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专题13 导数的概念及运算（九大题型+模拟精练）
目录：
01 变化率问题
02 导数定义中简单的极限运算
03 求某点的导数（切线斜率）
04 求切线方程
05 已知切线求参数（范围）
06 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
07 切点、切线有关的其他问题
08 导数的运算
09 抽象函数的导数综合
01 变化率问题
1．（2024 高三·全国·专题练习）如果质点
运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关
系是
，那么该质点在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【解析】
，
1
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所以
.
故选：D.
2．（23-24 高二下·河南洛阳·阶段练习）函数
在区间
上的平均变化率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】
直接利用平均变化率的定义求解.
【解析】
设
，则函数
在区间
上的平均变化率为
．
故选：A.
3．（23-24 高二下·重庆·期中）某物体的运动方程为
（位移单位：
，时间单位：），若
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
是物体从开始到
这段时间内的平均速度
B．
是物体从
到
这段时间内的速度
C．
是物体在
这一时刻的瞬时速度
D．
是物体从
到
这段时间内的平均速度
【答案】C
【分析】根据瞬时速度的定义即可得解.
【解析】由
，
可知，
是物体在
这一时刻的瞬时速度.
故选：C
02 导数定义中简单的极限运算
2
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4．（2024 高二下·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．－2a
B．2a
C．a
D．
【答案】B
【分析】由导数的定义变形即可求解.
【解析】
.
故选：B．
5．（22-23 高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数
在
处的导数为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及函数在
导数
的定义即可求解.
【解析】由题意得函数
在
处的导数
，
故A 项正确.
故选：A.
6．（22-23 高二下·陕西渭南·期中）若函数
在
处的瞬时变化率为
，且
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据导数的定义，直接代入求值.
【解析】根据导数的定义可知，
3
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.
故选：B
7．（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设
是可导函数，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由导数的定义计算即可得出结果.
【解析】∵
，
∴
，
∴
.
故选：B
03 求某点的导数（切线斜率）
8．（21-22 高二下·北京通州·期中）已知函数
，
，
，
，它们在平面直角坐标系中的
图象如图所示，则
，
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
4
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在
处的切线，根据切线的斜率来判断即可．
【解析】依次作出
，
，
，
在
的切线，如图所示：
根据图形中切线的斜率可知
．
故选：A．
9．（22-23 高三上·上海浦东新·期中）若
为可导函数，且
，则过曲线
上点
处的切线斜率为 ．
【答案】2
【分析】直接根据导数的定义计算得到答案.
【解析】
，故
.
故答案为：2
10．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
．
【答案】
.
5
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【分析】根据函数
在
处的导数的定义即可求解.
【解析】
.
故答案为：
.
04 求切线方程
11．（2024·全国·模拟预测）函数
的图象在
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先求解出导函数，然后计算出
时的导数值和函数值，可得切线的点斜式方程，再化为一般式
方程即可.
【解析】由题意，得
，所以
，
又
，所以切线方程为
，即为
，
故答案为：
.
12．（23-24 高三上·北京·阶段练习）曲线
在点
处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.
【解析】
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为
，
所以方程为
，
故答案为：
13．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线
相切的一条切线的方程为 .
6
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【答案】
或
或
(写出其中一条即可)
【分析】根据曲线
表示抛物线的一部分，设其切线方程为
，利用判别式法求解；设
的切线的切点为
，利用导数法求解.
【解析】解：设曲线
表示抛物线的一部分，
设其切线方程为
，代入
，
得
.由
，得
.
当
时，
，符合题意，
当
时，
，均符合题意，
所以切线方程
.
设
的切线的切点为
.
由
，得
，
，
得切线方程为
.
将
的坐标代入切线方程，得
，
所以
，所以切线方程为
.
故答案为：
或
或
(写出其中一条即可)
05 已知切线求参数（范围）
14．（22-23 高三上·山东临沂·期中）若直线
是函数
的图象在某点处的切线，则
实数
．
【答案】
7
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【分析】利用
求得切点坐标，代入切线方程，从而求得
.
【解析】令
，解得
，所以切点为
，
将
代入切线
得
.
故答案为：
15．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若曲线
有两条过点
的切线，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用导数求曲线
过坐标
的切线方程，再列出关于
的不等式，进而求得
的
取值范围.
