函数与导数：双变量问题、利用导数证明不等式、零点问题专项训练
考点目录
双变量问题
利用导数证明不等式
零点问题
1．（23-24 高二下·福建福州·期末）已知,x y 为不相等的正实数，
1
ln
ln
x
y
x
y
+
=
-
，则（ ）
A．x
y
＞
B．x
y
＜
C．
1
x
y
+
＞
D．
1
x
y
+
＜
2．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）函数
ln
,
ex
a
f x
x
b a
b
=
+
+
Î
Î
R
R 的两个极值点
1
2
,
x x 满足
1
2
1
2
x
x
x
<
£
，则
1
2
2
x
x
+
的最大值为（ ）
A．2ln2
B．3ln2
C．4ln2
D．5ln2
3．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知实数x ，y 满足
2e
ln
ln 2
x
y
x
y
=
-
，则y 的最小值为（ ）
A．
2
1
e
B．1
e
C．e
D．
2e
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测·多选）已知
2
( )
(
1)
x
f x
x
e
x
=
-
-
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
( )
f x 在
0,ln 2 上单调递增
B．函数
( )
f x 有1 个零点
C．对任意
1
2
,
[1,
)
x x Î
+¥ ，
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
(
)
(
)
2
2
f x
f x
x
x
f
+
+
æ
ö
³
ç
÷
è
ø
D．若函数( )
( )
g x
f x
m
=
-
在区间
0,2 上有且只有一个零点，则
2
[ 1,e
4]
mÎ -
-
考点一
双变量问题
5．（24-25 高三下·河北邢台·阶段练习·多选）已知函数
ln
f x
x
x
a a
=
-
+
ÎR ，
f x 的图象与直线y
t
= 交于
1,
M x t 、
2,
N x t 两点，且
1
2
x
x
<
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
0
t =
，则a 的取值范围为
1
a £ -
B．若
2
g x
f x
f
x
=
-
-
，则
g x 无最值
C．
1
2
2
1
2
1
2
ln
ln
x
x
x
x
x
x
+
-
>
-
D．
f x 在
1
2
2
x
x
x
+
=
处的切线的斜率大于0
6．（24-25 高二上·浙江温州·期末）已知函数
e
1
x
f x
a
x
=
-
- 有两个零点
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
<
.设n 为常数，当a 变化
时，
1
2
1
nx
x
n
+
+
+
有最小值e，则常数n 的值为
.
7．（24-25 高二下·福建漳州·期末）
1
2
,
1,2
x x
"
Î
，且
1
2
x
x
¹
，不等式
2
1
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
m
x
x
-
<
-
恒成立，则m 的取值范围
为
.
8．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数
2e
( )
e
(
0), ( )
ln
x
f x
x
g x
x
x
=
-
>
=
．
(1)求函数( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
+
在[1,e]上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的
1
2
0
x
x
<
<
，均有
1
1
2
2
f x
ag x
f x
ag x
-
<
-
，求a 的取值范围．
9．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知
2
ln
2
a
f x
x
a x
x
=
-
-
.
(1)若曲线
y
f x
=
在
1
x = 处的切线与y
x
=
垂直，求实数a 的值；
(2)若函数
y
f x
=
存在两个不同的极值点
1
2
,
x x ，求
1
2
f x
f x
+
的取值范围.
10．（25-26 高三上·北京·阶段练习）已知
2
ln
1
f x
x
a x
ax
=
-
-
- ．
(1)若
1
a = - ，求曲线
y
f x
=
在点
1
1
P
f
，
处的切线方程；
(2)若函数
y
f x
=
存在两个不同的极值点
1
2
x
x
，
，求证：
1
2
0
f x
f x
+
>
．
11．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
1
x
x
f x
ax
e
+
=
+
有两个极值点
1
2
x
x
，
且
1
2
x
x
<
.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)证明:
1
2
2
3
x
x
+
>
.
12．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知函数
( )
ln
1
f x
x
=
+ ，( )
a
g x
x
=
.
(1)讨论函数
( )
(
1)
f x
g x
+
+
在定义域内的单调性；
(2)若存在唯一一组实数
1
2
1
2
,
(
)
x x
x
x
<
，使得
( )
f x 在
1
2
[
,
]
x x
上的值域为
2
1
[ (
), (
)]
g x
g x
.
（i） 求证:
1
2
2
x
x
+
>
;
（ii） 求实数a 的取值范围.
