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专题10 三角函数求w 范围归类
目录
题型一：求w 基础1：图像与与解析式.............................................................................................................................1
题型二：求w 基础2：五点图像平移（异名平移）.........................................................................................................6
题型三：求w 基础：恒等变形型平移................................................................................................................................8
题型四：平移图像重合求w...............................................................................................................................................11
题型五：平移后是奇函数，求w 最小值..........................................................................................................................13
题型六：单调性型求w.......................................................................................................................................................15
题型七：存在对称轴型求w...............................................................................................................................................19
题型八：存在对称中心型求w...........................................................................................................................................21
题型九：对称轴最多（少）型...........................................................................................................................................24
题型十：零点最多（少）型...............................................................................................................................................27
题型十一：没有最值型.......................................................................................................................................................30
题型十二：零点和对称轴型...............................................................................................................................................34
题型十三：不单调型...........................................................................................................................................................37
题型十四：极值点最多（少）型.......................................................................................................................................39
题型十五：正整数型...........................................................................................................................................................42
题型十六：综合应用型.......................................................................................................................................................44
题型一：求w 基础1：图像与与解析式
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
与函数
的部分图象如图所示，
且函数
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位长度得到，则
（ ）
确定
的步骤和方法:
(1)求
：确定函数的最大值
和最小值
，则
，
；
(2)求
：确定函数的周期
，则可
；
(3)求
：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时
已知)或代入图象与直线
的交点求解(此时要注意
交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定
值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1
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A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数平移，利用图象上已知条件求函数解析式，求函数值，可得答案.
【详解】由题意可知，将函数
图象上的点
向右平移
个单位长度，
可得
的图象与
轴负半轴的第一个交点为
，
因为
的图象与
轴正半轴的第一个交点为
，
所以
，得
，则
，
又
，所以
，由
知，
，
则
，
，故
.
故选：C.
2．（2023 高三上·湖南·专题练习）函数
（
且
）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可将函数化简为
，从而可求解.
2
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【详解】由题意
，
，化简得
，
根据函数
的图象和性质，
可得
在
内为增函数且
为正值，
在
内为增函数且
为负值，在
内为减函数且
为负值，故C 正确.
故选：C.
3．（23-24 高三山东青岛·阶段练习）设函数
的部分图象如
图所示，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由图象得出函数解析式再利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】由图象可知：
，
结合五点法作图可得
，故
．
如果
，且
，
则
，
由正弦函数的对称性可知
，
所以
.故选：C．
3
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4．（22-23 高三全国·阶段练习）已知函数
的部分图象如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象
C．
图象的对称中心为
，
D．
在区间
上的最小值为
【答案】A
【分析】根据函数最大值和最小正周期可得
，由
可得
，从而得到
解析式；由
可确定奇偶性，知A 正确；根据三角函数平移变换原则可得B 错误；利用整体代换法，
令
可求得对称中心，知C 错误；由
，结合正弦函数性质可确定最小值为
，知D 错误.
【详解】
，
，
；
由图象可知：
最小正周期
，
，
又
，
，解得：
，
又
，
，
；
对于A，
，
4
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，
为偶函数，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，令
，解得：
，
的对称中心为
，C 错误；
对于D，当
时，
，
当
，即
时，
，D 错误.
故选：A.
5．（22-23 三·全国·课后作业）已知函数
的部分图象如图所示，下
列关于函数
的表述正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
在
上递减
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
的图象上所有点向左平移
个单位得到函数
的图象
【答案】B
【分析】根据图象依次求得
的值，从而求得
，结合函数的单调性、单调性、三角函数图象变换
的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】根据函数
的部分图象知，
5
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最小正周期为
，
；又
，
，
，
；
又
，故
；
，
函数
；
时，
，
的图象不关于点
对称，故A 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，故B 正确；
当
时，
，
的图象不关于直线
对称，故C 错误；
的图象上所有点向左平移
个单位，得
的图象，
不是函数
的图象，故D 错误．故选：B
题型二：求w 基础2：五点图像平移（异名平移）
6．（21-22 高三·全国·课后作业）把函数 y＝cos
的图象适当变换就可以得到y＝sin(－3x)的图象，
这种变换可以是（ ）
A．向右平移
个单位长度 B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度 D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将
变成
，再提取系数3，由平移的规
则研究即可．
【详解】
，
同名函数到同名函数的平移
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx 的图象上所有点向左（当φ＞0 时）或向右（当φ＜0
时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
如果系数不为1，
遇到正弦到余弦的平移。目标是函数化一致，理论上正弦化为余弦或者余弦化为正弦都可以，实际操作时，
建议把正弦化为余弦较简单，原因主要是余弦是偶函数，可以利用cos（-x）=cosx，达到转化系数为正的目的。
6
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函数
的图象向左平移
可以得到
的图象
故选：D．
7．（20-21 高三·全国·课后作业）为了得到
的图象，只需把函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】结合诱导公式，将
转化为
，结合平移法则即可求解.
【详解】∵
，设函数
平移
个单位后得到
，
则有
，即
，
，∴为了得到
的图
象，只需把函数
的图象向右平移
个单位长度.
故选：D．
8．（21-22 高三上·浙江·）已知函数
，为了得到函数
的图象只需将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.
