文档文本内容
1 / 42
学科网（北京）股份有限公司
第07 讲有理数的乘法与除法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 两个有理数的乘法运算
题型2 多个有理数的乘法运算
题型3 倒数
题型4 有理数乘法运算律
题型5 有理数乘法的实际应用
题型6 有理数的除法运算
题型7 有理数的乘除混合运算
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
乘法法则、符号法则、
倒数、除法法则、转化、
奇负偶正。
1. 掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正），
并能准确计算。
2. 理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数（0 除外），掌握乘法运算律
（交换、结合、分配）。
3. 掌握有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法
统一为乘法。
4. 能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨
性。
学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。
学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以
2 / 42
学科网（北京）股份有限公司
它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0 相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1 的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0 没有倒数；②倒数等于它本身的数有1 和-1.
【易错提醒】
有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。注意：多
个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。
即时即练1.2026 的倒数是
．
【答案】
ͳ
ʹ香ʹ】
【分析】本题主要考查了倒数是定义，根据乘积为1 的两个数互为倒数，进行求解即可．
3 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：2026 的倒数是
ͳ
ʹ香ʹ】，
故答案为：
ͳ
ʹ香ʹ】．
2.计算：
(1)
8
2
；
(2) 2
3
3
2
．
【答案】(1) 16
(2) 1
【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
8
2
8 2
16
；
（2）解：2
3
3
2
2
3
3
2
1
．
3.计算．
(1)
24
16
4
0
13
7
3
；
(2)
4
1234
25
；
(3)
7
49
16
8
；
【答案】(1)0
(2) 123400
(3) 798
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键．
（1）任何数与0 相乘都等于0，所以结果为0．
（2）利用乘法交换律先算4
与25
的积，再乘1234
．
（3）将
7
49 8 化为
1
50
8
后与16
相乘并约分计算．
【详解】（1）解：原式
0
；
（2）解：原式
4
25
1234
100
1234
123400
；
（3）解：原式
1
50
16
8
1
50 16
16
8
800
2
798
．
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：ab
ba
；（2）乘法结合律：(
)
(
)
ab c
a bc
；（3）乘法分配律：(
)
a b
c
ab
ac
．
【易错提醒】
4 / 42
学科网（北京）股份有限公司
有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律a(b+c)=ab+ac 且可反向使用。
括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。
即时即练1.下列运算中用的运算律是（）
1
3
1
3
1
3
1
3
3 8
3 8
24
24
24
4 18
14
6
4
6
4
6
4
6
4
．
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．分配律及加法结合律
【答案】A
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键．
根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案．
【详解】解：1
3
3 8
6
4
1
3
3 8
6
4
（乘法结合律）
1
3
24
6
4
1
3
24
24
6
4
（乘法分配律）
4 18
14
∴运用的运算律为乘法结合律及分配律，
故选：A．
2.计算：
3
7
5
24
4
12
8
【答案】47
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
利用有理数的乘法分配律求解即可．
【详解】
3
7
5
24
4
12
8
3
7
5
24
24
24
4
12
8
5 / 42
学科网（北京）股份有限公司
18 14
15
47
．
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b 同号；
（4）若ab＜0，则a、b 异号；（5）若ab = 0，则a、b 中至少有一个数为0.
【易错提醒】
乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：**奇数个负因数为负，偶数个为正
**。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0 时积为0，无需再判断符号。
即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是（
）
A．
1
1
6
3
4
B．
1
2
1
6
5
5
3
2
C．
1
3
7
0
2
D．
1
4
1
9
7
8
7
3
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，
奇负偶正，进行判断即可．
【详解】解：A、有2 个负号，积的符号为正，不符合题意；
B、有4 个负号，积的符号为正，不符合题意；
C、积为0，不符合题意；
D、有3 个负号，积的符号为负，符合题意；
故选D．
2.对于
( 3)
3
3
3
m
x
个
相乘
，若
2025
m
，则其结果为（
）
A．正数
B．负数
C．0
D．不能确定
【答案】B
【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键．
根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断．
【详解】解：由题意m 个3
相乘，当
2025
m
时，有奇数个负数相乘，所以结果为负．
故选：B．
知识点04 有理数除法法则
6 / 42
学科网（北京）股份有限公司
◆除以一个不为0 的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0 除以任何不为0 的数，都得0.
