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第04 讲相反数与绝对值
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求一个数的相反数
题型2 判断是否互为相反数
题型3 化简多重符号
题型4 相反数的应用
题型5 求一个数的绝对值
题型6 绝对值的非负性
题型7 绝对值的应用
题型8 绝对值的几何意义
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
相反数、绝对值、几何
意义、非负性、距离、
符号化简。
1. 理解相反数的概念，掌握互为相反数的两个数在数轴上的位置关系（关于
原点对称）。
2. 能熟练求出一个有理数的相反数，理解多重符号的化简法则。
3. 理解绝对值的几何意义（数轴上表示数a 的点到原点的距离）和代数意义，
掌握其非负性。
4. 能求出一个有理数的绝对值，并利用绝对值比较两个负数的大小。
学习重点：相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，利用绝对值比较负数大小。
学习难点：理解绝对值的几何意义（距离概念）及其非负性，以及多重符号的化简（如−(−a) = a）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 相反数
1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0 的相反数是0.
2.性质：若a 与b 互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a 与b 互为相反数.
3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化
简，看负号的个数.
（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）
【易错提醒】
相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0 的相反数是0；多重符号
化简时，奇负偶正（如-(-3)=3）。勿认为带负号就是负数。
即时即练1.写出
9
4
的相反数：
．
【答案】9
4
【知识点】相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互
为相反数进行解答即可得．
【详解】解：
9
4
的相反数是9
4 ，
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故选：9
4 ．
2.化简下列各数：
(1) ( 12)
(2) ( 7)
(3) ( 25)
(4) ( 16)
(5)
5
7
(6)
2
【答案】(1) 12
(2)7
(3) 25
(4)16
(5)
5
7
(6) 2
【知识点】化简多重符号、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数的知识：在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，根据相反数的定义解
答即可．
（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；
（2）直接去掉“+”和括号即可得答案；
（3）直接去掉“+”和括号即可得答案；
（4）根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；
（5）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可；
（6）根据相反数的意义从内往外依次去括号即可．
【详解】（1）解：( 12)
12
；
（2）解：( 7)
7
；
（3）解：( 25)
25
，
（4）解：( 16)
16
（5）解：
5
5
5
7
7
7
；
（6）解：
[ ( 2)]
2
2
知识点02 绝对值
1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.
2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b 或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；
③0 的绝对值是0.
3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0，|a|=0；③a＜0，|a|=-a.
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注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数.
4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2 个，他们互为相反数.即±a.
5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若
|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；
【易错提醒】
绝对值易错警示：|a|表示数轴上点a 到原点的距离，结果非负。注意|a| = a 仅当a ≥0，若a < 0 则|a| = -a。
去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。
即时即练1.下列各对数中互为相反数的是（
）
A．5 与
5
B．5
和
5
C．
5
- 和5
D．5 和
5
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义
【分析】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号和求一个数的绝对值，先根据化简多重符号和绝对
值的定义求出每个选项中两个数的结果，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可．
【详解】解：A、5 与
5
5
互为相反数，故此选项符合题意；
B、5
和
5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
C、
5
5
和5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
D、5 和
5
5
不互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2.
2
3
的相反数是
，
2
3
的绝对值是
，绝对值是5的数是
．
【答案】
2
3
2
3
5或5
【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等
于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：
2
3
的相反数是2
3 ，
2
3
的绝对值是2
3 ，绝对值是5的数是5或5
，
故答案为：2
3 ，2
3 ，5或5
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题型1 求一个数的相反数
【例1】2026 的相反数是
．
【答案】-2026
【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据
符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：2026 的相反数是-2026．
故答案为：-2026．
【例2】2
13 的相反数是
．
【答案】
2
13
【分析】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键；
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：2
13 的相反数是
2
13
；
故答案为：
2
13
．
【技巧归纳】
求相反数：直接在原数前加“−”号。正数变负，负数变正，0 的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号
为负，偶数个为正。注意含字母时，a 的相反数是−a，a-b 的相反数是b-a。化简后再判断。
【变式1-1】
5
4
的相反数是
．
【答案】5
4
【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：
5
4
的相反数是5
4 ；
故答案为：5
4
【变式1-2】若a 的相反数是8
，则a
．
【答案】8
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．
根据相反数的定义求解即可．
【详解】∵a 的相反数是8
，
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∴
8
a
．
故答案为：8．
题型2 判断是否互为相反数
【例3】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．1
3 与3
B．3 与
1
3
C．
1
3
与1
3
D．2
3 与
3
2
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相
反数求解即可．
【详解】解：A：1
3 与3不互为相反数，故此选项不符合题意；
B：3与
1
3
不互为相反数，故此选项不符合题意；
C：
1
3
与1
3 互为相反数，故此选项符合题意；
D：2
3 与
3
2
不互为相反数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【例4】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．2
与2
B．2
与
1
2
C．2
与
1
2
D．( )
2
- -
与
2
【答案】A
【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不
同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答
案．
【详解】解：A.