【详解】解：因为
所以
，只需将f(x)的图象向左平移
个单位，
故选：A.
9．（21-22 高三上·湖北武汉·开学考试）要得到函数
的图象，可以将函数
7
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的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到
，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为
，
而
，故将函数
的图象向右平移
个单位长度即可，
故选：A.
10．（20-21 高三上·宁夏·阶段练习）若将函数
(
)的图象向左平移
个单位长度后，与
函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】D
【解析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出
，即可得出结果.
【详解】将函数
(
)的图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，
又平移后的图象与函数
的图象重合，
而
，
所以
（
），则
（
），
又
，所以为使
取得最小值，只需
，此时
.
故选：D.
题型三：求w 基础：恒等变形型平移
8
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11．（22-23 高三下·四川成都·）要得到函数
的图象，需将
的图象（ ）.
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】C
【解析】把两个函数都由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后由三角函数的图象变换得出
结论．
【详解】
，又
.
.故选：C．
12．（20-21 高三·上海·课后作业）函数
的图像可由
向右平移的单位个数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式将函数
化为
，
化为
，再利用平移变换的即可得出答案.
【详解】解：将函数
化为
，
化为
，
涉及到较复杂形式的函数平移，需要通过和、差、倍、半公式，降幂公式，辅助角公式等等恒等变形方法，
转化为同名正余弦函数，再进行平移计算
9
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所以函数
向右平移
个单位即可的出
，
即函数
的图像可由
向右平移的单位个数为
.
故选：B.
13．（22-23 高三下·安徽合肥）若将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原
来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简
的解析式，再根据
的图象变换规律求得
的解析
式，再利用余弦函数的单调性，求得函数
的单调递减区间.
【详解】解：将函数
的图象上所有的横坐标伸长为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，令
，求得
，
可得
的单调递减区间为
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于基础题.
14．（19-20 高三·广东揭阳·阶段练习）要得到
（
）的图象，只需把
（
）的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【解析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简
，由诱导公式化简
，即可由三角函数图象
平移变得解.
【详解】由同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得
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而
，
所以将
的图象向左平移
个单位得到
的图象，
故选：A；
【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角公式在三角函数式化简中的应用，三角函数图象平移变换的应用，
属于基础题.
15．（22-23 高三上·天津）已知函数
，现给出下列四个
结论，其中正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的最大值为2
C．函数
在
上单调递增
D．将函数
的图象向右平移
个单位长度；所得图象对应的解析式为
【答案】C
【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【详解】对于A 和B，
，
所以
的最小正周期为
，
的最大值为1，故A 错误，B 错误，
对于C，当
时，
，
因为
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，将函数
的图像向右平移
个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
，故D 不正确，
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故选：C
题型四：平移图像重合求w
16．（21-22 高三·天津河西·阶段练习）已知将函数
的图象向右平移
个单
位之后与
的图象重合，则
的值为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．9
【答案】B
【分析】本题先求出最小正周期
，再建立方程
（
），最后根据范围求
的值即可.
【详解】解：因为函数
，所以最小正周期
，
因为函数
的图象向右平移
个单位之后与
的图象重合，所以
（
），解得：
，又因为
，所以
.
故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求参数，是基础题.
17．（23-24 高三·河南南阳·）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，与函数
的图象重合，则
的最小值为（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，函数
的图象与
的图象重合，可得
，从而得解.
【详解】将
的图象向左平移
个单位长度，
得到
，
其图象与
的图象重合，
解决三角函数中已知单调区间求参数
范围时，首先要有已知的单调区间是函数
单调
区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长
度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
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则
，所以
，
又
，所以
的最小值为3.
故选：B
18．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位，到得函数
的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据平移理论结合已知条件得
，再利用诱导公式得
，进而得到
，从而求出
，再结合已知条件即可求
出
的最小值.
【详解】由题意得
，
又
所以
，
所以
，
，
又因为
，所以
的最小值为
.
故选：A.
19．（23-24 高三·广东广州·）将函数
的图象向左平移
个单位后，与函数
的图象重合，则
的值可以是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由函数
的图象与
的图象重合，得
即可求
得答案.
【详解】将
的图象向左平移
个单位长度，
得
，其图象与
的图象重合，
13
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则
，解得
，
的值不可能为1，3，4，可以为2.
故选：B
20．（2023·陕西榆林·模拟预测）将函数
的图像分别向左向右各平移
､
个单位长
度后，所得的两个图像的对称轴重合，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．6
D．
【答案】D
【分析】利用函数
的图象变换规律，正弦函数的周期性，求出
的最小值．．
【详解】∵将函数
的图像分别向左、向右各平移
个单位长度后，
所得的两个函数图像的对称轴重合，故当
最小时，有
，解得：
，
故选：D．
题型五：平移后是奇函数，求w 最小值
21．（23-24 高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
的图象向左平移
后所得的函
数为奇函数，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】平移后的解析式为奇函数得到
，求出
的最小值.
【详解】因为
为奇函数，则
，
所以
，又
，所以
，解得
，
因为
，所以
时，
取得最小值，最小值为8.
故选：D
22．（23-24 高三·江苏盐城·阶段练习）将函数
的图象向左平移
个单位长度后
得到的函数为奇函数，则实数
的最小值为（ ）
可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。
在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得
，再由
为奇函数，求得
，进而得到
取得最小值.
