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绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷文科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 2
2. 若集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 若
满足约束条件
，则
的最小值为（ ）
A
B.
C.
D.
4. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙
不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
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A.
B.
C.
D.
5. 已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A.
B.
C. 1
D.
6. 已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（
）
A. 4
B. 3
C. 2
D.
7. 设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A
B.
C.
D.
8. 函数
在区间
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知
，则
（ ）
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A
B.
C.
D.
10. 已知直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（
）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
11. 设
两个平面，
为两条直线，且
.下述四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
或
③若
且
，则
④若
与
,
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④
12. 记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13. 函数
在
上的最大值是______．
14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为
,下底面半径均为
，圆台的母线长分别为
,
，
则圆台甲与乙的体积之比为______．
15. 已知
且
，则
______．
16. 曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值范围为______．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 题第21 题为必考
题，每个考题考生必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
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17. 已知等比数列
的前
项和为
，且
.
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和.
18. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150 件
进行检验，数据如下：
优级
品
合格
品
不合格
品
总
计
甲车
间
26
24
0
50
乙车
间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
（1）填写如下列联表：
优级
品
非优级
品
甲车
间
乙车
间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品
优级品率
，设
为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.
如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150 件产品的数据，能
否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
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附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19. 如图，
，
，
，
,
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求点
到
的距离.
20. 已知函数
．
（1）求
的单调区间；
（2）当
时，证明：当
时，
恒成立．
21. 已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
（1）求
的方程；
（2）过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
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（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）写出
的直角坐标方程；
（2）设直线l：
（为参数），若
与l 相交于
两点，若
，求
.
23. 已知实数
满足
．
（1）证明：
；
（2）证明：
．
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绝密★启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷文科数学
使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
【1 题答案】
【答案】D
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】C
【5 题答案】
【答案】D
【6 题答案】
【答案】C
【7 题答案】
【答案】A
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【8 题答案】
【答案】B
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】C
【11 题答案】
【答案】A
【12 题答案】
【答案】C
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
【13 题答案】
【答案】2
【14 题答案】
【答案】
【15 题答案】
【答案】64
【16 题答案】
【答案】
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17 题第21 题为必考
题，每个考题考生必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60 分．
【17 题答案】
【答案】（1）
（2）
【18 题答案】
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【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【19 题答案】
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【20 题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【21 题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂
黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
【22 题答案】
【答案】（1）
（2）
【23 题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
