文档文本内容
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第06 讲整式的除法
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：六大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am ÷ an = am−n（a ≠0，m、n 都是正整数，且m > n ）。
要点：
1.
同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算。
2.
被除式、除式的底数须相同，且0 不能作除式；被除式的指数要大于除式指数。
3.
当三个或三个以上同底数幂相除时，同样适用该性质。
4.
底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。
知识点2 零指数幂法则
任何不等于0 的数的0 次幂都等于1 ，即a0 = 1（a ≠0 ）。
要点：底数a 不能为0，因为00无意义；任何一个常数都可看作与字母0 次方的积，所以常数项也叫0
次单项式。
知识点3 单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的
指数作为商的一个因式。
要点：
1.
具体包含三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商
的一个因式。
.
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2.
单项式除法实质是有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，结果仍为单项式。
知识点4 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即am + bm + cm ÷ m =
am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c 。
要点：
1. 多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式来解决，实质是将其分解成多个单项式除以单项式。
2. 计算时，多项式的各项要带上前面的符号，注意符号变化。
课本典例1（习题11.4 第5 题）
先化简，再求值：[ 2a + b
2a −b −2a −b 2] ÷ 2a −b ，其中a ≠1，b = 2
【答案】化简：
[ 2a + b
2a −b −2a −b 2] ÷ 2a −b
=
[ 2a + b
2a −b ÷ 2a −b −2a −b 2 ÷ 2a −b ]
=
2a + b −2a −b
=
2a + b −2a + b
=
2b
当b = 2 时，原式= 2 × 2 = 4。
【解析】根据多项式除以单项式的分配律m −n ÷ p = m ÷ p −n ÷ p（p ≠0），将[ 2a + b
2a −b −2a −b 2] ÷
2a −b 展开为2a + b
2a −b ÷ 2a −b −2a −b 2 ÷ 2a −b ，然后根据同底数幂相除，底数不变指数相减
（这里指数为1），得到2a + b ? 2a?b ，去括号、合并同类项得到化简结果2b，再代入b = 2 求值。
【点睛】本题关键在于熟练运用多项式除以单项式法则以及整式运算规则，先化简再求值可简化计算过程。
同底数幂相除
底数不变，指数相减
n
m
n
m
a
a
a
（
0
a
）
2
3
b
a
b
a
单项式除以
单项式
①系数相除；
②同底数幂相除；
③对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数
一起作为商的一个因式．
b
a
m
b
a
2
4
2
49
7
多项式除以
单项式
多项式除以单项式，把这个多项式的每一项分别除
以单项式，再把所得的商相加．
说明：
①多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以
单项式．
②多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
m
cm
bm
am
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课本典例2（习题11.4 第6 题）
聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上
这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1。你能说明其中的道理吗？
【答案】设这个非零有理数为x，根据题意可得[ x2 + x ÷ x −x]，化简：
x2 + x ÷ x −x
=
x2 ÷ x + x ÷ x −x
=
x + 1 −x
=
1
所以无论取
哪个非零有理数，按照此运算顺序结果总是1。
【解析】通过设未知数x 表示这个非零有理数，然后根据题目描述的运算顺序列出式子[ x2 + x ÷ x −x]，再
根据多项式除以单项式法则m + n ÷ p = m ÷ p + n ÷ p（p ≠0）展开x2 + x ÷ x 为x2 ÷ x + x ÷ x，计算后合并
同类项得到结果1。
【点睛】用字母表示数是代数的重要思想，通过设未知数，依据运算规则列出式子并化简，能清晰揭示规
律背后的数学原理。
课本典例3（习题11.4 第7 题）
已知多项式A 与单项式5xy 的差，除以x?2y，所得的商是3x + y，求A。
【答案】根据题意可得A −5xy ÷ x −2y = 3x + y，由“被除数= 除数× 商”可知A?5xy = x?2y
3x + y ，
展开x?2y
3x + y ：
x −2y
3x + y
=
x × 3x + x × y −2y × 3x −2y × y
=
3x2 + xy −6xy −2y2
=
3x2 −5xy −2y2
