专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
二次函数与一
元二次方程、
不等式
上海卷（秋考）：第3
题，4 分
全国二卷：第4 题，5
分
天津卷：第15 题，5
分
上海卷（秋考）：第2
题，4 分
上海卷（春考）：第2
题，4 分
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
命题规律
分析
1、二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式是每年高考数学的重要内容，从近三年高考情况来看，
解不等式是常考内容，高考中主要以选择题、填空题的形式呈现，一般最多
考查1 题，分值为4 分或5 分，主要考查解一元二次不等式、分式不等式，
难度不大，是基础题；复习时要加强解不等式的练习，做到简单题不丢分。
知识点1
一元二次不等式
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不
为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，
然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，
步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
知识点2
三个“二次”的关系
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
∆>0
∆=0
∆<0
y=ax2+bx+ c(a>0)
的图象
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
ax2+bx+ c=0(a>0)
的根
有两个不相等的实数根
x1,x2（x1<x2）
有两个相等的实数根
没有实数根
ax2+bx+ c>0(a>0)
的解集
{x|x<x1 或x>x2}
R
ax2+bx+ c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两
边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【方法技巧与总结】
1．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为R，则一定满足
0
0
a
；
2．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为∅，则一定满足
0
0
a
；
3．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为R，则一定满足
0
0
a
；
4．已知关于x 的一元二次不等式
0
2
c
bx
ax
的解集为∅，则一定满足
0
0
a
．
【题型1
一元二次不等式的求解】
【例1】（2026·重庆·一模）“�2 + �−2 < 0”是“
2�
�−2 < 1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2026·天津河东·二模）已知�∈�，“ 1 −2�≥3”是“�2 −2�−3 ≥0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式1-2】（2026·上海闵行·二模）设�∈�，不等式�2 −4�< 0 的解集是__________.
【变式1-3】（2026·陕西渭南·二模）不等式�2 + 2|�| −3 < 0 的解集为__________．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型2
由一元二次不等式的解确定参数】
【例2】（2026·陕西·模拟预测）已知关于x 的一元二次不等式2�2 −�+ �< 0 的解集为�−1 < �<
3
2 ，
则a=（
）
A．-3
B．3
C．−
1
2
D．
1
2
【变式2-1】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）若关于�的不等式��2 + ��−2 > 0 的解集是
1
�, −2 ，则�的取
值范围是（
）
A．−∞, −
1
2
B．−
1
2 , + ∞
C．−
1
2 , 0
D．−
1
2 , 0 ∪0, + ∞
【变式2-2】（2026 高一上·湖南邵阳·专题练习）关于�的不等式�2 −(�+ 1)�+ �≤0 的解中有且仅有3 个
正整数解，则实数�的取值范围（）
A．3,4
B．4,5
C．3,4
D．4,5
【变式2-3】（25-26 高一上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人解关于�的不等式�2 + ��+ �< 0，甲写错了常数�，
得到的解集为�−3 < �< 2 ；乙写错了常数�，得到的解集为�1 < �< 4 ．若甲、乙两人除写错常数外，
其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（
）
A．�−1 < �< 6
B．�−6 < �< 1
C．�−3 < �< 2
D．�2 < �< 3
【题型3
分式、绝对值不等式的求解】
【例3】（2026·辽宁沈阳·一模）不等式
�+1
3−�≥1 的解集（
）
A．1,3
B．1,3
C．−∞, 1
D．1,3 ∪3, + ∞
【变式3-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知集合�= �
2�−5
�+3 ≤0 ，�= �| −1 ≤�≤3 ，则�∪�=（
）
A．−3,3
B．−3,3
C．−1,
5
2
D．−1,
5
2
【变式3-2】（25-26 高三下·湖南长沙·阶段检测）不等式
2�+5
�−2 ≤1 的解集为___________.
【变式3-3】（2026·上海闵行·一模）不等式
�+3
�−2 < 0 的解集为__________.
