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专题15 平面向量与复数
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
平面向量与复数近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（文科），第3 题,5 分
用坐标运算求向量模长
2022 年全国乙（文科），第2 题,5 分
复数相等，复数的乘法运算
2022 年全国乙（理科），第3 题,5 分
已知模求向量的数量积
2022 年全国乙（理科），第1 题,5 分
复数相等，共轭复数的概念及计算
2022 年全国甲（文科），第13 题,5 分
向量垂直的坐标表示
2022 年全国甲（文科），第3 题,5 分
复数的模计算，复数的乘法运算，共轭
复数的概念及计算
2022 年全国甲（理科），第13 题,5 分
用定义求向量的数量积，数量积的运算
律
2022 年全国甲（理科），第1 题,5 分
复数的除法运算，共轭复数的概念及计
算
2023 年全国乙（文科），第6 题,5 分
复数的模计算，复数的乘方
2023 年全国乙（理科），第1 题,5 分
复数的除法运算，共轭复数的概念及计
算
2023 年全国乙（理科），第12 题,5 分
向量的数量积，向量与几何求最值
辅助角公式
2023 年全国甲（文科），第2 题,5 分
复数的除法运算
2023 年全国甲（文科），第3 题,5 分
向量夹角的计算，数量积的坐标表示，
向量模的坐标表示
2023 年全国甲（理科），第2 题,5 分
复数相等，复数的乘法运算
2023 年全国甲（理科），第4 题,5 分
向量加法的几何应用，数量积的运算
律，夹角的计算
二倍角的余弦公式
1
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2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本小节为高考必考点，常以选择题，少量的填空题形式出现，题目难度：容易；
2.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范
围；
3.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意
义
【备考策略】1.了解平面向量及相关概念；
2.掌握平面向量的加、减、数乘运算及几何意义；
3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量共线的充要条件及应用.
4.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
5.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
6.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断垂直关系.
7.会用向量方法解决简单的平面几何与力学问题.
8.理解复数的相关概念及几何意义.
9.掌握复数的四则运算.
10.了解复数的三角形式.
【命题预测】1.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范
围；
2.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意
义
2
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知识讲解
一、向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量,向量的大小叫作
向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量,其方向是任意的
记作
0
单位向量
长度等于1 个单位长度的向量
与非零向量a 共线的单位向量为
± a
|a|
平行向量
(共线向量)
方向
相同
或
相反
的非零向量
0 与任一向量
平行
或共线
相等向量
长度
相等
且方向
相同
的向量
两向量只有相等或不相等,不能比较大小
相反向量
长度
相等
且方向
相反
的向量
0 的相反向量为0
二、向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法求两个向量和的运
算
交换律:
a+b=b+a ；
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
3
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减法求a 与b 的相反向
量−b 的和的运算
a−b=a+(−b)
数乘求实数λ 与向量a
的积的运算
|λa|=|λ||a|
当λ>0 时，λa 与a 的方向
相同
;
当λ<0 时，λa 与a 的方向
相反
;当λ=0 时，λa=0
λ(μa)=(λμ)a；
(λ+μ)a=λa+μa ；
λ(a+b)=λa+λb
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即⃗A1 A2+⃗
A2 A3+⃗A3 A4+…+⃗An-1 An=⃗A1 An(n≥2).特别地,对于一个封闭图形,首尾连接而成的向量的和为零向量.
三、共线向量定理
向量a（a≠0）与b 共线的充要条件是存在唯一的实数λ ,使得 b=λa .
有关平面向量概念的注意点:
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)非零向量a 与
a
|a|的关系:
a
|a|是与a 方向相同的单位向量,
−a
|a|是与a 方向相反的单位向量.
(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.
(6)两平行向量所在的直线平行或重合.
三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时,常
选用三角形法则;当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.
1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减
法相互转化.
2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则,三角形法则及三角形中位线,
相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.
利用向量线性运算求解参数的思路:(1)利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示;(2)对比向量等式
求出参数或建立方程(组)求解.
四、平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,
λ2 ,使a=λ1e1+λ2e2,λ2.
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若e1,e2不共线,我们就把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.
1.若a 与b 不共线,且λa+μb=0 ,则λ=μ=0 .
2.若G 是△ABC 的重心,则⃗GA
+⃗GB
+⃗GC
=0,⃗AG
=
1
3 (⃗AB
+⃗AC
).
3.三点共线定理
若⃗OA,⃗OB是平面内不共线的向量,且存在实数λ1,λ2 使得⃗OC=λ1⃗OA+λ2⃗OB,则当λ1+λ2=1时,A,B,C 三
点共线.特别地,当
λ1=λ2=1
2 时,C 是线段AB 的中点.
五、平面向量的坐标运算
1.向量的加法、减法、数乘及向量的模
设a=( x1, y1),b=( x2, y2),则
a+b=
( x 1+x2, y 1+y2)
,
a−b=
( x 1-x2, y 1-y2)
,
λa=
( λx
1, λy
1)
,|a|=√x1
2+ y1
2
.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即向量的坐标.
(2)设A=( x1, y1),B=( x2, y2),则⃗AB=(
x 2-x1, y 2-y1 ),|⃗AB|=√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2
.
六、平面向量共线的坐标表示
若a=( x1, y1),b=( x2, y2),则a//b⇔
x 1y2-x2y1 =0.特别地,若x2≠0 ,y2≠0 ,则
a//b⇔x1
x2
= y1
y2 .
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)运用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数
乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式,再通过向量的运算来解决.
提示:在基底未给出的情况下,合理地选取基底能给解题带来方便.另外,要熟练地运用平面几何的一些性质及
定理.
平面向量坐标运算的技巧：
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减或数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐
标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减
去向量始点的坐标.
(2)在解题过程中,常利用“若向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
与平面向量共线的坐标表示有关问题的常见类型及解题策略
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(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的值时,利用“若a=( x1, y1),b=( x2, y2),
则a//b的充要条件是x1 y2=x2 y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求一个与已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为
λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ 的方程,求出λ 的值后代入λa 即可得到所求的向量.
七、平面向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量 |a||b|⋅cosθ 叫作a 与b 的数量积(或内积),记作
a⋅b ,即a⋅b=|a||b|⋅cosθ .规定零向量与任一向量的数量积为0,即0⋅a=0 .
