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2025 年高考数学真题完全解读（全国一卷）
适用省份
山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南
1. 助力创新人才选拔
2025 年全国一卷数学试题充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现
思维过程，给考生搭就了展示的舞台、发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设
人才选拔。首先是重点考查逻辑推理素养，如全国一卷第16 题考查数学通项公式和错位相减法求和问
题，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。全国一卷第17 题立体几何题也考查
了逻辑推理素养。深入考查直观想象素养，全国一卷第17 题考查立体几何问题，体现了直观想象的考
查。扎实考查数学运算素养，要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
如全国一卷第16 题考查了概率问题以及第18 题考查圆锥曲线问题，考查数学运算素养。
2.助力应用能力考查
高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材时，控制文字数量和阅读理解难度；在抽
象数学问题时，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题时，设置合适的运算过程和运算量，力
求使情境化试题达到试题要求层次和考生认知水平的契合与贴切。
3.助力“双减”政策落地
2025 年全国一卷数学试题在反套路，反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深
入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求。
同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，
促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。
突出基础性要求，各套试卷在选择题和填空题部分均设置了多个知识点，全面考查了集合、复数、
平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，实现了对基础知识
的全方位覆盖。同时在解答题部分深入考查基础，考查考生对基础知识和基本方法的深刻理解和融会
贯通的应用。彰显综合性要求，如全国一卷第19 题，通过对三角函数与导数的综合分析，考查函数的
单调性、最值等相关问题，深入考查了数学运算核心素养，化归与转化的思想。体现创新性要求，通
过命题创新，创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式，考查考生思维的灵活性与创
造性。如全国一卷第19 题是一道三角函数与导数结合的创新题。
1
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2025 年高考数学全国一卷虽然在题型，分值上没有变换，试题却在运算，大单元教学方面有较大体现。
一.2025 年高考数学试题特色——数学运算
1.（2025 全国一卷第8 题）若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
【技巧】赋值法，降低难度，快速解题
故选：B．
2.（2025 全国一卷第13 题）若一个正项等比数列的前4 项和为4，前8 项和为68，则该等比数列的公比为
.
【答案】2
【解析】按设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
所以
，
，
所以
，则
，所以
，
【技巧】巧用等比数列性质，减少运算量
所以该等比数列公比为2.
3.（2025 全国一卷第15 题）调查1000 人是否患某疾病与超声波检测结果的
到联表如下：
是否患病
是否患病
检测结果
正常
不正常
合计
2
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患病
20
180
200
不患病
780
20
800
合计
800
200
1000
(1)若检测结果不正常者患病的概率为
,求
的估计值；
(2)能否根据小概率
的
独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关？
【解】(1)超声波检查结果不正常患者有200 人，患病有180 人，
所以
（2）
【技巧】约分再估算
所以说认为样本数据中超声波检测结果是患该疾病有关
二．2025 年高考数学试题特色——知识交汇
2025 年高考试题中知识的交汇大多在本模块内进行，如三角恒等变换与解三角形，统计
与概率，函数与导数，立体几何初步与空间向量等，符合大单元教学的理念。
1．（2025 全国一卷第11 题）已知
的面积为
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025 全国一卷第15 题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查
了1000 人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别
正
常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P 的估计值；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附
，
0.005
0.010
0.001
3
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3.841
6.635
10.828
3.（2025 全国一卷第17 题）如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
4.（2025 全国一卷第19 题）设函数
．
(1)求
在
的最大值；
(2)给定
，设a 为实数，证明：存在
，使得
；
(3)若存在
使得对任意x，都有
，求b 的最小值．
2025 年高考全国一卷数学试题双向细目表
题
号
分
值
题型
考查内容
命题点
1
5
单选
复数
复数的运算及复数的概念
2
5
单选
集合
补集的运算
3
5
单选
圆锥曲线
求双曲线的离心率
4
5
单选
三角函数
正切函数的图象及性质
5
5
单选
函数
函数的基本性质
6
5
单选
平面向量
平面向量线性运算的坐标表示
7
5
单选
直线和圆
直线和圆的位置关系
8
5
单选
函数
对数的运算及对数函数的性质
9
6
多选
立体几何
空间线线、线面位置关系
10
6
多选
圆锥曲线
抛物线的性质及直线与抛物线位置关系
11
6
多选
三角函数
三角恒等变换、解三角形
4
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12
5
填空
导数
导数的几何意义
13
5
填空
数列
等比数列基本量计算
14
5
填空
概率统计
随机变量的均值
15
13
解答
概率统计
古典概型，独立性检验
16
15
解答
数列
等差数列的判定，错位相减求和
17
15
解答
立体几何
面面垂直，异面直线所成的角，球的切接
18
17
解答
圆锥曲线
椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，最值问题
19
17
解答
导数
利用导数研究函数的最值，能成立问题
教学中注意改变学生以往的学习观.学生对数学概念知识不能单纯地死记硬背，要理解概念的本质，
灵活掌握，对课本上的知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再 深思熟虑仔细做一遍，确保基本
概念、公式等真正理解牢固掌握.一些基本的运算方法和技巧也要掌握并能灵活运用，做到熟能生巧.全国
一卷数学试题引导我们要转变教师的教学理念.课堂中注重落实教考衔接，引导学生重视教材基本原理、数
学思想方法的理解把握，充分发挥学生的主体作用，只有把学生的主体地位发挥好，才能使课堂高效，才能
使学生的积极性调动起来，才能使学生愿意亲手实践、认真思考，学生思维能力得到培养，才能做到真懂会
用、融会贯通，真正提高分析和解决问题的能力.