【解析】由
得
，设切点坐标为
，
则切线斜率
，
切线方程为
，
又因为切线过
，所以
，整理得
，
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以
，解得
或
，
所以
的取值范围是
，
故答案为：
.
16．（23-24 高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数
的图象切于
轴右侧，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
8
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C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得
，设切点为
，根据
，列出方程，得到
，结合方程的根
，即可求解.
【解析】
由函数
，可得
，
设切点为
，可得
，即
，
整理得
，解得
或
（舍去），
因为存在过原点的直线与函数
的图象切于
轴右侧，
所以
，解得
，即实数的取值范围为
.
故选：D.
17．（22-23 高二下·陕西西安·期末）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造新函数
，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数
的取值范围.
【解析】设点
为曲线
上一点，则
又
，则
，
则曲线
在点
处的切线方程为
9
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，又切线过点
，
则
，即
令
，则
，
则
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
时
，
单调递减，
则
时
取得极小值
，
时
取得极大值
，
又
，
当
时，
恒成立，
时，
，
又由题意得方程
有3 个根，
则
与
图像有3 个交点，则
.
则曲线
有三条过点
的切线时实数
的取值范围为
.
故答案为：
06 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
18．（22-23 高二上·陕西西安·期末）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
实数a 的值为（ ）
A．－4
B．－3
C．4
D．3
【答案】D
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【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.
【解析】因为
，所以
，
当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率等于3，
所以直线
的斜率等于
，
即
，解得
，
故选:D.
19．（2023·山西·模拟预测）已知函数
若对任意
，曲线
在点
和
处的切线互相平行或重合，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】求得
，根据题意转化为
为偶函数，即可求解.
【解析】由函数
，
可得
，
因为曲线
在点
和
处的切线互相平行或重合，
可得
为偶函数，所以
，解得
.
故选：C.
20．（21-22 高三·江西·阶段练习）若函数
的图象与函数
的图象有公切线，
且直线与直线
互相垂直，则实数
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
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【答案】D
【分析】根据垂直性质可得
，再求导根据导数的几何意义可得切线的方程为
，再设函数
与直线切于点
，列式求解即可
【解析】由题知，
，令
，又
，解得
，因为
，所以切线的方程为
.
，
设函数
与直线切于点
，
所以
，故
，
即
，
，解得
或
.
故选：D
07 切点、切线有关的其他问题
21．（23-24 高三上·山西·阶段练习）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】求出导函数，设出切点坐标，利用导数几何意义建立斜率方程，利用韦达定理化简计算即可.
【解析】由题意得
，过点
作曲线
的两条切线，
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设切点坐标为
，则
，即
，
由于
，故
，
，
由题意可知
，
为
的两个解，则
，
，
故
.
故选：B
22．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的图形的面积为
.
【答案】
/0.25
【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
【解析】易知
的定义域为
，而
，故切点为
，
设切线斜率为
，且
，故
，
切线方程为
，化简得
，
当
时，
，当
时，
，
易知围成的图形是三角形，设面积为，故
.
故答案为：
08 导数的运算
23．（23-24 高二下·广东·阶段练习）求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
13
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(4)
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则求解即得.
【解析】（1）
.
（2）
，则
.
（3）
，则
.
（4）
.
24．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于A：根据导数的加法法则运算求解；对于B：根据导数的除法法则运算求解；对于C：根据复
合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的乘法法则运算求解.
【解析】对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 正确；
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对于选项C：
，故C 错误；
对于选项D：
，故D 错误；
故选：B.
25．（23-24 高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（ ）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
【答案】B
【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.
【解析】A 选项，
，则
，A 正确；
B 选项，
，
，B 错误；
C 选项，
，
，C 正确；
D 选项，
，
，D 正确.
故选：B
09 抽象函数的导数综合
26．（23-24 高二下·重庆·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
与
均为偶
函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件得到
，
，从而得出函数
是周期为
的周期函数，再
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根据条件得到
，即可求出结果.
【解析】因为
是偶函数，所以
关于直线
对称，即
，
由题知
，又
是偶函数，所以
，
则
，则
，
又
，所以
，得到
，
所以
，又由
，得到
，
所以
①，
②，
由①②得到
，所以函数
是周期为
的周期函数，
由①得到
，又
，所以
，
故
，
故选：A.
27．（2024·山东·二模）已知
为定义在
上的奇函数，设
为
的导函数，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．2023
【答案】C
【分析】根据
进行
奇偶性和周期性的推导，得到
是周期为4 的偶函数，
从而算出
的值.
