
ωｘæ ωｘ ωｘö ，
解析 ｆ ｘ ç １ ３ ÷ ｍ 赛 现从参赛的所有学生中随机抽取 人的成绩 满分为
（ ）＝４ｓｉｎ è ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ø＋ ， ２００ （
２ ２ ２ ２ ２ 分 作为样本 得到成绩的频率分布直方图如图所示 其
ωｘ ωｘ ωｘ １００ ） ， ，
２ ｍ ωｘ ωｘ ｍ 中样本数据分组区间为
＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ ３ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ＋ ３（１－ｃｏｓ ）＋ ［４０，５０），［５０，６０），［６０，７０），［７０，
２ ２ ２ ( ) ．
８０），［８０，９０），［９０，１００］
ωｘ ωｘ ｍ ωｘ π ｍ．
＝ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＋ ３＋ ＝２ｓｉｎ － ＋ ３＋
３
选择条件
①②：
由条件 得 Ｔ ２π 因为ω 所以ω ．
（１） ① ， ＝ ω ＝π， ＞０， ＝２
｜ ｜
由 知 ｍ ｍ 所以ｍ ．
② ，（２＋ ３＋ ）＋（－２＋ ３＋ ）＝０， ＝－ ３
( )
则ｆ ｘ ｘ π
（ ）＝２ｓｉｎ ２ － ，
３
７ ２８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
求频率分布直方图中ａ的值 并估计该校此次环保知识竞赛 因为ＰＡ 平面ＡＢＣＤ
（１） ， （２） ⊥ ，
成绩的平均分 同一组中的数据用该组区间中点值代表 所以ＰＡ ＡＤ ＰＡ ＡＢ 则ＰＡ ＡＤ ＡＢ两两垂直
（ ）； ⊥ ， ⊥ ， ， ， ，
在该样本中 若采用分层抽样的方法从成绩低于 分的 如图建立空间直角坐标系Ａ ｘｙｚ． 分
（２） ， ７０ － （６ ）
学生中随机抽取 人 查看他们的答题情况 再从这 人 则Ａ Ｐ Ｂ
６ ， ， ６ （０，０，０）， （０，０，２）， （０，
中随机抽取 人进行调查分析 求这 人中至少有 人 Ｃ Ｄ
３ ， ３ １ ４，０）， （２，２，０）， （２，０，０），
成绩在 内的概率． Ｅ
［５０，６０） （０，２，１），
解析 （１） 由频率分布直方图可得 ，（０ ． ００６＋０ ． ０１２＋０ ． ０１８× 所以Ｄ→Ｃ ＝（０，２，０），
． ａ 解得ａ ．
２＋００２１＋ ）×１０＝１， ＝００２５， Ｃ→Ｅ ．
这组样本数据的平均数为 ． ． ． ＝（－２，０，１）
４５×０ ０６＋５５×０ １２＋６５×０ １８＋７５× 设平面ＣＤＥ的法向量为ｎ ｘ ｙ ｚ
． ． ． ． ＝（ ， ， ），
所 ０２ 以 ５＋ 估 ８５ 计 × 该 ０２ 校 １＋ 此 ９５ 次 × 环 ０１ 保 ８ 知 ＝７ 识 ４ 竞 ７， 赛成绩的平均分为 ７４ ． ７ 分． 所以 {ｎ · Ｄ→Ｃ ＝０，
由频率分布直方图可知 成绩在 ｎ Ｃ→Ｅ
（２） ， ［４０，５０），［５０，６０），［６０， · ＝０，
内的频率分别为 ． ． ． { ｙ {ｙ
７０） ００６，０１２，０１８， 所以 ２ ＝０， 即 ＝０， 分
