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专题16 电磁感应中的导体框模型
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类型1 线框穿越磁场过程的图像问题.............................................................................................................1
类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题.............................................................................................2
类型3 线框穿越磁场过程的动量与电荷量问题.............................................................................................2
1.线框模型研究的是线框穿越匀强磁场时发生的电磁感应过程。高考试题通过此模型对电磁感应过程
中的电路、动力学、功能关系进行考查，在求解此类问题时，要注意分析清楚线框进入磁场和离开磁场时
的运动情况和受力情况。
2.解决线框模型问题的两大关键
(1)分析电磁感应情况：弄清线框在运动过程中是否有磁通量不变的阶段，线框进入和穿出磁场的过程中，
才有感应电流产生，结合闭合电路欧姆定律列方程解答。
(2)分析线框的受力以及运动情况，选择合适的力学规律处理问题：在题目中涉及电荷量、时间以及安培力
为变力时应选用动量定理处理问题；如果题目中涉及加速度的问题时选用牛顿运动定律解决问题比较方便。
类型1 线框穿越磁场过程的图像问题
如图所示，有一边长为L 的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H 处静止释放，下降过程中ab 边始终
与磁场边界平行，且ab 边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。匀强磁场区域宽度也为L。ab 边
开始进入磁场时记为t1，cd 边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd 边刚出磁场的过程中，
线框的速度大小v、加速度大小a、ab 两点的电压大小Uab、线框中产生的焦耳热Q 随时间t 的变化图像可
能正确的是( )
类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题
如图所示，一水平方向的匀强磁场，磁场区域的高度为h，磁感应强度为B。质量为m、电阻为R、粗细均
匀的矩形线圈，ab＝L，bc＝h，该线圈从cd 边离磁场上边界高度H＝处自由落下，不计空气阻力，重力加
速度为g，设cd 边始终保持水平，则( )
A．cd 边刚进入磁场时速度大小v＝
B．cd 边刚进入磁场时其两端电压Ucd＝
C．线圈穿过磁场的时间t＝
D．线圈穿过磁场过程中，回路中产生的热量Q＝2mgh
类型3 线框穿越磁场过程的动量与电荷量问题
如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长为
a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，那么线圈( )
A.完全进入磁场中时的速度大于
B.完全进入磁场中时的速度等于
C.完全进入磁场中时的速度小于
D.以上情况均有可能
【典例1】如图
所示，一个直角边长为的等腰直角三角形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个边长也为的正方
形导线框所在平面与磁场方向垂直，三角形的高
与导线框的一条边垂直，
的延长线平分导线框。在
时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿
方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。表示导线
框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列关于感应电流的强度随时间变化关系的图像中，可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】如图1 所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为
的匀强磁场，正方形闭合导线框
的边
长为，放在桌面上，
边与磁场边界平行，
。让导线框在沿
方向的恒力
作用下穿过匀强磁场，
导线框的
图像如图2 所示。以下判断正确的是（ ）
A．
时间内，导线框受到的安培力逐渐增大
B．
时间内，
对导线框做的功等于其动能的增加量
C．
时间内，
图中阴影部分的面积表示磁场的宽度
D．
时间内，导线框产生的焦耳热大于
【典例3】如图所示，在竖直平面内有宽度为L 的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各磁场边界平行且在水平面内，
