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第04 讲相反数与绝对值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个数的相反数
题型2 判断是否互为相反数
题型3 化简多重符号
题型4 相反数的应用
题型5 求一个数的绝对值
题型6 绝对值的非负性
题型7 绝对值的应用
题型8 绝对值的几何意义
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
相反数、绝对值、几何
意义、非负性、距离、
符号化简。
1. 理解相反数的概念，掌握互为相反数的两个数在数轴上的位置关系（关于
原点对称）。
2. 能熟练求出一个有理数的相反数，理解多重符号的化简法则。
3. 理解绝对值的几何意义（数轴上表示数a 的点到原点的距离）和代数意义，
掌握其非负性。
4. 能求出一个有理数的绝对值，并利用绝对值比较两个负数的大小。
学习重点：相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，利用绝对值比较负数大小。
学习难点：理解绝对值的几何意义（距离概念）及其非负性，以及多重符号的化简（如−(−a) = a）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 相反数
1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0 的相反数是0.
2.性质：若a 与b 互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a 与b 互为相反数.
3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化
简，看负号的个数.
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
【易错提醒】
相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0 的相反数是0；多重符号
化简时，奇负偶正（如-(-3)=3）。勿认为带负号就是负数。
即时即练1.写出
9
4
的相反数：
．
2.化简下列各数：
(1) ( 12)
(2) ( 7)
(3) ( 25)
(4) ( 16)
(5)
5
7
(6)
2
知识点02 绝对值
1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.
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2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b 或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；
③0 的绝对值是0.
3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0，|a|=0；③a＜0，|a|=-a.
注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数.
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2 个，他们互为相反数.即±a.
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若
|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；
【易错提醒】
绝对值易错警示：|a|表示数轴上点a 到原点的距离，结果非负。注意|a| = a 仅当a ≥0，若a < 0 则|a| = -a。
去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。
即时即练1.下列各对数中互为相反数的是（
）
A．5 与
5
B．5
和
5
C．
5
- 和5
D．5 和
5
2.
2
3
的相反数是
，
2
3
的绝对值是
，绝对值是5的数是
．
题型1 求一个数的相反数
【例1】2026 的相反数是
．
【例2】2
13 的相反数是
．
【技巧归纳】
求相反数：直接在原数前加“−”号。正数变负，负数变正，0 的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号
为负，偶数个为正。注意含字母时，a 的相反数是−a，a-b 的相反数是b-a。化简后再判断。
【变式1-1】
5
4
的相反数是
．
【变式1-2】若a 的相反数是8
，则a
．
题型2 判断是否互为相反数
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【例3】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．1
3 与3
B．3 与
1
3
C．
1
3
与1
3
D．2
3 与
3
2
【例4】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．2
与2
B．2
与1
2
C．2
与
1
2
D．( )
2
- -
与
2
【技巧归纳】
判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0 的相反数是
自身。对于分数、根号等，先化简再相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。
【变式2-1】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．
3
与3
B．
3
与3
C．
3
与3
D．
3
与3
【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
5
和5
-
B．
4
和
4
C．
3
和
3
D．
7
和7
题型3 化简多重符号
【例5】化简：
23
．
【例6】化简
1
4
．
【技巧归纳】
化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如-(+2) =
-2，-(-2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。
【变式3-1】计算
2
的结果为
．
【变式3-2】化简：
（1）
4
；（2）
2024
；
（3）
1.5
；（4）
1.5
．
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题型4 相反数的应用
【例7】若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
=______．
【例8】若代数式3
6
x
与代数式12
6x
的值互为相反数，则x _____．
【技巧归纳】