所以采用分层抽样的方法从样本中随机抽取的 人中 成绩 ｘ ｚ ｚ ｘ （８ ）
６ ， －２ ＋ ＝０， ＝２ ，
在 内的有 人 记为Ａ 成绩在 内的有 人 令ｘ 则ｚ
［４０，５０） １ ， ， ［５０，６０） ２ ， ＝１， ＝２，
记为ｂ ｃ 成绩在 内的有 人 记为 ． 所以平面ＣＤＥ的一个法向量为ｎ 分
、 ， ［６０，７０） ３ ， １、２、３ ＝（１，０，２）， （９ ）
故从成绩在 内的 人中随机抽取 人 有Ａｂｃ Ａｂ 易知平面ＡＣＤ的一个法向量为ｍ 分
［４０，７０） ６ ３ ， 、 １、 ＝（０，０，１）， （１０ ）
Ａｂ Ａｂ Ａｃ Ａｃ Ａｃ Ａ Ａ Ａ ｂｃ ｂｃ ｂｃ ｂ ｂ ｍ ｎ
２、 ３、 １、 ２、 ３、 １２、 １３、 ２３、 １、 ２、 ３、 １２、 １３、 所以 ｍ ｎ · ２ ２ ５ 分
ｂ ｃ ｃ ｃ 共有 种情况 ｃｏｓ〈 ， 〉＝ ｍ ｎ ＝ ＝ ， （１２ ）
这 ２３、 人 １２ 成 、 绩 １３ 均 、 不 ２３ 在 、１２３， 内 ２０ 的有Ａ ， Ａ Ａ 共有 ｜ ｜·｜ ｜ ５ ５
３ ［５０，６０） １２、 １３、 ２３、１２３， ４ 因为二面角Ｅ ＣＤ Ａ为锐二面角
种情况． － － ，
记事件Ｂ 这 人中至少有 人成绩在 内 所以二面角Ｅ ＣＤ Ａ的余弦值为２ ５． 分
： ３ １ ［５０，６０） ， － － （１３ ）
５
则Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ ４ ４ ． ２１．（２０２１甘肃兰州一模，２０）已知抛物线ｙ２ ｘ及点Ｐ ．
（ ）＝１－ （ ）＝１－ ＝ ＝４ （４，０）
２０ ５ 以抛物线的焦点Ｆ为圆心 ＦＰ 为半径作圆 求圆Ｆ与
（１） ，｜ ｜ ，
所以这 人中至少有 人成绩在 内的概率为 ４ ． 抛物线交点的横坐标
３ １ ［５０，６０） ；
５ 若Ａ Ｂ是抛物线上不同的两点 且直线 ＡＢ 与 ｘ 轴不垂
方法总结 从频率分布直方图中可以估计出的几个数据： （２） ， ，
众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标； 直 弦ＡＢ的垂直平分线恰好经过点Ｐ 求→ＦＡ Ｆ→Ｂ的取值
① ， ， ·
平均数：频率分布直方图中每组数值的中间值乘频率后相 范围．
②
加之和； 解析 由已知得Ｆ 所以圆Ｆ的方程为 ｘ ２
（１） （１，０）， （ －１） ＋
中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行 ｙ２
③ ＝９，
于ｙ轴的直线的横坐标． { ｘ ２ ｙ２
由 （ －１） ＋ ＝９，得ｘ２ ｘ ．
２０．（２０２１北京西城二模，１６）如图 在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中 ＰＡ ｙ２ ｘ ＋２ －８＝０
， － ， ⊥ ＝４
平面ＡＢＣＤ ＡＢ ＣＤ ＡＢ ＡＤ ＡＢ ＰＡ ＡＤ ＣＤ 点 Ｅ 解得ｘ 或ｘ 由于ｘ 所以ｘ ．则圆与抛物线交点的
， ∥ ， ⊥ ， ＝４， ＝ ＝ ＝２， ＝２ ＝－４， ＞０， ＝２
为ＰＢ的中点． 横坐标为 ．
２
求证 平面ＰＢＣ 平面ＰＡＣ æｙ２ ö æｙ２ ö
