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专题1.1 集合的概念与运算
思维导图
知识点总结
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
1
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(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N * 或
N ＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A 为集合B 的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的
真子集.
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集
合A 的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或
x∈B}
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
常用结论
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集
有2n－1 个，非空真子集有2n－2 个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
典型例题分析
2
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考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B 中元素
的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案 C
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，
5)，(4，4)}.
2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A 且2x∈A}，则集合B 为
________.
答案 {0，1，2}
解析 由题意知，∵0∈A 且2×0∈A，1∈A 且2×1∈A，2∈A 且2×2∈A，故
B＝{0，1，2}.
3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
答案 0
解析 由题意知a≠0，
因为{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该
集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件
是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检
验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合
A，B，C 的关系为( )
A.B⊆A
B.A＝B
C.C⊆B
D.A⊆C
3
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答案 D
解析 因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，
3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
因为≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m
的取值范围为________.
答案 (－∞，3]
解析 ∵B⊆A，
∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠∅，则解得2≤m≤3.
故实数m 的取值范围为(－∞，3].
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或
区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn 图帮助分析及
对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏
解.
考向三 集合间的基本运算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A.∅
B.S
C.T
D.Z
答案 C
解析 法一 在集合T 中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集
合S 中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可
知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝( )
A.{x|－1＜x＜2}
B.{x|0＜x＜1}
C.∅
D.{x|0＜x＜2}
4
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答案 B
解析 由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1 或x≥1}，所以∁RB＝{x|－1＜x
＜1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a
的取值范围是( )
A.(1，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，1)
D.(－∞，1]
答案 B
解析 易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴∁UN＝.
由M∩(∁UN)＝∅，则－≤－，得a≥1.
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研
究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还
是空心.
考向四 Venn 图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn 图表示两个集
合的交、并、补集，借助于Venn 图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用
Card 表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A 的元素个数.
典例四
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，
60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳
的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
答案 C
解析 用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
5
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设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋
(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
2.某班有36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参
加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时
参加数学和物理小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有4 人，则同时参
加数学和化学小组的有________人.
答案 8
解析 设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参
加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图.
由全班共36 名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋
基础题型训练
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义计算可得．
【详解】解：
，
，
．
6
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故选：A．
2．已知集合
，
，若
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据定义域求出
，由
得到a 的取值范围.
【详解】由题意得
，解得
，故
，
因为
，所以
.
故选：A
3．设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用并集和交集的定义对选项求解判断即可
【详解】∵
，集合
表示小于等于1 的所有整数，∴
，
.
故选D
【点睛】本题考查了并集和交集的定义与计算问题，属于基础题．
4．已知集合
,
,则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合B，然后再求出
即可．
【详解】由题意得
，
所以
=
．
7
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故选D．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合
，属于简单题．
5．设关于x 的不等式
的解集为A，且
，
，则实数m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意结合元素与集合的关系可得
、
，解不等式即可得解.
【详解】由
，得
，即
，
解得
或
；
由
，得
，即
，解得
；
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】本题考查了通过元素与集合的关系求参数的取值范围，考查了运算求解能力与转
化化归思想，属于基础题.
6．对于集合A，B，“
”不成立的含义是
A．B 是A 的子集
B．A 中的元素都不是B 的元素
C．A 中至少有一个元素不属于B
D．B 中至少有一个元素不属于A
【答案】C
【分析】根据子集的定义可知，“
”不成立即A 中至少有一个元素不在集合B 中.
【详解】
“
”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素，
不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B，
故选C．
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．
8
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二、多选题
7．下列关系式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.
【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A 错误；
对于B.
含有一个元素0，不是空集，故B 错误；
对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C 正确；
对于D.空集是任何集合的子集，故D 正确.
故选：CD．
8．（多选）若集合
，
，则集合
或
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据选项分别求解，再判断.
【详解】因为集合
，
，所以
，
，
或
， 所以
或
，
.
故选 ：BC
三、填空题
9
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9．已知实数集合
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
__________．
【答案】-3
【分析】根据题意求元素的关系．
【详解】解：因为实数集合
的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以
（无解）或者
，
解得：
．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．
10．设全集
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集
合为___________.
【答案】
【分析】化简集合N，并求出N 的补集，写出韦恩图的阴影部分表示的集合并求解即得.
【详解】依题意，
，则
，而
，又韦恩图表示的
集合为
，于是得
，
所以图中阴影部分表示的集合为
.
故答案为：
11．满足
，且
的集合
的个数是_____________.
【答案】12
【分析】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法写出满足条件的集合所有
，从而可
得结果.
10
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【详解】
集合
，且
，
满足条件的集合
为
共有12 个，故答案为12.
【点睛】本题主要考查已知集合间的关系求集合的个数问题，考查学生对子集，交集概念
的理解，是一道中档题.
12．若集合
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数
的最小值
是____.
