专题1.10 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
一元二次不等式的求解】...........................................................................................................................1
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】...........................................................................................................2
【题型3
分式、绝对值不等式的求解】...................................................................................................................2
【题型4
一元二次方程根的分布问题】...................................................................................................................3
【题型5
二次函数的图象分析与判断】...................................................................................................................3
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】...................................................................................................................4
【题型7
一元二次不等式有解问题】.......................................................................................................................5
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
一元二次不等式的求解】
1．（2026·陕西西安·二模）已知集合�= {�∣�−2 < 2}, �= �∣�2 −4�−5 ≤0 ，则∁��∩�=（
）
A．�∣−1 ≤�≤0
B．�∣4 ≤�≤5
C．�∣0 ≤�≤4
D．{�∣−1 ≤�≤0 或4 ≤�≤5}
2．（25-26 高二上·西藏昌都·期末）已知条件�: 2�−4 > 0，条件�: �2 −5�+ 6 < 0，则�是�的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·天津河北·模拟预测）不等式��−1 > 0 的解集为（
）
A．��< 0 ，或�> 1
B．�0 < �< 1
C．��<−1 ，或�> 0
D．�−1 < �< 0
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4．（2026·甘肃白银·模拟预测）使不等式�2 + 3 ≤4�成立的一个充分不必要条件为（
）
A．1 ≤�≤3
B．0 ≤�≤3
C．�> 3
D．1 < �< 3
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】
5．（25-26 高一上·江西抚州·阶段检测）已知不等式��2 −��−1 ≤0 的解集是−
1
2 ,
1
3 ，则不等式�2 −��−
�< 0 的解集是（
）
A．−3,2
B．−∞, 2 ∪3, + ∞
C．
1
3 ,
1
2
D．−∞,
1
3 ∪
1
2 , + ∞
6．（25-26 高一上·辽宁·阶段检测）已知关于�的不等式�2 −�+ 3 �+ 2�+ 2 ≤0 �∈�的整数解恰有4
个，则�的取值范围为（
）
A．−3, −2 ∪4,5
B．−3, −2 ∪4,5
C．−3, −2 ∪4,5
D．−3, −2 ∪4,5
7．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知关于�的一元二次不等式�2 −��+ �≥0 的解集为( −∞, 1] ∪
[2, + ∞)，则�+ �=（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（25-26 高一上·江苏·期中）若关于�的不等式(��−1)2 < �2恰有3 个整数解，则实数�的取值范围是（
）
A．( −
3
2 , −
4
3 ] ∪[
4
3 ,
3
2 )
B．( −
4
3 , −
5
4 ] ∪[
5
4 ,
4
3 )
C．[ −
3
2 , −
4
3 ) ∪(
4
3 ,
3
2 ]
D．( −
4
3 , −
5
4 ) ∪(
5
4 ,
4
3 )
【题型3
分式、绝对值不等式的求解】
9．（2026·江苏·模拟预测）不等式
3�−1
2−�≥1 的解集为（
）
A．�
3
4 ≤�≤2
B．{�∣
3
4 ≤�< 2}
C．{�∣�> 2 或�≤
3
4 }
D．�∣�≥
3
4
10．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：2�−3 < 1，q：
�−3
�−2 ≤0，则p 是q 的（
）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（2026·新疆·三模）不等式
�−3
�−1 >−1 的解集为__________.
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12．（2026·上海杨浦·三模）不等式
�+1
�−2 ≤2 的解集为__________.