2.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,如右图,作⃗OA=a ,⃗OB=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角,记作
<a ,b >.
(2)当θ=0°时,a 与b
同向
;
当θ=180°时a 与b
反向
;
当θ=90°时,a 与b
垂直
.
3.投影向量
设a ,b 是两个非零向量,⃗AB=a ,⃗CD=b ,过⃗AB的起点A 和终点B,分别作⃗CD所在直线的垂线,垂足分别为
A1,B1,得到⃗A1B1,这种变换称为向量a 向向量b 投影,⃗A1B1叫作向量a 在向量b 上的投影向量.
注:|a |cos<a ,b >称为向量a 在向量b 方向上的投影数量.
向量a ,b 的夹角为锐角⇔a⋅b>0 且a ,b 不共线;
向量a ,b 的夹角为钝角⇔a⋅b<0 且a ,b 不共线.
八、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=( x1, y1),b=( x2, y2),θ 为向量a ,b 的夹角,则
(1)a⋅b=|a||b|⋅cosθ=x1x2+ y1 y2;
(2)|a|=√a⋅a=√x1
2+ y1
2
;
(3)
cosθ= a⋅b
|a||b|=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2⋅√x2
2+ y2
2
;
(4)a⋅b=0⇔x1 x2+ y1 y2=0 ;
(5)|a⋅b|≤|a||b|(当且仅当a//b时等号成立)⇔|x1 x2+ y1 y2|≤√x1
2+ y1
2⋅√x2
2+ y2
2
.
九、平面向量数量积的运算律
6
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1.a⋅b=b⋅a (交换律).
2.λa⋅b=λ（a⋅b）=a⋅( λb)(数乘结合律).
3.（a+b）⋅c=a⋅c+b⋅c (分配律).
平面向量数量积的运算公式
(1)（a+b）⋅（a−b）=a2−b2;
(2)（a+b）2=a2+2a⋅b+b2;
(3)（a−b）2=a2−2a⋅b+b2.
平面向量数量积的三种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a⋅b=¿a//b/cos<a,b>¿ ¿.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=( x1, y1),b=( x2, y2),,则a⋅b=x1 x2+ y1 y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量垂直问题的类型及求解方法：
(1)判断两向量垂直:第一,计算出这两个向量的坐标;第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向
量的数量积为0 即可.
(2)已知两向量垂直求参数:根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
求向量夹角问题的方法：
(1)当a ,b 是非坐标形式时,要求a 与b 的夹角θ,需求出a⋅b 及¿a/¿ ¿,¿b/¿ ¿或得出它们之间的关系.
(2)若已知a=( x1, y1)与b=( x2, y2),则
cos<a,b>=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2⋅√x2
2+ y2
2
.
提醒:¿a,b>∈[0,π ].
求平面向量的模的常用方法：
1.若向量a 是以坐标形式出现的,可直接利用公式¿a/¿√x2+ y2
求向量a 的模.2.若向量a ,b 是以非坐
标形式出现的,可运用公式¿a/2¿a2=a⋅a 或¿a±b/2¿(a±b)2=a2±2a⋅b+b2
求向量的模,即先求向
量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.
利用向量的数量积求最值与范围问题常常有两种思路:
(1)基底法:利用一组基底,通过向量的运算,转化为求最值或范围,此时应注意几何特征的应用;
(2)坐标法:建立合适的平面直角坐标系,通过向量的坐标运算,转化为关系变量的最值或范围问题,常常利
用函数的单调性或基本不等式求解.
平面几何中的向量问题,主要是注意平面图形中的数量关系、角度大小,然后利用向量的相关知识求解
即可.
用平面向量方法解决物理问题的步骤：
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十、复数的基本概念
1.虚数单位i:i 叫作虚数单位,它的平方等于-1,即i2=-1.
2.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z 表示,记作z=a+bi(a,b∈R).
其中a 叫作复数的
实部
,b 叫作复数的
虚部
,i 是虚数单位.全体复数所构成的集合叫作
复数集
,用
字母C 表示.
3.复数的分类
对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则a+bi 为实数;若
b ≠ 0
,则a+bi 为虚数;若
a=
0 且
b ≠ 0
,则a+bi 为纯虚
数.
分类如下:
z=a+bi(a,b∈R)
{
实数(b=0),
虚数( b≠0){
纯虚数( a=0),
非纯虚数( a≠0).
十一、复数相等的充要条件
两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等.
也就是若a,b,c,d∈R,则a+bi=c+di⇔{
a=c ,
b=d .
特别地,a+bi=0⇔
a=b=
0
.
十二、共轭复数
当两个复数的实部相等,虚部互为
相反数
时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共
轭复数也叫作共轭虚数.
通常记复数z 的共轭复数为z
−.
十三、复数的四则运算
1.加法、减法运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.
对任意z1,z2,z3∈C,加法运算律满足
①交换律:z1+z2=z2+z1;
②结合律:（z1+z2）+z3=z1+(z2+z3).
2.乘法、除法运算法则
设z1=a+bi ,z2=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
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z1⋅z2=(a+bi）(c+di)=（ac−bd ）+(bc+ad )i;
z1
z2
=a+bi
c+di =(a+bi)(c−di)
(a+bi)(c+di) =ac +bd
c2+d2 + bc−ad
c2+d2 i(c+di≠0）
.
对任意z1,z2,z3∈C ,乘法运算律满足
①交换律:z1 z2=z2 z1;
②结合律:(z1 z2)z3=z1(z2 z3);
③分配律:z1( z2+z3)=z1 z2+z1 z3.
十四、复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴
如图所示,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点
Z ( a , b )
表示,这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复
平面,也叫高斯平面,x 轴叫作实轴,y 轴叫作虚轴.
2.复数集与复平面内点或向量的对应关系
按照复数的几何表示法,每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应;反过来,在复平面内的每一个点,有
唯一的一个复数和它对应.
复数集C 和在复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的,即这是复数的一种几何意义.
复数集C 与在复平面内所有以原点O 为起点的向量所构成的集合也是一一对应的(实数0 与零向量对应),即
这是复数的另一种几何意义.
3.复数的模
向量⃗OZ的模r 叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,则|z|=|a+bi|=r=√a
2+b
2(r≥0,r∈R),即复数
a+bi(a,b∈R)的模表示点Z(a,b)与原点O 的距离.