【答案】-2
【分析】根据题意可知，集合
只有一个元素，从而
时，满足条件，而
时，
可得到
，求出
，找到最小的
即可.
【详解】
只有2 个子集；
只有一个元素；
时，
，满足条件；
②
时，
；
解得
或2；
综上，满足条件的实数
的最小值为﹣2.
故答案为﹣2.
【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数
和判别式
的关系.
四、解答题
13．已知集合
，
，若
，求实数
的值.
【答案】
【分析】由
可知
，从而可得关于
的方程组，进而可
11
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求出
的值.
【详解】解：由
，
，所以
.解方程组，得
.
【点睛】本题考查了集合的运算，考查了复数的概念.
14．已知全集
，
,
(1)
；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由集合的交并补运算直接求解.
(1)
（1）
，故
；
(2)
（2）
，则
.
15．若
，且A B=A
∪
，求由实数a 的值组成的
集合．
【答案】
【详解】试题分析：由
，得到
，所以讨论
和
两种情况求
的取值．第一步，先求解集合
，所以集合
:
，
，
．
试题解析：
，
，即
12
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，
故B 是单元素集合
或
当
，由
得
当
，由
得
当
，由
得
所以由实数a 形成的集合为
考点：1．集合与集合的关系；2．空集．
16．集合
是由形如
的数构成的，试分别判断
，
，
与集合
的关系.
【答案】
，
，
【分析】考虑
是否可以写成
的形式，若可以则是属于关系，
反之则是不属于关系.
【详解】∵
，而0，
，
，∵
∴
；∵
，而13，
，∴
.
【点睛】本题考查元素与集合关系的判定，难度一般.当集合是一个特殊的数集时，判断元
素是否属于集合，则需要考虑是否能通过一定的化简手段将元素能写成特殊数集的形式.
13
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提升题型训练
一、单选题
1．满足条件
的集合
的个数为
A．6 个
B．7 个
C．8 个
D．9 个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，当集合
中含有两个元素时，
；当集合
中含
有三个元素时，
；当集合
中含有四个元素时，
；当集合
中含有五个元素时，
，综上所述集合
的个数为个，故选C.
考点：子集的概念及应用.
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a 的值是( )
A．2
B．8
C．-2 或8
D．2 或8
【答案】D
【详解】由由已知得
；故选D.
3．已知集合
，
，全集
，则
等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用对数函数的定义域的求法化简集合A，利用根式函数的定义域的求法化简
14
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集合B，然后再利用补集和交集运算求解.
【详解】因为
，
即
或
，
所以
，
所以
，
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，属于基础题.
4．设集合
,
,若
,则
（ ）
A．-1
B．1
C．-1 或1
D．0
【答案】A
【分析】由集合的包含关系得
的方程组，求解即可
【详解】
，由集合元素互异性得
则
或
解得
或
故选 A
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题
5．已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求得
，
，再利用集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合
，
，
所以
.
15
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故选D.
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中正确求解集合
，再根据集合的
交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．设集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解不等式确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】由已知可得
，
，
所以
.
故选：D．
【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，指数函数的性质，属于基础
题．
7．集合A，B，C 满足
，则成立的等式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
转化为子集关系，可知集合B，C 关系，根据补集概念可得集
合A 的补集与集合B,C 无公共元素，即可求解.
【详解】因为
，
所以
且
，而集合
不一定相等，
所以选项A,C,D 错误；
又由
可知
，故B 做正确.
故选：B
16
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【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的定义，子集的概念，考查了推理能力，属
于中档题.
8．对于集合
，
，定义
，
，设
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由根据定义先求出集合
和集合
，再求这两个集合的并集可得
，
得解.
【详解】因为
，
，
,
,
所以
故选C．
【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解
和
的含义，属
于基础题.
9．已知集合
，若
且集合
中恰有2 个元素，则
满足条件的集合
的个数为（ ）．
A．1
B．3
C．6
D．10
【答案】B
【分析】将方程平方整理得
，再根据判别式得
，故
，再依次检验得
，最后根据集合关系即可得答案.
17
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【详解】解:根据题意将
两边平方得
，
继续平方整理得：
，故该方程有解.
所以
，即
，解得
，
因为
，故
，
当
时，
,易得方程无解，当
时，
，有解，满足条
件；
当
时，
，方程有解，满足条件；
当
时，
，方程有解，满足条件；
故
，因为
且集合
中恰有2 个元素，
所以
集合可以是
，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为
，再结合判别式得
，进而求出集合
.考查运算
求解能力，化归转化能力，是中档题.
10．若
是一个非空集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足:（1）
；（2）对于
的任意子集
，当
且
时，有
；
（3）对于
的任意子集
当
且
时，有
，则称
是集合
的一
个“
——集合类”例如:
是集合
的一个“
——集合类”.已知
，则所有含
的“
——集合类”的个数为（ ）
18
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A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【分析】根据题意知
一定包含
，对剩余
分类讨论得到答案.