2025 年高考全国一卷数学试题及解析
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【解析】因为
，所以其虚部为1，故选：C.
2．设全集
，集合
，则
中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
中的元素个数为，故选：C．
【知识拓展】两种求补集的方法
(1)若所给的集合是用列举法表示，则用Venn 图求解．
(2)若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根
据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
5
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3．若双曲线C 的虚轴长为实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为
，由题知，
，
于是
，则
，即
.故选：D
【知识拓展】求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解；若已知a，b，可利用
求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c 的具体值，但根据条件可确定a，b，c 之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将
关系式转化为关于a，c 的齐次方程(不等式)，借助于e＝，转化为关于e 的n 次方程(不等式)求解．
4．若点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，即
.故选：C
【知识拓展】正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x 轴的交点，还有“渐近线”与x 轴的交
点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键．
5．设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
对一切
成立，
于是
.故选：A
【知识拓展】周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视
风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速
6
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对应的向量大小相等，方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员
在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位
（m/s），则真风为（ ）
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：
，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为
，船行风速对应的向量为
，
∴
，船行风速：
，
∴
，
，
∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.
【知识拓展】速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、位移等问题，
主要借助于向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．
7．若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有2 个，则r 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
7
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到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
【知识拓展】处理直线与圆的位置关系问题常用策略
(1)几何法：利用d 与r 的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ 判断．
8．若实数x，y，z 满足
，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
8
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的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
【知识拓展】利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间
的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的
对数，从而使问题得解．
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9．在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
平面
D．
【答案】BC
【解析】法一：对于A，在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，则
又
，
所以
，
则
不成立，故A 错误；
9
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对于B，因为在正三棱柱
中，
平面
，
又
平面
，则
，
因为
是正三角形，
为
中点，则
，
又
平面
，
所以
平面
，故B 正确；
对于C，因为在正三棱柱
中，
又
平面
平面
，所以
平面
，故C 正确；
对于D，因为在正三棱柱
中，
，
假设
，则
，这与
矛盾，
所以
不成立，故D 错误；
故选：BC.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为
，高为，
则
，
对于A，
，
则
，
则
不成立，故A 错误；
对于BC，
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，令
，则
，
所以
，
，
则
平面
，
平面
，故BC 正确；
对于D，
，
10
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则
，显然
不成立，故D 错误；
故选：BC.
【知识拓展】(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确
写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
10．设抛物线
的焦点为F，过F 的直线交C 于A、B，过F 且垂直于
的直线交
于
E，过点A 作准线l 的垂线，垂足为D，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】法一：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，易知直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
11
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联立
，得
，
易知
，则
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
又
，
，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
12
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由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，当直线
的斜率不存在时，
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
联立
，消去
，得
，
易知
，则
，
所以
，
综上，
，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，
，
，
所以
，
13
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则
；
综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
【知识拓展】1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直
接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代
入”等解法.
11．已知
的面积为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则则
不成立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
14
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若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，注意到
是锐角，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
【知识拓展】1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联
系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．若直线
是曲线
的切线，则
.
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【答案】
【解析】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
【知识拓展】(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切
点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．
13．若一个正项等比数列的前4 项和为4，前8 项和为68，则该等比数列的公比为 .
【答案】
【解析】法一：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
当
时，
，即
，则
，显然不成立，舍去；
当
时，则
，
两式相除得
，即
，
则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
法二：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
所以
，
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，
所以
，则
，所以
，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为
，
是其前
项和，则
，
设
的公比为
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，
所以该等比数列公比为
.
【知识拓展】等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q＝1 的情形，否则会漏解或增解．
14．一个箱子里有5 个相同的球，分别以1~5 标号，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，
则数学期望
.