又因为A?5xy = 3x2?5xy?2y2，所以A = 3x2?5xy?2y2 +
5xy = 3x2?2y2。
【解析】先根据题目中的数量关系列出等式A −5xy ÷ x −2y = 3x + y，利用除法运算中被除数、除数和商
的关系得到A?5xy = x?2y
3x + y ，再根据多项式乘多项式法则（用一个多项式的每一项去乘另一个多项
式的每一项，再把所得的积相加）展开x?2y
3x + y ，最后通过移项求出A。
【点睛】本题重点考查了除法运算中各部分关系以及多项式乘法法则，通过逆向思维由商和除数求出被除
数相关式子，进而求出多项式A。
题型一计算单项式除以单项式
1．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如果
2
3
ab
a b
□
，则□内应填的代数式是（
）
A．ab
B．3ab
C．a
D．3a
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则是解题的关键．
已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式．
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【详解】解：
2
3
ab
a b
□
，
2
3
3
a b
ab
a
，故D 正确．
故选：D
2．（24-25 八年级上·青海海东·期末）计算
3
2x y
xy
的结果是（
）
A．
2
2x
B．
2x y
C．xy
D．
2
2xy
【答案】A
【分析】根据单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，进行计算即可
3
2x y
xy
本题主要考查了整式的除法运算，解题关键是熟练掌握单项式除以单项式法则：系数与系数相除，同底数
幂与同底数幂相除．
【详解】解：
3
3
2
2 1
x y
xy
x
x
y
y
2
2x
故选：A
3．（24-25 八年级上·广东湛江·期末）若（
）
2
3
2
4
a b
a b
，则括号内应填的单项式是：（
）
A．a
B．2a
C．ab
D．2ab
【答案】B
【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式除以单项式，根据乘法的意义列式
3
2
4
2
a b
a b
，再计算
即可．
【详解】解：由题意可得：括号内应填的单项式是：
3
2
4
2
2
a b
a b
a
，
故选：B
4．（24-25 八年级上·山西晋城·期末）计算
2
3
2
14
7
a b
a b
的结果是
．
【答案】2b
【分析】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知其运算法则．根据整式的除法运算即可求解．
【详解】
2
3
2
14
7
2
a b
a b
b
故答案为：2b
．
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）计算：
7
6
3
2
6
3
a b
a b
．
【答案】
4
4
2a b
【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式除以单项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：
7
6
3
2
4
4
6
3
2
a b
a b
a b
；
故答案为：
4
4
2a b ．
题型二多项式除以单项式
6．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）计算：
2
2
10
5
5
x y
xy
xy
．
5 / 22
【答案】2x
y
/
2
y
x
【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式
2
2
10
5
5
5
x y
xy
xy
xy
2x
y
，
故答案为：2x
y
．
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
3
2
2
3x
x
x
．
【答案】3
1
x
【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
利用多项式除以单项式的法则，先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相减计算即可．
【详解】解：
3
2
2
3
3
1
x
x
x
x
，
故答案为：3
1
x ．
8．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）计算：
3
2
2
2
14
7
7
a b
ab
ab
．
【答案】
2
2
1
a /
2
1
2a
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解；
3
2
2
2
14
7
7
a b
ab
ab
3
2
2
2
2
14
7
7
7
a b
ab
ab
ab
2
2
1
a
，
故答案为：
2
2
1
a ．
9．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）与单项式
2
3a b
的积是
3
2
2
2
2
6
2
9
a b
a b
a b
的多项式是
．
【答案】
2
2
3
3
ab
b
【分析】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键．根据题意求
3
2
2
2
2
2
(6
2
9
)
( 3
)
a b
a b
a b
a b
即
可得出答案．
【详解】依题意：
3
2
2
2
2
2
(6
2
9
)
( 3
)
a b
a b
a b
a b
2
2
3
3
ab
b
．
故答案为：
2
2
3
3
ab
b
10．（24-25 八年级上·吉林·期中）计算：