【易错提醒】
有理数除法易错警示：除以一个不为0 的数等于乘它的倒数。即a ÷ b = a ×
ͳܾ(b ≠0)。同号得正，异号得负。
注意：0 不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。
即时即练1.计算：
(1)
60
12
；
(2)
1
36
3
；
(3)
0.75
0.25
；
(4)
1
6
6
．
【答案】(1)5
(2)
108
(3) 3
(4)36
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
【详解】（1）解：原式
60
12
5
；
（2）解：原式
36
3
108
；
（3）解：原式
0.75
0.25
3
；
（4）解：原式
6
6
36
．
2.计算：
(1)0
( 2)
；
(2) ( 315)
( 7)
；
(3)
33
11
5
；
(4)( 0.75)
( 0.25)
．
【答案】(1)0
(2) 45
(3)
3
5
-
(4)3
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值．
7 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：0
( 2)
0
；
（2）解：( 315)
( 7)
(315
7)
45
；
（3）解：
33
33
1
3
11
5
5
11
5
；
（4）解：( 0.75)
( 0.25)
(0.75
0.25)
3
．
题型1 两个有理数的乘法运算
【例1】计算：
(1)
2
8
3
；
(2)
2
21
7
；
(3)
2
288
0
5
；
(4)
16
25
；
(5)
2
0.36
9
；
(6)
2
15
1 3
．
【答案】(1)
16
3
(2)6
(3)0
(4) 400
(5)0.08
(6) 25
【分析】本题考查了有理数的乘法法则．
（1）根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则计算即可；
（3）根据有理数的乘法法则计算即可；
8 / 42
学科网（北京）股份有限公司
（4）根据有理数的乘法法则计算即可；
（5）根据有理数的乘法法则计算即可；
（6）根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
2
2 8
16
8
3
3
3
；
（2）解：
2
2
21
21
6
7
7
；
（3）解：
2
288
0
0
5
；
（4）解：
16
25
16 25
4 4 25
4 100
400
；
（5）解：
2
2
0.36
0.36
0.04
2
0.08
9
9
；
（6）解：
2
5
15 5
15
1
15
25
3
3
3
．
【例2】计算：
(1)
8
0.125
；
(2) 4
25
5
6
；
(3)
1
8
4
9
；
(4)
8
21
7
8
．
【答案】(1)1
(2)
10
3
(3) 2
9
(4)3
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算
法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
8
0.125
1
；
（2）解：4
25
10
5
6
3
；
（3）解：
1
8
2
4
9
9
；
9 / 42
学科网（北京）股份有限公司
（4）解：
8
21
3
7
8
．
【技巧归纳】
两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0 相乘得0。小数乘法化为分数
或整数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。
【变式1-1】计算：
(1)
4.5
0.2
；
(2)
6
5
；
(3)
1.25
4
；
(4)
2
4
．
【答案】(1) 0.9
(2)30
(3) 5
(4)8
【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键．
根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0 相乘，积仍得0 进行计算即可．
【详解】（1）解：
4.5
0.2
0.9
；
（2）解：
6
5
30
；
（3）解：
1.25
4
5
；
（4）解：
2
4
8
．
【变式1-2】计算：
(1)7
( 9)
；
(2)( 15) ( 3)
；
(3)0 ( 3.5)
；
(4)
8
15
5
4
；
(5) 2
( 1.2)
3
；
(6)
1
| 5 |
15
．
【答案】(1) 63
(2) 45
10 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(3)0
(4) 6
(5) 0.8
(6) 6
【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可；
（2 ）根据有理数的乘法法则计算即可；
（3）根据有理数的乘法法则计算即可；
（4 ）根据有理数的乘法法则计算即可；
（5）根据有理数的乘法法则计算即可；
（6 ）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可；
本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
7 9
63
；
（2）解：原式
15 3
45
；
（3）解：原式
0
；
（4）解：原式
8
15
5
4
6
；
（5）解：原式
2 1.2
3
0.8
；
（6）解：原式
6
5
5
6
．
题型2 多个有理数的乘法运算
【例3】计算：1
1
1
2
( 6)
2
3
．
【答案】21
【分析】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数化成假分
数．
根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案．
【详解】解：1
1
1
2
( 6)
2
3
3
7
=
6
2
3
21
．
【例4】计算：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
11 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【答案】273
【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据有理数的乘法运算进行计算即可．
【详解】解：
1
1
1
1
2
3
24
2
3
4
3
7
13
24
2
3
4
273
．
【技巧归纳】
多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0 则结果为0。运用乘法交
换律、结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。
【变式2-1】计算：
(1) 1
1
1
24
8
3
6
；
(2)
2
2
1
5
13
0.34
13
0.34
3
7
3
7
；
(3)
5
4
1
2
3
1
1
6
5
4
7
．
【答案】(1) 1
(2) 13.34
(3)
81
56
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可
（3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：1
1
1
24
8
3
6
1
1
1
24
24
24
8
3
6
3 8
4
1
；
（2）解：
2
2
1
5
13
0.34
13
0.34
3
7
3
7
2
1
5
2
13
13
0.34
0.34
3
3
7
7
2
1
5
2
13
0.34
3
3
7
7
13 1 0.34 1
13
0.34
13.34
；
（3）解：
5
4
1
2
3
1
1
6
5
4
7
5
9
1
9
3
6
5
4
7
81
56
．
【变式2-2】计算：
12 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(1)
35 12.5
8
；
(2)
3
4
8
0
0.25
32
5
；
(3)
8
5
3
1
9
22
8
；
(4)
3
1
7
60
5
2
10
．
【答案】(1)3500
(2)0
(3)
5
18
(4) 24
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
35 12.5
8
35
12.5
8
35
100
3500
；
（2）解：
3
4
8
0
0.25
32
5
0
（3）解：
8
5
3
1
9
22
8
8
5
11
9
22
8
8
5
11
9
22
8
5
18
（4）解：
3
1
7
60
5
2
10
3
1
7
60
60
60
5
2
10
36
30
42
24
题型3 倒数
【例5】
1
3
的倒数是
．
【答案】3
【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1 的两个数互为倒数，
进行求解即可．
【详解】解：∵
1
3
1
3
，
∴
1
3
的倒数是3
．
故答案为：3
．
【例6】
1
2 2 的倒数是
．
【答案】2
5
13 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键．
先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案．
【详解】解：
1
5
2 2
2
，
∴
1
2 2 的倒数是2
5 ，
故答案为：2
5 ．
【技巧归纳】
