文档文本内容
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第07 讲有理数的乘法与除法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两个有理数的乘法运算
题型2 多个有理数的乘法运算
题型3 倒数
题型4 有理数乘法运算律
题型5 有理数乘法的实际应用
题型6 有理数的除法运算
题型7 有理数的乘除混合运算
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
乘法法则、符号法则、
倒数、除法法则、转化、
奇负偶正。
1. 掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正），
并能准确计算。
2. 理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数（0 除外），掌握乘法运算律
（交换、结合、分配）。
3. 掌握有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法
统一为乘法。
4. 能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨
性。
学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。
学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以
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它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0 相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1 的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0 没有倒数；②倒数等于它本身的数有1 和-1.
【易错提醒】
有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。注意：多
个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。
即时即练1.2026 的倒数是
．
2.计算：
(1)
8
2
；
(2) 2
3
3
2
．
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3.计算．
(1)
24
16
4
0
13
7
3
；
(2)
4
1234
25
；
(3)
7
49
16
8
；
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：ab
ba
；（2）乘法结合律：(
)
(
)
ab c
a bc
；（3）乘法分配律：(
)
a b
c
ab
ac
．
【易错提醒】
有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律a(b+c)=ab+ac 且可反向使用。
括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。
即时即练1.下列运算中用的运算律是（）
1
3
1
3
1
3
1
3
3 8
3 8
24
24
24
4 18
14
6
4
6
4
6
4
6
4
．
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．分配律及加法结合律
2.计算：
3
7
5
24
4
12
8
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b 同号；
（4）若ab＜0，则a、b 异号；（5）若ab = 0，则a、b 中至少有一个数为0.
【易错提醒】
乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：**奇数个负因数为负，偶数个为正
**。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0 时积为0，无需再判断符号。
即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是（
）
A．
1
1
6
3
4
B．
1
2
1
6
5
5
3
2
C．
1
3
7
0
2
D．
1
4
1
9
7
8
7
3
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2.对于
( 3)
3
3
3
m
x
个
相乘
，若
2025
m
，则其结果为（
）
A．正数
B．负数
C．0
D．不能确定
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0 除以任何不为0 的数，都得0.
【易错提醒】
有理数除法易错警示：除以一个不为0 的数等于乘它的倒数。即a ÷ b = a ×
ͳܾ(b ≠0)。同号得正，异号得负。
注意：0 不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。
即时即练1.计算：
(1)
60
12
；
(2)
1
36
3
；
(3)
0.75
0.25
；
(4)
1
6
6
．
2.计算：
(1)0
( 2)
；
(2) ( 315)
( 7)
；
(3)
33
11
5
；
(4)( 0.75)
( 0.25)
．
题型1 两个有理数的乘法运算
【例1】计算：
(1)
2
8
3
；
(2)
2
21
7
；
(3)
2
288
0
5
；
(4)
16
25
；
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(5)
2
0.36
9
；
(6)
2
15
1 3
．
【例2】计算：
(1)
8
0.125
；
(2) 4
25
5
6
；
(3)
1
8
4
9
；
(4)
8
21
7
8
．
【技巧归纳】
两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。小数乘法化为分数
或整数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。
【变式1-1】计算：
(1)
4.5
0.2
；
(2)
6
5
；
(3)
1.25
4
；
(4)
2
4
．
【变式1-2】计算：
(1)7
( 9)
；
(2)( 15) ( 3)
；
(3)0 ( 3.5)
；
(4)
8
15
5
4
；
(5) 2
( 1.2)
3
；
(6)
1
| 5 |
15
．
题型2 多个有理数的乘法运算
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【例3】计算：1
1
1
2
( 6)
2
3
．
【例4】计算：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
【技巧归纳】
多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0 则结果为0。运用乘法交
换律、结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。
【变式2-1】计算：
(1) 1
1
1
24
8
3
6
；
(2)
2
2
1
5
13
0.34
13
0.34
3
7
3
7
；
(3)
5
4
1
2
3
1
1
6
5
4
7
．
【变式2-2】计算：
(1)
35 12.5
8
；
(2)
3
4
8
0
0.25
32
5
；
(3)
8
5
3
1
9
22
8
；
(4)
3
1
7
60
5
2
10
．
题型3 倒数
【例5】
1
3
的倒数是
．
【例6】
1
2 2 的倒数是
．
【技巧归纳】
乘积为1 的两数互为倒数。求倒数：整数如5 倒数为1/5，分数a/b 倒数为b/a（a≠0）。小数先化成分数。
正数倒数为正，负数倒数为负，0 没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。
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【变式3-1】
2
13
的倒数是
；
2
7
的相反数是
；
4
的绝对值是
．
【变式3-2】
2
17
的倒数是_________，相反数是_________，绝对值是_________．
题型4 有理数乘法运算律
【例7】用简便方法计算：
(1)
3
1.27
0.75
0.27
4
；