三个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，匀强磁场Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度的方向垂直于纸面向外，匀
强磁场Ⅱ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为L，匀强磁场Ⅱ、Ⅲ依次相
邻。一质量为m、边长为L 的正方形单匝闭合导线框从匀强磁场Ⅰ上方某一位置静止释放，当导线框下边
到达匀强磁场Ⅰ上边界时恰好做匀速直线运动，速度大小为
，此时回路中的电流为
，在导线框下边达
到匀强磁场Ⅲ的下边界前已经开始做匀速直线运动，速度大小为
，此时回路中的电流为
，已知从导线
框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界运动到导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界所用的时间为
。在运动过程中导
线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始终平行，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说
法正确的是（ ）
A．导线框中的电流之比
B．导线框运动的速度大小
C．导线框的电阻R 为
D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中导线框中产生的
热量为
【典例4】如图所示，空间存在一有水平边界的条形匀强磁场区域（边界有磁场），磁感应强度为B，磁
场方向与竖直平面垂直（垂直纸面向里），边界间距为L。一边长也为L、电阻为R、质量为m 的正方形
导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终水平。
时刻导线框
的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置Ⅰ），导线框的初速度为
竖直向上，当线框的下边恰好与磁
场的上边界重合（图中位置Ⅱ）时导线框的速度刚好为零。然后线框又回到初始位置Ⅰ，此时线框的速度
大小为v 竖直向下。设重力加速度为g。求：
（1）线框从位置Ⅰ开始向上运动时线框中感应电流的方向（用“顺时针方向”或“逆时针方向”表示），
以及此时线框的加速度大小；
（2）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）产生的焦耳热；
（3）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）的时间。
1．光滑水平面上两相同正方形金属线框1、2 以相同初速度进入两个不同匀强磁场区域，最后离开磁场，
俯视图如图所示。线框边长为L，磁场区域Ⅰ宽度
，磁感应强度大小为
，方向竖直向下；磁场区
域Ⅱ宽度
，磁感应强度大小为
，方向竖直向上，
。两线框运动方向均与磁场边界垂直，忽
略两线框间的影响。下列说法正确的是（ ）
A．进入磁场时，两线框中的电流方向相同
B．完全进入磁场时，线框1 的速度等于线框2 的速度
C．线框1 产生的总焦耳热小于线框2 产生的总焦耳热
D．离开磁场前瞬间，线框1 的加速度大于线框2 的加速度
2．如图所示，日字形金属框
长
、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为
的定值
电阻，中间位置和右端接有阻值为
的金属棒
和金属棒
，其它电阻不计，线框总质量为m。金属
框右侧有宽为
的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度
进入
匀强磁场，最终
棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（ ）
A．在
棒进入磁场前，通过
棒间定值电阻的总电荷量为
B．在
棒进入磁场后，通过
间定值电阻的总电荷量为
C．
棒刚进入磁场时的速度为
D．整个过程中
间定值电阻产生的焦耳热为
3．如图甲所示，MN 左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场。现将一边长为l、质量为m、电阻为R 的正方形
金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且bc 边与磁场边界MN 重合。当t= 0 时，对线框施加一
水平拉力F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t = t0时，线框的ad 边与磁场边界MN 重合。
图乙为拉力F 随时间变化的图线，不计摩擦阻力。由以上条件可知，磁场的磁感应强度B 的大小和感应电
流方向分别为（ ）
A．
电流方向abcda
B．
电流方向adcba
C．
电流方向abcda
D．
电流方向abcda
4．（多选）如图所示，光滑水平绝缘桌面上直线边界
右侧存在范围足够大的匀强磁场。正方形单匝
导线框
平放在桌面上，其对角线
与
垂直。现使线框获得一速度后向右运动。从c 点进入磁场瞬