2
3
6
6
x y
xy
xy
【答案】1
1
2 x
【分析】本题考查多项式除以单项式，利用多项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式
2
1
3
6
6
6
1
2
x y
xy
xy
xy
x
．
题型三整式的混合运算
6 / 22
11．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算
(1)
2
2
2
(
1)
(
)
a b b
ab
(2)
3
2
2
10
5
5
5
a b
a b
ab
ab
(3)
2
2
(
)
x
y
x
xy
y
【答案】(1)
2
2
2
2
a b
a b
(2)
2
2
1
a b
a
(3)
3
3
x
y
【分析】本题考查积的乘方，整式的混合运算，熟练掌握积的乘方，整式的混合运算是解题的关键．
（1）先计算单项式乘多项式，积的乘方，最后合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
1
a b
b
ab
2
2
2
2
2
2
2
a b
a b
a b
2
2
2
2
a b
a b
；
（2）解：
3
2
2
10
5
5
5
a b
a b
ab
ab
3
2
2
10
5
5
5
5
5
a b
ab
a b
ab
ab
ab
2
2
1
a b
a
；
（3）解：
2
2
x
y
x
xy
y
3
2
2
2
2
3
x
x y
xy
x y
xy
y
3
3
x
y
．
12．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）计算
(1)
2
x
y
x
y
(2)
3
2
2
3
12
3
4
a b
a b
ab
ab
(3)
2
3
2
4
3
2
3
x
x
x
x
【答案】(1)
2
2
2x
xy
y
(2)
2
a
(3)
6
7x
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键；
（1）根据多项式乘以多项式，即可求解；
（2）根据多项式除以单项式，进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以单项式，积的乘方，进行计算即可求解；
7 / 22
【详解】（1）解：
2
x
y
x
y
2
2
2
2
x
xy
xy
y
2
2
2x
xy
y
；
（2）解：
3
2
2
3
12
3
4
a b
a b
ab
ab
2
4
4
a
ab
ab
2
a
；
（3）解：
2
3
2
4
3
2
3
x
x
x
x
6
6
6
9
x
x
x
6
7x
；
13．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算
(1)
2019
2020
2019
5
3
0.4
3
2
(2)
2
1 2
1
6
4
3
x
x
x
x
．
【答案】(1) 3
2
(2)21
17
x
【分析】本题主要考查了关于幂的运算、整式的乘法．解决本题的关键是根据运算法则进行计算即可．
1 首先逆用同底数幂的乘法法则，可得：原式
2019
2019
2019
2
5
3
3
5
3
2
2
，再逆用积的乘方的法则，
可得：原式
2019
2
5
3
3
5
3
2
2
，然后再根据乘方的运算法则和有理数的乘法法则进行计算即可；
2 首先根据平方差公式和多项式乘以多项式的法则进行计算，得到：原式
4
2
4
1
4
3
24
18
x
x
x
x
，然
后再根据合并同类项的法则合并同类项即可．
【详解】（1）
2019
2020
2019
5
3
0.4
3
2
2019
2019
2019 1
2
5
3
5
3
2
2019
2019
2019
2
5
3
3
5
3
2
2
2019
2
5
3
3
5
3
2
2
2019
3
1
2
8 / 22
3
2
；
（2）解：
2
1 2
1
6
4
3
x
x
x
x
2
2
2
1
4
3
24
18
x
x
x
x
2
2
4
1
4
3
24
18
x
x
x
x
21
17
x
．
14．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）计算：
(1)
3
2
4
1
4
3
2
2
a
a
a
a
；
(2)
2
2
2
6
x
y
x
y
x
y
y
；
(3)
2
1
2
1
x
y
x
y
．
【答案】(1)
3
a
(2)
2
4xy
y
(3)
2
2
4
4
1
x
y
y
【分析】此题考查整式的混合运算，正确的掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘法法则，单项式除法法则按顺序进行计算即可；
（2）先利用完全平方公式，平方差公式计算展开，再计算即可；
（3）先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式进行计算即可即可．
【详解】（1）
3
2
4
1
4
3
2
2
a
a
a
a
2
6
4
4
3
4
3
8
2
a
a
a
a
a
2
2
4
3
4
a
a
a
3
a
；
（2）
2
2
2
6
x
y
x
y
x
y
y
2
2
2
2
2
4
4
(
)
6
x
xy
y
x
y
y
2
2
2
2
2
4
4
6
x
xy
y
x
y
y
2
4xy
y
；
（3）
2
1
2
1
x
y
x
y
(2
1)
(2
1)
x
y
x
y
2
2
(2
1)
x
y
(
)
x
y
y
2
2
4
4
1
2
2
4
4
1
x
y
y
．
题型四整式的化简求值
9 / 22
15．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
x x
x
x x
y
x
y
y
，
其中
3
x ，
2
y
．
【答案】
3
9
x
y
，9
