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9.2 双曲线
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2
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考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）设
，
是双曲线
的左，右焦点，过
的直线与
轴和
的右支分别交于点
，
，若
是正三角形，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【例1-2】（2024·四川·模拟预测）已知
，
分别为双曲线C 的左、右焦点，过
的直线与双曲线C 的左支
交于A，B 两点，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2024·山西·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点P 在C 上且异于C 的
顶点，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，直线经过
且与双曲
线右支相交于
两点，若
，则三角形
的周长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．不能确定
2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为
，若动点P 位于y 轴右侧，且到
两定点
，
的距离之差为定值4，则
周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，直线
与
的一条渐近线平行，若点
在
的右支上，点
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．6
C．
D．8
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2024·北京东城·二模）已知双曲线
过点
，且一条渐近线的倾斜角为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：
（
，
）的焦距为
，左、右焦点分
别为
、
，过
的直线分别交双曲线左、右两支于A、B 两点，点C 在x 轴上，
，
平分
，则双曲线C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，过
且斜率
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为
的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若
，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）双曲线
的左、右焦点分别为
，且
的一条
渐近线与直线
平行，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山西晋城·二模）已知双曲线
（
，
）的两条渐近线均和圆
相切，且双曲线的左焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京海淀·一模）若双曲线
上的一点到焦点
的距离比到焦点
的
距离大
，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·天津和平·一模）设双曲线
的左、右焦点分别为点
，过坐标原点的直
线与C 交于A，B 两点，
，
的面积为
，且
，若双曲线C 的实轴长为4，则双曲
线C 的方程为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
考点三 双曲线的离心率与渐近线
【例3-1】（2024·广东广州·三模）已知
，
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【例3-2】（2023·青海玉树·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为F，点A 是虚轴的一
个端点，点P 是C 的左支上的一点，且
的周长的最小值为6a，则C 的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l
的焦距为2c，右顶点为A，过A
作x 轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若
则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．[ √3 ，2]
【一隅三反】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线
的焦点关于渐近线的对称点在双曲线
上，
则双曲线
的离心率为（ ）
7
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A．2
B．
C．
D．
2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为F，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的
垂线l，直线l 与C 交于A，B 两点，若
的面积为
，则C 的离心率为（ ）．
A．3
B．
C．2
D．
3．（2024·广西柳州·一模）已知双曲线
，直线
与双曲线
交于
，
两点，
直线
与双曲线
交于
，
两点，若
，则双曲线
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
是椭圆
与双曲线
的一个公共点，
且
，其离心率分别为
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
5．（2024·贵州遵义·二模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，过点
且与渐近
线垂直的直线与双曲线
左右两支分别交于
两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 双曲线的实际应用
【例4-1】（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦
点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲
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线的离心率为2，则当入射光线
和反射光线
互相垂直时（其中
为入射点），
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·山西·模拟预测）随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气
体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用
效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形
之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所
形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为
（图纸上的尺寸单位：
），图纸
中单叶双曲面的方程为
（如图2），则该冷却塔占地面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 高三下·全国·阶段练习）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国
传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火
种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为
，
底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
9
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A．2
B．
C．
D．
2．（2023·江苏苏州·三模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑
⋅
娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
1(a>0，b>0)
的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体
部分的上口外直径为
，下底座外直径为
，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2 倍，
则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2
π
B．3π
C．2
π
D．4π
3．（2024·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同
时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚
.已知各观测点到该中心的距离是
.则该
巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为
3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北
方向，距离
B．东偏南
方向，距离
C．西偏北
方向，距离
D．东偏南
方向，距离
考点五 双曲线的弦长及应用
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【例5-1】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线
的两个焦点分别为
，过
的直线与双曲线
的同一支交于
，
两点，且
，则线段
的长度为（ ）
A．
B．9
C．
D．6
【例5-2】（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线
的焦点弦长为
的弦有（ ）
A．8 条
B．4 条
C．2 条
D．1 条
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·三模）（多选）已知双曲线
及直线
，若与
交于A，B 两点，
是坐
标原点，且
的面积为
，则实数
的值可能为（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2024·广东茂名·一模）已知双曲线
，直线
分别与
的左、右支交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，则直线的方程为 .
3．（2024·全国·模拟预测）过双曲线
的右焦点
的直线与
的右支交于
两点，
为原点，线
段
的中点与线段
的中点重合，则四边形
面积的取值范围是 ．
一．单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相同的渐近线，则双
曲线
的标准方程为（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线
的焦距与其虚轴长之比为3：2，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
的下焦点和上焦点分别为
，直线
与C 交于A，
B 两点，若
面积是
面积的4 倍，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
4．（2024·山东泰安·一模）已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
，当
周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线
：
（
，
）的右焦点为
，左、右顶点分别为
，
，点
在
上且
轴，直线
，
与
轴分别交于点
，
，若
（
为坐标原点），
则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知第一象限内的点
在双曲线
的渐近线上，
为坐标原点，
为
12
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的右焦点，则
取得最小值时，
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线
为坐标原点，若直线
与双曲线
的两条渐
近线分别交于点
，则
内切圆的半径等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线
的左焦点
的直线（斜率为正）交双曲线
于
两点，满足
，设
为
的中点，则直线
（
为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（23-24 高三下·江西·开学考试）已知点
分别为双曲线
的左、右焦点，
为
的右
支上一点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点
是双曲线
上一点，过
向双曲线的两条渐近线作垂
线，垂足分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
13
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D．
的面积为
11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线
的左、右焦点分别为点
，斜率为正的渐近
线为，过点
作直线的垂线，垂足为点
，交双曲线于点
，设点
是双曲线
上任意一点，若
，则（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．双曲线
的共轭双曲线方程为
C．当点
位于双曲线
右支时，
D．点
到两渐近线的距离之积为
三．填空题
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，点A 在双曲线C 的
右支上，若
，则
的最小值为 ．
13．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5 世纪末提出了“幂势既同，则积不
容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如
果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂
的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔
设计图纸，其外形的双曲线方程为
（
），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用
“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
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14．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
的左、右
焦点相同，分别为
，
，
与
在第一象限内交于点
，且
，
与
的离心率分别为
，
．
则
，
的取值范围是 ．
四．解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线
的实轴长为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与双曲线
的另一个交点为
，求
.
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16．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点
，点
在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点
的直线与双曲线交于
，
两点，
的面积为
，求直线的方程.
17．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：
的离心率为2.且经过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 交于A，B 两点，且
（点O 为坐标原点），求
的取值范围.
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18．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线
一个焦点
到渐近线的距离为
，且离心
率为2．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
分别是双曲线
左、右两支上的动点，
为双曲线
的左顶点，若直线
的斜率分别为
，
且
，求直线
的方程．
19．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，两条渐近线
的夹角为
，
是双曲线上一点，且
的面积为
.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线
交于
、
两点，且坐标原点
在以
为直径的圆上，求
的最小值.
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