(2)
8
99
18
9
；
(3)
23
157
156
．
【例8】计算：能用简算的用简算
(1) 1
5
5
1
1
5
1
2
2
7
7
2
2
7
；
(2)
23
99
18
24
．
【技巧归纳】
乘法交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆
成整数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。
【变式4-1】计算：
(1)
11
11
22
5
11
3
5
5
5
(2)
1
3
1
3
1
1
24
24
8
6
4
5
【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
；
例2：
16 233 17 233
16 17
233
233
．
(1)999 12
；
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(2)
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
．
题型5 有理数乘法的实际应用
【例9】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他
这天下午行车里程( 单位：千米) 如下：
14
，3
，7
，3
，11
，4
，3
，11
，6
，7
，9
(1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？
(2)司机这天下午共行车多少千米？
(3)若每千米耗油0.2 升，则这天下午司机用了多少升油？
【例10】某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量（单
位：吨）
3
4
1
2
5
进出次数
2
1
3
3
2
(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由：
(2)根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5 元，运出每吨原料费用8 元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6 元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
【技巧归纳】
实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方
向：正数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。
【变式5-1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合
作社．这个合作社计划每天生产200 件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计
划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量
6
2
5
13
11
17
10
(1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件；
(2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？
(3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60 元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15 元；
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少生产一件扣20 元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？
【变式5-2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7 筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐25kg 为标
准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：kg ）．
序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
图片
正（负）
数
2.1
2.2
1.0
0.4
1.2
2.5
3.4
(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？
(2)如果每千克白萝卜按1.2 元出售，一共能卖多少钱？
题型6 有理数的除法运算
【例11】计算：
(1)
1
1
2
1
3
6
；
(2)
3
0
5
；
(3)
3
3
2.25
8
．
【例12】计算：
(1)
60
12
；
(2)
1
36
3
；
(3)
0.75
0.25
；
(4)
1
6
6
．
【技巧归纳】
除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。先定符号（同号得正，异号得负），
再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0 除以任何非0 数得0，0 不能作除数。
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【变式6-1】计算：
(1)
1404
2
7
7
；
(2)
8
1.25
；
(3)
4
24
( 8)
5
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
．
【变式6-2】计算：
(1)0
( 0.12)
；
(2)
1
( 0.5)
(
)
4
；
(3)( 378)
( 7)
( 9)
；
(4)
5
( 0.75)
( 0.3)
4
．
题型7 有理数的乘除混合运算
【例13】计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
(2)
1
1
5
5
5
5
【例14】计算：
(1)
8
1
2
5
4
3
；
(2)
15
10
15
10
8
3
4
．
【技巧归纳】
统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化
分数，带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。
【变式7-1】计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
；
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(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
．
【变式7-2】计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
；
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
．
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
【例15】如果对于任何有理数a，b 定义运算“
”如下：
1
b
a
2
b
a
△
，如
1
3
1
2
3
2
2
3
△
．
(1) 1 2
；
(2)求( 2 7) 4
的值．
【例16】我们规定一种新定义：
2
2
b
a
b
ab
※
，其中符号“※”是我们规定的一种新定义，如
2
3
2
2
3
2
12
1
11
2
※
，根据新定义计算：
(1)
5
4
※ ；
(2)
3
6
※
．
【技巧归纳】
先理解新定义运算规则（如a⊗b 表示a 除以b 的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算
顺序，括号优先。按乘除法则计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正
确。
【变式8-1】定义一种新的运算：
2
*
x
y
x
y
x
，如：
3
2 1
1
3*1
3
3
，
求：
(1)
3*
4
；
(2)
2*4 *
2
．
【变式8-2】若对于任意两数
,
1
1, 1
1
a b
a
b
，定义一种运算“”，使得
1
a
b
a b
ab
．
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(1)求1
1
2