乘积为1 的两数互为倒数。求倒数：整数如5 倒数为1/5，分数a/b 倒数为b/a（a≠0）。小数先化成分数。
正数倒数为正，负数倒数为负，0 没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。
【变式3-1】
2
13
的倒数是
；
2
7
的相反数是
；
4
的绝对值是
．
【答案】
3
5
-
5
4
【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理
2
5
13
3
，
2
7
5
5
，
4
4
，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可．
【详解】解：∵
2
5
13
3
，
则
2
13
的倒数是
3
5
-
，
2
7
5
5
∴
2
7
的相反数是5
4
4
，
∴
4
的绝对值是4 ，
故答案为：
5
3
5
4
,
,
【变式3-2】
2
17
的倒数是_________，相反数是_________，绝对值是_________．
【答案】
7
9
9
7
9
7
【分析】本题考查倒数、相反数、绝对值的定义，关键是先将带分数化为假分数，再根据定义计算．
【详解】解：先将带分数
2
17
化为假分数，得
2
9
17
7
．
14 / 42
学科网（北京）股份有限公司
倒数：乘积为1 的两个数互为倒数，因此
9
7
的倒数为
7
9
；
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此
9
7
的相反数为9
7 ；
绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此
9
9
7
7
．
故答案为：
7
9
；9
7 ；9
7 ．
题型4 有理数乘法运算律
【例7】用简便方法计算：
(1)
3
1.27
0.75
0.27
4
；
(2)
8
99
18
9
；
(3)
23
157
156
．
【答案】(1)
3
4
；
(2) 1798
；
(3)
23
23156
．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键．
（1）先将0.75化为3
4 ，再利用乘法分配律计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：
3
3
3
3
3
1.27
0.75
0.27
1.27
0.27
0.27
1.27
4
4
4
4
4
；
（2）
8
1
1
99
18
100
18
100 18
18
1800
2
1798
9
9
9
；
（3）
23
23
23
23
23
157
156
1
156
1
23
156
156
156
156
156
．
【例8】计算：能用简算的用简算
(1) 1
5
5
1
1
5
1
2
2
7
7
2
2
7
；
15 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(2)
23
99
18
24
．
【答案】(1) 5
2
(2)
1
1799 4
【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可；
（2）把原式化为
1
100
18
24
，然后运用乘法分配律解题即可．
【详解】（1）解：1
5
5
1
1
5
1
2
2
7
7
2
2
7
1
5
1
5
1
5
1
2
2
7
2
7
2
7
1
1
1
5
1
2
2
2
2
7
7
5
2
7
5
2
；
（2）解：
23
99
18
24
1
100
18
24
1
100 18
18
24
3
1800
4
1
1799 4
．
【技巧归纳】
乘法交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆
成整数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。
【变式4-1】计算：
(1)
11
11
22
5
11
3
5
5
5
(2)
1
3
1
3
1
1
24
24
8
6
4
5
【答案】(1)0
(2)
29
24
【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键．
（1）利用乘法分配律计算；
（2）利用乘法分配律计算．
【详解】（1）解：
11
11
22
5
11
3
5
5
5
11
11
11
5
11
6
5
5
5
11
5 11 6
5
0
；
（2）解：
1
3
1
3
1
1
24
24
8
6
4
5
25
3
1
3
1
24
24
24
24
8
6
4
5
16 / 42
学科网（北京）股份有限公司
25
1
9
4 18
24
5
25
1
5
24
5
25
1
1
5
24
5
5
5
1
24
29
24
．
【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题．
利用运算律计算：
例1：
98 12
100
2
12
1200
24
1176
；
例2：
16 233 17 233
16 17
233
233
．
(1)999 12
；
(2)
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
．
【答案】(1)11988
(2)99900
【分析】（1）将所求式子变形为
1000 1
12
，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果；
（2）将所求式子变形为
4
1
3
999 118
999
999 18
5
5
5
，再结合乘法运算律计算即可得出结果．
【详解】（1）解：999 12
1000 1
12
12000 12
11988
；
（2）解：
4
3
3
999 118
333
999 18
5
5
5
4
1
3
999 118
999
999 18
5
5
5
4
1
3
118
18
999
5
5
5
118 18
999
99900
．
题型5 有理数乘法的实际应用
【例9】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他
这天下午行车里程( 单位：千米) 如下：
14
，3
，7
，3
，11
，4
，3
，11
，6
，7
，9
(1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？
(2)司机这天下午共行车多少千米？
17 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(3)若每千米耗油0.2 升，则这天下午司机用了多少升油？
【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米；
(2)师傅这天下午共行车78千米；
(3)这天下午师傅用了15.6升油
【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答；
（2）求出所有行车里程的绝对值的和；
（3）将（2）中的结果乘以0.2 即可．
【详解】（1）解：14
3
7
3 11 4
3 11 6
7
9
38
（千米），
答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38 千米；
（2）解：14
3
7
3
11
4
3
11 6
7
9
+ - +
+ - +
+ -
+ - +
+
+ -
+
14
3 7
3 11 4
3 11 6 7
9
78
=
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
=
（千米）
答：师傅这天下午共行车78 千米；
（3）解：78 0.2
15.6
´
=
，
答：这天下午师傅用了15.6升油．
【例10】某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）：
进出数量（单
位：吨）
3
4
1
2
5
进出次数
2
1
3
3
2
(1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由：
(2)根据实际情况，现有两种方案：
方案一：运进每吨原料费用5 元，运出每吨原料费用8 元；
方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6 元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适．
【答案】(1)减少9 吨，见解析
(2)方案二运费少
【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解；
（2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解．
【详解】（1）解：
3
2
4
1
1
3
2
3
5
2
6
4
3
6
10
9
答：这天仓库的原料比原来减少了9 吨；
18 / 42
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：方案一：
4
1
2
3
5
3
2
1
3
5
2
8
4
6
5
6
3
10
8
10
5
19
8
50
152
202
（元），
方案二
3
2
4
1
1
3
2
3
5
2
6
6
4
3
6
10
6
29
6
174
（元）
∵174
202
，
∴方案二运费少，选择方案二比较合适．
【技巧归纳】
实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方
向：正数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。