间，在c 点对线框施加水平向右的力F，使线框保持原速度做匀速直线运动。已知线框速度始终与
垂
直，线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流大小用
表示，线框的位移用x 表示，下列图像可能正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面上建立直角坐标系
，第一象限区域内存在着垂直于桌
面向下的磁场，磁感应强度大小
随位移
变化的关系图像如图乙所示。一质量
、边长
的正方形单匝金属线框以
的速度沿
轴正方向匀速运动，其中
边与
轴重合，
时刻
边
恰好经过
轴进入磁场，此时对线框施加水平方向的外力使线框保持匀速运动，当线框完全进入磁场时撤
去外力，已知线框的总电阻
，下列说法正确的是（ ）
A．
边进入磁场的瞬间，线框受到的安培力为
B．
边进入磁场前的瞬间，水平外力的功率为
C．线框完全进入磁场后，线框中磁通量的变化量为0
D．线框停止时
边运动到
处
6．（多选）如图所示，在绝缘的光滑水平面上有一竖直向下的匀强磁场分布在宽为的区域内，磁感应强
度大小为
。有一个边长为
的正方形均匀导线框
，以初速度
垂直磁场边界进入磁场，当导
线框的
边刚进入磁场时，线框的速度大小为
。已知线框的质量为
，下列说法正确的是（ ）
A．
边刚进入磁场时，、
间电压为
B．
边刚进入磁场时，
、
间的电压为
C．
边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动能的变化量为
D．
边从进入磁场到离开磁场的过程中，线框动量变化量的大小为
7．（多选）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L 的正方形单匝线圈
abcd，在轨道间存在两个宽度均为L 的匀强磁场，边界1、2 间磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，
边界2、3 间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车（包含线圈）的质量为m，运动过程
中列车关闭动力，当线圈的ab 边运动到磁场边界1 时的速度为
，ab 边穿过磁场边界2 后，再向右运动
速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，下列说法正确的是（ ）
A．线圈ab 边经过边界2 时的速度大小为
B．线圈ab 边刚进入磁场时与线圈ab 边刚通过边界2 时的加速度大小之比为4 1∶
C．线圈ab 边从刚进入磁场到刚穿过边界2 的过程中线圈产生的热量为
D．从线圈cd 边刚通过边界1 到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为
8．（多选）如图所示，正方形金属线框abcd 下方存在宽度为L 的匀强磁场区域，该区域的上、下边界水
平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h 处由静止开始自由下落。线框ab 边进入磁场时
开始减速，cd 边穿出磁场时的速度是ab 边进入磁场时速度的
。已知线框的边长为L，质量为m，电阻为
R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab 边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．线框ab 边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda
B．线框ab 边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为
C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为
D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为
9．（多选）一边长为
、质量为
的正方形金属细框，每边电阻为
，置于光滑的绝缘水平桌面纸面
上。宽度为
的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为
，两虚线为磁场边界，在桌
面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻
，导轨电阻可忽略，金属
框置于导轨上，如图所示。让金属框以初速度
进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与
导轨始终接触良好。下列说法正确的是（ ）
A．金属框进入磁场过程中电路的总电阻为
B．金属框进入磁场的末速度为
C．金属框能穿越磁场
D．在金属框整个运动过程中，电阻
产生的热量为
10．（多选）两条平行虚线间存在着垂直于纸面方向的匀强磁场，边长为0.1m、总电阻为0.005Ω 的正方
形导线框acde 位于纸面内，de 边与磁场边界平行，如图甲所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，de
边进入磁场时记为