【详解】由函数
，将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到函数
，
又由
为奇函数，所以
，解得
，
因为
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：
.
23．（2021 高三·全国·专题练习）把函数
的图象向右平移
个单位后，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据题意得
，再得到
，计算求解即可.
【详解】函数
的图象向右平移
个单位后，
得
因为
为奇函数，所以
，
；
因此，
，结合
，取
得
的最小值为2.
故选：A.
24．（多选）（2024·山东济宁·一模）已知函数
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，则
B．若
，则函数
在
上的值域为
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最
15
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小值为
D．若函数
在
上恰有一个零点，则
【答案】ACD
【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；利用正弦型函数的值域可判断B 选项；利用三角函数
图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；利用正弦型函数的对称性可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，若
和
为函数
图象的两条相邻的对称轴，
则函数
的最小正周期为
，则
，
所以，
，此时，
，合乎题意，A 对；
对于B 选项，若
，则
，
当
时，则
，所以，
，
故当
时，则函数
在
上的值域为
，B 错；
对于C 选项，将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
则
为奇函数，
所以，
，解得
，
因为
，当
时，
取最小值，C 对；
对于D 选项，因为
，当
时，
，
因为函数
在
上恰有一个零点，则
，解得
，D 对.
故选：ACD.
25．（23-24 高三·江西南昌·阶段练习）已知函数
，将函数
的图象向左
平移
个单位长度后，得到函数
的图象，若
为奇函数，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得
，再由
为奇函数，求得
，进而得到
取得最小值.
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【详解】由函数
，将函数
的图象向左平移
个单位长度后，
得到函数
，
又由
为奇函数，所以
，解得
，
因为
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
.
题型六：单调性型求w
26．（23-24 高三·河南新乡·）若函数
在
上单调递减，则满足条件的
的
个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对
分不同情况进行讨论，得出当
时不满足条件，当
或
时满足条件，当
时
不满足条件，即得到所求的全部
为
和
，从而得到答案.
【详解】若
，则
，故
不满足条件；
若
或
，则对
有
，或
.
所以
，根据复合函数单调性知
在
上单调递减，满足条件；
若
，则
，故
不满足条件；
若
，则由
可知，存在正整数
满足
.
正弦函数
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间
（k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
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此时
，
，从而
在
上存在极值点，
不可能单调递减，不满足条件.
综上，满足条件的有
和
.
故选：C.
27．（23-24 高三·山东济宁·）设函数
（
、
、
都是常数，
，
），若
在区间
上具有单调性，且
，则
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】记函数
的最小正周期为
，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.
【详解】记函数
的最小正周期为
，则
，可得
．
又
，且
，又
，所以函数
的一个对称中心为
，
函数
的一条对称轴为
，又
，
，解得
．
故选：B．
28．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递
减，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
在区间
上单调递减，用周期公式，缩小
范围
．
，得
①，
，得出对称中心
，进而得到
②，
两式相减，得到
，因为
，求出
．
代入①，根据
，解出
即可．
【详解】
在区间
上单调递减，
，
18
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由
，得
①.
又
，
图象关于点
对称，
即
②.由②-①得
，由于
，
则
，代入①，即
，
由于
，则
，则
．
故选：C.
29．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，求得单调递减区间，进而可得
，求解即可.
【详解】
；
令
，
则
，
所以
在
是减函数，
因为
在区间
单调递减，所以有
，
即
，又
，所以
，
．
故选：B．
30．（23-24 高三·广东佛山·）已知函数
，若函数
在
上单调递减，则
的取值范围为（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用
的性质，得到
且
，即可求出结果.
【详解】由
，得到
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
得到
，又
，
，即
，令
，得到
，故选：D.
题型七：存在对称轴型求w
31．（23-24 高三·浙江丽水·）已知函数
，若
的图象的任意一条对称
轴与
轴交点的横坐标均不属于区间
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，ymax＝1；
（k∈Z）时，ymin＝－1
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1
20
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【分析】由已知得
，
，且
，解之讨论
，可得选项.
【详解】因为
的图像的任何一条对称轴与
轴交点的横坐标均不属于区间
，
所以
，所以
，
又
，且
，解得
，又因
，
所以
，解得
，当
时，
符合题意，
当
时，
，符合题意，所以
.故选：D.
32．（2024·江西鹰潭·三模）已知函数
，若
且
，则
的最小值为（ ）
A．11
B．5
C．9
D．7
【答案】D
【分析】根据
可知函数
的一条对称轴为
，可得
，求得
，再根
据正弦函数在
处取得最小值，列出方程可求得结论.
【详解】由
可知，
在
取得最小值，所以函数
的一条对称轴为
，
又
，因此
，即
；
所以
，
又
在
取得最小值，可知
，
解得
，
又
，所以
时，
取得最小值为7.
故选：D
33．（2024·黑龙江·三模）已知函数
在区间
内恰有3 条对称轴，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
21
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【分析】根据条件得到
，利用
的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
又函数
在区间
恰有3 条对称轴，
所以
，解得
，
故选：D.