13．（25-26 高三上·湖北·开学考试）设函数
2
e
e
x
x
f
x
ax
-
+
=
-
，其中
0
a >
为参数．
(1)当
1
a = 时，求
f x 的单调区间．
(2)求a 的取值范围，使得
0
f x ³ 对所有实数x 成立．
(3)设
0
a
a
>
，其中
0a 为（2）中范围的右端点，记
1
2
,
x x 为
0
f x =
的两个正实数解
1
2
0
x
x
<
<
，
0x 为（2）中定义
的正实数（满足
0
0
2
tanhx
x
=
）．证明：
2
0
0
1
x
x
x
x
-
>
-
．
14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
1 sin
cos
f x
m
x
x
x
=
+
-
，
0,π
xÎ
．
(1)当
0
m =
时，求
f x 的值域；
(2)若
f x 存在唯一的极值且为极小值，求m 的取值范围；
(3)设nÎR ，若存在
,0
mÎ -¥
使得
2
m
f x
n
£
-
对
0,π
xÎ
恒成立，求n 的最大值．
1．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）下列四个不等式①ln
ex
x
x
<
<
②ln
1
x x
x
³
- ③ln
1
x
x
³
- ④
sin
0
x
x x
<
>
中正确个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（25-26 高三上·云南昆明·阶段练习）若
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，则（ ）
A．
2
1
2
1
e
e
ln
ln
x
x
x
x
-
>
-
B．
2
1
2
1
e
e
ln
ln
x
x
x
x
-
<
-
C．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
<
D．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
>
3．（24-25 高二下·湖南·阶段练习·多选）已知a
b
¹
且a 、b 满足
2
2
1
1
a
b
a
b
+ -
+ <
+ ，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A．
0
a
b
+
>
B．
0
a
b
-
>
C．2
2
3
3
a
b
a
b
-
-
-
>
-
D．e
1
a
b
+
>
4．（25-26 高三上·海南海口·开学考试）设函数
ln
1
f x
x
x
=
-
+ ．
(1)求
f x 的单调区间；
(2)证明：当
1,
xÎ
+¥ 时，
1
1
ln
x
x
x
-
<
<
；
考点二
利用导数证明不等式
5．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数
2
π
sin
tan
2
0, 2
f x
x
x
x
kx
x
æ
ö
=
+
-
-
Îç
÷
è
ø
，
．
(1)当
0
k =
时，判断
f x 的单调性；
(2)若对任意的
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，不等式
0
f x >
恒成立，求k 的取值范围；
(3)求证：sin
tan
2
x
x
x
+
>
（
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ）．
6．（25-26 高三上·辽宁·开学考试）已知函数
f x 在区间
,a b 上有定义，记
f
x
¢
为
f x 的导函数，
f
x
¢¢
为
f
x
¢
的导函数.若
0
f
x
¢¢
>
，则称
f x 为
,a b 上的“V ”函数.已知
2
sin
R
F x
x
m
x m
=
+
Î
是R 上的“V ”函数.
(1)求m 的取值范围；
(2)已知直线y
kx
=
为曲线
y
F x
=
在原点处的切线，求
kx
F x
-
的最大值；
(3)证明：当
0
x >
时，
2
2
sin
ln
1
1
x
x
x
x
x
é
ù
+
>
+
+
ë
û
+ .
7．（24-25 高三上·北京·期中）已知
e
1
x
f x
ax
=
-
- ，aÎR ，e 是自然对数的底数．
(1)当
1
a = 时，求函数
y
f x
=
的单调区间、极值以及对应的极值点；
(2)若关于x 的方程
1
0
f x + =
有两个不等实根，求a 的取值范围；
(3)当
0
a >
时，若满足
1
2
1
2
f x
f x
x
x
=
<
，求证：
1
2
2ln
x
x
a
+
<
．
8．（25-26 高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数
2
1
ln 2
2
f x
x
m
x
m
=
+
+
ÎR .
(1)若曲线
y
f x
=
在
1
x = 处的切线的斜率为2，求切点的坐标；
(2)讨论函数
f x 的单调性；
(3)当
π
2
0, 2
m
x
æ
ö
=
Îç
÷
è
ø
，
时，求证：
2
1
sin
1
2
f x
x
x
<
+
+ .
9．（25-26 高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数
( )
1
ln , ( )
1
ln ,
f x
x
x x g x
x
a x a
=
- -
=
- -
ÎR 且
0
a ¹
.
(1)求函数
( )
f x 的最大值；
(2)若( )
0
g x ³
，求a 的值；
(3)求证：
1
1
1
1 2
3
2025
e
2026
+ + +
+
>
L
（其中e是自然对数的底数）.
10．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知函数
2
3ln
f x
x
x
a
x
=
-
-
-
.
(1)证明：
0,
,
0
a
f a
¥
" Î
+
<
.
(2)若
f x 在1 ,
4
é
ö
+¥÷
êë
ø 上只有一个零点，求a 的取值范围.
(3)设
1
2
,
x x 是
f x 的两个零点，证明：
1
2
6ln3
2
6
6ln2
x
x
a
+
+
>
+
+
.