【变式5-1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合
作社．这个合作社计划每天生产200 件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计
划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量
6
2
5
13
11
17
10
(1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件；
(2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？
(3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60 元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15 元；
少生产一件扣20 元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)195
(2)1408 件
(3)84460 元
【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解．
19 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：200
5
195
（件），
即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷195件，
故答案为：195；
（2）解：
200 7
6
2
5 13 11 17 10
1408
（件），
答：该厂本周生产竹制品和陶瓷1408件；
（3）解：1408 60
84480
（元），
超过的部分奖励总额为：
6 13 17
15
540
（元），
扣款总额为：
2
5 11 10
20
560
（元），
∴84480
540
560
84460
（元），
答：合作社成员这一周的工资总额是84460元．
【变式5-2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7 筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐25kg 为标
准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：kg ）．
序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
图片
正（负）
数
2.1
2.2
1.0
0.4
1.2
2.5
3.4
(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？
(2)如果每千克白萝卜按1.2 元出售，一共能卖多少钱？
【答案】(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9 千克
(2)一共能卖204 元
【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用：
（1）利用超出质量最大减去超出质量最小即可；
（2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上7 筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝
卜的单价解答即可．
熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
2.5
3.4
5.9 kg
，
答：质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9 千克．
（2）解：
25 7
2.1
2.2
1
0.4 1.2
2.5
3.4
1.2
175
5
1.2
20 / 42
学科网（北京）股份有限公司
170 1.2
204
（元），
答：一共能卖204 元．
题型6 有理数的除法运算
【例11】计算：
(1)
1
1
2
1
3
6
；
(2)
3
0
5
；
(3)
3
3
2.25
8
．
【答案】(1) 2
(2)0
(3) 3
2
【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
（1）将除法化为乘法，再计算即可；
（2）根据0 除任何数都等于0，计算即可；
（3）根据有理数除法的运算法则计算即可．
【详解】（1）
1
1
2
1
3
6
7
6
2
3
7
．
（2）
3
0
5
0
．
（3）
3
3
2.25
8
27
4
3
8
9
2
．
【例12】计算：
(1)
60
12
；
(2)
1
36
3
；
(3)
0.75
0.25
；
(4)
1
6
6
．
【答案】(1)5
(2)
108
21 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(3) 3
(4)36
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0 的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
【详解】（1）解：原式
60
12
5
；
（2）解：原式
36
3
108
；
（3）解：原式
0.75
0.25
3
；
（4）解：原式
6
6
36
．
【技巧归纳】
除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。先定符号（同号得正，异号得负），
再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0 除以任何非0 数得0，0 不能作除数。
【变式6-1】计算：
(1)
1404
2
7
7
；
(2)
8
1.25
；
(3)
4
24
( 8)
5
；
(4)
4
1
24
(
)
5
10
．
【答案】(1) 702
(2) 32
5
(3) 31
10
(4) 248
【分析】本题考查有理数的除法运算：
（1）变除法为乘法，再约分化简即可；
（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简；
（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可；
（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可．
22 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：
1404
2
1404
7
702
7
7
7
2
；
（2）解：
5
4
32
8
1.25
8
8
4
5
5
；
（3）解：
4
124
1
31
24
( 8)
5
5
8
10
；
（4）解：
4
1
124
24
10
248
5
10
5
.
【变式6-2】计算：
(1)0
( 0.12)
；
(2)
1
( 0.5)
(
)
4
；
(3)( 378)
( 7)
( 9)
；
(4)
5
( 0.75)
( 0.3)
4
．
【答案】(1)0
(2)2
(3)-6
(4)2
【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可．
【详解】（1）0
( 0.12)
0
；
（2）
1
( 0.5)
(
)
4
1
4
2
2
；
（3）( 378)
( 7)
( 9)
1
1
378
7
9
6
；
（4）
5
( 0.75)
( 0.3)
4
3
4
10
4
5
3
2
．
题型7 有理数的乘除混合运算
【例13】计算：
(1)
1
1
3
1.25
5
2
(2)
1
1
5
5
5
5
【答案】(1)8
(2) 25
23 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：
1
1
3
1.25
5
2
16
5
2
5
4
8
；
（2）解：
1
1
5
5
5
5
1 5
5
5
5
25
．
【例14】计算：
(1)
8
1
2
5
4
3
；
(2)
15
10
15
10
8
3
4
．
【答案】(1)
3
5
-
；
(2) 3
2 ．
【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶
（1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可；
（2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可．
【详解】（1）解：
8
1
2
8
1
3
3
5
4
3
5
4
2
5
；
（2）解：
15
10
15
15
3
4
3
10
10
8
3
4
8
10
15
2
．
【技巧归纳】
统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化
分数，带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。
【变式7-1】计算：
(1)
1
4
81
2
16
4
9
；
(2)
1
1
2
3
1
2
2
3
．
【答案】(1) 1
(2)14
9
【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案；
（2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案．
【详解】（1）解：
1
4
81
2
16
4
