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9.1 椭圆
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2
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考点一 椭圆定义及应用
【例1-1】（2023·陕西西安·一模）已知点
在椭圆
上运动，点
在圆
上运动，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【例1-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为
，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B 两点，
是椭圆的右焦点，则
的周长的最小值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
【例1-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F 为椭圆
的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．6
【例1-4】（23-24 湖北·期末）已知椭圆
（
）的两焦点分别为
、
．若椭圆上有一点P，
使
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·四川内江·三模）设
是椭圆
的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若
为直角三角
4
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形，则
的面积为（ ）
A．
B．1 或
C．
D．1 或
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 是C 上的任意一
点，则（ ）
A．C 的离心率为
B．
C．
的最大值为
D．使
为直角的点P 有4 个
3．（23-24 北京丰台·期末）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上.若
，则
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
4．（2024·江西九江·二模）已知椭圆
的上顶点为
，离心率为
，过其左焦点倾斜角
为30°的直线交椭圆
于
，
两点，若
的周长为16，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，焦距为6，点
，
直线
与
交于A，B 两点，且
为AB 中点，则
的周长为 ．
6．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知
，点
为椭圆
上的动点，当
取最
小值时，点
的横坐标的值为 ．
考点二 椭圆的标准方程
【例2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，焦距为
，则该椭圆的方
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程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
､
，真线与
轴的交点为
，过右焦点
作
于点
，且
的中点
在椭圆
上，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2024·山西太原·三模）已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，
是
上一点，
的
内切圆的圆心为
，则椭圆
的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则（ ）
A．
B．
C．
D．
或
2．（2024·福建南平·二模）已知椭圆
的焦点为
，
，点
在
上，点
在
轴上，
，
，则
的方程为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆
的中心为原点，焦点为
，
，以
为圆心，
为
半径的圆交椭圆
于
、
两点，且
，则椭圆
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·江西九江·三模）已知椭圆
的左右焦点分别为
,过
且倾斜角为
的直线
交
于第一象限内一点
.若线段
的中点在
轴上,
的面积为
,则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 椭圆的离心率
【例3-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在
轴上的椭圆
的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2024·广东·一模）已知点F，A 分别是椭圆
的左焦点、右顶点，
满足
，则椭圆的离心率等于（ ）
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A．
B．
C．
D．
【例3-3】．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
，点
，
，若以
为直径的圆过椭圆
的右焦点
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·湖南·三模）已知
是椭圆
的左、右焦点，O 是坐标原点，过
作直线与
C 交于A，B 两点，若
，且
的面积为
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏南京·二模）设
分别为椭圆
的左，右焦点，
为椭圆上一点，直线
与以
为圆心、
为半径的圆切于点
为坐标原点，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两点，
线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）点
是椭圆
上的点，以
为圆心的圆与
轴相切于椭圆
的焦点
，圆
与
轴相交于
两点，若
是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 椭圆的实际应用
【例4-1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心
为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在
点第二次变轨进入仍以
为一个焦点
的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在
点第三次变轨进入以
为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用
和
分
别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴的长，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射
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后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C 的方程为
，
其左、右焦点分别是
，
，直线l 与椭圆C 切于点P，且
，过点P 且与直线l 垂直的直线
与椭圆长
轴交于点M，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．（2023·全国·模拟预测）我国在2022 年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运
行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天
宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3 倍，椭
圆轨道的离心率扩大为变轨前的2 倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处
在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为
，最小距离
，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭
圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000 多年的历史，为宣传和推广这一传统工
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艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞
沿是一个半径为2 的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为
时，在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·广东广州·三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5 世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势
既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几
何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置
在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体
（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新
几何体与半球的体积相等，即
．现将椭圆
绕
轴旋转一周后得到如
图3 所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大
的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大
桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段
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，且
过椭圆的下焦点，
米，桥塔最高点
距桥面
米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 弦长及应用
【例5-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
为椭圆
上一点，且
的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若倾斜角为
的直线l 与C 相交于两个不同的点
，求
的最大值．
【例5-2】（2024·天津·模拟预测）椭圆
，过左焦点
的直线交椭圆E 于A、C 两点，
的最大值为
，最小值为
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过
的直线
交椭圆E 于B、D 两点，且
，求四边形ABCD 的面积的取值范围．
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【一隅三反】
1．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
.