2
与2 互为相反数，本选项符合题意；
B.
2
与
1
2 不是相反数，本选项不符合题意；
C.
2
与
1
2
不是相反数，本选项不符合题意；
D.
2 =2
，
2
2
，所以( )
2
- -
与
2
不是相反数，本选项不符合题意．
故选：A．
【技巧归纳】
判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0 的相反数是
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自身。对于分数、根号等，先化简再相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。
【变式2-1】下列各数中，互为相反数的是（
）
A．
3
与3
B．
3
与3
C．
3
与3
D．
3
与3
【答案】C
【分析】本题主要考查相反数，先化简多重符号，再根据相反数的定义进行判断即可求出结果．
【详解】解：A．
3
3
与3 相等；不符合题意；
B．
3
3
与3
相等；不符合题意；
C．
3
3
与3
互为相反数，符合题意；
D．
3
3
与3
相等；不符合题意；
故选：C．
【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
5
和5
-
B．
4
和
4
C．
3
和
3
D．
7
和7
【答案】C
【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析
判断即可得出答案．
【详解】解：A、
5
5
，
5
5
，5 和5 不是相反数，不符合题意；
B、
4
4
，
4
4
，4 和4 不是相反数，不符合题意；
C、
3
3
，
3
3
，3
和3 互为相反数，符合题意；
D、
7
7
，7
和7
不是相反数，不符合题意；
故选：C．
题型3 化简多重符号
【例5】化简：
23
．
【答案】23
【知识点】化简多重符号
【分析】根据有理数的负数计算即可．
本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
23
23
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故答案为：23．
【例6】化简
1
4
．
【答案】
1
4
【知识点】化简多重符号
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符
号即可解答．
【详解】解：
1
1
4
4
．
故答案为：
1
4
．
【技巧归纳】
化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如-(+2) =
-2，-(-2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。
【变式3-1】计算
2
的结果为
．
【答案】2
【知识点】化简多重符号、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键；
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：
2
2
2
．
【变式3-2】化简：
（1）
4
；（2）
2024
；
（3）
1.5
；（4）
1.5
．
【答案】
4
2024
1.5
1.5
【知识点】化简多重符号
【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
根据化简多重符号的法则计算即可得解；
【详解】解：（1）
4
4
；
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（2）
2024
2024
；
（3）
1.5
1.5
；
（4）
1.5
1.5
．
故答案为：4
；2024；1.5；1.5
．
题型4 相反数的应用
【例7】若a、b 互为相反数，则2026
1
a
b
=______．
【答案】2025
【分析】本题考查相反数的定义．由a 和b 互为相反数，可得
0
a
b
，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵a 和b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
∴2026
1
a
b
(2026 1)
(
)
2025
0
2025
a
b
．
故答案为：2025．
【例8】若代数式3
6
x
与代数式12
6x
的值互为相反数，则x _____．
【答案】2
【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知3
6
12
6
0
x
x
，
求解即可．
【详解】因为代数式3
6
x
与12
6x
的值互为相反数，可得
3
6
12
6
0
x
x
．
解得
2
x
．
故答案为：2
【技巧归纳】
相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如|x|=a 得x=
±a）、列方程时利用和为零构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。
【变式4-1】若m，n 互为相反数，则5
5
3
m
n
___．
【答案】3
【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0 是解题的关键．
由相反数的性质可知
0
m
n
，进而简化表达式5
5
3
m
n
【详解】解：∵m，n 互为相反数，
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∴
0
m
n
，
∴
5
5
3
5
3
5 0
3
0
3
3
m
n
m
n
．
故答案为3．
【变式4-2】x ___________时，代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数．
【答案】2
【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可．
【详解】解：∵代数式5
7
x
与代数式2
21
x
的值互为相反数，
∴
5
7
2
21
0
x
x
，
解得
2
x ．
故答案为：2
．
题型5 求一个数的绝对值
【例9】3
的绝对值是：
．
【答案】3
【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质.
根据绝对值的定义即可求解.
【详解】解：3
的绝对值是：3．
故答案为：3.