9
4
4
1
81 9
9
16
4
4
1
81 9
9
16
1
；
24 / 42
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：
1
1
2
3
1
2
2
3
7
2
2
2
3
3
14
9
【变式7-2】计算：
(1)
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
；
(2)
2
1
5
1
0.8
2
7
4
；
(3)
1
1
1
1
6
1
2
4
4
．
【答案】(1)
1
3
(2) 7
(3)
3
10
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可；
（3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
3
1
3
1
0.75
2
9
4
3
7
3
7
3
9
4
4
3
3
7
1
3
7
4
3
9
4
1
3
9
1
3
；
（2）解：
2
1
5
1
0.8
2
7
4
9
4
9
5
7
5
4
7
4
9
5
9
5
4
7
；
（3）解：
1
1
1
1
6
1
2
4
4
3
25
5
2
4
4
3
4
5
2
25
4
3
10
．
题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题
【例15】如果对于任何有理数a，b 定义运算“
”如下：
1
b
a
2
b
a
△
，如
1
3
1
2
3
2
2
3
△
．
(1) 1 2
；
(2)求( 2 7) 4
的值．
【答案】(1)1
(2)
7
2
【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键．
（1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可．
（2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可．
25 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：
1
2
b
a b
a
，
∴1 2
2
1
2
1 ( 1)
1
；
（2）
1
2
b
a b
a
，
∴2 7
1
7
2
2
1
2
2
7
1
7
，
∴( 2 7) 4
1
4
7
△
4
7
2
7
( 2)
7
2
．
【例16】我们规定一种新定义：
2
2
b
a
b
ab
※
，其中符号“※”是我们规定的一种新定义，如
2
3
2
2
3
2
12
1
11
2
※
，根据新定义计算：
(1)
5
4
※ ；
(2)
3
6
※
．
【答案】(1) 42
(2)39
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据a ※
2
2
b
b
ab
，可以计算出所求式子的值；
（2）根据a ※
2
2
b
b
ab
，可以计算出所求式子的值．
26 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：由题意可得，( 5)
※4
4
2
( 5)
4
2
40
2
42
；
（2）解：由题意可得，( 3)
※(
)
6
6
2
( 3)
( 6)
2
36
3
39
=
．
【技巧归纳】
先理解新定义运算规则（如a⊗b 表示a 除以b 的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算
顺序，括号优先。按乘除法则计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正
确。
【变式8-1】定义一种新的运算：
2
*
x
y
x
y
x
，如：
3
2 1
1
3*1
3
3
，
求：
(1)
3*
4
；
(2)
2*4 *
2
．
【答案】(1)
11
3
(2)
7
3
【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果；
（2）先计算2*4，求得2*4
3
，再计算
3*
2
，即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意得：
3
2
4
11
3*
4
3
3
；
（2）解：由题意得：
2
2
4
2*4 *
2
*
2
2
3
2
2
3*
2
3
7
3
．
【变式8-2】若对于任意两数
,
1
1, 1
1
a b
a
b
，定义一种运算“”，使得
1
a
b
a b
ab
．
(1)求1
1
2
3
的值；
(2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由．
27 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1) 1
5
(2)满足结合律，见解析
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可；
（2）把相应的值进行结合律运算，再比较即可．
【详解】（1）解：1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
1
2
3
1
6
5
6
1
5
；
（2）解：已知
1
a
b
a b
ab
，令
1
a
b
ab
m
a b
，则
a b
c
m c
．
将
1
a
b
ab
m
，b
c
代入运算规则
1
m
c
m c
mc
可得：
1
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
ab
a
b
c
a
b
c
abc
ab
ab
a
b
ab
c a
b
ab
ac
bc
c
ab
ab
1
b
c
b c
bc
，令
1
b
c
n
b c
bc
，则
a
b c
a n
．
将a
a
，
1
b
c
b
n
bc
代入运算规则
1
a
n
a n
an
可得：
1
1
1
1
1
1
1
1
a
bc
b
c
b
c
a
a
abc
b
c
bc
bc
b
c
bc
a b
c
bc
ab
ac
a
bc
bc
因为
1
a
b
c
abc
a b
c
ab
ac
bc
，
1
a
b
c
abc
a
b c
ab
ac
bc
，所以
a b
c
a
b c
，运算“” 满足结合
律．
题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简a 时，可以这样分类：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，
0
a
；
28 / 42
学科网（北京）股份有限公司
当
0
a
时，a
a
．请用这种方法解决下列问题．
(1)当
3
a
时，则
a
a ___________；当
2
a 时，则
a
a ___________．
(2)已知a
b
，是有理数，当
0
ab
时，试求
a
b
a
b
的值．
【答案】(1)1，1
(2)2 或2
【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题
的关键；
（1）先化简绝对值，再计算除法即可；
（2）由
0
ab
可得
0,
0
a
b
或
0,
0
a
b
，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：当
3
a
时，则
3
1
3
a
a
；
当
2
a 时，则
2
2
1
2
2
a
a
，
故答案为：1，1
．
（2）解：当
0
ab
，则
0,
0
a
b
或
0,
0
a
b
，
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；
当
0,
0
a
b
时，
1 1
2
a
b
a
b
a
b
a
b
；
综上，
a
b
a
b
的值是2 或2
．
【例18】阅读下列材料：
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
，
，
，
，
，
，
即当
0
x
时，
1
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
x
x
x
x
．
用这个结论可以解决下面问题：
(1)已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，求
a
b
a
b
的值；
(2)已知a，b，c 是有理数，当
0
abc
时，求
a
b
c
a
b
c
的值．
【答案】(1) 2
或0
(2) 1
或3
【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化
29 / 42
学科网（北京）股份有限公司
简是解题的关键．
（1）根据题意，分类讨论：①
0
a
，
0
b
，②
0
a
，
0
b
，进行计算即可得；
（2）根据题意可分
0
a
，
0
b
，
0
c
和
0
a
，
0
b
，
0
c
，和a，b，c 两负一正和a，b，c 两正一负，
四种情形求解即可．
【详解】（1）解：已知a，b 是有理数，当
0
ab
时，
①若
0
a
，
0
b
，则
1 1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
；
②若
0
a
，
0
b
，则
1 1
2
|
|
|
|
a
b
a
b
；
③若a，b 异号，则|
1 1
0
|
|
|
|
a
b
a
b
．
故
a
b
a
b
的值为2
或0；
（2）解：已知a，b，c 是有理数，当
0
abc
时，
①若
0
a
，
0
b
，
0
c
，则
1 1 1
3
|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
