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9.3 抛物线
1
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2
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3
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考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）设
为抛物线
的焦点，点
在
上，且在第一象限，若直线
的倾斜角为
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点
作
垂直准线于点
，
过焦点
作
垂直于
于点
，由题意可知
，
根据抛物线的定义
在
中，
，又
，
所以
，
解得
.
故选：C.
【例1-2】（2024·四川·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
是抛物线
上的一点，
为坐标原点，
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
4
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设
，则
，解得
或
（舍去），
则
．
故选：B．
【例1-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知
是抛物线
上的点，
是圆
上的点，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】如图，抛物线上点P(x , y)到圆心
的距离为
，
因此
，当
最小时，
最小，
而
，
当
时，
，因此|PQ|的最小值是
．
故选：A.
【例1-4】（2024·河北沧州·一模）已知点
为抛物线
上一点，过点
作圆
的两条切线，
切点分别为M，N，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
5
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设
，则
当
时，
，此时
最大，
最小，
且
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线
上点
的纵坐标为1，则
到
的焦点的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】抛物线
的准线方程为
，
又点
在抛物线上且纵坐标为，所以点
到
的焦点的距离为
.
故选：B
2．（2023·四川德阳·一模）已知点
在曲线
上，那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
可看作P(x , y)到直线
的距离，
6
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可看作P(x , y)到点A (0,−1)的距离，
如图所示，
联立
与
得，
，
则
，此时
，解得
，故
，
故
与
相切于点B (−2,1)，
此时
取得最小值，最小值为0，
当
不与
重合时，过点
作
⊥
于点
，
则
，
数形结合可知，当
运动至(2,1)时，
，
此时
取得最大值，最大值为
，
故
的取值范围是
.
故选：D
3（2024 四川泸州·期末）已知抛物线
的焦点为F，点P 在C 上，若点
，则
周长的最小
值为（ ）．
A．13
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】
，故
,
7
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记抛物线
的准线为，则：
，
记点
到的距离为
，点
到的距离为
，
则
.
故选：A.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，圆
，点
，若点
分别在
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为焦点
到准线的距离为2，所以
，所以抛物线
，
所以圆
的圆心
恰好在焦点
处，所以
，
设
，则
，
所以
，
令
，则
，
所以
8
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，
当
，即
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：D.
考点二 弦长、中点弦及焦点弦
【例2-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴交于点
，直线过
其焦点
且与
交于
两点，若直线
的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图作
垂直于准线，垂足为
，可知设
，
直线
的斜率为
得，
，
9
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则
，由勾股定理得：
，
即
，化简得：
，解得
，
再设过焦点
的直线为y =k (x−1)与抛物线
联立消元得：
，设交点A(x1, y1),B(x2, y2)，
则
，
而
，
当
时，解得
，此时
，
当
时，解得
，此时
，
故选：D.
【例2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线
的焦点为
，过焦点
的直线与抛物线
相交于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得
，
，
由题意可知直线
的斜率存在，故设其方程为
，
联立
与
可得
，
10
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设A(x1, y1),B(x2, y2)，则
，故
，
因此
，当且仅当
时取等号，
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·河北沧州·三模）已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线经过点
与抛物线
交于
两点，
为坐标原点，若
的面积为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】设直线的方程为
，设
的坐标分别为
联立直线与抛物线
的方程，得
，消去
，得
.
则
.
，
.
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
（
）的焦点，且与
交于
两点，为
的准线，则（ ）
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A．
B．
C．
的面积为
D．以
为直径的圆与l 有两个交点
【答案】C
【解析】对于A，当
时，
，所以抛物线的焦点为
，所以
，得
，所以A 错误，
对于B，由选项A 可知
，设
，
由
，得
，
所以
，
所以
，所以B 错误，
对于C，点
到直线
的距离为
，由选项B 可知
，
所以
的面积为
，所以C 正确，
对于D，抛物线的准线为
，设线段
的中点为
，则
，
则点
到准线的距离为
，
所以以
为直径的圆与准线相切，所以以
为直径的圆与准线只有一个交点，所以D 错误，
故选：C
3．（2024·陕西·三模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，过
且斜率为
的直线与
交
12
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于
两点，
为
的中点，且
于点
的垂直平分线交
轴于点
，四边形
的面积为
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，
，直线
的方程为
．
设
，由
．得
．
所以
，所以
．由
，得
．
如图所示，作
轴于点
，则
．
因为
，故
，
，又
，
故
．又
，得四边形
为平行四边形．
所以其面积为
，解得
．
故答案为：
．
13
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4．（2024·天津·模拟预测）双曲线
和抛物线
（
）的公共焦点为
，过点
的直线交抛
物线于
，
两点，若
中点的横坐标为6，则
（ ）
A．16
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】由题意可得双曲线的交点为
，
所以
，即
，
设
的横坐标分别为
，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得
，
故选：A.