【详解】
的子集有：
.
根据题意：
一定包含
，剩余
.
当5 个都不取时，
，1 个；
当只取1 个时，
，
，
满足，3 个；
当只取2 个时，
，
，
满足，3 个；
当只取3 个时，
，
，
，
满足，4 个；
当只取4 个时，不满足；
当取5 个时，
满足，1 个；共12 个.
故选：
.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，分类讨论是解题的关键.
二、多选题
11．已知集合
，
．若
，则实数m 的值为
19
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（ ）
A．0
B．1
C．-3
D．3
【答案】AD
【分析】根据并集结果得到
，从而讨论得到
或
或
，根据集合中元素
的互异性排除不合要求的结果.
【详解】因为
，所以
．
因为
，
，所以
或
，
解得
或
或
；
当
时，
，
，符合题意；
当
时，集合
不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当
时，
，
，符合题意；
综上，
或.
故选：AD
12．已知
是同时满足下列条件的集合：①
；②若
，则
；
③
且
，则
．下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据集合
满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①
，则由②
，
，
，由③得
，故A 正确；
（2）由（1）可知
，故B 错误；
（3）由①知
，
，
，
，
，
20
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即
，故C 正确；
（4）
，则
，由③可得
，
，
，
即
，
，即
，
；
由（3）可知当
，
，
，
当
，可得
，
，
故D 正确．
故答案为：ACD
13．给定集合
，若对于任意
，
，有
，且
，则称集合A 为闭集合，
以下结论正确的是（ ）
A．集合
为闭集合；
B．集合
为闭集合；
C．集合
为闭集合；
D．若集合
为闭集合，则
为闭集合．
【答案】AC
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断
,且
是否满足
即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义，
故A 正确;
对于B：当
时,
.故
不是闭集合.故B
错误;
对于C：由于任意两个3 的倍数,它们的和、差仍是3 的倍数,故
是闭集
合.故C 正确;
对于D：假设
,
.不妨取
,但是,
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,则
不是闭集合.故D 错误.
故选：AC
14．设非空集合
满足：当
时，有
，给出如下四个命题，其中
真命题是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】根据各选项对应m、l 参数值，讨论另一个参数可能取值情况，根据非空集合的
定义求出它们的范围.
【详解】当
时
，此时
，
若
，显然
，满足；
若
，则
，而
，不满足；
综上，
有
，A 正确；
当
时
，此时
，
若
，则
，此时
，满足；
若
，则
，而
，不满足；
综上，
时有
，B 正确；
当
时
，此时
，
此时，需保证
，则
，
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综上，
，C 正确；
当
时
，此时
或
，
若
，需保证
，则
；
若
有
，满足；
综上，
，D 错误.
故选：ABC
三、填空题
15．关于
的方程
的解集为______．
【答案】
【分析】直接解方程，再将结果表示成集合形式即可
【详解】由
，解得
，故解集为：
故答案为：
16．已知集合
，
，若
，则由实数
的所有可能的取值组成的
集合为______.
【答案】
【分析】由于集合B 是集合A 的子集，分别讨论集合B 为空集和不是空集的情况，当集合
B 不是空集时，集合B 的元素必为
或者
，即可求解.
【详解】因为集合
，
，
，
若
为空集，则方程
无解，解得
；
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若
不为空集，则
；由
解得
，所以
或
，解得
或
，
综上，由实数
的所有可能的取值组成的集合为
.
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及含参一元一次方程的解法，要注意集合B
是集合A 的子集时，集合B 有可能是空集.
17．定义有限数集
中的最大元素与最小元素之差为
的“长度”，如：集合
的“长度”为3，集合
的“长度”为0.已知集合
，则
的所有非空
子集的“长度”之和为_________.
【答案】201
【分析】根据集合“长度”的定义，可将集合
的非空子集分六类，分别计算可求出答案.
【详解】集合
有6 个元素,非空子集有
个，
①集合“长度”为0 的子集有：
；
②集合“长度”为1 的子集有：
；
③集合“长度”为2 的子集有：
；
④集合“长度”为3 的子集有：
；
⑤集合“长度”为4 的子集有：
；
⑥集合“长度”为5 的子集有：
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
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.
的所有非空子集的“长度”之和为
.
故答案为：201.
【点睛】本题考查新定义，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进
行计算、推理、迁移，新定义问题要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的
思想方法；二是根据问题情境的变化，通过思考，合理进行思想方法的迁移.
18．设集合
是小于5 的质数，则
的真子集的个数为______，
的非空真子集
的个数为______.
【答案】 3 2
【分析】质数又称素数，指在一个大于1 的自然数中，除了1 和此整数自身外，没法被其
他自然数整除的数，可求出集合
，再根据真子集的定义可求出所求．
【详解】小于5 的质数有2，3，即
，故
的真子集的个数为
，非空真
子集的个数为
.
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