【题型4
一元二次方程根的分布问题】
13．（25-26 高一上·山东威海·期中）已知方程�2 −2��+ �+ 2 = 0 的两根都在区间(1,4)内，则m 的取值
范围为（
）
A．[2,3)
B．(1,
18
7 )
C．[
18
7 , 3)
D．[2,
18
7 )
14．（2026 高一·全国·专题练习）已知方程�2 + 2��−�+ 12 = 0 的两根都大于−2，则实数�的取值范围
是（
）
A．�<−4
B．−5 < �<−4
C．�≤−4
D．�> 4 或�<−4
15．（24-25 高一上·重庆·期中）“�> 2”是“一元二次方程�2 −��+ �+ 1 = 0 有两个正实根”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知一元二次方程�2 + �2 + 1 �+ �−2 = 0 的一根比1 大，另一根
比1 小，则实数a 的取值范围是（
）
A．�−3 < �< 1
B．�−2 < �< 0
C．�−1 < �< 0
D．�0 < �< 2
【题型5
二次函数的图象分析与判断】
17．（25-26 高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数�= ��2 + ��+ �(�≠0)的图象如图所示，则下列结
论中不正确的是（
）
A．�+ �+ �< 0 B．�=−2�
C．�+ �< �
D．���< 0
18．（2026 高一上·全国·专题练习）不等式��2+��+�> 0 的解集为�∣−1 < �<
1
2 ，则函数�= ��2 −��−�
的图象大致为（
）
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A．
B．
C．
D．
19．
（25-26 高一上·山西·期中）已知函数��= ��2 + ��+ ��≠0 的图像如图所示，则关于�的不等式��2 +
��+ �≥0 的解集为（
）
A．−
1
2 , 1
B．−2,1
C．−∞, −2 ∪1, + ∞
D．−∞, −
1
2 ∪1, + ∞
20．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知不等式2�2 + ��+ �< 0 的解集是−
1
2 , 0 ，设��= ��2 + ��+ �，
则函数�= ��的大致图象不可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】
21．（25-26 高一上·湖南长沙·期末）关于�的不等式�2 −2��+ �> 0 对∀�∈�恒成立，则�的取值范围是
（
）
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A．0 < �< 1
B．0 < �< 2
C．0 < �<
1
2
D．�> 0
22．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题�:“∃�∈R，使得不等式��2 + 2��+ 2 < 0 成立”为假命题，则实数�
的取值范围为（
）
A．0, 4
B．2, 4
C．1, 2
D．0, 2
23．（24-25 高三上·河南许昌·期中）∀�∈−2, + ∞，�2 + 4 −��+ 7 −2�≥0 恒成立，则实数�的最大
值为（
）
A．3
B．3
C．2 3
D．6
24．（25-26 高一上·安徽芜湖·阶段检测）设0 < �<
1
2，若关于x 的不等式2��2 −�+ 3 �+ 2 ≥0 恒成立，
则实数k 的最大值为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【题型7
一元二次不等式有解问题】
25．（25-26 高一上·湖北孝感·期中）当1 ≤�≤3 时，关于�的不等式�2 −��+ 4 ≥0 有解，则实数�的取
值范围是（
）
A．�≤4
B．�≤−4 或�≥4
C．�≤5
D．�≤
13
3
26．（25-26 高一上·黑龙江·期中）若存在�∈−2,0 ，使得�2 −2�+ 5 −�< 0 成立，则m 的取值范围为
（
）
A．�> 13
B．�> 4
C．�> 5
D．�> 8
27．（25-26 高一上·云南·期中）若
1
�+
9
�= 1 �> 0, �> 0 ，且不等式�+ �< �2 −6�有解，则�的取值范围
是（
）
A．−∞, −2 ∪8, + ∞
B．−2,8
C．−∞, −8 ∪2, + ∞
D．−8,2
28．（25-26 高一上·江西赣州·阶段检测）当1 ≤�≤4 时，关于x 的不等式�2 −��−�+ 15 ≤0 有解的充
要条件是（
）
A．�∈−∞, + 5 B．�∈6, + ∞
C．�∈7, + ∞
D．�∈8, + ∞
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一、单选题
1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式
6
�+1 ≥1 的解集为（
）
A．{�∣−1 < �≤5}
B．�∣�≤−1
C．�∣−1 ≤�≤5
D．{�∣�> 5}
2．（2026·湖南湘西·三模）已知集合�= �∣�+ 1
�−3 ≤0 , �= �∣�= �2 + 2, �∈�，则�∩�=（
）
A．−1,4
B．−1,3
C．−1, + ∞
D．2,3
3．（25-26 高一上·四川宜宾·阶段检测）“0 < �< 2”是“�2 −4�< 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
2−�2
�
≥1 的解集是（
）
A．−∞, 1 ∪4, + ∞
B．1,4
C．1,2 ∪2,4
D．0,1 ∪4, + ∞
5．（25-26 高一上·广西钦州·期末）已知关于x 的一元二次不等式�2 −��+ �≤0 的解集为�
1
2 ≤�≤2 ，
则�−�的值为（
）
A．
3
5
B．
2
5
C．
3
2
D．
2
3
6．（25-26 高一上·新疆克拉玛依·期末）已知关于x 的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集是�1 < �< 4 ，则关
于x 的不等式��2 −�+ �> 0 的解集是（
）
A．−1,
4
5
B．−
4
5 , 1
C．−
5
4 , 1
D．−1,
5
4
7．（25-26 高一上·浙江·阶段检测）若二次函数�= ��2 + ��−�的图象如图所示，则不等式��2 + ��+ �> 0
的解集为（
）
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A．��<−1 或�>
1
2
B．�−1 < �<
1
2
C．�|�<−2 或�> 1
D．�−2 < �< 1
8．（25-26 高一上·天津南开·阶段检测）已知关于�的不等式��2 −6��+ �+ 8 ≥0 对任意�∈�恒成立，则
�的取值范围是（
）
A．0 ≤�≤1
B．0 < �≤1
C．�< 0 或�> 1
D．�≤0 或�≥1
二、填空题
9．（2026·上海浦东新·三模）不等式�−1 < 2 的解集为___________．
10．（2026·上海浦东新·三模）设�为实数，则不等式
�−2
5−�≥0 的解集是__________.
