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专题15 圆锥曲线的标准方程与几何性质（十三大题型10 大易错
题）
【题型1 利用定义求椭圆轨迹方程】
1．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知圆C1:(x +3)
2+ y
2=81和C2:(x −3)
2+ y
2=1，若动圆P与圆C1
内
切，同时与圆C2外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
7 =1
B．x
2
25 + y
2
9 =1
C．x
2
25 + y
2
16 =1
D．x
2
16 + y
2
9 =1
2．（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆C1:( x−4)
2+ y
2=81和C2:( x + 4)
2+ y
2=1，若动圆P与
这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
7 =1
B．x
2
16 + y
2
9 =1
C．x
2
25 + y
2
16 =1
D．x
2
25 + y
2
9 =1
3．（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知曲线C上任意一点P(x0, y0)都满足关系式
√(x0−2)
2+ y0
2+√(x0+2)
2+ y0
2=2√5，则曲线C的标准方程为（ ）
A．x
2
5 + y
2
4 =1
B．x
2
4 + y
2
3 =1
C．x
2
5 + y
2=1
D．x
2
4 + y
2
5 =1
4．（2024·上海静安·一模）到点F1(−3,0), F2(3,0)距离之和为10 的动点P的轨迹方程为 .
【题型2 椭圆的"焦点三角形"问题】
5．（24-25 高二上·广东·期中）椭圆C : x
2
9 + y
2
m =1的两个焦点分别为F1，F2，长轴长为10，点P 在椭
圆C 上，则△P F1 F2的周长为（ ）
A．16
B．18
C．10+2√34
D．20
1
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6．（24-25 高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
、F2
，长轴长
16，焦距为4，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△AB F2的周长为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
7．（24-25 高二上·天津·期中）设P是椭圆x❑
2
25 + y❑
2
9
=1上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，且
∠F1 P F2=π
3
，则△F1 P F2的面积为 ，△F1 P F2内切圆半径为 .
8．（24-25 高二上·广东惠州·阶段练习）设F1, F2为椭圆C : x
2
5 + y
2=1的两个焦点，点P在C上，若⃗
P F1⋅⃗P F2=0，则|P F1|⋅|P F2|= .
9．（24-25 高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的方程为x
2
4 + y
2
3 =1，若点P 为椭圆上的点，且
∠F1 P F2=60°，则△F1 P F2的面积为 ．
【题型3 椭圆中的距离和差最值问题】
10．（2024·山东威海·一模）已知F为椭圆C : y
2
9 + x
2
5 =1的上焦点，P为C上一点，Q为圆
M : x
2+ y
2−8 x +15=0上一点，则|PQ|+|PF|的最大值为（ ）
A．1+2√5
B．3+2√5
C．5+2√5
D．7+2√5
11．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）已知动点P 在椭圆x
2
4 + y
2
3 =1上，F(1,0), D(3,3)，则
| PD|−| PF |的最小值为（ ）
A．5
B．√13
C．2
D．1
【题型4 椭圆标准方程形式与求解】
12．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，且过点(−1, 3
2)
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点F作直线l交椭圆C于M , N两点（点M在x轴的上方），且⃗MF = λ⃗FN , A为椭圆的
2
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左顶点，若△AMN的面积为9√5
8
，求λ的值.
13．（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率是1
3
，且点(1, 8
3)
在
椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点M(0, 1
2)
，F1
、F2
分别是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的动点，Q是△P F1 F2
的内
心，求|MQ|的最大值．
14．（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点A (0,1)，离心率为√3
2
.
(1)求C的方程；
(2)若M，N为C上的两点，且直线AM与直线AN的斜率之积为2，求证：直线MN过定点.
【题型5 求椭圆的离心率或范围】
15．（24-25 高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为(0,√2)，(0,−√2)，点(−1,√2)在该椭圆上，
则该椭圆的离心率为（ ）
A．√2
2
B．√2
4
C．1
2
D．1
4
16．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）已知F1, F2
是椭圆C : x
2
a
2 + y
2=1的左、右焦点，P是C上一点.过
点F1
作直线P F1
的垂线l1
，过点F2
作直线P F2
的垂线l2
.若l1,l2
的交点Q在C上(P ,Q均在x轴上方)，且
3
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| PQ|= 8√5
5
，则C的离心率为( )
A．√3
2
B．1
2
C．√3
4
D．2√5
5
17．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，点
P , A ,B都在椭圆E上，若⃗P F1= λ⃗F1 A ,⃗P F2= μ⃗F2B，且λ+ μ≥4，则椭圆E的离心率的取值范围为
（ ）
A．[
1
3 ,1)
B．[
√3
3 ,1)
C．(0, √3
3 ]
D．(0, 1
3]
【题型6 利用定义求双曲线轨迹方程】
18．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知定点F1(−2,0)，F2(2,0), N是圆O: x
2+ y
2=1
上任意一点，点F1
关于点N的对称点为M，线段F1 M的垂直平分线与直线F2 M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ ）
A．7x
2+ y
2
3 =1
B．x
2−y
2
3 =1
C．x
2
3 + y
2=1.