34．（2024·山东·二模）已知函数
，若将
的图象向左平移
个单位后所得的函
数图象与曲线
关于
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】求出函数
的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数
，
的图象向左平移
个单位后所得函数
，
函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则
，
于是
对任意实数
恒成立，
即
对任意实数
恒成立，
因此
，解得
，而
，则
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：A
35．（23-24 高三上海·阶段练习）已知函数
的初始相位为
，若
在区间
上有且只有三条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
22
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【分析】根据x 的取值范围，确定
，结合
在区间
上有且只有三条对称轴，列出
不等式，即可求得答案.
【详解】由于函数
的初始相位为
，即
，
当
时，
，
由于
在区间
上有且只有三条对称轴，故
，
解得
，故选：D
题型八：存在对称中心型求w
36．（2024 高三·浙江绍兴·学业考试）若存在
，使函数
的图象关于
对称，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由对称中心知
，讨论
的取值，找出正整数
的最小值.
【详解】因为函数
的图象关于
对称，
所以
，所以
，所以
，
当
时不满足，
当
时，
，所以
，因为
，此时
的最小值为3；
当
时，
，所以
，因为
，此时
的最小值为6；
正弦函数对称中心：(kπ，0)(k∈Z)
余弦函数对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心：(，0)(k∈Z)
23
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一般的：
，所以
，
当正整数
增大时，
的最小值也越来越大，故
的最小值为3；
故选：C
37．（2024·河北·模拟预测）已知函数
，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】由
求出
的取值，再根据
，分
是函数
的一个对称中心与
不是对称中心两种情况讨论，分别求出
的最小值，即可得解.
【详解】因为
，所以
，则
或
，
又
，
，当
是函数
的一个对称中心时，
，
若
，则
，所以
，则
，又
，所以当
时
；若
，则
，
所以
，则
，又
，所以当
时
；
当
不是函数
的一个对称中心时，因为
，即
，
所以
，所以
，又
，所以当
时
，
综上所述：
.故选：C
38．（2024·江西·模拟预测）已知函数
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．3 或
B．2 或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据题意整理可得
，其中
，
，结合正弦函数对称性可
得
，
，分类讨论
的奇偶性，结合诱导公式分析求解.
24
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【详解】由题意可知：
，其中
，
．
因为
的图象关于点
中心对称，则
，
整理可得
，则
，解得
，
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
综上所述：
或
．故选：A．
39．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数
的最小正周期为
，在区
间
上单调递减，且在区间
上存在零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得
，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，
然后结合已知求出范围.
【详解】由函数
的最小正周期为
，得
，而
，解得
，
则
，由
，
得
，又
在
上单调递减，
因此
，且
，解得
①，
由余弦函数的零点，得
，即
，
而
在
上存在零点，则
，
于是
②，又
，联立①②解得
，
所以
的取值范围是
.故选：B
40．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递减，且
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在区间
上只有1 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得.
【详解】当
时，
， 则
，
当
时，
，则
，
即有
，解得
.故选：C.
题型九：对称轴最多（少）型
41．（23-24 高三 ·云南德宏·）已知函数
在区间
上恰有两条对称轴，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意得到
，从而得到
，再解不等式即可.
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在区间
恰有两条对称轴，
＝Asin(ωx＋φ)型求ω 归纳：
1.已知单调区间
，则必有
.
2.如果两条相邻轴或者相邻中心：
（或者
），则必有
3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为
，则
4.已知2 条对称轴（或者2 个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为
，则
26
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所以
，解得
.
故选：A
42．（23-24 高三安徽六安·阶段练习）已知函数
在区间
恰有两条对称轴，
则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得到
，从而得到
，再解不等式即可.
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在区间
恰有两条对称轴，
所以
，解得
.故选：B
43．（21-22 高三·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
的图象在区间
上有且仅有
两条对称轴，则
在以下区间上一定单调的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出对称轴方程，由已知可得
，进而可得
，分别研究
，
，
，
时各对称轴的范围与选项中的区间的关系依次判断即可.
【详解】令
，即
，所以
，
，解得
，
，
分别取
得
，
，
，
因为
的图象在区间
上有且仅有两条对称轴，
所以
，
，解得
，
对于A 项，当
时，
的一个对称轴为
，且
，
，故A 项不成立；
27
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对于B 项，当
时，
的一个对称轴为
，且
，
，故B 项不成立；
对于C 项，当
时，
的一个对称轴为
，且
，
，故C 项不成立；
对于D 项，当
时，
的一个对称轴为
，且
，
由C 项知，当
时，
的一个对称轴为
，且
，
所以
介于
和
时的相邻的对称轴之间，
故
在
上一定单调，故D 项正确.故选：D.
44．（2022·山西运城·模拟预测）已知函数
的图象在区间
上有且仅有两条对
称轴，则
在以下区间上一定单调的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称轴方程求得
，解得
，结合在区间
上有且仅有两
条对称轴，求得
，由此依次取
求得函数图象相应的对称轴的范围，比较和四个选
项中区间的关系，即可判断答案.