【题型4
一元二次方程根的分布问题】
【例4】（25-26 高一上·安徽合肥·期中）已知关于x 的方程�2 + �−2 �+ 5 −�= 0 有两个大于2 的相异
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
实数根，则实数m 的取值范围是（
）
A．�| −5 < �≤−4 或�≥4}
B．�| −5 < �<−4
C．�| −5 < �≤−4
D．�| −5 < �<−4 或�> 4}
【变式4-1】（25-26 高三·全国·一轮复习）方程2�+ 1 �2 −2��+ �−1 = 0 有一正根和一负根的充分
不必要条件是（
）
A．−
1
2 < �< 1
B．�<−
1
2
C．0 < �< 1
D．−2 < �< 1
【变式4-2】（25-26 高一上·北京延庆·期中）若关于�的方程(�−2)�2 + 2 3�+ �= 0 有一个正根和一个负
根，则实数�的取值范围是（
）
A．0 < �< 3
B．0 < �< 2
C．−1 < �< 3
D．−1 < �< 0
【变式4-3】（25-26 高一上·陕西·阶段检测）关于�的方程��2 −�+ 1 �−2�+ 3 = 0 有两个不相等的实数
根�1, �2，若−2 < �1 < �2 < 3，则实数�的取值范围是（
）
A．{�∣�> 1}
B．{�∣�> 1 或�<−
5
4 }
C．{�∣�>
1
5或�<
1
9 }
D．{�∣�> 1 或�<−
1
5 }
【题型5
二次函数的图象分析与判断】
【例5】（25-26 高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数�= ��2 + ��+ ��≠0 的图象顶点在第
一象限，且经过�−1, 0 、�0, 1 两个点．则下列说法正确的是：（
）
①���< 0；②−1 < �< 0；③0 < �< 1；④0 < �+ �+ �< 2．
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【变式5-1】（25-26 高一上·全国·期末）二次函数�(�) = ��2 + ��+ �的部分对应值如表所示：
�
−3
−2
3
4
�(�)
−12
�
0
�
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为（
）
A．( −1,3)
B．( −2,4)
C．( −∞, −1) ∪(3, + ∞)
D．( −∞, −2) ∪(4, + ∞)
【变式5-2】（25-26 高一上·湖南株洲·阶段检测）不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为�−1 < �<
1
2 ，则函数
�= ��2 + ��−�的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（25-26 高一上·湖南常德·期中）已知二次函数�= ��2 + ��+ � （�, �, �为常数，且�≠0）的部
分图像如图所示，则（
）
A．���< 0
B．�+ �> 0
C．�+ �+ �> 0
D．不等式��2 −��+ �> 0 的解集为� −
1
2 < �< 1
【题型6
一元二次不等式恒成立问题】
【例6】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“∀�∈R,�2 + ��+ �+ 3 ≥0”为真命题，则实数�的取值范围是
（
）
A．−6,2
B．−6, −2
C．−2,6
D．2 −
7，2 +
7
【变式6-1】（25-26 高一上·江苏南通·期中）∀�∈−1, + ∞, �2 + 1 −��+ 1 −�≥0 恒成立，则实数�的
取值范围为（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．−∞, −1
B．−∞, 0
C．−3,1
D．−∞, 1
【变式6-2】（25-26 高一上·云南红河·阶段检测）当0 ≤�≤3 时，不等式�2 −�+ 2 �+ �−3 < 0 恒成
立，则�的取值范围为（
）
A．−1,5
B．−1,3
C．0,3
D．0,5
【变式6-3】（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当�> 0，�> 0 且满足�+ �−��=−3 时，若��> �2 + �+ 7
恒成立，则�的取值范围为（
）
A．−∞, −2 ∪1, + ∞
B．−1,2
C．−∞, −1 ∪2, + ∞
D．−2,1
【题型7
一元二次不等式有解问题】
【例7】（25-26 高一上·山西太原·期中）若存在�∈�，使得不等式��2 −��−1 > 0 成立，则实数�的取值
范围是（
）
A．−∞, −4
B．0, + ∞
C．−4,0
D．−∞, −4 ∪0, + ∞
【变式7-1】（25-26 高一上·天津武清·期中）若命题“∃�∈�，使得�2 + 2��+ 2�+ 3 < 0”为真命题，则实数
a 的取值范围是（
）
A．�|�<−1
B．�| −1 ≤�≤3
C．{�|�<−1 或�> 3}
D．�|1 −
7
2 ≤�≤1 +
7
2
【变式7-2】（25-26 高一上·江西吉安·期中）若两个正实数�, �满足
1
�+
4
�= 2 且存在这样的�, �使不等式��−
�2 −3�< 0 有解，则实数�的取值范围是（
）
A．( −1,4)
B．( −∞, −4) ∪(1, + ∞)
C．( −4,1)
D．( −∞, −3) ∪(0, + ∞)
【变式7-3】（25-26 高一上·天津南开·阶段检测）若关于x 的不等式�2 + 2�+ 9 < �2 + 2�有实数解，则实
数m 的取值范围是（
）
A．−∞, −4 ∪2, + ∞
B．−∞, −4 ∪2, + ∞
C．−4,2
D．−∞, −2 ∪4, + ∞
一、单选题
1．（2026·宁夏·一模）不等式