【分析】本题考查了乘法公式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式及化简求值等知识，熟练掌握运算
法则是解题关键．先计算乘法公式、单项式乘以多项式，再计算单项式乘以多项式、括号内的加减法，然
后计算多项式除以单项式，最后计算加减法，将
3
x ，
2
y
代入计算即可得．
【详解】解：原式
2
2
2
2
4
2
6
9
x x
x
xy
x
xy
y
y
3
2
2
2
4
2
6
9
x
x
x
xy
x
xy
y
y
3
2
4
4
9
x
x
xy
y
y
3
2
4
4
9
x
x
xy
y
y
y
3
4
4
9
x
x
x
y
3
4
4
9
x
x
x
y
3
9
x
y
，
将
3
x ，
2
y
代入得：原式
3
3
9
3
9 2
27 18
9
x
y
．
16．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
，其
中,a b ，满足
2
1
2
3
0
a
b
．
【答案】3b
a
，11
2
【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，熟练掌握相关运算法则，正确的化简，是解题的关键：先利
用整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出,a b 的值，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2
2
a
ab
b
b
a
a
ab
a
2
6
2
2
ab
a
a
3b
a
；
∵
2
1
2
3
0
a
b
，
∴
1
0,2
3
0
a
b
，
∴
3
1,
2
a
b
，
∴原式
3
11
3
1
2
2
．
17．（24-25 八年级上·重庆·期中）化简，再求值：
2
3
3
2
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
，其中x ，
10 / 22
y 满足
2
2
1
1
0
x
x
y
．
【答案】
2
2
4
5
x
y
xy
，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，完全平方公式，算术平方根的非负性，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．先根据多项式乘多项式、完全平方公式进行展开，再合并同类项得
2
2
4
5
x
y
xy
，
然后整理
2
2
1
1
0
x
x
y
得
2
1
1
0
x
y
，故
1,
1
x
y
，然后代入
2
2
4
5
x
y
xy
进行计算，
即可作答．
【详解】解：
2
3
3
2
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
9
2
4
4
3
6
x
y
x
xy
y
x
xy
y
2
2
2
2
2
2
9
2
8
8
3
3
18
x
y
x
xy
y
x
xy
y
2
2
2
2
2
2
9
2
8
8
3
3
18
x
y
x
xy
y
x
xy
y
2
2
4
5
x
y
xy
，
∵
2
2
1
1
0
x
x
y
，
∴
2
1
1
0
x
y
，
∴
1,
1
x
y
，
∴
2
2
2
2
4
5
4
1
1
5
1
1
2
x
y
xy
．
18．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
2
2
2
4
xy
xy
x y
xy
，其中
1
x ，
1
2
y
．
【答案】xy
，
1
2
【分析】本题考查了整式的混合运算- 化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，再把x
y
、的值代入到
化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
2
2
2
2
4
2
4
x y
x y
xy
2
2
x y
xy
xy
，
∵
1
x ，
1
2
y
，
∴原式
1
1
1 2
2
．
题型五用科学记数法表示数的除法
19．（22-23 七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为
20
1.35 10
´
立方米，地球的体积约为
21
1.08 10
´
立方米，
地球体积约是火星体积的
倍．
11 / 22
【答案】8
【分析】根据整式除法法则进行计算即可．
【详解】解：(
) (
)
2
20
1
1.35 10
8
1.08 10
´
复
=
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键．
20．（22-23 七年级下·山东·期中）计算：
6
3
3 10
5 10
．
【答案】
2
6 10
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示．
【详解】
6
3
3 10
5 10
，
6
3
3 5
10
10
，
3
0.6 10
，
2
6 10
，
故答案为：
2
6 10
．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键．
21．（22-23 七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为
5
3.84 10
千米，一架飞机速度为
2
8 10
千米/时，
若坐飞机飞行这么远的距离需
小时．（结果用科学记数法表示）
【答案】
2
4.8 10
【分析】根据时间路程速度，即可求解．
【详解】解：由题意得：
飞机飞行时间为：
5
2
2
3.84 10
4.8 10
h
8 10
，
故答案为：
2
4.8 10
．
【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键．