5．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线
焦点的直线交抛物线于
两点，已知
，线段
的垂直平分线交
轴于点
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】抛物线
的焦点
的坐标为
，
由题意可知：直线的斜率不为
，但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为
，A(x1, y1),B(x2, y2)，
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联立方程
，消去x 可得
，
则
，
可得
，即
，
设
的中点为P(x0, y0)，则
，
，
可知线段
的垂直平分线方程为
，
因为
在线段
的垂直平分线上，
则
，可得
，
联立方程
，解得
，
故选：B.
考点三 抛物线的实际应用
【例3】（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物
线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．
用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C 放在平面直角坐标系中，对称轴与x 轴重合，顶点
与原点重合，如图，若抛物线C 的方程为
，平行于x 轴的光线从点
射出，经过C 上的点A 反射
后，再从C 上的另一点B 射出，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
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【解析】由抛物线C 的方程为
，可得其焦点为
，
由于
，故
点纵坐标为4，代入
中，即
，
即
，由题意知反射光线
经过点
，
则
的方程为
，联立
，得
，即得
，
故
，
故选：C
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·广东·开学考试）跃鲤桥，为单孔石拱桥，该石拱桥内侧曲线呈抛物线型，如图．当水面宽
度为24 米时，该石拱桥的拱顶离水面的高度为12 米，若以该石拱桥的拱顶为坐标原点，桥面为
轴（不考虑
拱部顶端的厚度），竖直向上为
轴正方向建立直角坐标系，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，
为水面宽，
为拱顶离水面的高度，
故
，故
.
设抛物线的方程为：
，则
即
，
故焦点坐标为：
.
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故选：A.
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”
的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为
，碗盖口直径为
，碗体口直径
为
，碗体深
，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以碗体的最低点为原点，向上方向为
轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为
（
），将点
代入，得
，
解得
，则
，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为
，
则两抛物线在第一象限的交点为
，代入到
，解得
，解得
．
故选：C
3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所
示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为
，则该杯盏的高度为（ ）
17
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得
，设抛物线的标准方程为
，
则
，解得
，所以抛物线的标准方程为
，
可设
，代入抛物线方程
，可得
，
所以该杯盏的高度为
cm.
故选：C.
一．单选题
1．（2023·江西九江·二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主
流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为
，瓷碗的轴截面
可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同长度为
的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内
壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为
，则该抛物线的通径长为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．22
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为
，焦点
，
，
，
18
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∵
，
，∴
，
设线段AB 中点为M，则
，
由题意知，
的最小值为6，即
，得
，
∴该抛物线的通径长为
.
故选：C
2．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线
于
两点，且
的中点为
，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，代入抛物线
，可得
，
两式相减得
，
所以直线的斜率为
，
又因为
的中点为
，可得
，
所以
，即直线的斜率为
.
故选：C.
3．（2024·贵州遵义）已知抛物线
的焦点为
，点
，若点
为抛物线上任意一点，当
取最小值时，点
的坐标为（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线
的焦点为
，准线为
，
设点
在准线上的射影为
，如图，
则根据抛物线的定义可知
，
求
的最小值，即求
的最小值，
显然当
，
，
三点共线时
取得最小值，
此时
点的横坐标为，则
，解得
，即
.
故选：D.