【解析】因为
，所以两边求导，得
，
即
①
因为
为定义在
上的奇函数，则
，
所以两边求导，得
，所以
是定义在
上的偶函数，
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所以
，结合①式可得，
，
所以
，两式相减得，
，
所以
是周期为4 的偶函数，
所以
.
由①式，令
，得
，所以
.
故选：C.
28．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数且在
上可导，若
恒成立，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数
的周期性，结合赋值法计算即可得
解.
【解析】由
，则
，
即
，
由函数
为奇函数，故
，
则
，
则
，
即
，
即
，故
为周期为的周期数列，
故
，
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对
，令
，有
，即
，
故
.
故选：D.
29．（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知定义在
上的函数
为奇函数，且对
，都有
，定义在
上的函数
为
的导函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
D．
为偶函数
【答案】D
【分析】利用奇偶对称性、周期性以及复合函数求导法则即可判断各项正误.
【解析】对于选项A，因为
为奇函数，所以
，则有
，
故
为奇函数，故A 错误；
对于选项B，因为
，所以
，
又
，故
，即函数
周期为4，
则
，故B 错误；
对于选项C，因为
，所以
，
即
，即
.
18
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因为
，所以
，
所以
，故C 错误；
对于选项D，由选项C 可知，
，所以
为偶函数，故D 正确.
故选：D
30．（2024·江西鹰潭·一模）已知函数
，
的定义域为
，
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，求
= ．
【答案】
【分析】先利用复合函数的导数与
的奇偶性判断
的奇偶性，进而推得
与
的周期性，再
利用赋值法求得
的值，从而得解.
【解析】因为
是偶函数，则
，
两边求导得
，所以
是奇函数，故
，
由
，
代入
，得
，
则
，所以
，
又
是奇函数，所以
，
所以
是周期函数，且周期为4，
又
，可知
也是以4 为周期的周期函数，
令
，得
，故
，
而
所以
，
令
，得
，则
，
而
，
，
又
，则
，
19
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，
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若
，则函数
关于
中心对称；
（2）若
，则函数
关于
对称；
（3）若
，则函数
的周期为2a；
（4）若
，则函数
的周期为2a.
一、单选题
1．（2021·湖南永州·三模）若某物体做直线运动，路程（单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数
表示．当
s 时，该物体的瞬时速度为
m/s，则当
s 时，该物体行驶的路程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的导函数，再根据导数的物理意义求出参数
的值，即可求出函数解析式，再代入
即可；
【解析】解：因为
，所以
，因为当
s 时，该物体的瞬时速度为
m/s，
所以
，解得
，所以
，所以
故选：D
2．（2024·福建·模拟预测）已知直线
既是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则（
20
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）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【解析】设直线与曲线
的切点为
且
，
与曲线
的切点为
且
，
又
，
，
则直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
直线
与曲线
的切线方程为
，即
，
则
，解得
，故
，
故选：A.
3．（2024·黑龙江·二模）函数
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当
时
，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【解析】因为
，则
，
当
时
，则
，所以
，
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所以切点为
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
.
故选：D
4．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
（ ）
A．或
B．
或
C．
或
D．或
【答案】A
【分析】设直线的方程为
，先根据直线和圆相切算出
，在根据导数的几何意义算
.
【解析】依题意得，设直线的方程为
，
由直线和圆
相切可得，
，解得
，
当
时，
和
相切，
设切点为
，根据导数的几何意义，
，
又切点同时在直线和曲线上，即
，解得
，
即
和
相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
和
仍会保持相切状态，即
时，
，
综上所述，
或
.
故选：A
5．（2024·全国·模拟预测）若直线
与曲线
（
且
）无公共点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】由
时，易知直线
与曲线
必有一个公共点，当
时，由直线与曲线相切，
利用导数法求得
，再由图象位置判断．
【解析】解：当
时，直线
与曲线
必有一个公共点，不合题意，
当
时，若直线与曲线相切，设直线
与曲线
相切于点
，则
，得
．
由切点在切线上，得
，
由切点在曲线上，得
，
所以
，
．
如图所示：
故当直线
与曲线
（
且
）无公共点时，
．
故选：D
【点睛】思路点睛：
时，由
单调递增，
单调递减容易判断；
时，利用导数法研
究直线与曲线相切时a 的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a 的增大,图象向x 轴靠近而得解.