22．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为
2
3.6 10
米，宽为
2
3 10
米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种60cm
60cm
正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
【答案】(1)
5
2
1.08 10 m
(2)
5
3 10
块
【分析】(1)根据面积公式，单项式乘以单项式法则计算即可．
(2)根据总面积除以单块大理石的面积计算即可．
【详解】（1）根据题意，得
2
2
4
5
3.6 10
3 10
10.8 10
1.08 10
S
（
2
m ）．
答：广场的面积为
5
1.08 10
2
m ．
12 / 22
（2）∵单块大理石的面积是
2
60cm 60cm=0.6m 0.6m=0.36m
，
∴
5
5
1.08 10
0.36
3 10
．
答：需要
5
3 10
块大理石地砖．
【点睛】本题考查了整式的除法与乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型六整式除法的应用
23．（24-25 八年级上·山西吕梁·阶段练习）在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数
据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙
方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加
密规则如图所示，当发送方发出
4
a ，
3
b
，求解密后m ，n 的值．
【答案】
48
m
，
5
n
．
【分析】本题考查了整式的除法运算，涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题
的关键；分别按单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则计算，再代入求值即可．
【详解】解：由题意可知，
2
4
3
2
m
a b
b
a b
，
2
2
3
4
2
2
n
a b
a
a
2
3
2
4
2
4
a b
a
a
2
2
3
2
4
4
2
4
a b
a
a
a
1
2
b
a
；
将
4
a ，
3
b
代入，得
2
2
4
3
48
m
a b
，
1
2
n
b
a
1
3
( 4)
5
2
；
∴
48
m
，
5
n
．
24．（23-24 八年级上·全国·课堂例题）某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为
2
3
9 10 kg m
．又
知铝合金的密度约为
3
3
2.7 10 kg m
，求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍．
【答案】铝合金的密度是这种材料密度的3 倍
【分析】本题考查了整式的除法运用，用铝的密度除以这种材料的密度列式计算即可，掌握整式的除法的
运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
3
2
2.7 10
9 10
13 / 22
3
2
2.7
9
10
10
0.3 10
3
．
答：铝合金的密度是这种材料密度的3 倍．
25．（22-23 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图
2 中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子( 结果要化简) ；并计算出
当
20cm
h
，
40cm
H
时所需杯子的数目．
【答案】1
2
2 h
H
，90个
【分析】本题考查列代数式，代数式求值，利用圆柱体的容积等于底面积乘以高，以及杯子的数量等于瓶
子的容积除以杯子的容积，列出代数式，再将
20cm
h
，
40cm
H
代入，求值即可．掌握的列出代数式是
解题的关键．
【详解】解：由题意，得
2
2
2
1
1
[
)
(
)
8
2
4
a
h
a
H
a
2
2
2
1
1
4
2
a
h
a
H
a
2
2
2
2
1
1
1
4
2
2
a
h
a
a
H
a
1
2
2 h
H
．
当
20
h
，
40
H
时，
原式
10
80
90(
个) ．
14 / 22
一、单选题
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（
）
A．
2
3
5
a
a
a
B．
2
2
2
2
a
a
a
C．
3
2
5
a
a
D．
5
3
2
6
3
2
a
a
a
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂
乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】A．
2
a ，
3
a 不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B．
2
2
4
a
a
a
，故该选项错误；
C．
3
2
6
a
a
，故该选项错误；
D．
5
3
2
6
3
2
a
a
a
，故该选项正确；
故选：D．
15 / 22
2．（24-25 八年级上·山西晋城·期末）下列运算正确的是（
）
A．
3
5
15
a
a
a
B．
2
2
2
ab
a b
C．
3
2
5
a
a
D．6
2
3
a
a
a
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，熟知整式的运算公式是解题的关键；根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂
的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：A.