D．x
2
3 −y
2=1
19．（2024 高三·全国·专题练习）已知点A (0,2),B (0,−2),C (3,2)，若动点M (x , y)满足
|MA|+|AC|=|MB|+|BC|，则点M的轨迹方程为（ ）
A． y
2−x
2
3 =1
B．y
2−x
2
3 =1( y ≤−1)
C．x
2−y
2
3 =1
D．x
2−y
2
3 =1(x ≤−1)
【题型7 双曲线的"焦点三角形"问题】
20．（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知F1
，F2
分别是双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，
P为C上一点，∠F1 P F2=π
3
，且△F1 P F2的面积等于6√3，则b=（ ）
A．√6
B．6
C．√3
D．3
4
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21．（24-25 高二上·江西·阶段练习）已知双曲线C: x
2
3 −y
2=1的右焦点为F2，点P 在C 的右支上，且
Q(2, 1
2)
，则|PQ|+|P F2|的最小值为（ ）
A．4−2√3
B．√17−2√3
C．√15−2√3
D．√65
2 −2√3
22．（2023·河南开封·三模）已知双曲线x
2−m y
2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，直线l经过F2
且
与双曲线右支相交于A ,B两点，若|AB|=2，则三角形AB F1的周长为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．不能确定
23．（2023·青海玉树·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A 是虚轴的一个
端点，点P 是C 的左支上的一点，且△PAF的周长的最小值为6a，则C 的渐近线方程为（ ）
A．y =± √6
2 x
B．y =± 3
2 x
C．y =± 2
3 x
D．y =± √6
3 x
24．（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线y =b与双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两条
渐近线分别交于D , E两点，若△ODE的面积为10，则双曲线C 的焦距的最小值为 .
25．（2024·湖北·模拟预测）设F1, F2为双曲线x
2
6 −y
2
3 =1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且
∠F1 P F2=90
∘，则△F1 P F2
的面积为 .
26．（2025 高三·全国·专题练习）已知F1, F2为双曲线C : x
2−y
2=2的左、右焦点，点P在C上，⃗
P F1⋅⃗P F2=0，则△F1 P F2
的面积为 ．
【题型8 双曲线中的距离和差最值问题】
27．（23-24 高二下·河北秦皇岛·开学考试）设点P是曲线x
2
4 −y
2
5 =1右支上一动点，F为左焦点，点Q是
5
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圆x
2+( y −4)
2=1上一动点，则|PF|+|PQ|的最小值是 ．
28．（24-25 高二上·河南郑州·期中）设P是双曲线x
2
9 −y
2
16 =1上一点，M，N分别是两圆：
(x−5)
2+ y
2= 1
4
和(x +5)
2+ y
2= 9
4
上的点，则|PM|−|PN|的最大值为 .
29．（23-24 高二下·上海·阶段练习）设双曲线C : x
2−y
2
24 =1的左焦点和右焦点分别是F1, F2，点A是C右
支上的一点，则|A F1|−
8
|A F2|
的最小值为
【题型9 双曲线的标准方程形式与求解】
30．（24-25 高二上·山东青岛·阶段练习）关于 x，y 的方程
x
2
4−m −
y
2
3+m =1 ，给出以下说法错误的
为（ ）
A．方程可以表示双曲线
B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆
D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
31．（24-25 高二上·重庆·阶段练习）已知方程x
2
m+2 +
y
2
3−m =1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．(3,+∞)
B．(−2,3)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−2)∪(3,+ ∞)
32．（24-25 高二上·河南·期中）“m>4”是“方程(m+3)x
2+(4−m) y
2=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型10 抛物线的定义及应用】
33．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线y
2=8 x上一点P到焦点F的距离为6，则PF的中点到y轴的
距离为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
34．（2024 高三·全国·专题练习）若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y + 4 =0的距离小2，则点P 的轨迹
方程为（ ）
A．y
2=8 x
B．y
2=−8 x
C．x
2=8 y
D．x
2=−8 y
35．（24-25 高二上·陕西榆林·阶段练习）在抛物线y
2=−4 x上求一点P，使其到焦点F的距离与到
6
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A(−2,1)的距离之和最小，则该点坐标为（ ）
A．(−1
4 ,1)
B．(
1
4 ,1)
C．(−2,−2√2)
D．(−2,2√2)
【题型11 求抛物线的标准方程】
36．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，点M在C上，且点M到直线x =−2的
距离为6，则|MF|= .
37．（24-25 高二·上海·课堂例题）已知点M (2,2)，直线l: x−y −1=0，若动点P 到l 的距离等于|PM|，
则点P 的轨迹是 ．
38．（2024·福建泉州·模拟预测）已知O为坐标原点，矩形OABC的顶点A，C 在抛物线x
2= 4 y上，则顶
点B 的轨迹方程为 ．
39．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M 到定点F(3,0)的距离比M 到y轴的距离大3，则动点M 满足的
方程为 .