4．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线
，过点
的直线与
相交于A，B 两点，且
为弦
AB 的中点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．−2
【答案】D
【解析】：设
，
因为直线与
相交于A，B 两点，所以
，
由题意得
，
故选：D
20
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5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线
，过动点
作两条相互垂直的直线，分别与抛物线
相
切于点
，则
面积的最小值是（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
【答案】B
【解析】设
，
因为点
作两条相互垂直的直线，分别与抛物线
相切于点
，
所以直线
,
斜率均存在，
故设直线
，
则
，
所以
，因为
，代入化简得
，得
，
所以直线
，整理得
，
设直线
，同理可得
，
所以
，即
，
设直线
，
，
所以
，
，得
，
因为抛物线
的焦点为
，
所以设直线
恒过抛物线焦点
，
而P(x0, y0)在直线
,
上，
21
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所以
，即
是方程
是方程的两实数根，
所以
，
解得
，即
所以
，
设
到直线
的距离为
，则
，
所以
，当
时，
面积的最小为.
故选：B
6．（2024·湖南 ）2022 年12 月4 日20 点10 分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十
四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机
位
和一个移动拍摄机位
.根据当时气候与地理特征，点
在拋物线
（直线
与地平线重合，
轴垂直于水平面.单位：十米，下同.
的横坐标
）上，
的坐标为
.设
，线段
，
分别交
于点
，
，
在线段
上.则两固定机位
，
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
，
，
，
根据条件有
，
，
,
，
.
22
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∴
，
.
由题意
互不相等，把
，
，
分别代入上两式化简得
，
，消去
得
.
的方程是
，即
，
∴
的方程为
，则
，
∴
经过定点
.
所以点
的坐标为
.
，
即两固定机位
的距离为
.
故选：B.
7．（2024·安徽阜阳·模拟预测）抛物线
的焦点为
，准线为直线，过点
的直线交抛物线于
，
两
点，分别过
，
作抛物线的切线交于点
，
于点
，
于点
，则说法错误的是（ ）
A．点
在直线
上
B．点
在直线
上的投影是定点
C．以
为直径的圆与直线
相切
D．
的最小值为
【答案】A
【解析】对于
，依题意焦点
的坐标为(0,2)，准线为直线：
，
不妨设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线
的方程为
，
联立
与
，得
，
从而
，
，
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，
，
由题意
，所以
，
故抛物线过点
，
的切线方程分别为
，
，
解得点
的坐标为
，故
错误；
对于
，因为
，
，
所以
，
所以
，
即点
在直线
上的投影是点
（定点），故选项
正确；
对于
，可证
，
，
因此
，
即以
为直径的圆与直线
相切，选项
正确；
对于选项
，因为
，
，
从而
，
令
，由函数
在
上单调递增，
所以当
，即
时，函数取最小值
，故
正确.
故选：A.
8（23-24 重庆·期末）已知抛物线
的焦点为
，过点
作直线与抛物线
交于
两
24
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点，则说法不正确（ ）
A．线段
长度的最小值为
B．当直线斜率为
时，
中点坐标为
C．以线段
为直径的圆与直线
相切
D．存在点
，使得∠AMF =∠BMF
【答案】B
【解析】对于A：
的焦点坐标为
，直线的斜率不为
，设l: x =my + 1
2，
，
联立{
x =my + 1
2
y
2= x
可得y
2−2my −1=0，且Δ= 4 m
2+1>0，
所以
，所以x1 x2= y1
2
2 ⋅y2
2
2 = ( y1 y2)
2
4
= 1
4
，且
，
所以|AB|= x1+ x2+ p≥2√x1 x2+1=2，当且仅当
时取等号，故A 正确；
对于B：因为{
y A
2 =2 x A
yB
2 =2 xB
，所以y A
2 −yB
2 =2(x A−xB)，所以
y A−yB
x A−xB
=
2
y A+ yB
，
所以−1=
2
y A+ yB
，所以y A+ yB
2
=−1，即中点纵坐标为
，故B 错误；
对于C：抛物线的准线方程
，设
中点为
，过点A ,B ,T向准线作垂线，垂足分别为A
′ ,B
′ ,T
′，如下
图：
25
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由抛物线的定义可知：|AT|=|AB|
2
=|AF|+|BF|
2
=|A A
′|+|B B
′|
2
= 2|T T
′|
2
=|T T
′|，
即|T T
′|等于以
为直径的圆的半径长，故C 正确；
对于D：当
时，k AM + k BM =
y1
x1+ 1
2
+
y2
x2+ 1
2
= 2 y1
y1
2+1