相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如|x|=a 得x=
±a）、列方程时利用和为零构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。
【变式4-1】若m，n 互为相反数，则5
5
3
m
n
___．
【变式4-2】x ___________时，代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数．
题型5 求一个数的绝对值
【例9】3
的绝对值是：
．
【例10】计算：
3
．
【技巧归纳】
求绝对值：正数和0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判
断整体正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。
【变式5-1】5
的相反数是
，9
的绝对值是
．
【变式5-2】4 的绝对值是
；1
2
的绝对值是
；绝对值是1的数是
；绝对值最小的数是
．
题型6 绝对值的非负性
【例11】若|
|
|
1
0
|
3
a
b
，则a
，b
．
【例12】若
1
5
0
x
y
，那么x
，y
．
【技巧归纳】
绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数为0 时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则
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每个必须为0”列方程。也用于求最小值：|x|最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。
【变式6-1】a 是最大的负整数，且a、b、c 满足
5
0
a
b
c
．那么a＝
，b＝
，c＝
．
【变式6-2】已知b、c 满足
1
1
0
2
b
c
，则b
c
的值是
．
题型7 绝对值的应用
【例13】有5 名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件
直径比标准直径可以有0.5mm 的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将
5 名学生的加工结果（单位：mm ）记录如下：
张琪
赵阳
李嘉
孙磊
周正
0.35
0.46
0.29
0.38
0.52
(1)以上5 名同学加工的零件中，谁的不符合标准？
(2)以上5 名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？
【例14】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从A 出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治
安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km ）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
4
7
9
8
6
5
2
(1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A 地什么方向？距A 地多远？
(2)若巡逻车每千米耗油0.3升，问七次巡逻行驶共耗油多少升?
【技巧归纳】
绝对值应用：求数轴上两点距离（|a-b|），解方程|x|=a 得x=±a（a≥0），解不等式|x|<a 得-a<x<a，|x|>a
得x<-a 或x>a。也用于化简含绝对值的表达式，需分类讨论去绝对值符号。
【变式7-1】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有0.2cm的误差，现抽查5 个零
件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：cm）：
零件号数
1
2
3
4
5
数据
+0.13
0.21
0.04
0.12
0.16
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(1)这5 个零件中，符合要求的零件是哪几个？
(2)这5 个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？
【变式7-2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6 名学生的视力情况，若每名学生的视力以5.0
为标准，大于5.0的记为正数，小于5.0的记为负数，记录数据如下：
学生
小明
小颖
小梦
小璐
小杰
小萌
视力
0.1
0.4
0
0.2
0.6
0.1
(1)这6 名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由；
(2)若规定与标准视力相差大于0.2 需要配戴眼镜，则6 名学生中有几人需要配戴眼镜？
题型8 绝对值的几何意义
【例15】（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则AB
a
b
=
-
，若点A 在数轴上表示3，点B 在数轴
上表示1，那么AB
；
（2）在数轴上表示x 的点与1
的距离是3，那么x
；
（3）在数轴上表示a 的点位于4
和3 之间（包含两端），求
4
3
a
a
的值；
（4）对于任意有理数x，则
3
6
x
x
的最小值是
．
【例16】[阅读材料] m
n
的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．例如：2 1
可以看
成数轴上表示数2 的点与表示数1 的点之间的距离，所以2 1
1
．
(1)
2
x
的几何意义是表示数x 的点与表示数________的点之间的距离；
(2)（ⅰ）若
2
3
x
，求x 的值；
（ⅱ）求
2
1
x
x
的最小值．
【技巧归纳】
绝对值的几何意义是数轴上点到原点的距离。|a-b|表示点a 与点b 之间的距离，非负且具有对称性。解题时
可将绝对值问题转化为数轴上的距离问题，例如求|x-1|<3 表示到1 距离小于3 的点，直观易解。
【变式8-1】【问题背景】
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方
法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．
我们知道4
4
0
，它的几何意义是数轴上表示4 的点与原点之间的距离；又如式子7
3
，它的几何意义
是数轴上表示数7 的点与表示数3 的点之间的距离；即若点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B
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之间的距离可表示为a
b