特别地,当b=0 时,z=a+bi(a,b∈R)是实数a,此时|z|=|a|.
解决复数概念问题的方法及注意事项:(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与
虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可;(2)解题时,
一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
复数代数形式的乘除运算问题的解题策略
(1)复数的乘法:复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含
有i 的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
复数的几何意义及应用:
(1)复数z 与复平面上的点Z 及向量⃗OZ相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔⃗OZ=(a,b);
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题
时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
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1.实系数一元二次方程ax 2+bx +c=0(a≠0)在复数范围内求根
(1)求根公式:
{
Δ>0:一对实根x1,2=-b±
√b
2-4ac
2a
.
Δ=0:一对相等的实根x1,2=-b
2a .
Δ<0:一对共轭虚根x1,2=-b±√-(b
2-4ac )i
2a
.
(2)韦达定理:{
x1+x2=−b
a ,
x1 x2= c
a .
2.虚系数一元二次方程ax 2+bx +c=0(a≠0)在复数范围内求根时,只能设出复数x 的代数形式或是三
角形式,利用复数相等求解.
在如图所示的复平面中,r=|z|=√a2+b2
,
cosθ=a
r ,
sinθ=b
r ,
tanθ=b
a (a≠0)
.
任何一个复数z=a+bi（a,b∈R）都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式. 我们把
r(cosθ+isinθ)叫作复数的三角形式.
复数乘、除运算的三角表示:
已知复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则
z1⋅z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];
z1
z2
=
r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
.
考点一、平面向量基本定理
类型一：（线性运算）
1．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
．
2．（2020 年新高考全国卷Ⅱ数学考试题（海南卷））在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在△
中，
为
边上的中
线，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到
，之后将其合并，得到
，下一步
应用相反向量，求得
，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以
.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
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法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4．（2003 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上
不共线的三个点，动点P 满足
，
，则P 的轨迹一定通过
的
（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】根据
是以
为始点，向量
与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】
，
令
，
则
是以
为始点，向量
与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即
在
的平分线上，
，
共线，
故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
类型二：坐标运算
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3 卷））在矩形ABCD 中，AB=1，
AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
=
+
，则
+
的最大值为
A．3
B．2
C．
D．2
【答案】A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设
,
易得圆的半径
，即圆C 的方程是
，
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，若满足⃗AP =λ⃗AB +μ⃗AD ，
则
，
，所以
，
设
，即
，点
在圆
上，
所以圆心
到直线
的距离
，即
，解得
，
所以的最大值是3，即
的最大值是3.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或
数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决.
2．（2007 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅱ））设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上三点．若
，则
（ ）
A．9
B．6
C．4
D．3
【答案】B
【分析】设出
三点的坐标，把
（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上
条件即可求解.
【详解】解：设点
的坐标分别为
．
又
，则
，
，
．
由抛物线的定义可得：
，
，
1．（2020 年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形
，点
，
分别是
，
的中点（如图
所示），设
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结
，则
为
的中位线，
，
2．（2021 年山东省春季高考数学真题）如下图，
是线段
的中点，设向量
，
，那么
能够表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，
．
3．已知非零向量
和
满足
，且
，则
为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据向量加法和线性运算可知向量
与
的平分线共线，根据
可知
的平分线与
对边垂直，由此可知△ABC 是等腰三角形；再由
和向量数量积的定义可求出
的大小，从而可判断△ABC 的形状．
【详解】
即
方向上的单位向量，
即
方向上的单位向量，
14
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∴向量
与
的平分线共线，
又由
可知
的平分线与
对边垂直，
则△ABC 是等腰三角形，
即
，
，∴
，
∵
，∴
，
∴△ABC 为等边三角形．
考点二、平面向量的模长问题
类型一：线性运算
1．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵
，
又∵
∴9
，
∴
2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷））设非零向量
，
满足
，则（ ）
A．
⊥
B．
C．
∥
D．
【答案】A
【详解】由
平方得
，
15
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即
，则
.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
类型二：坐标运算
1．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量
，则|⃗a−⃗b|（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】先求得
，然后求得|⃗a−⃗b|.
【详解】因为
，所以
.
2．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量
满足
，则
.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用
模的平方可以得出答案
【详解】∵
，∴
∴
.
1．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合已知条件，首先对
两边同时平方求出
，然后利用
求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，即
，
故
.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知向量
，则
（ ）
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A．
B．2
C．5
D．50
【答案】A
【分析】本题先计算
，再根据模的概念求出
．
【详解】由已知，
，
所以
，
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平
面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知
=(2,3)，
=(3，t)，
=1，则
=
A．-3
B．-2
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由
，
，得
，则
，
．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
考点三、平面向量的夹角问题
类型一：线性运算
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】计算出
、
的值，利用平面向量数量积可计算出
的值.
【详解】
，
，
，
.
，
17
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因此，
.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题.
2．（2023 年福建省联考数学试题）若向量
，
满足
，
，且
，则
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先由
求出
，然后利用数量积的求角公式求解即可.
【详解】∵
，
,∴
，即
，
设向量
与
夹角为
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
．
向量夹角为钝角
3．（2023 年广东省联考数学试题）已知向量
，若
与
的夹角为
；若
与
的夹
角为钝角，则取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
与
的数量积小于0，且不共线可得.
【详解】
与
的夹角为钝角，
，
又
与
的夹角为
，
所以
，即
，解得
，
又
与
不共线，所以
，所以取值范围为
.
类型二：坐标运算
18
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1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
2．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：
,
,即
,解得
.
向量夹角为锐角
3．（2023 年河南省名校联考数学试题）已知平面向量
，
.
(1)当实数m 为何值时，
与
垂直；
(2)若
与
所成的角为锐角，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据坐标运算可得模长以及数量积，即可根据数量积的运算律求解.
（2）根据数量积大于0 且不共线，即可求解.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
，
.
因为
与
垂直，
所以
,
即
，解得
,
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故实数m 的值为
.
（2）
,
,
因为
与
所成的角为锐角，
所以
，且
与
不共线，
即
，解得
当
与
共线时，
，解得
，
故
，
综上可知，实数k 的取值范围为
.
1．（2023 年安徽省教学质量统测数学试题）已知向量
满足
，且（⃗a−⃗b）⊥⃗b，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两向量的垂直关系及向量的夹角公式即可求解.