（１） ： ⊥ ； 设弦ＡＢ的中点为Ｍ Ａç １ ｙ ÷ Ｂç ２ ｙ ÷ Ｍ ｘ ｙ
求二面角Ｅ ＣＤ Ａ的余弦值． （２） ， è ， １ ø， è ， ２ ø， （ ０， ０），
（２） － － ４ ４
ｙ２ ｙ２ ｙ ｙ
则ｘ １＋ ２ ｙ １＋ ２ 设线段ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ
０＝ ， ０＝ ，
８ ２
ｋ ｘ ｋ
＝ （ －４）（ ≠０），
ｙ ｙ
则直线ＡＢ的斜率ｋ １－ ２ ４ ２ １
解析 证明 取ＡＢ的中点Ｆ 连接ＣＦ 所以ＡＦ ＣＤ
ＡＢ＝ｙ２
１ －
ｙ２
２
＝ｙ
１＋
ｙ
２
＝ｙ
０
＝－ ｋ ，
（１） ： ， ， ＝ ， ４ ４
又因为ＡＦ ＣＤ 所以四边形ＡＦＣＤ是平行四边形． ｙ ｋ．
因为ＡＢ
∥
ＡＤ ＡＤ
，
ＣＤ 所以四边形ＡＦＣＤ是正方形
∴
点
０＝
Ｍ
－２
在弦ＡＢ的垂直平分线上
⊥ ， ＝ ， ， ∵ ，
则ＡＢ ＣＦ ＣＦ ＡＤ 所以ＡＣ ＢＣ ｙ ｋ ｘ ｋ ｘ ．
⊥ ， ＝ ＝２， ＝ ＝２ ２， ∴ ０＝ （ ０－４）（ ≠０），∴ ０＝２
得到ＡＣ２ ＢＣ２ ＡＢ２ 则直线ＡＢ的方程为ｋ ｙ ｙ ｘ
＋ ＝ ， （ － ０）＝２－ ，
所以ＢＣ ＡＣ． 分 {ｋ ｙ ｙ ｘ
⊥ （１ ） 由 （ － ０）＝２－ ，
因为ＰＡ
⊥
平面ＡＢＣＤ
，
ｙ２
＝４
ｘ
所以ＰＡ ＢＣ 分
因为ＰＡ
⊥
∩
ＡＣ
，
＝
Ａ
，
（２ ） 得ｋｙ
－
ｋｙ
０＝２－
ｙ
４
２
，
即ｙ２
＋４
ｋｙ
＋８
ｋ２
－８＝０
．
所以ＢＣ
⊥
平面ＰＡＣ．
（３
分
） ∴
Δ
＝１６
ｋ２
－３２
ｋ２
＋３２＝－１６
ｋ２
＋３２＞０，
因为ＢＣ
⊂
平面ＰＢＣ
， ∴０＜
ｋ２
＜２，
平面ＰＢＣ
⊥
平面ＰＡＣ．
（５
分
） ∵
ｙ
１＋
ｙ
２＝－４
ｋ
，
ｙ
１
ｙ
２＝８
ｋ２
－８，
综合测试卷 ７ ２９
æｙ２ öæｙ２ ö 所以ｆ ｘ 的极大值为ｆ ｂ 极小值为ｆ ｂ ．
→ＦＡ Ｆ→Ｂ ç １ ÷ç ２ ÷ ｙ ｙ （ ） （０）＝ ， （２）＝ －４
∴ · ＝è －１øè －１ø＋ １ ２ 若函数 ｆ ｘ 存在三个零点 分别记为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
４ ４ （ｉ） （ ） ， １， ２， ３（ １＜ ２＜
æｙ ｙ ö２ {ｆ
ç １ ２÷ １ ｙ２ ｙ２ ｙ ｙ ｘ 则 （０）＞０，所以 ｂ ．
＝è ø － （ １＋ ２）＋１＋ １ ２ ３）， ｆ ０＜ ＜４
４ ４ （２）＜０，
ｋ２ ２ ｋ２ 当 ｂ 时 ｆ ｂ ｆ ｂ
＝４（ －１） －４＋１＋８ －８ ０＜ ＜４ ， （－１）＝ －４＜０， （３）＝ ＞０，
ｋ４ 此时ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
＝４ －７， （－１）·（０）＜０， （０）·（２）＜０， （２）·（３）＜０，
满足ｆ ｘ 存在三个零点
→ＦＡ Ｆ→Ｂ的取值范围是 ． （ ） ，
∴ · （－７，９）
２２．（２０２１北京丰台综合练习一，２０）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ｂ ｂ 所以若函数ｆ （ ｘ ） 存在三个零点 ， 则ｂ的取值范围是 ０＜ ｂ ＜４ ．