【例10】计算：
3
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案．
【详解】解：
3
3
3
，
故答案为：3
．
【技巧归纳】
求绝对值：正数和0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判
断整体正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。
【变式5-1】5
的相反数是
，9
的绝对值是
．
【答案】
5
9
【分析】本题主要考查了相反数、绝对值的性质，掌握相反数定义和绝对值的性质成为解题的关键．
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直接根据相反数的定义和绝对值的性质即可解答．
【详解】解：∵5
5
0
，
∴5
的相反数是5，
∵9
0
，
∴
9
9
9
．
故答案为：5，9．
【变式5-2】4 的绝对值是
；1
2
的绝对值是
；绝对值是1的数是
；绝对值最小的数是
．
【答案】
4
1
2
1
0
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：4 的绝对值是4 ；
1
2
的绝对值是
1
2 ；绝对值是1的数是1
；绝对值最小的数是0 ；
故答案为：4 ；
1
2 ；1
；0 ．
题型6 绝对值的非负性
【例11】若|
|
|
1
0
|
3
a
b
，则a
，b
．
【答案】
3
1
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得3
0
1
0
，
a
b
，即可求解．
【详解】因为|
|
|
1
0
|
3
a
b
，且3
0
a
，|
1| 0
b
，
所以3
0
1
0
，
a
b
，所以
3
1
a
b
，
．
故答案为：3，1．
【例12】若
1
5
0
x
y
，那么x
，y
．
【答案】
1
5
【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关
键，据此作答即可．
【详解】∵
1
5
0,
1
0,
5
0
x
y
x
y
，
∴
1
0,
5
0
x
y
，
解得
1,
5
x
y
，
故答案为：1，5．
【技巧归纳】
绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数为0 时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则
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每个必须为0”列方程。也用于求最小值：|x|最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。
【变式6-1】a 是最大的负整数，且a、b、c 满足
5
0
a
b
c
．那么a＝
，b＝
，c＝
．
【答案】
1
1
5
【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a 的值，然后根据绝对值的非负性得到b、
c 的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵a 是最大的负整数，
∴
1
a ，
∵
5
0
a
b
c
，
∴
0
a
b
，
5
0
c
，
∴
0
a
b
，
5
0
c
，
∴1
0
b
，
5
0
c
，
解得：
1,
5
b
c
，
∴
1,
1,
5
a
b
c
，
故答案为：1,1,5
．
【变式6-2】已知b、c 满足
1
1
0
2
b
c
，则b
c
的值是
．
【答案】3
2 / 1
12 /1.5
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据
1
1
0
2
b
c
，得到
1
1,
2
b
c
,
代入计算即可．
【详解】∵
1
1
0
2
b
c
，
∴
1
1,
2
b
c
，
∴
1
3
1
2
2
b
c
，
故答案为：3
2 或1
12 或1.5．
题型7 绝对值的应用
【例13】有5 名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件
直径比标准直径可以有0.5mm 的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将
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5 名学生的加工结果（单位：mm ）记录如下：
张琪
赵阳
李嘉
孙磊
周正
0.35
0.46
0.29
0.38
0.52
(1)以上5 名同学加工的零件中，谁的不符合标准？
(2)以上5 名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？
【答案】(1)周正
(2)李嘉，见解析
【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质：
（1）找出直径超过0.5mm 的零件，即可得出答案；
（2）通过比较绝对值，得出
0.29
0.35
0.38
0.46
0.5
-
< +
< +
< -
<
，可知张琪同学加工的零件直径比标准直
径误差最小，得出答案．
【详解】（1）∵零件直径比标准直径可以有0.5mm 的误差，
而0.52
0.5
，
∴周正同学加工的零件不符合标准；
（2）∵
0.29
0.35
0.38
0.46
0.5
-
< +
< +
< -
<
，
∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小，
∴李嘉的最好．
【例14】为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从A 出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治
安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：km ）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
4
7
9
8
6
5
2
(1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A 地什么方向？距A 地多远？
(2)若巡逻车每千米耗油0.3升，问七次巡逻行驶共耗油多少升?