；
②若
0
a
，
0
b
，
0
c
，则
1 1 1
3
|
|
|
|
|
|
a
b
c
a
b
c
；
③若a，b，c 两负一正，则
1 1 1
1
|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
；
④若a，b，c 两正一负，则
1 1 1
1
|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
．
故
a
b
c
a
b
c
的值为1
或3
．
【技巧归纳】
含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法则
计算。注意0 的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0，分别化简，避免漏掉负数情况。
【变式9-1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道
,
0
0,
0
,
0
x x
x
x
x x
，所以当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
；当
0
x
时，
1
|
|
x
x
x
x
．
请用上面的结论解决下列问题：
(1)已知a ，b 是有理数，当
0
ab
时，|
|
|
|
a
b
a
b
．
30 / 42
学科网（北京）股份有限公司
(2)已知a ，b ，c 是有理数，当
0
abc
时，|
|
|
|
| |
a
b
c
a
b
c
．
(3)已知a ，b ，c ，d 是有理数，当|
|
1
abcd
abcd 时，|
|
|
|
| |
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
的最大值是．
【答案】(1) 2
(2) 3
或1
(3) 2
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，
（1）根据
0
ab
，得出
0
a
，
0
b
或a<0 ，
0
b
，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可；
（2）根据
0
abc
，得出a、b、c 中有3 个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可；
（3）根据|
|
1
abcd
abcd ，得出a 、b 、c 、d 中有1 个或3 个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可
求解．
【详解】（1）解：∵
0
ab
，
∴a、b 同号，即
0
a
，
0
b
或a<0 ，
0
b
，
∴
1 1
2
a
b
a
b
或
1 1
2
a
b
a
b
；
∴当
0
ab
时，
2
a
b
a
b
；
故答案为：2
．
（2）解：∵
0
abc
，
∴a、b、c 中有3 个负数或两正一负，
当a、b、c 都是负数时，
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
；
当a、b、c 中有两正一负时，设a
0,b
0,c
0
，
1 1 1 1
a
b
c
a
b
c
；
∴
0
abc
时，
a
b
c
a
b
c
的值为3
或1；
故答案为：3
或1．
（3）解：∵|
|
1
abcd
abcd ，
∴a 、b 、c 、d 中有1 个或3 个负数
设
0,
0,
0,
0
a
b
c
d
，
1 1 1 1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
设
0,
0,
0,
0
a
b
c
d
，
1 1 1 1
2
|
|
|
|
|
|
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
31 / 42
学科网（北京）股份有限公司
∴|
|
|
|
| |
|
|
a
b
c
d
a
b
c
d
的最大值是2．
【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思
想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c 都是正数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，则
1 1 1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3 或1
．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c 满足
0
abc
，求a
b
c
a
b
c
的值；
(2)若a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，求
abc
abc 的值．
【答案】(1) 3
或1
(2)1
【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义．
（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c 的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论；
（2）由题意得，a，b，c 中有2 个负数，1 个正数，则
0
abc
，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c 三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c 都是负数，即
0
a
，
0
b
，
0
c
时，
1
1
1
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
；
②若a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设
0
a
，
0
b
，
0
c
，
则
1
1 1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
，
综上所述，a
b
c
a
b
c
的值为3
或1．
（2）解：∵a，b，c 为三个不为0 的有理数，且
1
a
b
c
a
b
c
，
∴a，b，c 有2 个负数，1 个正数，
32 / 42
学科网（北京）股份有限公司
∴
0
abc
，
∴
1
abc
abc
abc
abc
．
一、单选题
1．若a 的倒数是
2
3
，那么a 是（
）
A．2
3
B．3
2
C．
3
2
D．
2
3
【答案】C
【分析】根据倒数的定义计算a 的值即可得到答案．
【详解】解：∵a 的倒数是
2
3
，
∴
3
2
a
．
2．下列各式运用运算律不正确的是（
）
A．
4
8
8
4
B．
3
2
5
3
2
5
C．
1
1
1
1
1
1
12
(
)
12
12
12
3
4
2
3
4
2
D．
1
1
1
1
6
6
6
2
3
2
3
【答案】C
【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义．
结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正
确即可．
【详解】解：选项A 运用乘法交换律a b
b a
，运算律运用正确；
选项B 运用乘法结合律
a b
c
a
b c
，运算律运用正确；
选项C 中，除法无分配律，运算律运用错误；
选项D 运用乘法分配律
a
b
c
a b
a c
，运算律运用正确；
故选：C．
33 / 42
学科网（北京）股份有限公司
3．在数4,2, 3,5
中任取2 个数相乘，其中最小的积是a ，最大的积是b ，则a
b 的值是（
）
A．
2
3
B．
5
3
C．
5
4
D．
1
3
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则；根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵可能的积为：
4
2
8
4
3
12 2
3
6 2 5
10
3
5
15
，
，
，
，
4 5
20
∴最小的积
20
a
，最大的积
12
b
，
∴
20
5
12
3
a
b
．
4．如图，数轴上的两点A、B 表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（
）
A．a
b
B．a
b
C．
0
ab
D．
0
a
b
【答案】D
【分析】先由数轴得到
1
0
1
a
b
，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即
可．
【详解】解：由数轴知，
1
0
1
a
b
，
∴a
b
，a
b
，
0
ab
，
0
a
b
，
故选项D 符合题意．
5．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b=
0
0
a
b b
a
b b
，则
1
2
☆
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．2
D．2
【答案】B
【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果．
【详解】∵
0
0
a
b b
a
b
a
b b
☆
，2
0
，
∴
1
1
2
1
2
2
☆
．
二、填空题
6．若
4
8
□
，则W 内的数字是________．
【答案】2
34 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，W 内的数字是
8
4
2
．