+ 2 y2
y2
2+1
= 2 y1( y2
2+1)+2 y2( y1
2+1)
( y1
2+1)( y2
2+1)
。
所以k AM +k BM = ( y1+ y2)(2 y1 y2+2)
( y1
2+1)( y2
2+1)
，
由选项A 可知：
，所以2 y1 y2+2=0，所以此时
，
所以
的倾斜角互补，所以∠AMF =∠BMF，故D 正确；
故选：B
二．多选题
9．（2024·重庆·模拟预测）设点
为抛物线
的焦点，过点
斜率为
的直线与拋物线
交
26
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于
两点（点
在第一象限），直线交抛物线
的准线于点
，若
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
（
为坐标原点）
E．
的面积为
（
为坐标原点）
【答案】BC
【解析】如图：
设
，因为
，
所以
，所以
，
又
，所以
，即
，解得
，故选项A 不正确；
从而
，F (1,0)，所以
，故故选项C 正确；
所以直线的方程为
，又抛物线的准线为
，所以
，
则
，所以
，故选项B 正确；
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的面积为
，
故选项DE 不正确；
故选：BC
10．（2024·河南洛阳·模拟预测）过点
向抛物线
作两条切线，切点分别为
为抛物线的焦点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】设点
为点
，抛物线的方程为
，即
，则
,
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则切线PA，PB 的斜率分别为
，
切线方程分别为
，
将
的坐标及
代入，并整理得
，
可得
为方程
的两个实数根，
由韦达定理得
，故A 错误，B 正确；
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：BC
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11．（2024·全国·模拟预测）已知
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
为
上一点，
，
为
上不同的两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．若
为
的中点，则点
的轨迹为圆
D．
面积的最小值为12
【答案】ABD
【解析】如图，
对于A，点
为抛物线
上一点，则
，
，故A 正确．
对于B，
，
，易知
，
，故B 正确．
对于C，
，直线
的方程为
，即
，即
，则直线
过定点
．
设
，则
，
，
又
，
，即
，
点
的轨迹方程为
，即点
的轨迹为抛物线，故C 错误．
对于D，
，
，
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当且仅当
时等号成立，
，故D 正确．
故选：ABD.
三．填空题
12．（2023·江苏无锡·三模）已如
，
是抛物线
上的动点（异于顶点），过
作圆
的切线，切点为
，则
的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设
，有
，圆
的圆心
，半径
，
于是
，
因此
，表示抛物线
上的点
到y 轴距离与到定点
的距离的和，
而点
在抛物线
内，当且仅当
是过点
垂直于y 轴的直线与抛物线
的交点时，
取得最小值3，
所以
的最小值为3.
故答案为：3.
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，点
，则
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的最大值是 ．
【答案】4
【解析】根据抛物线方程
，可得
，准线方程为
，
作
准线l，M 为垂足，又知
，
由抛物线的定义可得
，
故当P，A，M 三点共线时，
取最大值，
最大值为
．
故答案为：4.
14．（2024·辽宁·模拟预测）过抛物线
的焦点
的直线交
于
，
两点，
，
是
的准线上两
点，以
为直径的圆与
切于点
，且以
，
，
，
为顶点的四边形的面积为64，则直线
的斜率
为 .
【答案】
【解析】
设抛物线的准线与
轴交于一点
，过
作
于一点
，
过
作
于一点
，连接
，
，
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由抛物线的定义知，
，
，
，
，
又
，
，
，
因此，
，
，
又
，
则
，
设
的中点为
，则
，因此
，
，即
，
因此以
为直径的圆与
切于点
，且
为圆的半径，
而过
直线与
垂直时，在准线只有唯一的交点，这个交点即为与
切于点
的圆的圆心，
因此在准线只有一个圆与
切于点
，
故要使以
的准线上两点
为直径的圆与
切于点
，
则
与
重合，
与
重合，
因此四边形
为直角梯形，
由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设直线
的方程为
，
则
，联立可得
，
整理得
，
则
，
，
因此
，
又
的符号相反，因此，
，
则
，
又
，
又梯形
的面积为64，则
，
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即
，整理得，
，
解得
，
因此，直线
的斜率为
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，过焦点
作直线交抛物线
于
两点，
为抛物线
上的动点，且
的最小值为1.