【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A 地的正南方，距A 地1km
(2)七次巡逻行驶共耗油12.3 升
【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的应用，有理数的加、减、乘法运算，掌握正负数的意义是解
题的关键．
（1）计算出最后一次所处位置即可；
（2）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量，即可求解．
【详解】（1）解：
4
7
9
8
6
5
2
1
，
最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地A 地的正南方，距A 地1km ；
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（2）
4
7
9
8
6
5
2
0.3
，
41 0.3
，
12.3
（升），
七次巡逻行驶共耗油12.3 升．
【技巧归纳】
绝对值应用：求数轴上两点距离（|a-b|），解方程|x|=a 得x=±a（a≥0），解不等式|x|<a 得-a<x<a，|x|>a
得x<-a 或x>a。也用于化简含绝对值的表达式，需分类讨论去绝对值符号。
【变式7-1】时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有0.2cm的误差，现抽查5 个零
件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：cm）：
零件号数
1
2
3
4
5
数据
+0.13
0.21
0.04
0.12
0.16
(1)这5 个零件中，符合要求的零件是哪几个？
(2)这5 个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？
【答案】(1)1，3，4，5 符合要求
(2)第3 个，说明见解析
【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于0.2cm零件即为所求答案；
（2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可.
【详解】（1）解：
零件的长度可以有0.2cm的误差，
0.13
0.13
0.2
，
0.21
0.21
0.2
，
0.04
0.04
0.2
，
0.12
0.12
0.2
，
0.16
0.16
0.2
，
1，3，4，5 符合要求；
（2）解：
0.04
的绝对值最小，
第3 个零件质量最好．
【变式7-2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6 名学生的视力情况，若每名学生的视力以5.0
为标准，大于5.0的记为正数，小于5.0的记为负数，记录数据如下：
学生
小明
小颖
小梦
小璐
小杰
小萌
视力
0.1
0.4
0
0.2
0.6
0.1
(1)这6 名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由；
(2)若规定与标准视力相差大于0.2 需要配戴眼镜，则6 名学生中有几人需要配戴眼镜？
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【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析
(2)6 名学生中有2 人需要配戴眼镜
【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键．
（1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解；
（2）求出6 名学生数据的绝对值，分别0.2 比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：小杰的视力最差．
∵0.6
0.4
0.2
0.1
0
0.1
，
∴0.6
最小，与标准差的最多，
∴小杰的视力最差．
（2）解：∵0.1
0.1
0.2
，
0.4
0.4
0.2
，
0.2
0.2
0.2
，
0.6
0.6
0.2
，
0.1
0.1
0.2
，
所以6 名学生中有2 人需要配戴眼镜．
题型8 绝对值的几何意义
【例15】（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则AB
a
b
=
-
，若点A 在数轴上表示3，点B 在数轴
上表示1，那么AB
；
（2）在数轴上表示x 的点与1
的距离是3，那么x
；
（3）在数轴上表示a 的点位于4
和3 之间（包含两端），求
4
3
a
a
的值；
（4）对于任意有理数x，则
3
6
x
x
的最小值是
．
【答案】（1）2（2）4
或2；（3）7；（4）3
【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据数轴上两点间距离公式解答即可；
（3）由绝对值的几何意义可知式子
4
3
a
a
表示a 对应的点分别到4
、3 对应的点的距离之和，进而
利用数轴上两点间距离公式解答即可求解；
（4）由绝对值的几何意义可知式子
3
6
x
x
表示x 对应的点分别到3、6 对应的点的距离之和，当表示
x 的点位于3 和6 之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解．
【详解】解：（1）数轴上点A，B 对应的数分别是a，b，则AB
a
b
=
-
，
由题意得，
3 1
2
AB
，
故答案为：2；
（2）由题意得，
1
3
x
，
即
1
3
x
，
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解得
4
x 或
2
x
，
故答案为：4
或2；
（3）在数轴上表示a 的点位于4
和3 之间（包含两端），
∵
4
3
4
3
a
a
a
a
，
∴式子
4
3
a
a
表示a 对应的点分别到4
、3 对应的点的距离之和，
当表示a 的点位于4
和3 之间（包含两端）时，距离之和为
4
3
7
，
即
4
3
a
a
的值为7；
（4）式子
3
6
x
x
表示x 对应的点分别到3、6 对应的点的距离之和，
当表示x 的点位于3 和6 之间（包含两端）时，距离之和最小，
此时最小值为6
3
3
，
故答案为：3．
【例16】[阅读材料] m
n
的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．例如：2 1