【详解】由（⃗a−⃗b）⊥⃗b，可得
，即
，又
，
所以
，又
，所以
与
的夹角为
.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知
为单位向量，且
=0，若
，则
.
【答案】
.
【分析】根据
结合向量夹角公式求出
，进一步求出结果.
【详解】因为
，
，
所以
，
20
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，所以
，
所以
．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
3．（2023 年天津市联考数学试题）已知
.求：
(1)
与
的夹角；
(2)
；
(3)若
与
夹角为钝角，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
；(3)
.
【分析】（1）根据向量的运算法则，列出方程，求得
，即可求解；
（2）根据题意，求得
，即可求得
的值；
（3）由
与
夹角为钝角，得到
且
与
不共线，列出不等式组，即可
求解.
【详解】（1）因为
，
可得
，
即
，解得
，
又因为
的取值范围为
，可得
.
（2）由
，且
，
可得
所以
.
（3）若
与
夹角为钝角，则满足
且
与
不共线
所以
，即
，解得
，
令
，可得
，解得
，
21
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综上可得
且
，即求
的取值范围
.
4．（2023 年河北省联考数学试题）已知向量
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．
与
夹角为钝角时，则的取值范围为
D．当
时，
在
上的投影向量为
【答案】B
【分析】利用向量线性运算坐标表示列方程判断A；向量垂直的坐标表示列方程判断B；注意
有向量
反向共线判断C；根据投影向量定义求投影向量的坐标判断D.
【详解】A：由
，则
，不正确；
B．由题意
，则
，正确；
C：当
时
，即向量
反向共线，此时夹角不为钝角，不正确；
D：
时
在
上的投影向量为
，不正确．
5．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知向量
，则
.
【答案】
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】
．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
考点四、平面向量中的共线问题
1．（2023 年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量
为平面向量的一组基底，且
，若
三点共线，则实数
应该满足的条件为（ ）
A．
B．
22
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C．
D．
【答案】D
【分析】由
三点共线，可得
进而由共线定理可得
，将
代入，再利用基本定理可求的
的关系.
【详解】
若
三点共线，
，
又
，
又
为平面向量的一组基底
2．（2020 年江苏省高考数学试题）在△ABC 中，
D 在边BC 上，延长AD 到P，
使得AP=9，若
（m 为常数），则CD 的长度是 ．
【答案】
或0
【分析】根据题设条件可设
，
结合
与
三点共线，可求得
，再根据勾股定理求出
，
然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵
三点共线，∴可设
，
∵
，∴
，即
，
若
且
，则
三点共线，∴
，即
，
∵
，∴
，∵
,
,
，∴
，
设
，
，则
，
.
∴根据余弦定理可得
，
，
∵
，∴
，解得
，∴
的长度为
.
当
时，
，
重合，此时
的长度为，
当
时，
，
重合，此时
，不合题意，舍去.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出
23
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．
3．（2023 年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量
，若
三点共
线，则实数
（ ）
A．
B．
C．4
D．5
【答案】A
【分析】先求
，然后向量共线的坐标表示可得.
【详解】因为
，
所以
，
.
又
三点共线，所以向量
与向量
共线，
所以
，解得
.
1．（2023 年黑龙江省模拟数学试题）设
，
是两个不共线的向量，若向量
与向量
共线，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据因为向量
与向量
共线，由
求解.
【详解】解：因为向量
与向量
共线，
所以
，即
，
因为
，
是两个不共线的向量，所以
，解得
.
2．（2023 年江西省水平测试数学试题）已知
，
，如图，在
中，点
，
满足
，
，
是线段
上靠近
的三等分点，点
为
的中点，且
，
，
三点共
线．
(1)用
，
来表示
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据向量的线性运算法则即可得；
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（2）由
，结合结论可得
，再利用基本不等式求
的最小值．
【详解】（1）∵
∴
∴
（2）∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
三点共线，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当且仅当
，
时，
的最小值为
．
考点五、平面向量的平行与垂直
类型一：线性运算
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知单位向量
，
的夹角为60°，则在下列
向量中，与
垂直的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：
.
A：因为
，所以本选项不符合题意；
25
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B：因为
，所以本选项不符合题意；
C：因为
，所以本选项不符合题意；
D：因为
，所以本选项符合题意.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计
算等数学素养．先由
得出向量
的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量
夹角．
【详解】因为
，所以
=0，所以
，所以
=
，所以
与
的夹角为
．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余
弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为
．
3．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设向量
，
不平行，向量
与
平行，则实数
．
【答案】
【详解】因为向量
与
平行，所以
，则
所以
．
考点：向量共线．
类型二：坐标运算
1．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知向量
．若
，则
．
【答案】
/
26
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【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：
，解得
.
2．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量
，若⃗a//⃗b，则
．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于
的方程，解方程即可求得实数
的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：
，解方程可得：
.
3．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量
．若
，则
．
【答案】
.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量
的坐标，利用向量的数量积为零求得
的值
【详解】
,
，解得
.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积
.
1．
是边长为2 的等边三角形，已知向量
满足
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
可判断A；计算
的值可判断B，C 错误；计算
的值可判断D.
【详解】在
中，由
，得
，故A 错误；
又
，且
，所以
，所以
，故B，C 错误；
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因为
，所以
，故D 正确.
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量
,
的夹角为45°，
与
垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.
【详解】由题意可得：
，
由向量垂直的充分必要条件可得：
，
即：
，解得：
.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
3．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为
，所以由
可得，
，解得
．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设
，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
4．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知向量
，
，
．若
，则
．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
.
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
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5．（2005 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））
是
所在平面上一点，若
，则
是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积的性质推导出
，进一步可得出
，
，即可得出结论.
【详解】因为
，则
，所以，
，
同理可得
，
，故
是
的垂心.
考点六、平面向量的数量积
1．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示⃗EC ,⃗ED ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知|⃗AB|=|⃗AD|=2,⃗AB⋅⃗AD =0 ，
则⃗EC =⃗EB +⃗BC =1
2⃗AB +⃗AD ,⃗ED =⃗EA+⃗AD =−1
2⃗AB +⃗AD ，
所以⃗EC⋅⃗ED =(
1
2⃗AB +⃗AD)⋅(−1
2⃗AB +⃗AD)=−1
4⃗AB 2+⃗AD 2=−1+4=3 ；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得⃗EC =(1,2),⃗ED =(−1,2)，
所以⃗EC⋅⃗ED =−1+4=3；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以⃗EC⋅⃗ED =|⃗EC||⃗ED|cos∠DEC =√5×√5×3
5=3 .