3
5
8
a
a
a
，故该选项不正确，不符合题意；
B.
2
2
2
ab
a b
，故该选项正确，符合题意；
C.
3
2
6
a
a
，故该选项不正确，不符合题意；
D. 6
2
3
a
a
，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25 八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬
帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（
）
A．224
B．220
C．198
D．154
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数
的平方差．
设两个连续偶数为2k 和2
2
k
（k 为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可．
【详解】解：设两个连续偶数为2k 和2
2
k
（k 为正整数），
∴
2
2
2
2
2
2
2
4
8
4
4
8
4
k
k
k
k
k
k
，
若8
4
224
k
，解得
55
2
k
，
∵k 为正整数，
∴A 选项不合题意；
若8
4
220
k
，解得
27
k
，
∵k 为正整数，
∴B 选项符合题意；
若8
4
198
k
，解得
97
4
k
，
∵k 为正整数，
∴C 选项不合题意；
若8
4
154
k
，解得
75
4
k =
，
∵k 为正整数，
∴D 选项不合题意；
16 / 22
故选：B．
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）计算
2
3
3
6
2
x y
x
x
正确的是（
）
A．
3
3
6
2 xy
x
B．
3
3
3
2 xy
x
C．
2
3
3
2 xy
x
D．
2
3
3
2 xy
x
【答案】D
【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
【详解】
解：
2
3
3
6
2
x y
x
x
2
3
3
2
6
2
x y
x
x
x
2
3
3
2 xy
x
；
故选：D．
5．（24-25 八年级上·山西朔州·期中）已知
4
3
6
2
x y
xy
★
，则“★”所表示的单项式是（
）
A．
5
5
12x y
B．
3
3x y
C．
3
2
3x y
D．
3
4x y
【答案】C
【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握此运算法则是关键；由乘除法的关系得
4
3
6
(2
)
x y
xy
★
，利
用单项式除以单项式的法则进行即可．
【详解】解：由题意得：
4
3
3
2
6
(2
)
3
x y
xy
x y
★
；
故选：C．
6．（24-25 八年级上·福建福州·期末）长方形的面积是
2
12
6
a
ab
，若一边为2a ，则另一边为（
）
A．6
3
a
b
B．6
3
a
b
C．3
6
a
b
D．3
6
a
b
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，长方形面积等于相邻两边的乘积，据此列式求解即可．
【详解】解：
2
12
6
2
6
3
a
ab
a
a
b
，
∴另一边为6
3
a
b
，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部
分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为
2 a
b
，则宽为（
）
17 / 22
A．
1
2 a
b
B．a
b
C．
1
2 a
b
D．a
b
【答案】C
【分析】本题考查了整式除法的应用．用长方形的面积除以长可得．
【详解】解：宽为：
2
2
2
a
ab
ab
b
a
b
2
2
a
b
a
b
1
2 a
b
．
故选：C．
8．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（
）
（1）
3
2
5
3
2
6
x
x
x
（2）
3
2
4
2
2
a b
a b
a
（3）
2
(
2 )
2
a
a
b
a
ab
（4）
2
2
3
3
(2
3 ) 4
6
9
8
27
x
y
x
xy
y
x
y
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行
判断即可．
【详解】解：
3
2
5
3
2
6
x
x
x
，原选项正确；
3
2
4
2
2
a b
a b
a
，原选项正确；
2
(
2 )
2
a
a
b
a
ab
，原选项错误；
2
2
3
3
(2
3 ) 4
6
9
8
27
x
y
x
xy
y
x
y
，原选项错误；
故选B．
9．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为
2
2
6
4
ab
a b
，它的长为2ab ，则它的宽为（