时刻，导线框中产生的感应电动势随时间变化的图像如图乙所示，取感应电流的方
向沿acdea 方向时，感应电动势为正，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场区域的宽度为0.1m
B．磁感应强度的大小为0.2T
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向里
D．0~0.2s 内，导线框所受的安培力大小为0.04N
11．（多选）如图，一足够长的固定绝缘光滑斜面与水平面成θ 角，仅虚线MN 以上区域内充满垂直斜面
向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
。质量为m 的正方形金属线框abcd 从磁场中某一位置静止释放，
当线框ab 边刚滑过MN 时，线框所受安培力大小为
，当线框cd 边刚要到达MN 时，线框加速度
恰好为零。若在MN 以下区域再充满一垂直斜面向上的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为
。让
此线框再次从相同位置静止释放，关于线框先后两次运动的过程，下列说法正确的是（ ）
A．ab 边刚过MN 时流经线框的电流方向相同
B．ab 边刚过MN 时线框所受的合力的功率之比为1：17
C．cd 边刚要到达MN 时线框的动能之比为1：1
D．从静止释放到cd 边刚要到达MN 的过程中损失机械能的比值小于1
12．（多选）如图所示，倾角为θ 的绝缘斜面固定在水平地面上，区域PQNM 内有垂直于斜面向下、磁感
应强度大小为B 的匀强磁场，MN、PQ（与斜面底边平行）是磁场的边界，它们之间的距离为D。一质量
为m、边长为L（L <D）、总电阻为R 的单匝正方形金属线框abcd 与斜面间的动摩擦因数μ= tanθ，线框
始终紧贴斜面运动，ab 边和cd 边保持与MN 平行且不翻转。给线框一个大小为I、方向垂直MN 沿斜面向
下的瞬时冲量，线框沿斜面滑下，一段时间后ab 边到达MN，已知cd 边滑出磁场边界PQ 时线框速度不为
零。下列说法正确的是（ ）
A．线框的ab 边通过MN 的速度可能小于通过PQ 的速度
B．从线框的cd 边进入磁场后到ab 边离开磁场前，线框做匀速直线运动
C．自ab 边进入磁场到cd 边刚好进入磁场的这段时间内，通过线框某横截面的电荷量为
D．cd 边刚滑出PQ 时，线框的速度大小为
13．（多选）如图所示，边长为l 的正方形导线框abcd 电阻为R，该线框在光滑水平面内以速度
沿x 轴
正向运动，线框刚好穿过磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场区域。下列说法中正确的是（ ）
A．导线框进入磁场时导线框中产生顺时针方向的电流
B．导线框的质量
C．当导线框完全在磁场中运动时ab 两端的电压为
D．导线框进入磁场过程和离开磁场过程中产生的热量之比为
14．如图所示，质量为m、电阻为R、边长为L 的正方形单匝线框abcd（各边均相同），放在光滑的水平
桌面上。MN 右侧空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，线框在外力作用下从左边界以速
度v 匀速进入磁场。求：
(1)线框刚进入磁场时，ab 边中电流方向和ab 两端的电压
；
(2)线框进入磁场的过程中，安培力对线框做的功。
15．光滑绝缘水平面上宽度为L 的区域内存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m 、总电
阻为R、边长为L 的正方形线框abcd，bc 边与磁场边界平行，将线框以垂直磁场边界的速度v0进入磁场，
线框完全离开磁场时的速度为
。求：
(1)线框刚进入磁场时，线框的电流大小；
(2)线框通过磁场过程中，安培力对线圈做的功。
16．如图所示，有一边长为
、质量为
的正方形单匝线框
，放在光滑水平面上。空间有垂直水平面
向下、磁感应强度为
的匀强磁场区域，匀强磁场区域左右边界相距为
，已知线框总电阻为，
边
刚进入磁场时的速度为
，求：
(1)线框
边在刚进入磁场时，
两端的电压；
(2)线框从
边刚进入磁场到刚离开磁场的过程中，通过线框某截面的电荷量
；
(3)线框从
边刚进入磁场到
边刚离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热
。
17．如图所示，竖直面内质量为
、总电阻为
、边长为
的正方形导线框
由静止释放，
边与水
平虚线平行，距虚线高度为
，虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，重力加速度大小为
，在
边进
入磁场瞬间，导线框加速度恰好为零，
始终保持水平，求：
(1)导线框进入磁场瞬间的速度大小；
(2)导线框进入磁场过程中产生的焦耳热
；
(3)匀强磁场的磁感应强度大小
。
18．光滑斜面倾角为
，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，
均为B。正方形线框abcd 质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为
，Ⅱ区域长为