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2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，|⃗b|=3，则
．
【答案】
【分析】设
与
的夹角为
，依题意可得
，再根据数量积的定义求出
，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，|⃗b|=3，所以
，
所以
．
3．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）已知向量
，
，
，
．
【答案】
【分析】由已知可得
，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得
，
因此，
.
1．如图，在平面四边形ABCD 中，
若点E 为边CD 上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得
为等腰三角形，
为等边三角形，把数量积
分拆，设
，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD 中点为O,可知
为等腰三角形，而
，所以
为等边三
角形，
。设
=
所以当
时，上式取最小值
.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
同时利用向量共线转化为函数求最值。
2．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））在如图的平面图形中，已知
,
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理
计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由
可知点
分别为线段
上靠近点
的三等分点，
则
，
由题意可知：
，
，
结合数量积的运算法则可得：
.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
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应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．（2023 年江西省模拟考试数学试题）已知四边形ABCD 是边长为2 的菱形，
，P 为平面
ABCD 内一点，AC 与BP 相交于点Q．
(1)若
，
，求x，y 的值；
(2)求
最小值．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.
【详解】（1）当
时，则
为
的中点，
由于
,所以
,
所以
（2）由于四边形ABCD 是边长为2 的菱形，且
，建立如图所示的直角坐标系，
则
,
取
中点为
，连接
,则
,
设
，
，
故当
时，取最小值
.
32
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考点七、投影及投影向量
1．（2023 年贵州省教学质量监测试题）已知向量
，则向量
在向量
上的投影向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出
，
，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为
，
，
所以
，|⃗b|=√1
2+3
2=√10，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
2．（2021 年浙江省高考数学试题）已知平面向量
满足
.记向
量
在
方向上的投影分别为x，y，
在方向上的投影为z，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，由平面向量的知识可得
，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设
，
则
，即
，
又向量
在
方向上的投影分别为x，y，所以
，
所以
在方向上的投影
，
即
,
所以
，
33
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当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出
之间的等量关系，再结合柯西不
等式变形即可求得最小值.
1．（2023 年安徽省教学质量统测数学试题）向量
，
，则
在
上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】用
在
方向上的投影乘以与
同向的单位向量可得结果.
【详解】
在
方向上的投影向量为
2．（2023 年广西联合调研测试数学试题）已知点
是直角
斜边
的中点，且
，则向
量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意可得|⃗BC|、
，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为点
是直角
斜边
的中点，且
，
所以
，则
，
向量
在向量
上的投影向量为
.
考点八、平面向量在物理上的应用
34
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1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为
，
所受的两个拉力分别为
，
，且
，
与
的夹角为
，则以下结论不正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的范围为
C．当
时，
D．当
时，
【答案】B
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】解：如图，对于选项A：当
、
方向同向时，有
，此时
取得最小值，且
最小
值为
，A 正确；
对于选项B：当
时，有
，行李包不会处于平衡状态，即
，B 错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，
，若
，
则有
，变形得，
，即
，
正确；
对于D 选项：若
，则有则有
，变形可得则有
，D 正确.
35
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2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸.已知游船在静水中的航
行速度
的大小为|⃗v1|=10km/h ，水流的速度
的大小为|⃗v2|=4km/h ，设
和
所成的角为
，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算、数量积公式、模长公式以及两向量垂直的充要条件求解.
【详解】由题意知
，
则
，
因为
，
，
即
，
所以
.故A，C，D 错误.
1．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为
米，一艘船从河岸的
地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，船的速度与水流速度的合速度为，那么
当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
36
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A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为分钟
【答案】B
【分析】分析可知
，当船的航程最短时，
，利用平面向量数量积可判断ABC 选项的正误，
利用路程除以速度可得航行时间，可判断D 选项的正误.
【详解】由题意可知，
，当船的航程最短时，
，而船头的方向与
同向，
由
，可得
，
，A 选项错误，B
选项正确；
，C 选项错误；
该船到达对岸所需时间为
（分钟），D 选项错误.
2．（2023 年江苏省模拟数学试题）某人在静水中游泳的速度为
，河水自西向东的流速为
，此
人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，确定某人的实际前进方向，解直角三角形，可得答案.
【详解】如图，
表示河水自西向东的流速，
表示某人在静水中游泳的速度，
则
即表示他的实际前进方向，
由题意可知
，
，
则在
中，tan∠AOC =⃗AC⃗
OA
=√3 ，故
，
即他的实际前进方向与水流方向的夹角为
.
考点九、平面向量的综合应用
37
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1．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或
然后结合三角函数的性质即可确定
的最大
值.
【详解】如图所示，
，
则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值.
38
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当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
2．（2022 年北京市高考数学试题）在
中，
．P 为
所在平面内的动点，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设
，表示出
，
，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
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【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
因为
，所以
在以
为圆心，为半径的圆上运动，
设
，
，
所以
，
，
所以
，其中
，
，
因为
，所以
，即
；
3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
，则点C 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设
，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
40
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则：
，设
，可得：
，
从而：
，
结合题意可得：
，
整理可得：
，
即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心，
为半径的圆.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
4．（2023 年吉林省阶段性考试数学试题）已知A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点
P 满足
，则△ACO 与△CBP 面积比为（ ）
A．5:6
B．3:4
C．2:3
D．1:2
【答案】D
【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得
，故P 为OA 中点，进而可得面积比.
【详解】由O 是△ABC 的重心，得
，而
，
则
，故
，
所以点P 为OA 中点，即点P、点O 为BC 边中线的两个三等分点，
所以
，
，
所以△ACO 与△CBP 面积比为1:2.
5．（2023 年河北省联考数学试题）设向量
与
的夹角为
，定义
．已知向量
为
单位向量，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积运算律列方程求得
，结合同角三角函数关系、新定义求值即可.
【详解】由
，解得
，
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又
，所以
，所以
．
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷））已知
是边长为2 的等边三角
形，
为平面
内一点，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以
中点为坐标原点，
则
，
，
，
设
，则
，
，
，
则
当
，
时，取得最小值
.