(1)抛物线
的方程；
(2)若直线交抛物线
的准线于点
，求线段
的中点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知：抛物线
的焦点
，准线为
，
设
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由题意可知：直线与抛物线
必相交（斜率不为0），
设A(x1, y1),B(x2, y2)，线段
的中点
，
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且直线过点
和F (1,0)，
则直线的方程
，即
，
联立方程
，消去x 得
，
则
，可知
，
将y M =2代入
可得
，
所以线段
的中点的坐标为
.
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，过
与
垂直的直线交
于
两点，其中
在
轴上方，
分别为
的中点．
(1)证明：直线
过定点；
(2)设
为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由抛物线的对称性，不妨设
，则
，
设
，由
，得
，
，
故
，
，
，
，
所以
，同理可得
，
若
，则直线
，MN 过点
，
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若
，则直线
，MN 过点
，
综上，直线
过定点
；
（2）设H 为AD 的中点，S 为直线GM 与AD 的交点．
由M，H 分别为AB，AD 的中点知
，所以
，故
，
设T 为直线GN 与AD 的交点，同理可得
，
所以
，
由（1）可得
，同理可得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
因此
的面积的最小值为8．
17．（2024·四川德阳·模拟预测）点M 是直线x =−1上的动点，O 为坐标原点，过点M 作y 轴的垂线l，过点O
作直线OM 的垂线交直线l 于点P.
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)过曲线C 上的一点P（异于原点O）作曲线C 的切线交椭圆
于A、B 两点，求
面积的最大
值.
【答案】(1)
(2)√3
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【解析】（1）设P(x , y)，则
，所以
，
因为
，所以
，
所以P 点到轨迹为
；
（2）设A(x1, y1),B(x2, y2)，
，
因为为曲线的切线，联立
可得
，
所以
，
由
可得
，
所以
，
且
，
，
所以
，
又因为原点O 到AB 的距离为
，
所以
，
当且仅当
，即
或
时等号成立（此时满足
），
综上可知
面积的最大值为√3.
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18．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面直角坐标系
所在平面上有一个动点
满足：点
到
点
的距离比到
轴的距离大2，动点
的轨迹为曲线
.过点
的动直线交曲线
于
两点，直
线
分别交曲线
于点
.
(1)求曲线
的方程；
(2)当
的面积最小时，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由点
到点
的距离比到
轴的距离大2，
得
，
化简，得曲线
的方程为
.
（2）设直线
与
轴的交点为
，
由于过点
的动直线与抛物线交于A，B 两点，所以直线斜率不为0，
则可设过点
的动直线
，联立
，
消去
并整理，得
，则
.
由根与系数的关系，得
.
当直线
的斜率不存在时，不妨令
，则
.
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当直线
的斜率存在时，直线
的方程为
.
联立
，消去
并整理，得
，且
.
由根与系数的关系，得
，则
，同理，得
，
所以
.
因为
三点共线，所以
，所以
，
所以直线
恒过定点
.
设直线
，联立
，消去
并整理，得
，易知
.
由根与系数的关系，得
.
又
，
当
时，
最小，此时直线
的方程为
.
19．（2024·广东佛山·二模）两条动直线
和
分别与抛物线
相交于不同于原点的
A，B 两点，当
的垂心恰是C 的焦点时，
.
(1)求p；
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(2)若
，弦
中点为P，点
关于直线
的对称点N 在抛物线C 上，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由
的垂心恰是C 的焦点，由抛物线对称性得
，
，而
，
不妨设
，而焦点
，则
，解得
，所以
.
（2）由（1）知，
，
由
，解得
，同理
，则
，
而
，因此
所以P 的轨迹方程为y
2=2 x−2，
当
时，不妨设
，
，此时
，直线AB 过点
，
当
时，直线AB 的斜率为
，
AB 的方程为
，整理得
，直线AB 过点
，
因此直线 AB 过定点
，
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由
可得
，解得
，于是
或
，
当
时，MN 的中点为
，直线MN 的斜率为
，
此时直线AB 的方程为
，由
解得
或
，
当
时，直线AB 为
，不符合题意，舍去，则
，
，
边
上的高
，因此
的面积
，
当
时，由对称性，同理可得
，
所以
的面积为
.
40