可以看
成数轴上表示数2 的点与表示数1 的点之间的距离，所以2 1
1
．
(1)
2
x
的几何意义是表示数x 的点与表示数________的点之间的距离；
(2)（ⅰ）若
2
3
x
，求x 的值；
（ⅱ）求
2
1
x
x
的最小值．
【答案】(1) 2
(2)（ⅰ）1或5
；（ⅱ）3
【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据绝对值的意义作答即可；
（2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数x 的点到表示数2
的点的距离为3，进行求解即可；
（ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数x 的点在表示数2
和数1 的点之间时，
2
1
x
x
的值最小，为
表示数2
和数1 的点之间距离，即可得出结果．
【详解】（1）解：
2
x
的几何意义是表示数x 的点与表示数2
的点之间的距离；
（2）（ⅰ）由题意，
2
3
x
表示数轴上表示数x 的点到表示数2
的点的距离为3，
∴
2
3
1
x
或
2
3
5
x
；
（ⅱ）
2
1
x
x
表示数轴上表示数x 的点到表示数2
和数1 的点之间的距离之和，
∴当表示数x 的点在表示数2
和数1 的点之间时，
2
1
x
x
的值最小，为表示数2
和数1 的点之间距
离，即
1
2
3
．
【技巧归纳】
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绝对值的几何意义是数轴上点到原点的距离。|a-b|表示点a 与点b 之间的距离，非负且具有对称性。解题时
可将绝对值问题转化为数轴上的距离问题，例如求|x-1|<3 表示到1 距离小于3 的点，直观易解。
【变式8-1】【问题背景】
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方
法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．
我们知道4
4
0
，它的几何意义是数轴上表示4 的点与原点之间的距离；又如式子7
3
，它的几何意义
是数轴上表示数7 的点与表示数3 的点之间的距离；即若点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B
之间的距离可表示为a
b
．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题．
【问题探究】
（1）若
6
2
x
，则x _______．
（2）若
2
3
12
x
x
，则x _______．
【问题解决】
（3）利用数轴解决以下问题：
①
1
2
x
x
的最小值为_______，此时x 可以取的整数有_______；
②
2
3
2
4
x
x
x
有最小值吗？
2
5
x
x
有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明
理由．
【答案】（1）8
或4
；（2）5.5
或6.5；（3）①3；2
，1
，0，1；②
2
3
2
4
x
x
x
有最小值，
最小值为13；
2
5
x
x
有最大值，最大值为7．
【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意
义是解题的关键；
（1）根据题意可知
6
2
x
可看作是数轴上表示数x 的点与表示数6
的点之间的距离为2 ，然后问题可求
解；
（2）同理（1）可求
2
3
12
x
x
；
（3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②．
【详解】解：（1）由
6
2
x
可知：数轴上表示数x 的点与表示数6
的点之间的距离为2 ，
∴
6
2
x
或
6
2
x
，
解得：
8
x 或
4
x ，
故答案为8
或4
；
（2）由
2
3
12
x
x
可知：数轴上表示数x 的点到表示数2
和3 的点之间的距离之和为12，
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∵
3
2
5
12
，
当数轴上表示数x 的点在表示数2
的左侧时，则有：
2
3
12
x
x
，
解得：
5.5
x
；
当数轴上表示数x 的点在表示数3 的右侧时，则有：
2
3
12
x
x
，
解得：
6.5
x
；
故答案为5.5
或6.5；
（3）①由
1
2
x
x
可知：数轴上表示数x 的点到表示数2
和1 的点之间的距离之和，
∵
1
2
3
，
∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x 的点在表示数2
和1 的点之间取得最小值，此时x 可以
取的整数有2
，1
，0，1；
故答案为3；2
，1
，0，1；
②由
2
3
2
4
x
x
x
可变形为
2
3
4
4
x
x
x
x
，
∴同理①可知：当数轴上表示数x 的点在表示数2
和4 的点之间取得最小值，
∴最小值为
2
3
2
4
2
3
4
4
13
x
x
x
x
x
x
x
；
由
2
5
x
x
可知：数轴上表示数x 的点到表示数2
和5 的点之间的距离之差，
∵
5
2
7
，
∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x 的点在表示数5 的右侧时，
2
5
x
x
取得最大值，最
大值为7；
答：
2
3
2
4
x
x
x
有最小值，最小值为13；
2
5
x
x
有最大值，最大值为7．
【变式8-2】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之
间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．
[操作发现]
（1）如图，数轴上表示2 和7 的两点之间的距离是
；数轴上表示1 和4 的两点之间的距离是
；数轴上
表示3
和2 的两点之间的距离是
；
[类比探究]
（2）若点M 表示的数是m，点N 表示的数是n，则点M、N 之间的距离为
；
[拓展应用]
（3）若数轴上分别表示m 和2
的两点A 和B 之间的距离是24，则
=
m
；
（4）
4
4
a
a
表示的几何意义是；
2
a
表示的几何意义是；
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4
2
a
a
表示的几何意义是．
（5）若数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的两点之间，求