7．3
的倒数是____,
1
2 5
的相反数是____，
6
____．
【答案】
1
3
-
1
2 5
6
【详解】解：根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，可得3
的倒数是
1
3
；
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得
1
2 5
的相反数是
1
2 5 ；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得
6
6
．
8．对于有理数a 、b ，定义运算“※”如下：
ab
a
b
a
b
※
（其中
0
a
b
），则2 3
※
______
【答案】6
5
【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果．
【详解】解：根据定义的新运算
ab
a
b
a
b
※
，将
2
a
，
3
b
代入得：
2 3
6
2
3
2
3
5
※
．
9．如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a ，b ，有下列结论：①
0
a
b
；②
0
a
b
；③
1
1
0
b
a
；
④
1
0
1
b
a
，其中正确的有_______．
【答案】①②④
【详解】解：由数轴图可知，1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
对于①：∵a
b
，
∴
0
a
b
，故①正确；
对于②：∵a
b
，
∴
0
a
b
，故②正确；
对于③：∵1
0 1
a
b
＜＜＜＜，
∴
1
0
b
，
1
0
a
，
∴
1
1
0
b
a
，故③错误；
对于④：∵
1
0
b
，
1
0
a
，
∴
1
0
1
b
a
，故④正确．
10．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，2
，3，4
，5，6
，7 ，8
分别填入图中的圆圈内，
使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和都相等，若他已经将1，2
，6
，7 这四个数填入了圆圈，则图
35 / 42
学科网（北京）股份有限公司
中m
n
的值为_____
【答案】7 或7
【分析】求得横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和为2
，求得,a b 的值，即可得到
,
m n 的值，代入求解即
可．
【详解】解：∵
1
2
3
4
5
6
7
8
4
4
2
2
，
，
∴
1
7
2
2, 6 1
2
2
a
b
，
即：
8,
5
a
b
，
∵6
2
m
n
b
，
∴
1
m
n
，
当
3,
4
m
n
时，
3
4
7
m
n
，
当
4,
3
m
n
时，
4
3
7
m
n
，
综上：
7
m
n
或7
．
三、解答题
11．计算：
(1) 2
1
3
2
3
5
2
4
；
(2)
1
8
9
9
；
(3)
1
2
2
1.2
1
7
5
．
【答案】(1)
3
5
-
(2)
8
81
(3)
5
2
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键．
（1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可；
（2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可；
（3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可．
36 / 42
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）2
1
3
2
2
15
3
2
3
5
2
4
5
5
4
5
；
（2）
1
1
1
8
8
9
8
9
9
9
81
；
（3）
1
2
15
5
7
5
2
1.2
1
7
5
7
6
5
2
．
12．对于有理数a ，b ，定义了一种“”的新运算，具体为
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，计算：①
2
1
；
②
4
3
．
【答案】①5；②2
【分析】①根据2
1
结合已给定义列式求解即可；
②根据4
3
2
1
结合已给定义列式求解即可．
【详解】解：①∵
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，且2
1
，
∴
2
1
2 2
1
4 1
5
；
②∵
2
2
3
a
b a
b
a
b
a
b a
b
，4
3
，
∴
2
4
3
4
3
4
2
2
3
．
13．在计算
2
4
5
5
时，小明的解题过程如下：
解：原式
2
4
5
5
4
2
2
判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答．
【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误；50
【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算．
【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误．
正确解答如下：
原式
5
4
5
2
37 / 42
学科网（北京）股份有限公司
10
5
50
．
14．某校学生食堂要购进20 袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记
作负数，称后的记录(单位：千克)如下：
每袋与标准质量的差
3
2
1.5
0
2
2.5
3
袋数
1
3
4
3
3
4
2
(1)求这20 袋土豆的平均质量是多少？
(2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20 袋土豆共需多少钱？
【答案】(1)30.35 千克；
(2)910.5 元
【分析】（1）先计算20 袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数
得到平均质量；
（2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：
3 1
2
3
1.5
4
0 3
2 3
2.5 4
3 2
3
6
6
0
6 10
6
7
(千克)，
20 袋土豆的实际总质量为20 30
7
600
7
607
(千克)，
平均质量为607
20
30.35
(千克)．
（2）解：总费用为607 1.5
910.5
(元)，
答：买这20 袋土豆共需910.5 元．
15．课堂上老师给出一道计算题：1
1
1
3
24
2
6
8
．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
24
2
24
6
24
8
12
4
9
18
乙：原式
1
17
1
24
1
24
24
24
17
17
丙：原式的倒数
1
1
3
1
1
1
3
1
1
3
24
24
24
24
12
4
9
17
2
6
8
24
2
6
8
2
6
8
故原式
1
17
．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
38 / 42
学科网（北京）股份有限公司
①
1
1
2
5
54
2
3
6
②
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
【答案】(1)乙、丙；甲；
(2)①
1
36
；②
1
4
【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除
法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算．
（1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，
再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确．
（2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算；
②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值．
【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误；
乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确；
丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲；
故答案为：乙、丙；甲．
（2）①解：
1
1
2
5
54
2
3
6
1
2
54
3
1
3
54
2
1
36
；
②解：设原式为B ，则B 的倒数为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
42
2
3
6
7
14
21
42
，
1
1
1
1
1
1
1
42
2
3
6
7
14
21
42
1
1
1
1
1
1
1
42
42
42
42
42
42
42
2
3
6
7
14
21
42
21 14
7
6
3
2 1
4
，
B 的倒数为4
，
1
1
4
4
B
原式
．
39 / 42
学科网（北京）股份有限公司
16．计算
(1)
1991
1
1997
19991999
4
1999
(2)
10
5
3
2
2
2 8 1
1
11
9
11
9
5
.