11．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数
2
2
*
1
N
n
nf
x
x
x
x
n
= +
+
+
+
Î
L
，
；
(1)求函数
nf
x 的极值点个数；
(2)记函数
nf
x 的极值点为
nx ，证明：
①
1
1
2
nx
n
³
- ；
②数列
nx
单调递减．
(提示：
1
x ¹ 时，
1
*
1
1
N
1
n
n
x
x
x
n
x
+ -
+
+
+
=
Î
-
L
，
)
1．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）若
e
ln
x
f x
t x
=
-
在
1,3 上存在唯一的零点，则（ ）
A．
e
t
< <
2
B．
2e
ln2
t >
C．
2
t
e
>
D．
3e
ln3
t >
2．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数
( )
ex
f x
ax
=
-
有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
0,1
B．
1,e
C．
e,+¥
D．
0,e
3．（25-26 高三上·北京顺义·开学考试）已知函数
e
1
1
e
1
2
x
x
f x
x
=
-
-
+
，则函数
f x 所有零点之和为（ ）
A．2
-
B．0
C．2
D．4
4．（25-26 高二上·湖南邵阳·阶段练习）若关于x 的方程(e
)(
ln )
0
x
tx x
t
x
-
-
=
恰有三个不同的实根, ,
a b c
（a
b
c
<
<
），则（ ）
A．
2
a
c
b
+
<
B．
2
a
c
b
+
=
C．
2
ac
b
>
D．
2
ac
b
=
5．（2025·辽宁大连·一模·多选）记
f x 的导函数
3
2
1,
R
f
x
x
x
x
=
-
-
Î
¢
，下列说法正确的是（ ）
A．
f x 在R 上一定有3 个极值点
B．
f x 在R 上一定有4 个零点
C．过
f x 上一点作切线:l y
kx
b
=
+
，若存在三个点的切线斜率相同，则k 的取值范围为
4 6
4 6
1,
1
9
9
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．记
1
g
x
f
x
¢
¢
=
+ ，则
g x 一定是偶函数
考点三
零点问题
6．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习·多选）已知函数
ex
f
x
a
a
x
=
+
-
有两个零点
1
2
,
x x ，则下列说法正确的是
（ ）
A．不存在负数a 满足条件
B．a 的值可以取1
4
C．a 的值可以取
1
2
D．
1
2
x
x
-
的值关于a 单调递减
7．（2025·广东·模拟预测）已知函数
3
1
5
,
0,
1
2
ln ,
0
x
x
x
f x
g x
f x
kx
x x
ì-
-
£
ï
=
=
-
+
í
ï
>
î
.若
g x 恰有4 个零点，则实数
k 的取值范围是 .
8．（25-26 高三上·江苏常州·开学考试）已知函数
3
1
8,
ln
2
f x
x
mx
g x
x
=
+
+
=
，用
min
,a b 表示,a b 中的较小
值，若函数
min
,
0
h x
f x
g x
x
=
>
有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为
．
9．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知函数
2
1
e
1
x
f x
a
x
=
+
-
+ ，
1
a < - ．
(1)求
f x 在点
0,
0
f
处的切线方程；
(2)求证：当
0
x <
时，
1
f
x
¢
> - ；
(3)求
f x 的零点个数．
10．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
2
( )
ln
f x
x
x
x
k
=
-
+
的图象在点(1,
(1))
f
处的切线经过点( 0, 1) ．
(1)求实数k 的值；
(2)证明：
1
ln
1
x
x
³ -
；
(3)证明：
( )
f x 有且仅有一个零点．
11．（24-25 高三上·北京·期中）已知函数
2
( )
ln
f x
x
ax
ax
=
-
+
(1)当
2
a =
时
①求曲线
( )
y = f x 在点(1,
(1))
f
处的切线方程；
②求
( )
f x 的单调区间与极值．
(2)若函数( )
( )
g x
f x
ax
=
-
有两个零点，求实数a 的取值范围．
12．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知函数
2
1
( )
ln
(
1)
2
f x
a
x
x
a
x
=
+
-
+
，其中
0
a ¹
．
(1)求
( )
f x 的单调区间；
(2)若函数
( )
f x 有两个不相等的零点
1
2
,
x x ．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
1
2
2
x
x
+
>
13．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数
2ex
f x
ax a
=
-
ÎR .
(1)当
0
a ³
时，证明：
2
2
f a
a
³
+
；
(2)若
f x 存在两个零点，求a 的取值范围.
14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数
1
ln
1
f x
m
x
x
=
-
-
- ．
(1)当
2
m =
时，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)若
f x 的极小值小于1
- ，求m 的取值范围；
(3)当
1
m > 时，证明：
ex
g x
f x
x
m
=
+
-
有2 个零点．
15．（25-26 高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数
2
( )
e
(
2)e
(
)
x
x
f x
a
a
x a
=
+
+
+
ÎR .
(1)当
1
a = - 时，求函数
( )
f x 的极值；
(2)若函数
( )
f x 在区间( 1,
)
- +¥ 上有零点，求a 的取值范围.
16．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数
1
ln
,
a
f x
a
x
a
x
-
=
+
ÎR .
(1)若
2
a =
，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
f
处的切线方程；
(2)当
0
a >
时，求
( )
f x 的单调区间；
(3)若1
1
2
a
<
< ，求函数
1
2
g x
f x
=
-
的零点个数.