4
2
a
a
的值；
（6）利用数轴分析，若x 是整数，且满足
3
2
5
x
x
，则满足条件的所有x 的值的和为
．
【答案】（1）5；3；5；（2）m
n
；（3）22 或26
；（4）在数轴上表示数a 的点和表示有理数4
的点
之间的距离；数轴上表示数a 的点和表示有理数2 的点之间的距离；数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的
两点之间；（5）6；（6）3
．
【分析】本题考查了数轴上两点间距离和绝对值问题，理解两点间距离并正确化简绝对值是解题关键．
（1）利用数轴上两点之间的距离：数轴上任意不同的两点，这两点间的距离=右边的数-左边的数，即可得
到结果；
（2）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可；
（4）根据绝对值的几何意义作答即可；
（5）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义化简运算即可；
（6）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可．
【详解】（1）解：数轴上表示2 和7 的两点之间的距离是5；数轴上表示1 和4 的两点之间的距离是3；
数轴上表示3
和2 的两点之间的距离是5；
故答案为：5；3；5；
（2）解：若点M 表示的数是m ，点N 表示的数是n ，则点M 、N 之间的距离为m
n
；
故答案为：m
n
；
（3）解：∵数轴上分别表示m 和2
的两点A 和B 之间的距离是24，
∴
2
24
m
，
∴
2
24
m
或2
24
m
，
∴
22
m
或
26
m
；
故答案为：22 或26
；
（4）解：
4
4
a
a
表示的几何意义是在数轴上表示数a 的点和表示有理数4
的点之间的距离；
2
a
表示的几何意义是数轴上表示数a 的点和表示有理数2 的点之间的距离；
4
2
4
2
a
a
a
a
表示的几何意义是数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的两点之间；
故答案为：在数轴上表示数a 的点和表示有理数4
的点之间的距离；数轴上表示数a 的点和表示有理数2 的
点之间的距离；数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的两点之间；
（5）解：
数轴上表示a 的点位于表示4
与2 的两点之间，
∴4
2
a
，
∴
4
0
a
，
2
0
a
，
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∴
4
2
a
a
4
2
a
a
=6；
（6）解：
数轴上表示3
和2 的两点之间的距离是5，
∴满足
3
2
5
x
x
的x 值在数轴上表示x 的点位于表示3
与2 的两点之间，
∵x 是整数，
∴
3
x ，2
，1
，0，1，2．
∴满足条件的所有x 的值的和为：3
2 1 0 1 2
3
．
故答案为：3
．
一、单选题
1．
1
26
的相反数是（
）
A．26
B．1
26
C．26
D．
1
26
【答案】B
【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，
∴
1
26
的相反数是1
26 ．
2．点M，N，P，Q 在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（）
A．M
B．N
C．P
D．Q
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断
即可．
【详解】解：观察数轴可知：点M 到原点的距离最远，
∴所表示的数的绝对值最大的点是点M．
3．如图，所检测的4 个足球中，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的
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角度看，最接近标准质量的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出各数的绝对值，再比较大小，即可解答．
【详解】解：∵
0.9
0.9,
2.5
2.5,
0.8
0.8,
3.6
3.6
，0.8
0.9
2.5
3.6
，
∴从轻重的角度看，最接近标准质量的是0.8g
．
4．下列各组数中，互为相反数的是（
）．
A．
2
与
2
B．
2
与
2
C．
2
与2
D．
2
与2
【答案】B
【详解】解：选项A：
2 =
2
，( )
2
2
+ -
= - ，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项B：
2 =2
，( )
2
2
+ -
= - ，2
与2 绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意；
选项C：
2
2
，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
选项D：
2 =
2
，两个数相等，不互为相反数，不符合题意．
5．在
4
2 0 3.14159
5.2
2
，
，，
，
，
中正有理数的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解：因为( 2)
2
是正有理数，3.14159是正有理数，| 2 | 2
是正有理数。而4
和( 5.2)
是负有理
数，0 既不属于正数也不属于负数．所以共有3 个正有理数．
二、填空题
6．（1）
3
_______；（2）
3
_______；（3）
3
_______．
【答案】
3
3
3
【分析】本题考查多重符号化简，根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：（1）
3
3
；
（2）
3
3
；
（3）
3
3
．
故答案为：3；3
；3
．
7．如果
2025
x
，则x ______，如果
2025
x
，则x ______．化简：3
______．
【答案】
2025
2025
3
【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且
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互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号．
【详解】解：根据绝对值的定义，若
(
0)
x
a a
，则x
a
.