，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd 边进入Ⅰ区域时速度为v，且直
到ab 边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd 边进入Ⅱ区域时的速度和ab 边离开Ⅱ区域时的速度一致，则：
(1)求线框释放点cd 边与Ⅰ区域上边缘的距离；
(2)求cd 边进入Ⅰ区域时cd 边两端的电势差；
(3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。
19．如图所示，光滑绝缘的水平面上有垂直水平面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度、两磁
场区域之间的距离均为
，磁场方向如图所示。边长为
的正方形导线框
位于水平面上，且
边与
磁场边界平行。某时刻线框以
的初速度水平向右运动，穿过匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ。已知线框的质量为
，
电阻为
，匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小均为
。求：
(1)线框
边进入磁场区域Ⅰ瞬间，
边所受安培力的大小
(2)线框
边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小
(3)线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量。
20．如图所示，在高度差为L 的平行虚线范围内有匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于竖直平
面向里。正方形线框abcd，其质量为m，边长为L，电阻为R，线框平面与竖直平面平行。线框静止在位
置Ⅰ时，cd 边与磁场的下边缘有一段距离，现用一竖直向上的恒力F 向上拉动线框，使线框从位置Ⅰ无初
速的向上运动，并穿过磁场区域，到达位置Ⅱ时ab 边刚好出磁场。线框平面在运动过程中始终在竖直平面
内，且cd 边保持水平。设cd 边刚进入磁场时，线框恰好开始做匀速运动。重力加速度为
，求：
(1)线框进入磁场前与磁场下边界的距离H；
(2)线框穿出磁场过程中，线框中通过的电荷量；
(3)线框从位置Ⅰ运动到位置Ⅱ的过程中，恒力F 做的功；
(4)线框从位置Ⅰ运动到位置Ⅱ的过程中，线框内产生的热量。
21．我国第三艘航母“福建号”已装备最先进的电磁弹射技术。某兴趣小组对其加速和减速阶段简化为下
述过程。两根足够长的平直轨道AB 和CD 固定在水平面上，其中PQ 左侧为光滑金属轨道，轨道电阻忽略
不计，AC 间接有定值电阻R，PQ 右侧为粗糙绝缘轨道。沿CD 轨道建立x 轴、Q 点为坐标原点；PQ 左侧
分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场B0，PQ 右侧为沿x 轴渐变的磁场
，垂直于x 轴方向磁场均
匀分布。现将一质量为m，长度为L，电阻为R 的金属棒ab 垂直放置在轨道上，与PQ 距离为s。PQ 的右
方还有质量为3m，各边长均为L 的U 形框cdef，其电阻为3R，且与左边金属轨道绝缘。ab 棒在恒力F 作
用下向右运动，到达PQ 前已匀速，运动到PQ 处时撤去恒力F，随后与U 形框发生碰撞，碰后连接成
“口”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到摩擦阻力f 大小与速度满足
。已知m=1kg，
F=2N，s=5m，L=1m，R=1Ω，B0=1T，k=1T/m，求：
(1)棒ab 与U 形框碰撞前速度的大小v0；
(2)棒ab 与U 形框碰撞前通过电阻R 的电量；
(3)“口”字形线框停止运动时，fc 边的坐标xfc；
(4)U 形框在运动过程中产生的焦耳热。
22．如图所示为某兴趣小组做电磁驱动和电磁阻尼实验的示意图。分界线PQ 将水平面分成左右两部分，
左侧平面粗糙，右侧平面光滑。左侧的驱动磁场为方向垂直平面、等间隔交替分布的匀强磁场，磁感应强
度大小均为B，每个磁场宽度均为L；右侧较远处的阻尼磁场为宽度也为L、方向垂直平面的匀强磁场。两
个完全相同的正方形金属线框abcd 和efgh 的边长也均为L，质量均为m，线框abcd 的ab 边无电阻，其余
各边电阻均为R，线框efgh 的gh 边无电阻，其余各边电阻均为R。线框abcd 与分界线PQ 左侧的动摩擦因
数为
。现使驱动磁场以稳定速度
向右运动，线框abcd 由静止开始运动，经过一段时间后线框做匀速运
动，当ab 边匀速运动到分界线时立即撤去驱动磁场，接着线框abcd 继续运动完全越过分界线后，再与静
止线框efgh 发生正碰，碰后ab 边和gh 边粘在一起，组成“
”型线框后向右运动进入阻尼磁场。设
整个过程中线框的ab 边和ef 边始终与分界线平行，ab 边和gh 边碰后接触良好。不计两金属框形变，重力
加速度为g。
(1)求线框abcd 刚开始运动时加速度的大小；
(2)求线框abcd 在驱动磁场中匀速运动时的速度大小；
(3)若线框abcd 完全越过分界线的速度为v，要使“
”型线框整体不穿出阻尼磁场，求阻尼磁场的磁
感应强度
的最小值。