3
的值；
(2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由．
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，
0
a
；
当
0
a
时，a
a
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
3
a
时，则
a
a ___________；当
2
a 时，则
a
a ___________．
(2)已知a
b
，是有理数，当
0
ab
时，试求
a
b
a
b
的值．
【例18】阅读下列材料：
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
，
，
，
，
，
，
即当
0
x
时，
1
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
x
x
x
x
．
用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，求
a
b
a
b
的值；
(2)已知a，b，c 是有理数，当
0
abc
时，求
a
b
c
a
b
c
的值．
【技巧归纳】
含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法则
计算。注意0 的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0，分别化简，避免漏掉负数情况。
【变式9-1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道
,
0
0,
0
,
0
x x
x
x
x x
，所以当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
．
请用上面的结论解决下列问题：
(1)已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，|
|
|
|
a
b
a
b
．
(2)已知a ，b ，c 是有理数，当
0
abc
时，|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
．
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(3)已知a ，b ，c ，d 是有理数，当|
|
1
abcd
abcd 时，|
|
|
|
| |
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
的最大值是．
【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思
想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
一、单选题
1．若a 的倒数是
2
3
，那么a 是（
）
A．2
3
B．3
2
C．
3
2
D．
2
3
2．下列各式运用运算律不正确的是（
）
A．
4
8
8
4
B．
3
2
5
3
2
5
C．
1
1
1
1
1
1
12
(
)
12
12
12
3
4
2
3
4
2
D．
1
1
1
1
6
6
6
2
3
2
3
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3．在数4,2, 3,5
中任取2 个数相乘，其中最小的积是a ，最大的积是b ，则a
b 的值是（
）
A．
2
3
B．
5
3
C．
5
4
D．
1
3
4．如图，数轴上的两点A、B 表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（
）
A．a
b
B．a
b
C．
0
ab
D．
0
a
b
5．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b=
0
0
a
b b
a
b b
，则
1
2
☆
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．2
D．2
二、填空题
6．若
4
8
□
，则W 内的数字是________．
7．3
的倒数是____,
1
2 5
的相反数是____，
6
____．
8．对于有理数a 、b ，定义运算“※”如下：
ab
a
b
a
b
※
（其中
0
a
b
），则2 3
※
______
9．如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a ，b ，有下列结论：①
0
a
b
；②
0
a
b
；③
1
1
0
b
a
；
④
1
0
1
b
a
，其中正确的有_______．
10．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，2
，3，4
，5，6
，7 ，8
分别填入图中的圆圈内，
使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，若他已经将1，2
，6
，7 这四个数填入了圆圈，则图
中m
n
的值为_____
三、解答题
11．计算：
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(1) 2
1
3
2
3
5
2
4
；
(2)
1
8
9
9
；
(3)
1
2
2
1.2
1
7
5
．
12．对于有理数a ，b ，定义了一种“”的新运算，具体为
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，计算：①
2
1
；
②
4
3
．
13．在计算
2
4
5
5
时，小明的解题过程如下：
解：原式
2
4
5
5
4
2
2
判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
14．某校学生食堂要购进20 袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记
作负数，称后的记录(单位：千克)如下：
每袋与标准质量的差
3
2
1.5
0
2
2.5
3
袋数
1
3
4
3
3
4
2
(1)求这20 袋土豆的平均质量是多少？
(2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20 袋土豆共需多少钱？
15．课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
故原式
1
17
．
请认真阅读，解答下列问题：
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(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
1
1
2
5
54
2
3
6
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
16．计算
(1)
1991
1
1997
19991999
4
1999
(2)
10
5
3
2
2
2 8 1
1
11
9
11
9
5
.
(3) 1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
(4)
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4 5
12 13 14
17．我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，a
a
．
(1)已知a，b，c 三个数在数轴上的对应的点如图所示：
用“>”、“<”或“=”填空，
a
b
______0，b
c
______0，a
c
______0，
(2)化简：a
b
b
c
a
c
．
(3)思维扩展：由“当
0
a
时，a
a
；
0
a
时，a
a
”可以推出：
当
0
a
时，
1
a
a
a
a
；当
0
a
时，
1
a
a
a
a
．
应用这个结论，解决下列问题：
已知x，y，z 是有理数，
0
x
y
z
，
0
xyz
，化简：x
y
z
x
y
z
______．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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满
或
未
通
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请
至
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