（ ）＝ －３ ＋ （
证明 因为ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 是函数ｆ ｘ 的零点
∈
Ｒ
）
． （ｉｉ） ： １， ２， ３（ １＜ ２＜ ３） （ ） ，
所以由 知ｘ ｘ ｘ ．
（１） 当ｂ ＝１ 时 ， 求曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在点 （１， ｆ （１）） 处的切线方程 ； （ｉ） １＜０＜ ２＜ ３
（２） 若函数ｆ （ ｘ ） 存在三个零点 ， 分别记为 ｘ １， ｘ ２， ｘ ３（ ｘ １＜ ｘ ２＜ 因为ｆ （ ｘ ２）＝ ｘ３ ２－３ ｘ２ ２＋ ｂ ＝０，
ｘ ． 所以ｆ ｘ ｘ ３ ｘ ２ ｂ ｘ３ ｘ２ ｂ ｘ３ ｘ３
３） （－ ２）＝（－ ２） －３（－ ２） ＋ ＝－ ２－３ ２＋ ＝－２ ２＋（ ２－
求ｂ的取值范围 ｘ２ ｂ ｘ３ ．
（ｉ） ； ３ ２＋ ）＝－２ ２＜０
证明 ｘ ｘ ． 因为ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ．
（ｉｉ） ： １＋ ２＞０ （ １）＝０， （－ ２）＜（ １）
解析
（１）
当ｂ
＝１
时
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ３
－３
ｘ２
＋１，
又因为ｘ
１，－
ｘ
２∈（－∞，０），
且ｆ
（
ｘ
）
在区间
（－∞，０）
上单调递
则ｆ ′
（
ｘ
）＝３
ｘ２
－６
ｘ
，
增
，
所以
－
ｘ
２＜
ｘ
１，
即ｘ
１＋
ｘ
２＞０
．
因为ｆ ｆ ′ 审题指导 （ ）求出导函数得切线斜率为ｆ ′（ ） ，计
（１）＝－１， （１）＝－３， １ １ ＝－３
所以曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程为ｙ 算ｆ（ ）得切点坐标（ ， ），运用直线方程的点斜式得切线
＝ （ ） （１， （１）） －（－１）＝ １ １ －１
ｘ 即 ｘ ｙ ． 方程；（ ）先求得ｆ（ｘ）的极大值与极小值．（ ）根据ｆ（ｘ）有三
－３（ －１）， ３ ＋ －２＝０ ２ ｉ
因为ｆ ′ ｘ ｘ２ ｘ 个零点求得ｂ的取值范围．（ ）先得ｘ ｘ ｘ ，由ｆ（ｘ ）
（２） （ ）＝３ －６ ， ｉｉ １＜０＜ ２＜ ３ ２ ＝ ０
所以令ｆ ′ ｘ 得ｘ 或ｘ ． 与ｆ（ ｘ ） 得ｆ（ ｘ ） ｆ（ｘ ） ，再根据ｆ（ｘ）在区间（ ，
（ ）＝０， ＝０ ＝２ － ２ ＜０ － ２ ＜ １ ＝０ －∞
ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 随ｘ的变化情况如下 ）上单调递增即可得证．
（ ）， （ ） ： ０
ｘ
（－∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋∞）
ｆ′ ｘ
（ ） ＋ ０ － ０ ＋
ｆ ｘ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
（ ）