2．平行四边形
中，
，
，
，点
在边
上，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设
，把
的取值范围转化为求二次函数的值域问
题，即可求得本题答案.
【详解】作
，垂足为
，以点
为原点，
所在直线为
轴，
轴建立如下图的平面直角
坐标系.
因为
，而
,所以
，
42
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在直角
中，因为
，
，所以
，
，
则
，设
，
所以
，
所以
，
因为二次函数开口向上，对称轴为
，且
，
所以当
时，
取最小值
，当
时，
取最大值
，
所以
的取值范围是
.
3．（2020 年天津市高考数学试题）如图，在四边形
中，
，
，且
，则实数
的值为 ，若
是线段
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】可得
，利用平面向量数量积的定义求
得
的值，然后以点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
设点
，则点
（其中
），得出
关于
的函数表达式，利用二次函数的基
本性质求得
的最小值.
【详解】
，
，
，
，
解得
，
以点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系
，
43
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,
∵
，∴
的坐标为
,
∵又∵
,则
，设
，则
（其中
），
，
，
，
所以，当
时，
取得最小值
.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于
中等题.
4．已知
为
所在平面内一点，若
，则
（ ）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．1：6
【答案】B
【分析】取
边中点
，由已知及向量的线性运算得
，从而得到两个三角形高的比，可得到答
案.
【详解】由
，得
，
取
边中点
，连接
，则
，所以
，
又
与
有相同的底边
，则它们的高之比即为
与
的比为
，
所以
.
44
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5．设非零向量
与
的夹角为
，定义
与
的“向量积”：
是一个向量，它的模
，
若
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得
，得到
，结合
，即可求解.
【详解】由题意知，向量
，可得
，
所以
，
因为
，则
，
所以
.
考点十、复数的基本概念
1．下列三个命题：①若
且
，则
是纯虚数；②复数
的充要条件是
；
③若
，则
；正确个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】①不正确，例如
时，
；
②设
，利用复数相等即可判断出结论；
③若
，
，则
，
，即可判断出结论．
【详解】解：①若
，
且
，则
是纯虚数不正确，例如
时，
；
②设
，复数
；反之：若
，则
，解得
，因此
；
③若
，
，
则
且
，无法得出
，
因此不正确；
45
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因此正确个数为1．
【点睛】本题考查了复数的有关知识、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
共轭复数
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
复数为实数
3．（2020 年浙江省高考数学试卷）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1
B．–1
C．2
D．–2
【答案】C
【分析】根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为
为实数，所以
，
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
复数为纯虚数
4．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．(1+i)2
B．i2(1-i)
C．i(1+i)2
D．i(1+i)
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.
【详解】由题意，对于A 中，复数
为纯虚数，所以正确；
对于B 中，复数
不是纯虚数，所以不正确；
对于C 中，复数
不是纯虚数，所以不正确；
对于D 中，复数
不是纯虚数，所以不正确.
【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌
握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理
与计算能力，属于基础题.
复数的虚部
5．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数
的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.
【详解】因为
，
所以复数
的虚部为
.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
复数的实部
6．（2020 年江苏省高考数学试题）已知是虚数单位，则复数
的实部是 .
【答案】3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数z=(1+i)(2−i)
∴z=2−i+2i−i2=3+i
∴复数的实部为3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
关于虚轴对称
7．在复平面内，复数
对应的点与
对应的点关于虚轴对称，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由复数的运算可得
，再求解即可.
【详解】解：由
，
又复数
对应的点与
对应的点关于虚轴对称，
则
.
【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数在复平面对应的点，属基础题.
1．已知
（
，是虚数单位），
，定义：
，
，给
出下列命题：
①对任意
，都有
；
②若
是复数的共轭复数，则
恒成立；
③
，则
；
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④对任意
，结论
恒成立；
则其中真命题是（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．②④
D．①③
【答案】C
【分析】①用特殊值验证，证明为假命题. ②根据
的定义，证明为真命题. ③由②可知③为假命题.
④根据
的定义，证明为真命题.
【详解】对于①，当
时，
，所以①为假命题.
对于②，令
，则
，所以②为真命题.
对于③，由于②成立，而和
不一定相等，所以③为假命题.
对于④，依题意
，根据复数减法的模的几何意义可
知，
表示复数
和
对应两点间的距离，
表示复数
和
对应两点间的距离，
表示
复数
和
对应两点间的距离.根据三角形两边的和大于第三边可知
，当
对应的
点在
和
对应的两点连成的线段上时，
，所以
成
立. ④为真命题.
【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查复数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，
属于中档题.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z=i(2+i)，则
=（ ）
A．1+2i B．–1+2i C．1–2i
D．–1–2i
【答案】D
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出
．
【详解】
，
所以
．
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概
念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））若复数满足
，其中i 是虚数单
位，则的实部为 ．
【答案】2
【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
详解：因为
，则z=1+2i
i
=2−i ，则的实部为
.
点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数
的实部为
、虚部为
、模为
、对
应点为
、共轭复数为
.
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4．（2023 年云南省模拟数学试题）若复数满足
，则关于复数的说法正确的是（ ）
A．复数的实部为
B．复数的虚部为
C．复数的模长为
D．复数对应的复平面上的点在第一象限
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念、几何意义及模的计算公式计算可
得.
【详解】因为
，所以
，
所以复数的实部为
，虚部为
，故A 正确，B 错误；
，故C 错误；
复数对应的复平面上的点为
，位于第四象限，故D 错误；
5．若复数
在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数
的取值集合为
.
【答案】
【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为
为实数，且复数
在复平面内对应的点
位于虚轴上，
所以
，解得
或
.
考点十一、复数相等
1．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设
，则
（ ）
A．-1
B．0 ·
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为
，
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所以
，解得：
．
2．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知
，且
，其中a，b 为实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先算出
,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由
,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得
,即
3．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）设
，其中
为实数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为
R，
，所以
，解得：
．
4．（2021 年浙江省高考数学试题）已知
，
，(i 为虚数单位)，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数
的值.
【详解】
，
利用复数相等的充分必要条件可得：
.
1．（2022 年浙江省高考数学试题）已知
（为虚数单位），则（ ）
A．
B．
C．a=−1,b=−3
D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求
.
【详解】
，而
为实数，故
.