【详解】令
，即
，所以
，
，
所以
，
;分别取
，得
，
所以
，得
;
当
时，得对称轴方程为
，且
；
当
时，得对称轴方程为
，且
,
,
故
不是函数的单调区间，C 错误；
28
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当
时，得对称轴方程为
，且
，
，
故
不是函数的单调区间，B 错误；
当
时，得对称轴方程为
，且
，
，故A 错误，
由以上分析可以看到，
介于
和
时的相邻的对称轴之间，
故
在区间
上一定单调，故选：D
45．（21-22 高三·四川宜宾·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，直线
是
图象的一条对称轴，两条对称轴之间的距离不大于3，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意以及正弦函数的周期性和对称性即可判断.
【详解】因为在
是单调递增的，所以在
内不存在对称轴，
若在
有对称轴
，则
，
但区间
与区间
不对称，故不存在；又因为两条对称轴的距离不大于3，
所以另一条对称轴必为x=-1，故周期
；
故选：D.
题型十：零点最多（少）型
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46．（广东省高州市2023 届高三二模数学试题）已知函数
，若
，且
在
上恰有1 个零点，则
的最小值为（ ）
A．11
B．29
C．35
D．47
【答案】B
【分析】利用图象分析
在区间
内只有一个零点的条件，结合
可解.
【详解】因为
，且
在
上恰有1 个零点，
所以
，所以
，所以
，又
，所以
，即
所以
，解得
，当
时，
有最小值29.
故选：B
47．（23-24 高三江苏南京·）已知函数
的最小正周期为
，
在三角函数
图象与性质中，
对整个图象性质影响最大，因为
可改变函数的单调区间，
极值个数和零点个数，求解
的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要
准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，
此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间
内有n 个零点，则满足
30
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若
在区间
上恰有8 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意得到曲线
的一条对称轴为
，设零点从小到大依次为
，
从而得到
，从而得到
，得到答案.
【详解】因为
的最小正周期为
，
所以曲线
的一条对称轴为
，所以
，
设零点从小到大依次为
，其中
，
有
，即
，解得
，所以
的取值范围是
．故选：A．
48．（23-24 高三·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
（
），若
在
上有两个
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
的范围，结合三角函数的性质得到关于
的范围，从而得解．
【详解】因为
，所以
，
因为函数
在区间
上有2 个零点，
所以
，解得
，即
的取值范围是
故选：A.
49．（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数
在
上至少有两个不同零点，
则实数
的取值范围是（ ）
31
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先令
得
，并得到
，从小到大将
的正根写出，因为
，所以
，从而分情况，得到不等式，求出答案.
【详解】令
得
，因为
，所以
，
令
，解得
或
，从小到大将
的正根写出如下：
，
，
，
，
，
……，因为
，所以
，
当
，即
时，
，解得
，此时无解，
当
，即
时，
，解得
，此时无解，
当
，即
时，
，解得
，故
，
当
，即
时，
，解得
，故
，
当
时，
，此时
在
上至少有两个不同零点，
综上，
的取值范围是
.故选：A
50．（23-24 高三·湖南长沙·开学考试）设函数
，若对于任意实数
，函数
在区间
上至少有2 个零点，至多有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，将问题转化为研究
在任意一个长度为
的区间上的零点问题，分别求得
相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于
的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为
为任意实数，故函数
的图象可以任意平移，
从而研究函数
在区间
上的零点问题，
即研究函数
在任意一个长度为
的区间上的零点问题，
32
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令
，得
，则它在
轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为
，
，
，
，
，
，则它们相邻两个零点之间的距离分别为
，
，
，
，
，
故相邻三个零点之间的距离为
，相邻四个零点之间的最小距离为
，
所以要使函数
在区间
上至少有2 个零点，至多有3 个零点，
则需相邻三个零点之间的距离不大于
，相邻四个零点之间的最小距离大于
，
即
，解得
，即
.故选：B
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的
以及区间
是干扰
因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
题型十一：没有最值型
51．（23-24 高三辽宁·阶段练习）已知函数
（
，
），若
为奇函数，
为偶函数，且
在
上没有最小值，则
的最大值是（ ）
A．14
B．10
C．7
D．6
【答案】D
【分析】根据给定的奇偶性求出
的值，再按
的值分类讨论求出
的表达式，结合
在
上没有最
小值求出
最大值.
【详解】依题意，
，由
为奇函数，得
，
，由
为偶函数，得
，
两式相加得
，而
，则
或
，
没有最值型：
1.如果在
区间内没有最小值，则该区间内没有极小值（-1 型）型对称轴。
2.如果在
区间内没有最大值，则该区间内没有极大值（1 型）对称轴。
3.如果在
区间内没有最小值，则该区间内是先增后减型。
4.如果在
区间内没有最大值，则该区间内是先减后增型。
33
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当
时，
，且
，
则
，且
，而
，因此
，
当
时，
，由
在
上没有最小值，
得
，
，此时
，
；
当
时，
，且
，
则
，且
，而
，因此
，
当
时，
，由
在
上没有最小值，
得
，
，此时
，
，
所以
的最大值是6.
故选：D
52．（2021 高三江苏·专题练习）若函数
在区间
内没有最值，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由在区间
没有最值得
在区间
上单调，求出
整体的范围，分单调递增和
单调递减分别解不等式，最后取并集即可.
【详解】由
在区间
内没有最值，知
在区间
上单调，由
可得
，
当
在区间
上单增时，可得
，解得
，
时无解，令
，得
，又
，故
；
当
在区间
上单减时，可得
，解得
34
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，
时无解，令
，得
，综上
.故选：B.
