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9.3 双曲线（精讲）
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双
曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝
2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合P 为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P 为两条射线；
(3)若a>c，则集合P 为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
1
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焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a 或x≥a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c 关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．
当二次项系数等于0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不
等于0 时，用判别式Δ 来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b 与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·.
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定
量”
2.待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件
求解．
3.常用设法：①与双曲线－＝1 共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
2
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二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c 的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.
3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0 即得两渐近线方程±＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x 的斜率k 与离心率e 的关系：e＝＝.
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面
积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P 为短轴端点时，θ 最大.
②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2) 若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其
中θ 为∠F1PF2.
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线
上一点
到它的右焦点的距离是，那么点
到它的左
焦点的距离是（ ）
A．
B．
C．
或
D．不确定
【例1-2】（2023·广东潮州）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线内一点，
点A 在双曲线的右支上，则
的最小值为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2023·江苏 ）设点P 在双曲线
上，
为双曲线的两个焦点，且
，
则
的周长等于 ，
．
【一隅三反】
1．（2023·江苏）（多选）设
分别是双曲线
的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且
，
则
（ ）
A．5
B．3
C．7
D．6
2．（2023 秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知
是双曲线
的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则
的最小值为 .
【答案】
3．（2023·全国· 课堂例题）P 为双曲线
右支上一点，M，N 分别是圆
和
上的点，则
的最大值为 .
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2023 秋·课时练习）已知点
，曲线上的动点
到
的距离之差为6，则曲
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【例2-2】（2024 秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线
经过点
，则
的标准方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（2023·江苏 ）下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（ ）
A．
B．
1
C．
1
D．
1
【一隅三反】
（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
，经过点
；
(2)与双曲线
1 有相同的焦点，且经过点
；
(3)过点P
，Q
且焦点在坐标轴上．
(4)两个焦点的坐标分别是
,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(5)焦点在
轴上，经过点
和点
．
(6)虚轴长为12，离心率为
；
(7)焦点在x 轴上，离心率为
，且过点
；
(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
x.
5
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(9)以直线
为渐近线，过点
；
(10)与椭圆
有公共焦点，离心率为
.
考点三 离心率与渐近线
【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线
的焦距为
，则
的渐近线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线
：
的左右焦点分别是
､
，
，
是双曲线
上的一点，且
，
，
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：
（
，
），斜率为
的直线l 过原点O 且与双曲线C 交于P，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲
线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·广西桂林）双曲线
的渐近线方程是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·新疆巴音郭楞）设
、
分别是双曲线
的左、右焦点，过
作
轴的垂线与
相交于
、
两点，若
为正三角形，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知
是双曲线C：
的左焦点，
，
直线
与双曲线
有且只有一个公共点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2023 湖南）已知双曲线
，直线
，试确定实数k 的取值范围，使：
(1)直线l 与双曲线有两个公共点；
(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l 与双曲线没有公共点．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线
与双曲线
有两个不同的交点，则
的取值
可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2023·重庆·统考二模）已知点
和双曲线
，过点
且与双曲线
只有一个公共点的
直线有（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．无数条
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3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，点
，若直线
与
只有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点
且与双曲线
有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0
B．2
C．3
D．4
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线
的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，
B 两点，则弦长
．
【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线
的左焦点作直线，与双曲线交于
两点，若
，则这样的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【例5-3】（2023·福建）已知双曲线
过
点作一直线交双曲线于A、B 两点，并使P 为AB 的
中点，则直线AB 的斜率为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【一隅三反】
1．（2023·安徽）过点
的直线与双曲线
相交于
两点，若
是线段
的中点，则直
线的方程是（ ）
A．
B．
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C．
D．
2．（2023 春·河南周口 ）过点
作斜率为1 的直线，交双曲线
于A，B 两点，
点M 为AB 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 河北）经过点
作直线交双曲线
于
两点，且
为
中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段
的长．
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考点六 直线与双曲线的综合运用
【例6】（2023 秋·安徽）已知双曲线C：
（
，
）的离心率为2，
在C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)不经过点P 的直线l 与C 相交于M，N 两点，且
，求证：直线l 过定点.
【一隅三反】
1．（2023 秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线
的一条渐近
线方程为
，虚轴长为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设直线
与双曲线
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为点
，求证：直线
恒过
定点.
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2．（2023 秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线
的渐近线方程为
，
且经过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)点
在直线
上，
、
分别为双曲线
的左、右顶点，直线
、
分别与双曲线
交于
、
两点．求证：直线
过定点．
11