40．（23-24 高二上·江苏南京·阶段练习）若动点M (x , y)到点F (4,0)的距离比它到直线x +3=0的距离大
1，则M的轨迹方程是 ．
41．（22-23 高二上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是(0,−2)，则它的标准方程为
.
【题型12 抛物线中的距离和差最值问题】
42．（24-25 高二上·辽宁·阶段练习）已知抛物线y
2= 4 x，且P是抛物线上一点，设F是抛物线的焦点，
M (4,2)，则|PM|+|PF|的最小值为 .
43．（24-25 高二上·江苏无锡·阶段练习）已知抛物线x
2= 4 y的焦点为F，点P 为抛物线上动点，点Q 为圆
( x −1)
2+( y −4)
2=1上动点，则| PQ|+| PF |的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
44．（22-23 高二下·四川泸州·期末）已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，点P 在C 上，若点Q (6,3)，则
△PQF周长的最小值为（ ）．
A．13
B．12
C．10
D．8
【题型13 抛物线的几何性质及应用】
45．（2024·陕西渭南·模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物
线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于
它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C 放在平面直角坐标系中，对称
7
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轴与x 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C 的方程为y
2=8 x，平行于x 轴的光线从点
M (8,4)射出，经过C 上的点A 反射后，再从C 上的另一点B 射出，则|MB|=（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
46．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽
AB为2m，渠深OC为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m，则截面图中水面宽EF的长度约为（ ）（
√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）
A．0.816m
B．1.33m
C．1.50m
D．1.63m
47．（2023·辽宁锦州·模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如
图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该杯盏的
高度为（ ）
A．23
6 cm
B．13
4 cm
C．11
3 cm
D．7
2 cm
48．（24-25 高二上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的准线为l，点P在C上，且点P
到直线l的距离与其到x轴的距离都等于2．
(1)求C的方程；
8
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(2)设F为抛物线C的焦点，过Q (2,0)的直线与C交于A ,B两点，若△ABF的面积为3，求直线AB的斜
率．
49．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线C : x
2=2 py的焦点与椭圆C
': x
2
4 + y
2=1的上顶点重合，点A
是直线l: x−2 y −8=0上任意一点，过点A作抛物线的两条切线，切点分别为M 、N．
(1)求抛物线C的方程．
(2)证明直线MN过定点，并且求出定点坐标．
1．（24-25 高三上·全国·阶段练习）设椭圆C ：x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线
4 x−5 y −12=0上的动点，则|PA|−|PF|的最小值为（ ）
A．−16√41
41
B．16√41
41
C．16√41
41
−4
D．4−16√41
41
2．（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）已知曲线C : x
2+ y
2=16(x>0)，从C上任取一点P向y轴作垂线段
P P
′ , P
′为垂足，则线段P P
′的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2
4 + y
2
16 =1(x>0)
B．x
2
16 + y
2
8 =1(x>0)
C．x
2
16 + y
2
4 =1(x>0)
D．x
2
8 + y
2
16 =1(x>0)
3．多选题（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知方程x
2
7−t + y
2
t −1 =1表示的曲线为C，则下列四个结论
中正确的是（ ）
A．当1<t <7时，曲线C 是椭圆
B．当t >7或t <1时，曲线C 是双曲线
C．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则4<t <7
D．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t >7
4．（24-25 高二上·浙江·期中）已知椭圆x
2
9 + y
2
5 =1的左右焦点分别为F1, F2，点P是椭圆上一点，
9
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∠F1 P F2=60
∘，则△P F1 F2
的内切圆半径为 .
5．（2024 高二·全国·专题练习）设椭圆C ：x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线
4 x−5 y −12=0上的动点，则|PA|−|PF|的最小值为
6．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知F1
，F2
为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点，P，Q为
C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1 F2|=2|P F2|，则椭圆C的离心率为 .
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线C : x
2
3 −y
2=1的右焦点为F，过点F作双曲线C的两条互相垂
直的弦AB ,CD，设AB ,CD的中点分别为M , N.则直线MN过定点 .
8．（2024·江苏徐州·一模）设双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为
､
F1, F2
，过F2
的直线与
C的左支交于点P，坐标原点O 到直线P F2的距离为a,△F1 PO的面积为9
4 a
2，则C 的离心率为
.
9．（24-25 高三上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点
F1(−2,0), F2(2,0),||M F1|−|M F2||=2，动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)过F2
作直线l与E交于C ､D两点，若⃗C F2=3⃗F2 D，求直线CD的斜率.
10．（23-24 高三下·浙江·开学考试）如图，已知椭圆C1: x
2
2 + y
2=1，双曲线C2: x
2
2 −y
2=1( x>0). P是C1
10
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的右顶点，过P作直线l1分别交C1和C2于点A ,C，过P作直线l2分别交C1和C2于点B , D，设l1,l2的斜
率分别为k1,k2.
(1)若直线AB过椭圆C1的右焦点，求k1⋅k2的值；
(2)若k1⋅k2=−1，求四边形ABCD面积的最小值.
11