1
�−1 ≥2 的解集为（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．1,
3
2
B．1,
3
2
C．−∞,
3
2
D．−∞, 1
2．（2026·江苏苏州·三模）设�∈�，则“�≤1”是“�2 ≤�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·海南儋州·二模）已知集合�= �|�2 −3�≤0 ，�= −2,0,4 ，则∁��∩�=（
）
A．0
B．−2,4
C．−2,0
D．−2,0,4
4．（2026·新疆·二模）不等式
�−3
�+2
�2
≤0 的解集是（
）
A．�∣−2 ≤�≤3
B．{�∣�≥3 或�≤−2}
C．{�∣−2 ≤�< 0 或0 < �≤3}
D．{�∣�> 3 或�<−2}
5．（2026·陕西咸阳·二模）已知命题“∃�∈�，使�2 + �+ �−2 ≤0”是假命题，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, 0
B．0,4
C．4, + ∞
D．
9
4 , + ∞
6．
（2026·河南·模拟预测）已知关于�的一元二次不等式2�2 −�+ �< 0 的解集为�−1 < �< �
�>−1 ，
则�+ �=（
）
A．−
3
2
B．
3
2
C．−
5
2
D．
5
2
7．（2026·浙江·模拟预测）若关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为(5,6)，则不等式
�2+��−12
�+�
> 0 的解集
为（
）
A．−1,12 ∪30, + ∞
B．−∞, −12 ∪0,30
C．−∞, −30 ∪−1,12
D．−30, −1 ∪12, + ∞
8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数�，�满足�−2
�−1 = 2.若不等式�+ 2�> �2 −2�
恒成立，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, −4 ∪2, + ∞
B．−∞, −2 ∪4, + ∞
C．−4,2
D．−2,4
二、多选题
9．（2026 高一上·江苏·专题练习）（多选）关于�的不等式��2 + 2�−1 �−2 > 0，其中�≤0，则该不等
式的解集可能是（
）
A．−∞, −2
B．−2,
1
�
C．−∞, −2 ∪
1
�, + ∞
D．
1
�, −2
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
10．
（2026·西藏林芝·二模）已知关于�的不等式��2 + ��+ �> 0 的解集为−1,2 ，则下列说法正确的是（
）
A．�< 0
B．�+ �+ �< 0
C．不等式��+ �< 0 的解集为−∞, 1
D．不等式��2 + �−1 �+ 2 > 0 的解集为
1
�, 2
11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式��2 + ��+ �≥0 的解集为�−3 ≤�≤4 ，则下列
说法正确的有（
）
A．�< 0
B．不等式��2 −��+ �< 0 的解集为�−
1
4 < �<
1
3
C．�+ �+ �< 0
D．9�−3�+ �> 0
三、填空题
12．（2026·广东·三模）不等式
2�−1
�+1 ≤1 的解集是___________．
13．
（2026·上海·模拟预测）��+ �< 0 的解集为
−∞, −1 ，则
��−�
�+ 2 < 0 的解集为___________．
14．（2026·陕西商洛·模拟预测）若关于�的不等式��2 −��+ 1 > 0 的解集为−∞,
2
�∪�, + ∞，其中
�> 0，则�+
3
�的最小值为___________.
四、解答题
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）解下列关于�的不等式.
(1) �+ 1 2 −�≥7；
(2)
2�+5
�−2 < 1.
16．
（25-26 高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x 的不等式(�−1)�2 −2��−2 < 0 的解集为{�−1 < �<
2 }.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若�≤0，求关于x 的不等式���2 + (�−�)�−1 ≥0 的解集.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
17．（2026·四川·模拟预测）关于�的不等式�2 + 2 < 3 �+ 2 的解集记为�．关于�的不等式
�−�2
�+1 < 0 的解集
记为�．
(1)求集合�；
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，求实数�的取值范围．
18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知关于�的不等式��2 −3�+ �< 0 的解集为�1 < �< 2 .
(1)求a，b 的值并求解不等式��2 + ��−3 ≥0 的解集；
(2)当�> 0，�> 0 且满足
�
�+
�
�= 1 时，有2�+ �≥�2 + 4 恒成立，求�的取值范围.
19．（25-26 高一上·浙江·期中）已知函数��= �2 −�−2 �−2�.
(1)当�= 4 时，求关于�的不等式��< 0 的解集；
(2)求关于�的不等式��< 0 的解集；
(3)若��> 0 在区间3, + ∞上恒成立，求实数�的范围.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