(3) 1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
(4)
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4 5
12 13 14
【答案】(1)499
(2)7
(3)885
(4) 201
182
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键.
（1）把
1991
19991999 写成
8
2000
1999
，再运用乘法分配律计算即可；
（2）把
10
5
2 8 1
1
11
9
.
写成
21
11
9
4
14
5
1
，再运用乘法分配律计算即可；
（3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可；
（4）将原式变形为1
2
2
3
3
4
11 12
12
13
1 2 3
2 3 4
3 4 5
11 12 13
12 13 14
，然后裂项，再根据加法交换
律和结合律，结合裂项法，进行计算即可．
【详解】（1）解：
1991
1
1997
19991999
4
1999
8
1
1997
2000
1999
4
1999
1
8
1
1997
2000
4
1999
4
1999
2
1997
500
1999
1999
499
；
（2）解：
10
5
3
2
2
2.8 1
1
11
9
11
9
5
14
21
14
2
3
2
5
11
9
5
11
9
2
3
2
7
7
7
5
11
9
2
3
2
5
11
9
40 / 42
学科网（北京）股份有限公司
2
3
2
7
5
11
9
2
3
2
5
11
9
7
；
（3）解：1
1
2
1
2
3
1
2
59
2
3
3
4
4
4
60
60
60
1 59
59
1
3
1
2
2
2
2 60
1
2
3
4
59
2
2
2
2
2
1
2
3
4
59
2
1 59
59
2 2
60 59
2 2
885
；
（4）解：
3
5
7
25
1 2
3
2
3 4
3 4 5
12 13 14
11 12
1 2 3
2 3 4
3 4 5
11 12 13
12 13 14
1 2
2
3
3
4
12 13
11
12
1 2 3
1 2 3
2 3 4
2 3 4
3 4 5
3 4 5
11 12 13
11 12 13
12
4
1
2
2
3
3
4
1
13 14
12 1
2
3
3 1
1
1
1
2 3
1 3
3 4
2 4
4 5
3 5
12 13
11 13
13 14
12 14
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3
3 4
4 5
12 13
13 14
1 3
2 4
3 5
11 13
12 14
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
4
4
5
12
13
13
14
2
3
2
4
3
5
4
6
11
13
12
14
1
1
1
1
1
1
1
2
14
2
13
2
14
1
1
1
1
1
1
2
14
2
26
4
28
1
1
1
1
1
1
2
2
4
14
28
26
5
3
1
4
28
26
455
39
14
364
364
364
41 / 42
学科网（北京）股份有限公司
402
364
201
182
．
17．我们知道在化简a 的时候，需要判断a 的正负：当
0
a
时，a
a
；当
0
a
时，a
a
．
(1)已知a，b，c 三个数在数轴上的对应的点如图所示：
用“>”、“<”或“=”填空，
a
b
______0，b
c
______0，a
c
______0，
(2)化简：a
b
b
c
a
c
．
(3)思维扩展：由“当
0
a
时，a
a
；
0
a
时，a
a
”可以推出：
当
0
a
时，
1
a
a
a
a
；当
0
a
时，
1
a
a
a
a
．
应用这个结论，解决下列问题：
已知x，y，z 是有理数，
0
x
y
z
，
0
xyz
，化简：x
y
z
x
y
z
______．
【答案】(1)>，<，<
(2) 2
2
a
b
(3) 1
【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化
简．
（1）根据数轴可得
0
c
b
a
且|
| |
| |
|
b
a
c ，即可判断所求式子的正负；
（2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可；
（3）根据
0
x
y
z
，
0
xyz
，可知x ，y ，z 中一正两负或两正一负，据此化简即可．
【详解】（1）解：由数轴知：
0
c
b
a
且|
| |
| |
|
b
a
c ，
0
a
b
，
0
b
c
，
0
a
c
，
故答案为：，，；
（2）解：
0
a
b
，
0
b
c
，
0
a
c
，
|
|
|
|
|
|
a
b
b
c
a
c
a
b
b
c
a
c
2
2
a
b
；
（3）解：
0
x
y
z
，
0
xyz
，
当x ，y ，z 中一正两负时，
|
|
|
|
|
|
1 1 1
1
x
y
z
x
y
z
；
42 / 42
学科网（北京）股份有限公司
当x ，y ，z 中两正一负时，
|
|
|
|
| |
1 1 1 1
x
y
z
x
y
z
，
综上所述，
1
x
y
z
x
y
z
．
故答案为：1
．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
【温馨提示】本页为广告页，打印前可以把这页删掉
群
满
或
未
通
过
：
请
至
左
侧
资
料
库
文
档
获
取
最
新
二
维
码
防失联渠道二：https://link3.cc/xbjf
防失联渠道一