【答案】
/
【解析】法一：依题意，
的可能取值为1、2、3，
总的选取可能数为
，
其中
：三次抽取同一球，选择球的编号有5 种方式，
故
，
：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），
选取出现两次的球有5 种方式，选取出现一次的球有4 种方式，
其中选取出现一次球的位置有3 种可能，故事件
的可能情况有
种，
故
，
：三种不同球被取出，
由排列数可知事件
的可能情有况
种，
故
，
17
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所以
.
故答案为：
.
法二：依题意，假设随机变量
，其中
：
其中
，则
，
由于球的对称性，易知所有
相等，
则由期望的线性性质，得
，
由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为
，
由于抽取独立，三次均未取出球的概率为
，
因此球至少被取出一次的概率为：
，
故
，
所以
.
【知识拓展】求离散型随机变量ξ 的均值的步骤
(1)理解ξ 的意义，写出ξ 的所有可能取值．
(2)求ξ 取每个值的概率．
(3)写出ξ 的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)．
四、解答题：本题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人，得到如下列
联表：
超声波检查结果组别
正
常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P 的估计值；
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(2)根据小概率值
的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附
，
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的
人中有
人患病，所以
的估计值为
；
（2）零假设为
：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，
，
根据小概率值
的
独立性检验，我们推断
不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该
推断犯错误的概率不超过
.
【知识拓展】独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2 列联表．
(2)根据公式χ2＝计算．
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
16．设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
【解】（1）由题意证明如下，
，
在数列
中，
，
，
∴
，即
，
∴
是以
为首项，1 为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，
，
在数列
中，首项为3，公差为1，
∴
，即
，
在
中，
，
19
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∴
，
当
且
时，
∴
，
∴
∴
.
【知识拓展】 (1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和时，常采用错位相
减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”
的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q 是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
17．如图所示的四棱锥
中，
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)
，
，
，
，
在同一个球面上，设该球面的球心为
．
（i）证明：
在平面
上；
（ⅱ）求直线
与直线
所成角的余弦值．
【解】（1）由题意证明如下，
20
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在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
平面
，
平面
，
∴
，
，
∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一：
在四棱锥
中，
，
，
，
∥
，
，
，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴
，
若
，
，
，
在同一个球面上，
则
，
在平面
中，
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∴
，
∴线段
中点坐标
，
直线
的斜率：
，
直线
的垂直平分线
斜率：
，
∴直线
的方程：
，
即
，
当
时，
，解得：
，∴
在立体几何中，
，
∵
解得：
，
∴点
在平面
上.
法二： ∵
，
，
，
在同一个球面上，
∴球心到四个点的距离相等
在
中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，
作出
和
的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
，
，
22
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，
∴
，
∴点
是
的外心，
在Rt
中，
，
，
由勾股定理得，
∴
，
∴点
即为点
，
，
，
所在球的球心
，
此时点
在线段
上，
平面
，
∴点
在平面
上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线
与直线
所成角为
，
∴
.
法2：
由几何知识得，
，
，
∥
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
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，
过点
作
的平行线，交
的延长线为
，连接
，
，
则
，直线
与直线
所成角即为
中
或其补角.
∵
平面
，
平面
，
，
∴
，
在Rt
中，
，
，由勾股定理得，
，
在Rt
中，
，由勾股定理得，
，
在
中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线
与直线
所成角的余弦值为：
.
【知识拓展】用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意异面直线所成角的范围是
，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
18．设椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点为B，
．
(1)求椭圆的标准方程；
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(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求点
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是椭圆上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
【解】（1）由题可知,
，所以
，解得
，
故椭圆的标准方程为
；
（2）(ⅰ)设
，易知
，
法一：所以
，故
，且
．
因为
，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以点
的坐标为
.
法二：设
，则
，所以
，
，故
点
的坐标为
.
(ⅱ)因为
,
,由
,可得
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,化简得
,即
,
所以点
在以
为圆心,
为半径的圆上（除去两个点）,
为
到圆心
的距离加上半径,
法一：设
,所以
,当且仅当
时取等号,
所以
.
法二：设
，则
，
，当且仅当
时取等号,
故
.
【知识拓展】1.根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求
椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝
1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ 或＋＝λ(a>b>0，λ>0)．
2.圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，
求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
19．设函数
．
(1)求
在
的最大值；
(2)给定
，设a 为实数，证明：存在
，使得
；
(3)若存在
使得对任意x，都有
，求b 的最小值．
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【解】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
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则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在，使得
对任意
恒成立，则对这样的，同样有
.
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所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在
直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
战略定力和战术灵活性。
【知识拓展】1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
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a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
2.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变
换有对于某一区间I
(1)∀x1，x2∈I，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈I1，∃x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈I1，∀x2∈I2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
30