53．（20-21 高三·四川泸州·阶段练习）已知
，函数
在区间
内没有最值，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的最值可得，当
，
时，
取得最值，所以问题转化为对任意
，都有
，而当
时，存在
使得
不成立，所以
，排除
选项
，当
时，存在
使得
，排除选项
,可得选项
正确.
【详解】由
，
，得
，
，
因为函数
在区间
内没有最值，
所以对任意
，都有
，
当
，
时，
，故选项
不正确；
当
时，存在
使得
，故选
不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦函数的最值，属于基础题.
54．（2018·河北衡水·一模）若函数
在区间
内没有最值,则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数
在区间
内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间
为单调区间的子集得到关于
的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】函数
的单调区间为
，由
，
得
．∵函数
在区间
内没有最值，
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∴函数
在区间
内单调，∴
，∴
，解
得
．由
，得
．当
时，得
；
当
时，得
，又
，故
．综上得
的取值范围是
．故选B．
【点睛】解答本题的关键有两个：一是对“函数
在区间
内没有最值”的理解，由此可得函数
在该区间内单调；二是求出函数
的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再
转化为不等式组求解，根据集合的包含关系得到不等式组时要注意不等号中要含有等号．
55．（23-24 高三湖南长沙·开学考试）若函数
在区间
内没有最值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数
，由函数
在
上单调列式求解作答.
【详解】依题意，
，函数
的单调区间为
，
由
，而
，得
，
因此函数
在区间
上单调，
因为函数
在区间
内没有最值，则函数
在区间
内单调，
于是
，则
，解得
，
由
，且
，解得
，又
，从而
或
，
当
时，得
，又
，即有
，当
时，得
，
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所以
的取值范围是
.
故选：B
题型十二：零点和对称轴型
56．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数
，若
在区间
内有且仅有4 个
零点和4 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数
，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.
【详解】函数
，当
时，
，
由
在区间
内有且仅有4 个零点，得
，解得
，
由
在区间
内有且仅有4 条对称轴，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
57．（22-23 高三·浙江杭州·）已知函数
，则
在区间
上有且仅有
个零点和
条对称轴，则
的取值范围是（ ）
y＝Asin(ωx＋φ)基本性质：
（1）定义域：解三角函数不等式用“数形结合”
（2）值域：由内向外③单调性：同增异减
（3）周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝
②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周
期T＝.
（4）对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x 中的“x”，采用整体代入求解．
（5）对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
（6）对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
（7）（正弦“第一零点”：
；正弦“第二零点”：
（8）余弦“第一零点”：
；余弦“第二零点”：
37
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为
，由
可求得
的取值范围，
结合已知条件可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
因为
，当
时，
，
因为函数
在区间
上有且仅有
个零点和
条对称轴，
则
，解得
，
故选：A.
58．（2023·浙江杭州·一模）已知函数
（ω＞0），若f（x）在区间
上有且仅
有3 个零点和2 条对称轴，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量
的取值范围求解出
的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得
的取值范围
【详解】函数
，
因为
，所以
，由于函数
在区间
上有且仅有3 个零点和2 条对称
轴，根据函数的图像：
所以
，整理得：
．
故选：D．
38
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59．（22-23 高三·江苏盐城·）设函数
在区间
恰有三条对称轴､两个零点，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求得
，结合函数
在区间
恰有三条对称轴､两个零点，得出
不等式
，即可求解.
【详解】由函数
，其中
，可得
，
因为函数
在区间
恰有三条对称轴､两个零点，
则满足
，解得
，所以
的取值范围为
.
故选：C.
60．（23-24 高三·浙江·开学考试）已知函数
（
），若
在区间
内有且仅
有3 个零点和3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数
．当
时，令
，则
，
若
在
有且仅有3 个零点和3 条对称轴，则
在
有且仅有3 个零点和3 条对
称轴，则
，解得
.故选：A．
题型十三：不单调型
39
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61．（2023·福建福州·模拟预测）函数
在
上单调递增，且对任
意的实数
，
在
上不单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得
，由题意利用正弦函数
的单调性可得
，所以
，利用正弦函数的周期性可求
的周期
，解得
，
即可得解．
【详解】因为
，又因为
，且
，则
，
若
在
上单调递增，所以
，所以
，
因为对任意的实数
，
在
上不单调，
所以
的周期
，所以
，所以
．故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数
，
在
上不单调与周期间的关系.
62．（22-23 高三·安徽马鞍山·）已知函数
（
）的图象经过点
和
，且
在
内不单调，则
的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【解析】由图象经过点
和
列方程组，可得
，再讨论
可得
，进而可得
和
的解析式，再检验单调性可得答案.
【详解】依题意得
，
，所以
，
，
所以
，
，消去
得
，
函数在区间内不单调，则该区间内必有对称轴
40
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令
，则
，所以
，因为
，所以
，
当
时，
，此时
，
，
，
此时
在
上为递增函数，不合题意，应该舍去，
当
时，
，此时
，
，
此时，
在
上递减，在
上递增，符合题意，所以
的最小值为.故选：B
【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，根据题意得到
是解题关键，属于中档题.