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢
量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数
的图象是可由
，
，
，
四点确定的贝塞尔曲线，
其中
，
在
的图象上，
在点
，
处的切线分别过点
，
.若
，
，
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.
【解析】设
，则
，
由题意
，解得
，所以
.
故选：C.
7．（2024·海南海口·二模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据函数对称性求出
时的
解析式，利用导数的几何意义求解.
【解析】因为
是偶函数，所以函数
的图象关于
对称，则
，
当
时，
，
，
，则
，
，即曲线
在点
处切线的斜率为2.
故选：C.
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8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设
，
，
，
，
则
等于（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知：可知
，且
，结合周期性分析求
解.
【解析】由题意可得：
，
可知
，且
，
且
，所以
.
故选：A.
二、多选题
9．（2021·广东·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状
态，经抢修排气扇恢复正常，排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4 分钟后又测
得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足
函数关系y＝f（t），其中
（R 为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全
进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
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C．排气12 分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32 分钟后，人可以安全进入车库
【答案】BD
【分析】
由已知
，找到函数模型，通过待定系数法得到函数解析式，再解不等式即可.
【解析】
因为
，所以
符合要求．
又
解得
，a＝128，故B 正确，A 错误．
，
当
时，即
，得
，
所以
，即
，所以排气32 分钟后，人可以安全进入车库，故D 正确，C
错误，
故选：BD.
10．（2024·山东济南·一模）已知函数
的图象在y 轴上的截距为
，
是该函数的最小正零点，则（ ）
A．
B．
恒成立
C．
在
上单调递减
D．将
的图象向右平移
个单位，得到的图象关于
轴对称
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【答案】AC
【分析】由题意求出
，然后由余弦型函数的性质判断即可.
【解析】函数
的图象在y 轴上的截距为
，
所以
，因为
，所以
.故A 正确；
又因为
是该函数的最小正零点，
所以
，所以
，
解得
，所以
，
，
所以
，故B 错误；
当
时，
，故C 正确；
将
的图象向右平移
个单位，得到
，
是非奇非偶函数，图象不关于
轴对称，故D 错误.
故选：AC.
11．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，设
，且
，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题考查抽象函数与复合函数的导数，根据题目所给条件
以及
，利用赋值法求出各函数值，从而得出答案.
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【解析】对于选项A，由于任意
，
，即若函数
满足题意，则
也满足题意，
不能确定
的值，故A 错误.
对于选项B，
令
得：
；
或
恒成立，若
恒成立，则
，结合分析可知
不可能为常数
函数，舍去.
令
得：
，
，可得
，
；
可得
，
.
令
可得：
，由之前结论
不为常数函数，得
，B 选项正确.
对C 选项，可令
，代入前面结论
，可得
，两边求导数，得
，代入
，
可得
，选项C 正确.
对选项D，可令特殊函数
满足题目中的条件，经检验
，D 选项不正确.
故选：BC
【点睛】涉及抽象函数有关性质的题目经常使用赋值法，观察已知和待求给变量适当赋值很关键；要注意
熟练运用复合函数的求导法则.
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三、填空题
12．（2024·四川·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【解析】
，
，
，
故函数
的图象在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
13．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数
过点
作曲线
的切线，则切线
的条数为 ．
【答案】2
【分析】分
与
两种情况，设出切点，写出切线方程，把点
代入切线方程，求出相应答案
即可.
【解析】当
时，
，设切点为
，
，
又
故过
的切线方程为
,
将
代入可得
,
解得
或4，均大于0，满足要求；
当
时，
，设切点为
，
又
，
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故过
的切线方程为
将
代入，可得
解得
或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
14．（2022·海南·模拟预测）已知函数
和
，其中
为常数且
．若存在
斜率为1 的直线与曲线
同时相切，则
的最小值为 ．
【答案】2
【分析】分别设出切点，用导数的几何意义得到两切点坐标，利用两点间斜率公式得到
的关系，变形
后使用三个正数的基本不等式求解最小值.
【解析】
定义域为R，
的定义域为
，又
，
，
设
在切点
处的切线即为斜率为1 的直线，故
，所以
，则
，
设
在切点
，处的切线即为斜率为1 的直线，则
，则
，
则
，由两点间斜率公式得：
，则
，由于b>0，
则
，当且仅当
，
即
时，此时
等号成立，故
的最小值为2.
故答案为：2
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