）
A．
2
3
2
b
a
B．
2
3
2
b
a
C．
2
3
2
b
a
D．3
2
b
a
【答案】D
【分析】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则
计算得出答案．
【详解】解：
一个长方形的面积为
2
2
6
4
ab
a b
，长为2ab ，
长方形的宽为：
2
2
6
4
2
3
2
ab
a b
ab
b
a
．
18 / 22
故选：D．
10．（24-25 八年级上·福建泉州·阶段练习）对于任意正整数n，按流程图的计算方式，得到的结果（
）
2
n
n
n
n
平方
结果
A．随n 的变化而变化
B．不变，总是0
C．不变，总是1
D．不变，总是2
【答案】D
【分析】本题考查了整式的混合运算．根据计算程序列出算式化简，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
．
得到的结果是不变，总是2．
故选：D．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·吉林·期中）若
2
3
2
8
x
x y
，则□内应填的是
．
【答案】2xy / 2yx
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，根据题意只需要计算出
2
3
8
2
x y
x
的结果即
可得到答案．
【详解】解：
2
3
3
2
8
2
=8
4
2
x y
x
x y
x
xy
，
故答案为：2xy ．
12．（24-25 八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为
2
4
a
a
，若这个长方形的宽为a ，则长为
．
【答案】
4
a
/4
a
【分析】本题考查的是多项式除以单项式的应用，本题利用长方形的面积除以宽即可得到长方形的长．
【详解】解：长方形的长为：
2
4
4
a
a
a
a
；
故答案为：
4
a +
13．（24-25 八年级上·甘肃张掖·阶段练习）小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式
作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为
2
2x y
．若小米报的整式是
6
4
4x y ，则小花应报的整式
是
．
【答案】
4
3
2x y
【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键．根据被除式、
除式和商的关系列出代数式，再利用整式除法运算法则求解即可．
【详解】解：根据题意，小花报的整式为
6
4
2
4
2
x y
x y
19 / 22
4
3
2x y
，
故答案为：
4
3
2x y
．
14．（24-25 八年级上·内蒙古通辽·期末）化简
2
2
2
2
2
2
mn
m n
mn
．
【答案】
4
mn
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先根据完全平方公式展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
mn
m n
mn
2
2
2
2
4
4
2
4
m n
mn
m n
mn
2
2
2
2
4
4
2
4
m n
mn
m n
mn
2
2
4
m n
mn
mn
4
mn
，
故答案为：
4
mn
．
15．（24-25 八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些A 类、B 类、C 类卡片，其中
,
A B 两类卡片
都是正方形，C 类卡片是长方形．要拼出一个宽为
2
3
a
b
、长为
7
2
a
b
的大长方形，小明需要准备C 类
卡片
张．
【答案】25
【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以乘以多项式，单项式除以单项式，正确理解题意是解题
的关键．先计算大长方形的面积为
2
2
14
25
6
a
ab
b
，而卡片C 的面积为ab ，即可确定需要25 张卡片C ．
【详解】解：
2
2
7
2
14
2
25
6
3
a
b
b
a
a
b
a
b
，
而卡片C 的面积为ab ，
∴25
25
ab
ab
，
∴小明需要准备C 类卡片25 张，
故答案为：25．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：
2
(
)
2(
)
m
n
m
n n
．其中
2
m
，
3
n
．
【答案】
2
2
3
m
n
，13．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，乘法公式及实数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相
20 / 22
关知识进行求解．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则计算，得出最简结果，再代入求值即