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2．（2023 年广东省模拟数学试题）已知复数
为纯虚数（
，是虚数单位），且
，则（ ）
A．
且
B．
且
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【详解】复数
为纯虚数，则
，即
，故
，
由
，则
或
．
3．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于
、
的等式，解出这两个未知
数的值，即可得出复数.
【详解】设
，则
，则
，
所以，
，解得
，因此，
.
考点十二、复数的模长
1．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）
（ ）
A．1
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简
，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
2．（2022 年北京市高考数学试题）若复数z 满足
，则
（ ）
A．1
B．5
C．7
D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
51
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【详解】由题意有
，故
．
3．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）若
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为
，所以
，所以
．
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设
，则
=（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求
．
【详解】因为
，所以
，所以
，故选C．
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复
数的模.
详解：
，则
.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握
纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运
算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．（2019 年浙江省高考数学试题）复数
（为虚数单位），则
.
【答案】
【分析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的
考查.
52
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【详解】
.
【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.
考点十三、复平面
1．（2020 年北京市高考数学试题）在复平面内，复数对应的点的坐标是
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得
，
.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z=-3+2i，则在复平面内
对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由
得
则
对应点（-3，-2）位于第三象限．
【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．
1．（2023 年福建省模拟数学试题）已知
，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数除法求得后可得其对应点坐标，从而得出正确选项．
【详解】由题意
，
对应点为
，在第一象限．
53
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2．（2023 年上海市模拟数学试题）在复平面中，复数
（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为
，该复数在复平面内对应的点位于第四象限.
考点十四、复数的四则运算
1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）
（ ）
A．
B．1 C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）已知是虚数单位，化简
的结果为 ．
【答案】
/
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以
，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得
.
3．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为
，故
，故
4．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i）
4=（ ）
A．–4
B．4
C．–4i
D．4i
【答案】A
54
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【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】
.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据复数运算法则求解即可.
【详解】
．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
2．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算展开即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3．（2022 年高考（天津卷）数学真题）已知是虚数单位，化简
的结果为 ．
【答案】
/
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】
．
考点十五、复数的几何意义
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设复数
，
满足
，
，
则
= .
55
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【答案】
【分析】方法一：令
，
，根据复数的相等可求得
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数
所对应的点为
,
, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四
边形
为菱形，
，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算
.
【详解】方法一：设
，
，
，
，又
，所以
，
，
.
方法二：如图所示，设复数
所对应的点为
,
,
由已知
,
∴平行四边形
为菱形，且
都是正三角形，∴
，
∴
.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是
一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
2．复数
、
满足
，
，
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
、
可得
，
，将其代入
进行整理化简求出
，再将
代入即可.
56
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【详解】设
，
，
因为
、
，所以
，
所以
，同理
，
因为
，
所以
，
因为
，
可得
.
故
的虚部为
.
1．（2023 年广西教学质量监测数学试题）若复数
（其中为虚数单位）在复平面内所
对应的向量分别为
和
，则
的面积为 .
【答案】
/6.5
【分析】根据向量的坐标运算可得垂直关系，即可由模长求解得面积.
【详解】由题意，得
，则
，
，
的面积为
.
2．（2023 年河南省模拟数学试题）如图，向量
对应的复数是，则复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图可得
，再根据复数代数形式的除法运
算化简复数
，即可判断.
57
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【详解】由图可知
，所以
，
所以
，
所以复数
的虚部为.
3．（2023 年内蒙古模拟数学试题）对于给定的复数，若满足
的复数对应的点的轨迹是圆，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义即可求解.
【详解】设
，因为
，
所以
，即
，
所以
，
所以复数对应的点的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆；
则表示
到
的距离，
即图中的
，其中
，
在圆上移动，由图可知，
，即
.
【基础过关】
1．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点
，向量
，则向量
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：
.
58
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考点：向量运算
2．（2023 年北京市模拟数学试题）已知向量
，则下列向量中与
平行的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量平行的坐标运算、模长公式得出答案.
【详解】设与
平行的单位向量为
，则
.
则与
平行的单位向量为
或
.
3．（2020 年全国统一高考数学（理科）（新课标Ⅰ））设
为单位向量，且
，则
.
【答案】
【分析】整理已知可得：
，再利用
为单位向量即可求得
，对
变形可得：
，问题得解.
【详解】因为
为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
4．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设向量
=（1,0），
=（−1,m）,若
，则m= .
【答案】-1.
【分析】根据
坐标表示出
，再根据
，得坐标关系，解方程即可.
【详解】
，
，
由
得：
，
，即
.
【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设
，则①
；②
.
59
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5．（2021 年北京市高考数学试题）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方
形的边长为1，则
；
.
【答案】 0 / 3
【分析】根据坐标求出
，再根据数量积的坐标运算直接计算即
可.
【详解】以
交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则
，
，
，
.
6．（2020 年北京市高考数学试题）已知正方形
的边长为2，点P 满足
，则
；
．
【答案】
【分析】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立平面直角坐标系，求得点
的坐标，
利用平面向量数量积的坐标运算可求得
以及
的值.
【详解】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点
、
、
、
，
，
60
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则点
，
，
，
因此，
，
.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点
的坐标是解答的关键，
考查计算能力，属于基础题.
7．（2008 年高考广东卷理科数学试题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中
点，AE 的延长线与CD 交于点F，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
=
.
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
8．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.
【详解】由题意可得：
.
9．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）复数
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
61
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【分析】利用复数的除法可化简
，从而可求对应的点的位置.
【详解】
，所以该复数对应的点为
，
该点在第一象限.
10．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】由题意首先求得
的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
故
.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
11．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足
，z 在复平面内对应的
点为(x，y)，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，
1)之间的距离为1．
【详解】
则
．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，
利用方程思想解题．
12．复数满足
，则下列四个判断中，正确的个数是（ ）
①有且只有两个解； ②只有虚数解；
③的所有解的和等于； ④的解的模都等于；
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意结合复数的运算法则求得z 的值，然后考查所给的说法是否正确即可.
【详解】设
，则
，
结合题意可得：
，解得：
或
，
即
或
.
62
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考查题中说给的四个说法：
①有且只有两个解正确；
②只有虚数解正确；
③的所有解的和等于正确；
④的解的模都等于正确；
即四个判断中，正确的个数是4.
【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
13．（2021 年天津高考数学试题）是虚数单位，复数
．
【答案】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：
.