当
2025
x
时，
解得
2025
x
．
当
2025
x
时，
由
2025
2025
，
故
2025
x
，
因此
2025
x
．
因为
3.14
3
，所以3
0
，
根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得：
3
3
3
．
8．已知
1
2
1
0
x
y
，则x _________，y _________．
【答案】
1
1
2
/ 0.5
【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进
行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
1
2
1
0
x
y
，且
1
0 2
1
0
x
y
,
，
∴
1
0 2
1
0
x
y
,
，
解得
1
0 2
1
0
x
y
,
，
解得
1
1,
2
x
y
，
故答案为：
1
1,
2
．
9．若a ，b 互为相反数，则
5
2
a
b
的值为__________．
【答案】2
【分析】本题考查了相反数的性质，解题关键是明确两个互为相反数的数之和为0，代入求解即可．
【详解】解：∵a ，b 互为相反数，
∴
0
a
b
，
则
5
2
0
2
2
a
b
故答案为：2
．
10．若x 为任意有理数，x 表示在数轴上x 表示的点到原点的距离，x
a
表示在数轴上x 表示的点到a 表
示的点的距离，则
3
2
x
x
的最小值为______．
【答案】5
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【分析】根据绝对值的几何意义，x
a
表示数轴上x 与a 对应点之间的距离，由
3
2
x
x
可知在数轴上
x 表示的点到3
表示的点与2 表示的点的距离之和，当x 位于3
和2 之间时，距离之和取得最小值，最小
值为两点之间的距离．
【详解】解：∵x
a
表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，
∴
3
2
3
2
x
x
x
x
，即在数轴上x 表示的点到3
表示的点与2 表示的点的距离之和，
当3
2
x
时，
3
2
x
x
有最小值，为
3
2
5
x
x
．
三、解答题
11．化简下列各式：
(1)
1.2
(2)
5
2
【答案】(1)1.2
(2)
5
2
【分析】本题主要考查了化简多重符号、绝对值等知识，
（1）根据化简多重符号法则“负负得正，负正得负，正正得正”，即可获得答案；
（2）先化简绝对值内部分，然后根据绝对值定义，即可获得答案．
【详解】（1）解：
1.2
1.2
；
（2）解：
5
5
5
2
2
2
．
12．试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的
记为“+”，不足规格的记为“ ”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8 根试管，对其进行
了测量，测量数据如下表：
试管序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
超过或不足长度/mm
0.3
0.2
0.2
0.4
0.5
0.3
0.1
0.5
(1)表中8 个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？
(2)在这8 根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由．
【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
(2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析
【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键．
（1）根据相反数的定义即可得到答案；
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（2）根据绝对值的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧
（2）解：最接近规格的是⑦号试管．
理由：
0.1
0.1
，
0.2
0.2
0.2
，
0.3
0.3
0.3
，
0.5
0.5
0.5
，
0.4
0.4
．
因为0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
，所以最接近规格的是⑦号试管．
13．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度．
(1)请指出点A 、点B 所表示的数分别为______、______．
(2)在数轴上有一点C ，它与点B 的距离为3个单位长度，那么点C 表示的数为______；
(3)在数轴上表示下列各数，并用“ ”号把这些数按从小到大的顺序连接起来．
6
，
1
23
，
3.5
，2 ．
【答案】(1) 2
，4
(2)1或7
(3)见解析；
1
2
2
3.5
6
3
【分析】（1）根据数轴的定义求解即可；
（2）根据数轴的定义求解即可；
（3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可．
【详解】（1）解：点A 、点B 所表示的数分别为2
，4
（2）解：∵点C 与点B 的距离为3 个单位长度，点B 表示的数为4 ，
∴点C 表示的数为4
3
7
或4
3
1
，
（3）解：
6
6
，
3.5
3.5
，
如图，
∴
1
2
2
3.5
6
3
14．阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道| 5
3|
可以表示5 与3 之差的绝对值，同时也可以理解为5 与3 两个数在
数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，| 5
( 2) |
可以表示5 与2
之差的绝对值，也可以表示5 与2