．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题．
【问题探究】
（1）若
6
2
x
，则x _______．
（2）若
2
3
12
x
x
，则x _______．
【问题解决】
（3）利用数轴解决以下问题：
①
1
2
x
x
的最小值为_______，此时x 可以取的整数有_______；
②
2
3
2
4
x
x
x
有最小值吗？
2
5
x
x
有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明
理由．
【变式8-2】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之
间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．
[操作发现]
（1）如图，数轴上表示2 和7 的两点之间的距离是
；数轴上表示1 和4 的两点之间的距离是
；数轴上
表示3
和2 的两点之间的距离是
；
[类比探究]
（2）若点M 表示的数是m，点N 表示的数是n，则点M、N 之间的距离为
；
[拓展应用]
（3）若数轴上分别表示m 和2
的两点A 和B 之间的距离是24，则
=
m
；
（4）
4
4
a
a
表示的几何意义是；
2
a
表示的几何意义是；
4
2
a
a
表示的几何意义是．
（5）若数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的两点之间，求
4
2
a
a
的值；
（6）利用数轴分析，若x 是整数，且满足
3
2
5
x
x
，则满足条件的所有x 的值的和为
．
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一、单选题
1．
1
26
的相反数是（
）
A．26
B．1
26
C．26
D．
1
26
2．点M，N，P，Q 在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（）
A．M
B．N
C．P
D．Q
3．如图，所检测的4 个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的
角度看，最接近标准质量的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列各组数中，互为相反数的是（
）．
A．
2
与
2
B．
2
与
2
C．
2
与2
D．
2
与2
5．在
4
2 0 3.14159
5.2
2
，
，，
，
，
中正有理数的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
6．（1）
3
_______；（2）
3
_______；（3）
3
_______．
7．如果
2025
x
，则x ______，如果
2025
x
，则x ______．化简：3
______．
8．已知
1
2
1
0
x
y
，则x _________，y _________．
9．若a ，b 互为相反数，则
5
2
a
b
的值为__________．
10．若x 为任意有理数，x 表示在数轴上x 表示的点到原点的距离，x
a
表示在数轴上x 表示的点到a 表
示的点的距离，则
3
2
x
x
的最小值为______．
三、解答题
11．化简下列各式：
(1)
1.2
(2)
5
2
12．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的
记为“+”，不足规格的记为“ ”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8 根试管，对其进行
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了测量，测量数据如下表：
试管序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
超过或不足长度/mm
0.3
0.2
0.2
0.4
0.5
0.3
0.1
0.5
(1)表中8 个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8 根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
13．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度．
(1)请指出点A 、点B 所表示的数分别为______、______．
(2)在数轴上有一点C ，它与点B 的距离为3个单位长度，那么点C 表示的数为______；
(3)在数轴上表示下列各数，并用“ ”号把这些数按从小到大的顺序连接起来．
6
，
1
23
，
3.5
，2 ．
14．阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理解为5 与3 两个数在
数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值，也可以表示5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
(1) 4 1
表示数轴上与所对应的两点之间的距离．
(2)
3
x
表示数轴上有理数x 所对应的点与所对应的两点之间的距离；
2
x
表示数轴上有理数x 所对应的
点与所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得
2
2
4
x
x
．
15．在数轴上，把原点记作点O，表示数1 的点记作点A ．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A 重合），
将PO与PA 的长度之比称为点P 的特征值，记作【P 】，即
PO
P
PA
【】
，例如：当点P 在OA 上且PO
PA
时，
点P 的特征值
1
P
【】
．
(1)如图，点
1P ，
2P ，
3P 为数轴上三个点，点
1P 的数是
1
4
，点
2P 与
1P 表示的数互为相反数，点
3P 为1 到2
之间的一个点：
①点
2P 表示的数是_______；
②【
1P 】=_______，【
2P 】=_______；
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③比较【
1P 】、【
2P 】、【
3P 】的大小_______（用“<”连接）；
(2)数轴上的点M 满足
1
3
OM
OA
，求【M 】；
(3)若数轴上有一点K ，初始位置表示的数是3
，现在点K 以每秒2 个单位的速度沿着数轴向右运动，请求
出t 为何值时，使得
3
K
【】
；
(4)数轴上的点P 表示有理数p ，已知
100
P
【】
且【P 】为整数，则所有满足条件的p 的倒数之和是多少？
请直接写出答案．
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