(1)求C 的方程；
(2)设过C 的左焦点且斜率为
的直线与C 交于M，N 两点，求
的面积.
2．（2024 高三下·全国·专题练习）已知
是椭圆
的左焦点，A，B 分别是E 的左、右顶
点，C 是E 上一点（异于A，B），线段
的中点为D，O 为坐标原点，
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)已知过
且斜率不为0 的直线与椭圆E 交于M，N 两点，求四边形AMBN 面积的最大值．
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3．（2024·四川德阳·三模）已知椭圆
的离心率为
其左右焦点分别为
下顶
点为A，右顶点为B，
的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设不过原点O 的直线交C 于M、N 两点，且直线
的斜率依次成等比数列，求
面积的
取值范围．
一．单选题
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1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，若经过
的
弦
满足
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C：
（
）的左、右焦点分别为
，
，P 为C 上一
点，满足
，以C 的短轴为直径作圆O，截直线
的弦长为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线
与椭圆
相切，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆
，其右焦点为
，若直线过点
与
交于
，则
最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．（2024·浙江金华·三模）已知椭圆
，
、
分别为其左右焦点，点M 在C 上，且
，若
的面积为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．4
6．（2024·湖南长沙·二模）已知
，
分别为椭圆
的左､右焦点，
为椭圆的上顶点，
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过
作
的垂线，并与椭圆交于点
，且满足
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，点
在
上但不
在坐标轴上，且
是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
8．（2024·新疆·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上不与左右顶点重合的任
意一点，
，
分别为Δ M F1 F2的内心和重心，则⃗IG⋅⃗F1 F2=（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
二．多选题
9．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线
经过椭圆
的一个焦点和一个顶
点
，且与
在第四象限交于点
的左、右焦点分别为
，则（ ）
A．
离心率为
B．
的周长为
C．以
为直径的圆过点
D．
10．（2024·福建福州·模拟预测）已知
为椭圆
的左，右焦点，
为平面上一点，若
，则（ ）
A．当
为
上一点时，
的面积为1
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B．当
为
上一点时，
的值可以为1
C．当满足条件的点
均在
内部时，则
的离心率小于
D．当点
在
的外部时，在
上必存在点
，使得
11．（23-24 福建南平·期末）已知椭圆
的左右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点，
则（ ）
A．
的周长为4
B．|P F1|的取值范围是
C．|PQ|的最小值是3
D．若点
在椭圆上，且线段
中点为
，则直线
的斜率为
三．填空题
12．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆
的离心率为
，过
的左焦点且斜率为1 的直线
与
交于
两点.若
，则
的焦距为 .
13．（2024 上海·期末）已知
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的一点，且
，若
的面积为9，则
的值为 ．
14．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C：
（
）上的动点P 向圆O：
引两条切线
．设切点分别是A，B，若直线
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，则
面积的最小值是 .
四．解答题
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15．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆
过
和
两点.
分别为椭圆的左､
右焦点，
为椭圆上的点（
不在
轴上），过椭圆右焦点
的直线与椭圆交于
两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求
的范围.
16．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
为椭圆上三个点，
为坐标原点，若四边形
为矩形，求四边形
的面积.
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17（2024·安徽·三模）已知椭圆
：
的长轴长为4，左，右焦点分别为
，
，上顶点为
A，其中直线
的斜率为
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C 交于M，N 两点，若原点到直线的距离为1，求
周长的取值范围.
18．（2024·重庆·二模）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，点
是其左､右顶点，
点
为
上异于
的点，满足直线
与
的斜率之积为
的周长为6.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线过点
，与椭圆
交于
两点，当
外接圆面积最小时，求直线的方程.
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19．（2024·陕西渭南·二模）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，Q 为E 短轴的一个端
点，若
是等边三角形，点
在椭圆E 上，过点
作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB，CD
分别交椭圆E 于A，B，C，D，且M，N 分别是弦AB，CD 的中点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求证：直线MN 过定点；
(3)求
面积的最大值．
20