两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：
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(1) 4 1
表示数轴上与所对应的两点之间的距离．
(2)
3
x
表示数轴上有理数x 所对应的点与所对应的两点之间的距离；
2
x
表示数轴上有理数x 所对应的
点与所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得
2
2
4
x
x
．
【答案】(1) 4 ，1
(2)3，2
(3)这样的整数x 有2
，1
，0，1，2
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（2）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（3）根据两点间的距离，由
2
2
4
x
x
可得到x 在2
到2 之间，即可得出结论．
【详解】（1）解：4 1
表示数轴上4 与1所对应的两点之间的距离；
故答案为：4 ，1；
（2）解：
3
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到3 所对应的点之间的距离；
2
x
表示数轴上有理数x 所对应的点到2
所对应的点之间的距离；
故答案为：3，2
．
（3）解：
2
2
4
x
x
表示x 到2
之间的距离与x 到2 之间的距离的和为4，
∵2
到2 之间的距离为4，
∴x 在2
到2 之间，
∴这样的整数x 有2
，1
，0，1，2．
15．在数轴上，把原点记作点O，表示数1 的点记作点A ．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A 重合），
将PO与PA 的长度之比称为点P 的特征值，记作【P 】，即
PO
P
PA
【】
，例如：当点P 在OA 上且PO
PA
时，
点P 的特征值
1
P
【】
．
(1)如图，点
1P ，
2P ，
3P 为数轴上三个点，点
1P 的数是
1
4
，点
2P 与
1P 表示的数互为相反数，点
3P 为1 到2
之间的一个点：
①点
2P 表示的数是_______；
②【
1P 】=_______，【
2P 】=_______；
③比较【
1P 】、【
2P 】、【
3P 】的大小_______（用“<”连接）；
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(2)数轴上的点M 满足
1
3
OM
OA
，求【M 】；
(3)若数轴上有一点K ，初始位置表示的数是3
，现在点K 以每秒2 个单位的速度沿着数轴向右运动，请求
出t 为何值时，使得
3
K
【】
；
(4)数轴上的点P 表示有理数p ，已知
100
P
【】
且【P 】为整数，则所有满足条件的p 的倒数之和是多少？
请直接写出答案．
【答案】(1)①1
4 ；②1
5 ，1
3 ；③
1
2
3
P
P
P
【】【】【】
(2)
1
2 或1
4
(3)15
8 或9
4
(4)198
【分析】（1）①根据相反数的定义解答即可；
②根据特征值的定义进行计算即可；
③根据特征值的定义，结合②进行比较即可；
（2）根据特征值的定义进行解答即可，注意有两种情况；
（3）根据题意，用代数式表示运动的长度，从而代入求值计算即可；
（4）根据新定义，用不同的P
【】求出p 的值，找出规律，计算即可．
【详解】（1）解：①根据题意得，点
1P 的数是
1
4
，点
2P 与
1P 表示的数互为相反数，
则点
2P 表示的数为1
4 ，
故答案为：1
4 ；
②点
1P 表示的数是
1
4
，点
2P 表示的数是1
4 ，
则
2
1
4
P O
，
由于
2
2
P O
P A
OA
，
即
2
1
3
1
4
4
P A
因此
2
2
2
1
1
4
3
3
4
PO
P
P A
【】
同理得，
1
1
5
1
4
4
P A
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因此
1
1
1
1
1
4
5
5
4
PO
P
P A
【】
，
故答案为：1
5 ，1
3 ；
③由图可知，
3
3
3
1
PO
AO
P A
P A
3
3
3
3
3
3
1
1
1
PO
P A
P
P A
P A
P A
【】
因此
1
2
3
P
P
P
【】【】【】，
故答案为：
1
2
3
P
P
P
【】【】【】；
（2）解：由
1
OA 、
1
3
OM
OA
得，
则
1
3
OM
、
2
3
MA
或
4
3
MA
因此
1
1
3
2
2
3
MO
M
MA
【
】
或
1
1
3
4
4
3
MO
M
MA
【
】
；
（3）解：根据题意得，点K 以每秒2 个单位的速度沿着数轴向右运动，运动时间为t ，
则运动距离为2t ，
根据
3
OK
K
AK
【】
得，
3
OK
AK
即
3
2
3 4
2
t
t
即
3
2
3 4
2
t
t
或
3
2
3 4
2
t
t
解得
15
8
t
或
9
4
t
；
（4）解：根据
PO
P
PA
【】
得，OP
P
AP
【】
，
由于
100
P
【】
且【P 】为整数，得，P
【】为1 到99 的自然数，
则OP
AP
且OP 为AP 的整数倍，
1
0
1
1
1
p
p
AP
p
p
，
当
1
P
【】
时，
1
p
p
或
1
p
p
（舍去），此时
1
2
p
，
当
2
P
【】
时，
2 1
p
p
或
2
1
p
p
，此时
3
2
p
或
2
p
，
当
3
P
【】
时，
3 1
p
p
或
3
1
p
p
，此时
3
4
p
或
3
2
p
，
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以此类推，所有满足条件的p 的倒数之和是
3
1
4
2
100
98
2
2
2
3
3
99
99
2 99
198
．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
过
：
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