63．（22-34 高三湖南岳阳·）已知函数
，图象关于y 轴对称，
且在区间
上不单调，则
的可能值有
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
【答案】C
【分析】先求出
，再根据诱导公式，余弦函数的单调性求出
的范围，可得结论．
【详解】函数
，图象关于y 轴对称，
，
． 在区间
上不单调，则
，
，
，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共计10 个，
经过检验，
不满足条件，故满足条件的
有9 个，故选C．
【点睛】本题主要考查正弦函数的奇偶性、以及图象的对称性，余弦函数的单调性，属于中档题．
64．（2022·河南·三模）若直线
是曲线
的一条对称轴，且函数
在区间
上不单调，则
的最小值为（ ）
A．9
B．15
C．21
D．33
【答案】C
【分析】先由
在区间
上不单调，求出
；由直线
是曲线
的一条对称轴，求出
，即可得到
的最小值.
【详解】当
时，因为
，所以
，又
在区间
上不
单调，所以
，即
．
41
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因为直线
是曲线
的一条对称轴，所以
，即
，故
的最小值为21．故选：C
65．（2024 高三全国·专题练习）已知函数
（
，
，
）的图象关
于
轴对称，且
在区间
上不单调，则
的可能取值有（ ）
A．7 个
B．8 个
C．9 个
D．10 个
【答案】C
【分析】根据题意，得到
，此时
，结合函数
在区间
上不单调，求得
，即可求解.
【详解】由函数
的图像关于
轴对称，可得
，
因为
，可得
，所以
，又由
，可得
，
当
时，可得
，可得
在
上单调递减，不符合题意；
当
时，可得
，可得
在
上单调递减，不符合题意；
当
时，可得
，可得
在
上不单调，符合题意；
当
时，可得
，可得
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，则函数
的最小正周期为
，此时
，
所以函数
在
上不是单调函数，符合题意，
所以
，所以满足条件的
有9 个.故选：C.
题型十四：极值点最多（少）型
66．（2024·重庆开州·模拟预测）已知函数
，则“
”是“
的图象在区间
上只有一个极值点”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】先求出
的图象在区间
上只有一个极值点时满足的条件，求出相应
的范围，即可判
42
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断充分必要性．
【详解】当
时，又
，所以
，
若
的图象在区间
上只有一个极值点，则
，解得
，
因为
真包含于
，所以
是
的图象在区间
上只有一个极值点的充分不必要
条件．故选：A
67．（2024·河南·模拟预测）已知函数
在
处取得最值，且
在
上
恰有两个极值点，则
（ ）
A．4
B．10
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求出
与
的关系式，根据
的范围求出
的范围，当
时同理即可求解.
【详解】由题意可知，
，
，解得
，
，当
时，
由
，得
，由题意，得
，解得
，所以
不存在，
当
时，由
，得
，由题意，
得
，解得
，所以
.故选：C.
68．（23-24 高三宁夏石嘴山·阶段练习）设函数
在
内恰有3 个极值点、
2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先作出正弦函数的图像，然后根据极值点个数得到
的取值范围，再根据零点个数得到
的取值
范围，最后综合取得
的取值范围即可.
【详解】如图所示，作出函数
的图像，
，
43
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当
时
，因为
在
内恰有3 个极值点，
所以
，解得
；因为
在
内有2 个零点，
即方程
在
内有两个解，所以
，解得
，
综上可知
，故选：B
【点睛】关键点睛：
的取值范围问题解题关键在于将给的区间代入，然后根据正弦函数或者余弦函数的
图像去寻找符合要求的区间，最后解不等式即可.
69．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
在
上恰有5 个极
值点，则当
取得最小值时，
图象的对称中心的横坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的性质求出
的极值点，根据极值点的个数列出关于
的不等式求出最小值，再根
据正弦函数的性质求出对称中心横坐标即可.
【详解】令
，故
，由于在
上恰有5 个极值点，故
，解得
，故当
取得最小值时，
，
令
，则
，当
时，
，而其他选项不合题意.故选：B．
70．（2023·江西鹰潭·一模）设函数
在区间
恰有3 个极值点，2 个零点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得
的取值范围.
【详解】函数
在区间
恰有3 极值点，2 个零点，
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在
恰有3 个零点，又函数
在区间
恰有2 零点，
由于
，则
，故问题转化为
在
上有3 个零点，
在
上有2 个零点，结合正余弦函数图象可得：
，故
.
故选：C.
.
.
题型十五：正整数型
71．（2022·全国·模拟预测）已知函数
的一个对称中心为
，
在区间
上不单调，则
的最小正整数值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得
，所以
，
，由
在区间
上
不单调可得
在区间
上有解，所以
，在区间
上有解，最终可得
，
，取值即可得解.
【详解】由函数
的一个对称中心为
，
可得
，所以
，
，
，
，
，
由
在区间
上不单调，所以
在区间
上有解，
所以
，在区间
上有解，所以
，
45
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所以
，
，又
，所以
，
所以
，当
时，
，此时
的最小正整数为
.故选：B
72．（22-23 高三·广东·阶段练习）已知函数
的图象的一条对称轴为
，
在区间
上不单调，则
的最小正整数值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的对称性，结合导数的性质、余弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】由函数
的一条对称轴为
，
可得
，所以
，
，
，
，
，由
在区间
上不单调，所以
在区间
上
有解，所以
，在区间
上有解，所以
，
所以
，
，又
，所以
，所以
，
当
时，
，此时
的最小正整数为5．故选：B
【点睛】关键点睛：利用导数研究原函数的单调性是解题的关键.