可．
【详解】解：
2
(
)
2(
)
m
n
m
n n
2
2
2
2
2
2
m
mn
n
mn
n
2
2
3
m
n
．
当
2
m
，
3
n
时，原式
2
2
2
3 ( 3)
13
．
17．（24-25 八年级上·广东广州·期中）计算：
(1)
2
3
4
(
)
x y
xy
；
(2)
2
24
6
x y
xy
．
【答案】(1)
5
4
4x y
(2)4x
【分析】此题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式运算，解题的关键是掌握以上运算
法则．
（1）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；
（2）根据单项式除以单项式运算法则求解即可．
【详解】（1）
2
3
4
(
)
x y
xy
3
3
2
4x y
x y
5
4
4x y
；
（2）
2
24
6
x y
xy
4x
．
18．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
1
5
1
3
2
3
2
x
x x
x
x
，其中
1
9
x
．
【答案】9
5
x
，4
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后
合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
2
2
1
5
1
3
2
3
2
x
x x
x
x
2
2
2
4
4
1
5
5
9
4
x
x
x
x
x
2
2
2
4
4
1
5
5
9
4
x
x
x
x
x
9
5
x
．
当
1
9
x
时，原式
1
9
5
1
5
4
9
．
21 / 22
19．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：
2
2
4
2
3
15
10
x y
xy
x y
．
【答案】
7
3
6x y
【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘除，先计算积的乘方，再计算单项式的乘除即可求解，掌握以
上运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
4
2
4
2
9
15
10
x y
xy
x y
4
2
4
2
9
10
15
x y
x y
xy
8
4
90
15
x y
xy
7
3
6x y
= -
．
20．（24-25 八年级上·甘肃张掖·期中）阅读下面的材料：
将边长分别为a ，a
b
，
2
a
b
，
3
a
b
的正方形面积分别记为
1S ，
2S ，
3
S ，
4
S ，则
2
2
2
1
2
2
S
S
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
b
b
a b
．例如：当
1
a ，
3
b
时，
2
1
3
2 3
S
S
．
根据以上材料解答下列问题：
(1)当
1
a ，
3
b
时，
3
2
S
S
_______________，
4
3
S
S
_________________．
(2)当
1
a ，
3
b
时，把边长为a
n b
的正方形面积记作
1
n
S ，其中n 是正整数，从（1）中的计算结果，
请直接写出
1
n
n
S
S
的结果是_______________；
(3)在（2）的条件下，已知
1S
a
，当
1
a ，
3
b
时，令1
2
1
t
S
S
，2
3
2
t
S
S
，
4
3
t
S
S
，…，
1
n
n
n
t
S
S
，
且
1
2
3
50
T
t
t
t
t
，求t 的值．
【答案】(1)9
2 3
，15
2 3
(2)6
3
2 3
n
(3)7500 100 3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，
（1）根据平方差公式整理，再代入可得答案；
（2）结合（1），可得
1
2
(2
1)
n
n
a b
n
b
S
S
，再代入即可；
（3）将原式化为
51
1
S
S
，再代入数值计算．
【详解】（1）解：
2
2
3
2
2
2
3
S
S
a
b
a
b
a b
b
，
2
2
4
3
3
2
2
5
S
S
a
b
a
b
a b
b
，
当
1
a ，
3
b
时，
3
2
9
2 3
S
S
，
22 / 22
4
3
15
2 3
S
S
，
答案为：9
2 3
，15
2 3
；
（2）解：
1
2
(2
1)
n
n
a b
n
b
S
S
，
当
1,
3
a
b
时，
原式
3 2
1
2 3
n
6
3
2 3
n
，
答案为：6
3
2 3
n
；
（3）解：当
1
a ，
3
b
时，
1
2
3
50
T
t
t
t
t
2
1
3
2
4
3
51
50
S
S
S
S
S
S
S
S
51
1
S
S
，
2
1 50 3
1
7500 100 3
．