14．复数
的虚部为
“ ”是虚数单位
【答案】0
【分析】利用复数运算法则和虚部的意义即可得出．
【详解】
，
，
复数
.
其虚部为
【能力提升】
1．已知
，
|，且
，则
与
的夹角θ 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算律及向量的数量积的定义，结合余弦不等式的解法即可求解.
【详解】由
，
得
，
即
，
又
，
63
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∴
.
故答案为：
.
2．（2023 年新高考天津数学高考真题）在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为 ；若
，则
的最大值为
．
【答案】
/
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示出
，结合上一
空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
64
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3．（2022 年高考天津卷数学真题）在
中，
，D 是AC 中点，
，试用
表
示
为 ，若
，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出
，以
为基底，表示出
，由
可得
，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点
为原点建立平面直角坐标系，设
，由
可得点
的轨迹为
以
为圆心，以
为半径的圆，方程为
，即可根据几何性质可知，当且仅当
与
相切时，
最大，即求出．
【详解】方法一：
，
，
，当且仅当
时取等号，而
，所以
．
故答案为：
；
．
方法二：如图所示，建立坐标系：
65
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，
，
，所以点
的轨迹是以
为圆心，以
为半径
的圆，当且仅当
与
相切时，
最大，此时
．
4．（2023 年海南模拟数学试题）如图，在
中，
是
的中点，
与
交
于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得
答案.
【详解】在
中，设
，由
，可得
，故
．
又
是
的中点，
，所以
，所以
．
由点
三点共线，可得
，解得
，故
．
5．（2022 年浙江省高考数学试题）设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立
平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设
，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
66
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，然后利用
即可解出．
【详解】以圆心为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则
,
，设
,于是
，
因为
，所以
，故
的取值范围是
.
6．如图，在
中，
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
.设
，
，则
的最值为 .
【答案】最小值为
，无最大值.
【分析】根据平面向量线性运算法则得到
，
从而得到
，根据
，
，
三点共线得到
，最后利用乘“1”法及基本不等
式计算可得.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
又
，
，所以
，
因为
，
，
三点共线，所以
，
由图可知
，
，
所以
，
67
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当且仅当
，即
、
时取等号，
所以
的最小值为
，无最大值.
故答案为：最小值为
，无最大值.
7．（2023 年山东省模拟数学试题）若⃗AB =√2
2
(⃗a+5⃗b),⃗BC =−2⃗a+8⃗b,⃗CD =3(⃗a−⃗b)，则共线的三点是
.
【答案】
【分析】根据已知条件结合共线向量定理分析判断即可.
【详解】因为⃗BC =−2⃗a+8⃗b,⃗CD =3(⃗a−⃗b)，所以
，
因为⃗AB =√2
2 (⃗a+5⃗b)，所以⃗AB =√2
2⃗BD ，所以
与
共线，
因为
与
有公共端点
，所以
三点共线.
8．如图，在
中，
是
的中点，
是
上的两个三等分点，
，
，则
的值是 .
【答案】
【详解】因为
，
，
因此
，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量
积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向
量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
68
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9．一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向东2
.一艘小货船准备从河南岸的
码头A 处出发，航行到位于河对岸B（AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距250
的码头C 处卸
货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6
，则当小货船的航程最短时，小货船航行的
速度大小是
.
【答案】
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货
船航行速度的大小.
【详解】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段
，
设小货船航行速度为，水流的速度为
，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为
，作出示意图如
下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向正东
，
，在
中，有
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以小货船航行速度的大小为
．
10．（2023 年湖北省联考数学试题）若
为
的垂心，
，则
＝ ，
．
【答案】
/
【分析】依题意可得
，设
为
的中点，
为
的中点，则
，
即可得到三角形面积之比，从而得到
，
，设
，
，表示出
、
，根
据
求出
，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
69
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设
为
的中点，
为
的中点，则
，
，
所以
，
所以
为
的中位线，且
，所以
为
的中点，所以
，
又
，
，所以
，所以
，所以
，
同理可得
，所以
，
，
又
为
的垂心，
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，所以
，则
所以
，所以
.
11．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知得
，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】
，
.
12．（2023 年河北省联考数学试题）已知
为实数，
（为虚数单位）是关于
的方程
的一个根，则
（ ）
A．9
B．7
C．5
D．4
【答案】A
【分析】根据虚根成对原理可得
是关于
的方程
的另一个根，利用韦达定理求出
、
，
70
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即可得解.
【详解】因为
是关于
的方程
（
、
为实数）的一个根，
则
是关于
的方程
的另一个根，
则
，即
，则
.
13．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足
，z 在复平面内对应的
点为(x，y)，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，
1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则
．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，
利用方程思想解题．
14．（2023 年广西教学质量监测数学试题）已知复数
，其中
为虚数单
位.
(1)当实数
取何值时，复数是纯虚数；
(2)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据复数的概念，结合题意列出方程组，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由复数
因为复数是纯虚数，则满足
，解得
，
故当实数
时，复数是纯虚数.
（2）解：因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
则满足
，解得
，
故实数
的取值范围为
.
【真题感知】
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1．（2023 年北京高考数学真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
2．（全国甲卷理科数学）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
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3．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
4．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令⃗c=⃗a−⃗b ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则⃗a2+2⃗a⋅⃗b+⃗b2=4⃗a2−4⃗a2⋅⃗b+⃗b2，整理得
，
又因为
，即
，
则⃗a2−2⃗a⋅⃗b+⃗b2=⃗b2=3 ，所以
.
法二：设⃗c=⃗a−⃗b ，则|⃗c|=√3，⃗a+⃗b=⃗c+2⃗b,2⃗a−⃗b=2⃗c+⃗b，
由题意可得：(⃗c+2⃗b)
2=(2⃗c+⃗b)
2，则⃗c2+4⃗c⋅⃗b+4⃗b2=4⃗c2+4⃗c⋅⃗b+⃗b2，
整理得：⃗c2=⃗b2，即|⃗b|=|⃗c|=√3.
5．（2023 年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是
，则的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.
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6．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到
，从而解出．
【详解】因为
，所以
，即
．
7．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限.
8．（2022 年全国新高考II 卷数学试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求
.
【详解】
.
9．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求
.
【详解】由题设有
，故
，故
.
10．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
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