73．（2023·河北·模拟预测）已知函数
在区间
上不单调，则
的最小正整数值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简
，进而根据
为正整数，由
的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.
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【详解】
，
由于
为正整数，
当
时，
，此时
故此时
在
上单调，
时不符合，
当
时，
，此时
且
故此时
在
先增后减，因此不单调，
符合，
当
时，
，此时
，
而
的周期为
，此时
在
上不单调，
符合，但不是最小的正整数，同理
要
求符合，但不是最小的正整数，
故选：B
74．（2024·山东烟台·三模）若函数
在
上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
则正整数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先得出
，然后结合已知列出关于
的不等式组，结合
是正整数即可得解.
【详解】由题意
且
是整数，
若
，则
，
若函数
在
上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
所以
，解得
，即
.
故选：C.
75．（20-21 高三·陕西渭南·）已知函数
在区间
上的最小值小于零，则
可取
的最小正整数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】分别对4 个选项中
的值进行验证，利用余弦函数的图象与性质判断是否符合题意即可求出结果.
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【详解】A：
，所以
，则
不存在最小值，不合题意，故A 错误；
B：
，所以
，则
不存在最小值，不合题意，故B 错误；
C：
，所以
，则
不存在最小值，不合题意，故C 错误；
D：
，所以
，当
时，
，符合题意，故D 正确；
故选：D.
题型十六：综合应用型
76．（23-24 高三 ·辽宁大连·）已知函数
（
，
，
），对任意实数x 都
有
，
，且
在
上单调，则
的最大值为 .
【答案】15
【分析】根据题意中的两个等式可得
的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性
求得
且
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，所以
的一个对称中心为
，
因为
，所以
，所以
的对称轴方程
，
有
，所以
，因为
，所以
，
因为
在
上单调，且求
的最大值，所以
，解得
，因为
，
，所以
的最大值为15.
故答案为：15
77．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，对于任意的
，
，
，且函数
在区间
上单调递增，则
的值为
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．
【答案】3
【分析】根据函数
在区间
上单调递增得到
的大致取值范围，再根据
，
得到函数
图象的对称性，利用正弦函数的图象与性质分情况求解
的值并验证，
即可得解.
【详解】设函数
的最小正周期为
，因为函数
在区间
上单调递增，
所以
，得
，因此
．
由
知
的图象关于直线
对称，
由
知
的图象关于点
对称．
①由
，得
，即
，
解得
，又
，故
，
当
时，所以
，则
，即
，又
，所以
，
故
，
，满足函数
在区间
上单调递增；
②由
，得
，即
，
解得
，又
，故
，
当
时，所以
，则
，
即
，又
，求得
，故
，
因为
，不满足函数
在区间
上单调递增．
故
．
故答案为：3.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据
，
得到函数
图象
关于直线
对称，关于点
对称．利用正弦函数的图象与性质分
和
两种情况讨论，求解
的值并验证.
78．（23-24 高三 江西景德镇·）设函数
，若
为函数
的零点，
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为函数
的图象的对称轴，且
在区间
上单调，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据函数的零点和对称轴得到
，从而得到
；再根据函
数
在区间
上单调得到
，从而得到
；进而可得
然后再验证
时函数
在区间
上不单调，从而得到
.
【详解】因为
为函数
的一个零点，且
是函数f（x）图象的一条对称轴，
所以
，所以
，所以
；
因为函数
在区间
上单调，
所以
，即
，所以
，所以
，
又因为
，所以
当
时，
，
，
，
又因为
，则
所以
，
又
，则
，
所以函数
在区间
上不单调，所以
舍去；
当
时，
，
，
，
，
又因为
，则
所以
.
又
，
，
所以函数
在区间
上单调，所以
.
50
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故答案为：
.
79．（23-24 高三 ·广东深圳·）已知函数
（其中
）.
为
的最小正周期，
且满足
.若函数
在区间
上恰有一个最大值一个最小值，
的取值范围是
.
【答案】
.
【分析】根据题意可得
为
的一条对称轴，即可求得
，再以
为整体分析可得
，计算可得.
【详解】由题意可得：
的最小正周期
，∵
，且
，
则
为
的一条对称轴，∴
，解得
，
又∵
，则
，
，故
，∵
，则
，
若函数
在区间
上恰有一个最大值一个最小值，则
，解得
，
故
的取值范围是
.故答案为：
.
80．（23-24 高三 ·浙江温州·）已知函数
，对
都有
，且在
上单调，则
的取值集合为
【答案】
【分析】根据
，得到
，结合在
上单调可得
或
，检
验可得答案.
【详解】因为对
都有
，
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所以
，可得
，
，
，
又
在
上单调，
，
，
即
，由
可得
，或
，
当
时，
，
，
都有
，
且当
时，
，即函数
在
上单调递增，因此
符合题意；
当
时，
，
，
都有
，
且当
时，
，即函数
在
上单调递减，因此
符合题
意，
所以
的取值集合为
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出
相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
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