11．（25-26 高一上·辽宁丹东·期末）方程�2 −�−1 �+ �−1 = 0 有两个正实根，则实数�的取值范围为
___________．
12．（2026·上海普陀·二模）设�∈�，若关于x 的不等式
�
�−1 ≤1 的解集是−∞, 1 ∪2, + ∞，则a 的值为
___________.
一、单选题
1．（24-25 高一上·江苏盐城·期中）关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为2,3 ，则下列选项正确的是
（
）
A．�> 0
B．不等式��2 −��+ �> 0 的解集为�−
6
5 < �< 1
C．�−�+ �> 0
D．不等式��+ �< 0 的解集为��>
5
6
2．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）已知关于�的不等式��2 −��+ 2 < 0 的解集为
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−∞, −�∪
1
�, + ∞，其中�> 0，则
�
2 +
4
�的最小值为（
）
A．2
B．2 3
C．3
D．4 3
3．（25-26 高一上·江苏镇江·阶段检测）关于�的不等式�2 −�+ 3 �+ 3�< 0 恰有两个整数解，则实数�
的取值范围为（
）
A．0 ≤�< 1
B．0 < �≤1 或5 < �≤6
C．5 < �≤6
D．0 ≤�< 1 或5 < �≤6
4．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知对任意的�∈�∣�2 −5�+ 6 ≤0 , �∈�∣�−3
�−8 ≤0 ，不等
式��2 −4��+ �2 ≥0 恒成立，则实数�的最小值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
5．（2026·天津河东·二模）已知二次函数��= ��2 −2�+ �，若对于任意�∈�, 2�，都有��≥0 成立，
则实数�的取值范围是____________．
6．（2026·重庆·模拟预测）已知�，�∈�且�> 0，若对任意的�∈0, + ∞，不等式��3 + �2 −���−�≤0
恒成立，则4�2 + �的最小值为____________.
三、解答题
7．（25-26 高一上·湖南怀化·期末）已知函数��= �2 −��+ �，
(1)若关于�的不等式��< 0 的解集为�−1 < �<
1
5 ，求不等式��2 + ��+ 1 ≥0 的解集；
(2)当�= 2, �= 0 时，对任意�> 0, �> 0 满足
1
�+
2
�= 1，且�+ 2�−��≥0 恒成立，求实数�的取值范围.
8．（25-26 高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于�的不等式�−1 �2 −2��−2 < 0 的解集为{�| −1 <
�< 2}．
(1)求实数�，�的值；
(2)若�≤0，求关于�的不等式���2 + �−��−1 ≥0 的解集；
(3)若对任意实数�∈1,2 ，���2 + �−��−1 ≥��恒成立，求实数�的取值范围．
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一、单选题
1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系���中有一图形Ω，过
Ω内任意一点�作垂直于�轴的直线��，满足��∩Ω为一线段.现沿��方向平移这些线段，使得它们的中点均在�
轴上，这样叫做平移对称法.对于−�2 + �+ 1，−�2 −�，直线�= 0 和直线�= 1 围成的封闭图形Ω，对它
进行一次平移对称，得到的图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）不等式
�−4
�−1 ≥2 的解集是（
）
A．{�∣−2 ≤�≤1}
B．{�∣�≤−2}
C．{�∣−2 ≤�< 1}
D．{�∣�> 1}
二、填空题
3．（2026·上海·高考真题）关于�的不等式
�+2
�−3 < 0 的解集为___________.
4．（2025·上海·高考真题）不等式
�−1
�−3 < 0 的解集为___________．
5．（2025·上海·高考真题）不等式
�
�−1 < 0 的解集为___________．
6．（2024·上海·高考真题）已知�∈�,则不等式�2 −2�−3 < 0 的解集为___________．
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